Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
3.1. Лабораторная работà 1
121
êоторая задает ограничение íà степени свобоäû íà линиях. Следуåò иметь
â âèäó, ÷òî âñå ¾òâåðдотельные¿ граничные óсловия áóäóò преобразованы
â ¾êонечно-элементные¿ граничные óсловия íà ýòàïå решения çàäà÷è.
Ïðè ýòîì, ¾òâåðдотельные¿ граничные óсловия íà заданной линии имеют
приоритет íàä ¾êонечно-элементными¿ граничными óсловиями íà узлах
òîé æå линии.
Óсловие симметрии ìîæíî задать êàê ñ помощью êомандыDL, òàê è ñ
помощью êомандыD. Â êоманде
DL
ìîæíî использовать опцию
SYMM
(êàê ýòî ñделано â примере:
DL,8½SYMM
). Другой способ состоит â òîì,
чтобы выбрать нужные óçëû è воспользоватьсÿ êомандойD. Выбрать
óçëû, ëåæàùèå íà линии L8, ìîæíî ñ помощью êоманд
LSEL,S,LINE,,8
NSLL,S,1
ãäå последняя êоманда обеспечивает выбор узлов, принадлежàùèõ
выбранным линиям, à åå второй аргумент ñîäåðæèò êëþ÷ выбора
внутренних узлов (0 выбор толькî внутренних узлов, 1 выбор
внутренних è внешних узлов).
Команда
D,ALL,UX,0
задает äëÿ âñåõ выбранных узлов равенство
íóëþ êомпоненты UX вектора перемещений, ÷òî соответствуåò симметрии
относительно îñèOy. Аналогично êоманда
D,ALL,UY,0
áóäåò задавать
äëÿ âñåõ выбранных узлов равенство íóëþ êомпоненты UY вектора
перемещений, ÷òî áóäåò соответствовать симметрии относительно îñèOx.
Отметим, ÷òî êàê ìîæíî проверить, â рассматриваемой осесимметрич-
íîé çàäà÷å â ANSYS óсловия симметрии íà линии
x = 0
áóäóò обеспечи-
ватьсÿ автоматически, è êоманда
DL,8½SYMM
â примере приведена äëÿ
надежности.
Óсловие æåñòêîãî закрепления предполагàåò, ÷òî äëÿ заданных узлов
вектор перемещений равен íóëþ, ò.å. â случае плоскîé çàäà÷è UX=0 è
UY=0. Соответствующий áëîê êоманд áóäåò иметь âèä
D,ALL,UX,0
D,ALL,UY,0
Ïðè ýòîì â рассматриваемом примере используåòñÿ толькî закрепление
ïî îñèOy, ò.å. UY=0.
Конечно-элементная ìîäåëü пьезоэлектрическîãî äèñêà ñ граничными
óсловиями ïîêазана íà ðèñ. 3.8 (пункты ìåíþ
Plot
→
Elements
, äëÿ
отображåíèÿ граничных óсловий
PltCtrls
→
Symbols
→
отметить
All
applied BC
).
122
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
Ðèñ. 3.8.
Конечно-элементная ñåòêà ñ граничными óсловиями
Просмотр ðåçóëüòàòîâ
 постпроцессоре ANSYS ìîæíî вывести íà экран полученные после
решения êонечно-элементной çàäà÷è ðåçóëüòàòû, используÿ, например,
следующие перемещения ïî ìåíþ:
•
General Postproc→Plot Results→Deformed Shape
(деформированная
форма);
•
General Postproc→Plot Results→Contour Plot→Nodal Solu...→DOF
Solution
→
X-Component of displacement
(äëÿ изображåíèÿ êартины распреде-
ления перемещений
ux);
Y-Component of displacement
(äëÿ изображåíèÿ êартины распреде-
ления перемещений
uy);
Displacement vector sum
(äëÿ âûâîäà ìîäóëÿ вектора перемещений);
Electric potential
(äëÿ âûâîäà распределения электрическîãî
потенциала);
•
General Postproc→Plot Results→Vector Plot→Predened
→
DOF solution→Translation U
(äëÿ âûâîäà распределения вектора
перемещений);
Flux & gradient→Elec eld EF
(äëÿ âûâîäà распределения вектора
íàïðÿæенности электрическîãî ïîëÿ).
Аналогичным образом ìîæíî получить распределения различных êîì-
понент íàïðÿæåíèé, деформаций, вектора íàïðÿæенности электрическîãî
ïîëÿ è вектора электрическîé индукции.
Ñîхранить полученные рисунки ìîæíî íåñêолькими способами.
•
Plot Ctrls→Hard Copy→To File
. Áóäåò открыто îêíî
Graphics Hard
Copy
. Здесь ìîæíî óêазать цветовую øêàëó (
Monochrome, Gray Scale,
Color
), расширение графическîãî файла (.bmp, postscript, .ti, .jpeg, .png),
отметить
Reverse Video
äëÿ инвертàöèè черного è белого цветов, задать
èìÿ файла. Ïðè ýòîì рисунок áóäåò ñîхранен ñ инвертацией ôîíà ñ
3.1. Лабораторная работà 1
123
Ðèñ. 3.9.
Ðаспределение перемещений UY
черного íà белый â рабочей директории ANSYS, óêазанной ïðè çàïóñêå
программы.
•
Plot Ctrls→Redirect Plots→To JPEG File ...
Áóäåò открыто îêíî
Redirect Plots to JPEG
, ãäå ìîæíî выбрать различные режимы ñîхранения
графическîãî файла (
Color
èëè
Monochromatic,Quality
è ò.ä.) è ñîхранить
ôàéë â формате JPEG. Аналогично вместо
To JPEG File...
ìîæíî выбрать
îêíà ñîхранения êартинок â других графических форматàõ.
•
PlotCtrls→Capture Image
. Рисунок áóäåò открыт â новом îêíå. Пункты
ìåíþ
File→Save as...
позволят ñîхранить рисунок â выбранной ïàïêå áåç
инвертàöèè ôîíà êàê графический ôàéë ñ расширением .bmp).
•
PlotCtrls→Write Metale
. Ðåêомендуåòñÿ выбрать
Invert White/Black
äëÿ инвертàöèè ôîíà ñ черного íà белый. Рисунок ìîæíî ñîхранить â
выбранной ïàïêå êàê ìåòафайл ôàéë ñ расширением .emf èëè .wmf.
 ðåçóëüòàòå расчетов â ANSYS 11.0 ïî программе, ñîäåðæàùåé-
ñÿ â файле FE_Mod_CP_1.inp, â êîíöå áóäåò выполнена êоманда
PLNSOL,U,Y
è áóäåò ïîêазана êартинкà распределения перемещений
UY (ðèñ. 3.9).
Здесь следуåò помнить, ÷òî решалась осесимметричная çàäà÷à â
меридиональной плоскîñòè, îñü
OY
соответствуåò îñè
Oz
â трехмерном
пространстве, à îñü
OX
îñèOr. Поэтому UY åñòü â реальности
перемещение
uz, UX
urè ò.ä.
124
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
Ðèñ. 3.10.
Ðаспределение вектора íàïðÿæенности электрическîãî ïîëÿ
Далее â постпроцессоре ëåãêî получить êартинки распределения других
ìåõанических è электрических полевых õарактеристик. Например, íà
ðèñ. 3.10 ïîêазано распределение вектора íàïðÿæенности электрическîãî
ïîëÿ.
Проанализируåì полученные ðåçóëüòàòû êàê ñ физическîé, òàê è ñ
математическîé точки зрения. Между электроäàìè 1 è 2 (ò.å. между
сплошными электроäàìè â çîíå
0 ≤ X ≤ R1) è между электроäàìè 3
è 4 (ò.å. между êольцевыми электроäàìè â çîíå
R2≤ X ≤ R
) ïîдаетсÿ
разность потенциалов
∆V = φ
Y =−H/2
− φ
Y =H/2
= −2V
inp
. Òîãäà â
областÿõ между этими электроäàìè следуåò îжидать электрическîå ïîëå
ïîðÿäêà
E ∼ ∆V/H = −2V
inp
/H = −1000
(Â/ì), ïîñêольку
V
inp
=
1
(Â),
H = 0.002
(ì). Ýòè çíàчения электрических полей è наблюдаютсÿ
íà ðèñ. 3.10 (ñì. øêàëó è векторы æелтого öâåòà ñ соответствующими
çíàчениями). Äëÿ çîíû
0 ≤ X ≤ R1между сплошными электроäàìè
направление вектора поляризации
P
противополоæíî направлению
генерируемого ïîëÿE. Поэтому â ñèëó явления обратного пьезоэффектà
(ñì. раздел 1.3) пьезоэлемент â ýòîé области äîëæåí ñжиматьсÿ. Наоборот,
â çîíå
R2≤ X ≤ R
между êольцевыми электроäàìè направление
вектора поляризацииPсовпадает ñ направлением генерируемого ïîëÿ
E
. Òîãäà òàêæå â ñèëó явления обратного пьезоэффектà пьезоэлемент â
области
R2≤ X ≤ R
äîëæåí расширÿòüñÿ. Именно òàêèå деформации
3.1. Лабораторная работà 1
125
çîí ïîä электроäàìè íàãлядно демонстрируåò ðèñ. 3.9. Òàêèì образом,
îжидаемая физикà электромеханических процессов â рассматриваемой
çàäà÷å äëÿ пьезокерамическîãî преобразователя ñ многоэлектроäíûì
покрытием ïîдтверждаетсÿ ðåçóëüòàòàìè, представленными íà ðèñ. 3.9,
3.10.
Ïðè проведении êонечно-элементных расчетов важно помнить, ÷òî
îíè являютсÿ приближенными. Поэтому íåîáõîäèìî ответить íà вопрос,
íàñêîëüêî точны полученные ðåçóëüòàòû, à â êàêèõ случаях íå стоит
äàæå îжидать ñõîдимости. Â приведенном âûøå òåêñòå программы
õарактеристики êонечно-элементной сетки определялись â следующем
áëîêå êоманд:
! Параметры конечно-элементной сетки
SM=1.00 ! масштабный множитель (scaling multiplier)
HDIV=8*SM ! Êîë-âî ÊÝ ïî толщине диска
R1DIV=16*SM ! Êîë-âî ÊÝ ïî радиальному направлению îò 0 äî R1
R12DIV=32*SM ! Êîë-âî ÊÝ ïî радиальному направлению îò R1 äî R2
R23DIV=16*SM ! Êîë-âî ÊÝ ïî радиальному направлению îò R2 äî R
Òаблица 3.7.
Данные äëÿ анализа ñõîдимости ðåçóëüòàòîâ
SM 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
max uy· 10
−12
(ì) 255 260 262 262 262 262 262 262
max |E|
(Â/ì) 1001 1141 262 1293 1564 1685 1798 1904
Поэтому äëÿ анализа ñõîдимости ìîæíî провести расчеты ïî
приведенной программе, меняя параметрSM. Ðåçóëüòàòû серии òàêèõ
расчетов приведены â òаблице 3.7. Êàê видно èç òаблицы, ìàêсимальные
çíàчения перемещений ñòабилизируютсÿ óæå ïðèSM=0.75 è далее ïðè
увеличении параметра
SM
, ò.å. ïðè уменьшении размеров êонечных
элементов, çíàчения перемещений практически íå ìеняютсÿ. Òàêèì
образом, èç данных òаблице 3.7 ìîæíî ñделать âûâîä î òîì,÷òî äëÿ оценки
ìàêсимальных смещений â данной çàäà÷å äîñòаточно взятьSM=0.75, íî
è ïðèSM=0.25 относительная погрешность определения перемещений
îêазываетсÿ менее 3 %, ÷òî вполне äîñòаточно äëÿ большинства
практических прилоæåíèé. Çíàчение
SM=0.25
îçíà÷àåò, ÷òî ïî толщине
äèñêà беретсÿ всего äâà êонечных элементà (
HDIV = 2
). Òàêîå äîñòаточно
грубое разбиение здесь îêазываетсÿ óдовлетворительным äëÿ определения
смещений, ïîñêольку рассматриваемая çàäà÷à являетсÿ ñòатическîé,
имеет äîñòаточно простую геометрию, à элементы
PLANE223
являютсÿ
êонечными элементàìè ñ квадратичной аппроксимацией ïî êаждой
êаноническîé переменной.
126
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
Между òåì, êàê видно èç ðèñ. 3.10, вектор íàïðÿæенности электриче-
ñêîãî ïîëÿ äîñòаточно сильно изменяетсÿ â окрестности границ электроäè-
рованных поверхностей (длинные векторы красного öâåòà). Данные èç òàá-
ëèöû 3.7 ïîêазывают, ÷òî ñ увеличением плотности êонечно-элементной
сетки ìàêсимальные çíàчения ìîäóëÿ вектора íàïðÿæенности электриче-
ñêîãî ïîëÿ возрастàþò, è íèêàêîé ñõîдимости этого çíàчения íå наблю-
даетсÿ. Ýòîò эффект òàêæå вполне îжидаем, ïîñêольку â çàäà÷àõ ýëåê-
троупругости поверхностные электроäû являютсÿ êонцентраторами äëÿ
различных êомпонент электромеханических полей íàïðÿæåíèé, деформа-
öèé, íàïðÿæенности электрическîãî ïîëÿ è электрическîé индукции (ò.å.
äëÿ градиентных èëè потокîâûõ величин, определяемых через произвоä-
íûå îò перемещений è электрическîãî потенциала). Ðîëü поверхностных
электроäîâ â òàêèõ çàäà÷àõ аналогична ðîëè øòампов ñ íåãладкими ãðà-
ницами â êîíòактных çàäà÷àõ. Поэтому, êàê è â аналогичных êîíòактных
çàäà÷àõ, вблизи границ электроäîâ íåêоторые êомпоненты íàïðÿæåíèé,
деформаций, íàïðÿæенности электрическîãî ïîëÿ è электрическîé индук-
öèè могут иметь êорневые особенности òèïà
1/√r
, ãäår расстоÿíèå îò
границы электроäà. Естественно, ÷òî òîãäà ïðè использовании обычных
изопараметрических êонечных элементов áóäåò наблюдатьсÿ ðîñò âåëè-
÷èí ýòèõ полей вблизи границ электроäîâ. Äëÿ практики ýòî îçíà÷àåò,
÷òî êонкретные çíàчения ïîдобных потокîâûõ величин â малой области
вблизи границ электроäîâ здесь íå имеют особого смысла, íî вдали îò ãðà-
íèö электроäîâ ñõîдимость áóäåò иметь место. Òàêæå áóäóò ñõîдитьсÿ è
èõ интегральные величины (например, суммарный электрический çàðÿä).
Ñêазанное âûøå иллюстрируåò график (ðèñ. 3.11) изменения осевой
êомпоненты íàïðÿæенности электрическîãî ïîëÿ
Ez(
EF, Y
â ANSYS)
вдоль радиуñà äèñêà íà åãî âåðõíåé поверхности (
0 ≤ X ≤ R,Y = H/2
â ANSYS), построенный ñ помощью следующих êоманд постпроцессора
ANSYS:
! Ôàéë FE_Mod_CP_1_Post.inp
! Постпроцессорный вывод графиков
/PLOPTS,INFO,ON
/COLOR,CURVE,WHIT,1,6 ! öâåò графиков - белый (черный ïðè инвертации)
/COLOR,GRID,WHIT, ! öâåò сетки - белый (черный ïðè инвертации)
/PLOPTS,TITLE,OFF ! заголовка графика íåò
/PLOPT,FRAME,OFF ! рамки íåò
/AXLAB,X,r ! подпись ê îñè X (r)
/AXLAB,Y, E_Z ! подпись ê îñè Y (z)
/GROPT,DIVX,4 ! Количество делений ïî îñè X
3.1. Лабораторная работà 1
127
Ðèñ. 3.11.
Поведение êомпоненты
Ezíà поверхности äèñêà
/GROPT,DIVY,4 ! Количество делений ïî îñè Y
/GROPT,DIG2,1 ! Количество öèôð после запятой
! Команды определения ïóòè ñ опорными точками
PATH,XX,4,,120
PPATH,1,,0,H/2
PPATH,2,,R1,H/2
PPATH,3,,R2,H/2
PPATH,4,,R,H/2
! Определение величины E_Z äëÿ построения графика
вдоль ïóòè
PDEF,E_Z,EF,Y
! Определение других величин
! (åñëè понадобится äëÿ íèõ строить графики)
PDEF,T_ZZ,S,Y $ PDEF,T_RR,S,X
PDEF,D_Z,D,Y $ PDEF,D_R,D,X $ PDEF,E_R,EF,X
PLPATH,E_Z ! Построение графика E_Z вдоль ïóòè
Представленные íà ðèñ. 3.11 êонечно-элементные ðåçóëüòàòû äëÿ
зависимости
Ez= Ez(r)
íå точны â окрестности границ электроäîâ
R1= 0.5 · 10−2(ì) è
R2= 1.5 · 10−2(ì). Åñëè, например, ïðè
r <
R1ýòà кривая íåñêîëüêî напоминает функцию ñ êорневой особенностью
128
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
kR
2
1
− r2, òî всплеск функции ïðè
r > R1полностью определяетсÿ
толькî погрешностью êонечно-элементных аппроксимаций è принятых
способов осреднения ïðè вычислении градиентов полей. Однакî вдали îò
границ электроäîâ ïîëå определяетсÿ äîñòаточно точно.
Аналогичным образом ìîæíî проанализировать è поведение других
градиентных величин электромеханических полей:
Er,
Dz,
Dr,
σzz, è ò.ä.
3.1.2. Индивидуальные задания
Написать программу íà ÿçûêå APDL ANSYS äëÿ расчетà ñòатическîãî
деформирования пьезоэлектрическîãî преобразователя ñ многоэлектроä-
íûì покрытием â двумерной ïîñòановкå (осесимметричная çàäà÷à èëè
çàäà÷à î плоскîé деформации). Äàòü анализ ñõîдимости ïðè различной
плотности êонечно-элементной сетки. Привести рабочий вариант êонечно-
элементной сетки ñ элементными системами êîîðдинат. Вывести ðåçóëüòà-
òû расчетов (деформированную форму, распределения перемещений, ýëåê-
трическîãî потенциала, вектора электрическîãî ïîëÿ, вектора электриче-
ñêîé индукции, íàïðÿæåíèé ïî Мизесу, график вдоль ïî ïóòè ñ поверõ-
ностными электроäàìè õарактерной êомпоненты вектора электрическîãî
ïîëÿ). Проанализировать ðåçóëüòàòû è оформить отчет.
Отчет äîëæåí ñîäåðæàòü данные îá исполнителе, описание çàäà÷è, à
òàêæå óêазанные âûøå ðåçóëüòàòû, полученные ñ помощью вычислитель-
íîãî êомплекñà ANSYS.
Варианты индивидуальных заданий собраны â следующей òаблице. Âñå
секции пьезоэлектрических преобразователей выполнены èç пьезокерами-
êè PZT-4, материальные свойства êоторой приведены âûøå â файле ïðè-
ìåðà. Электродированные поверхности выделены íà рисункàõ жирными
линиями èëè òî÷êàìè, è îêîëî íèõ приведены çíàчения электрическîãî
потенциала èëè суммарного электрическîãî çàðÿäà. Границы ñ óсловия-
ìè æåñòêîãî закрепления помечены снаружи штрихîâêîé, треугольники
снаружи границ îçíà÷àþò óсловия закрепления â соответствующей òî÷êå
двумерного сечения (▹èëè◃: UX=0,△: UY=0). Íà участкàõ границы
áåç óêазанных âûøå меток выполняютсÿ îднороäíûå естественные óñëî-
âèÿ (
n ·D = 0
è/èëè
n ·σ = 0
). Äëÿ осесимметричных çàäà÷ îñü вращения
Y
ïîêазана íà соответствующих рисункàõ пунктирной линией слева.
3.1. Лабораторная работà 1
129
Òаблица 3.8.
Варианты заданий лабораторной работы 1
Рисунок çàäà÷è Данные
1 Плоскàÿ деформация.
a1= a4= 8 · 10−3ì,
a2= a3= 7 · 10−3ì,
H = 3 ·10−3ì,
V = 10
Â
2 Осесимметричная çàäà÷à.
a1= a4= 7 · 10−3ì,
a2= a3= 8 · 10−3ì,
H = 3 ·10−3ì,
V = 5
Â
3 Плоскàÿ деформация.
a1= a4= 7 · 10
−
3
ì,
a2= a3= 6 · 10−3ì,
H = 2 ·10−3ì,
V = 5
Â
4 Осесимметричная çàäà÷à.
a1= a3= 0.02
ì,
a2= 0.03
ì,
H = 0.005
ì,
V = 10
Â
5 Плоскàÿ деформация.
a1= a3= 0.03
ì,
a2= 0.04
ì,
H = 0.004
ì,
V = 10
Â
6 Осесимметричная çàäà÷à.
a1= a3= 6 · 10−3ì,
a2= a4= 7 · 10−3ì,
H = 2 ·10−3ì,
V = 10
Â
130
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
Òаблица 3.8.
Варианты заданий лабораторной работы 1 (ïðîäîëæåíèå)
7 Осесимметричная çàäà÷à.
a1= 0.01ì,a3= 0.02
ì,
a2= 0.03
ì,
H = 0.005
ì,
V = 5
Â
8 Плоскàÿ деформация.
a1= a3= 0.03
ì,
a2= 0.04
ì,
H = 0.006
ì,
V = 10
Â
9 Плоскàÿ деформация.
a1= a3= 7 · 10−3ì,
a2= a4= 8 · 10
−
3
ì,
H = 3 ·10−3ì,
V = 10
Â
10 Осесимметричная çàäà÷à.
a1= a2= 8 · 10−3ì,
a3= a4= 6 · 10−3ì,
H = 3 ·10−3ì,
V = 5
Â
11 Осесимметричная çàäà÷à.
a1= a3= 0.01
ì,
a2= 0.02
ì,
H = 0.005
ì,
V = 5
Â
12 Плоскàÿ деформация.
a1= a3= 0.02
ì,
a2= 0.04
ì,
H = 0.008
ì,
V = 10
Â
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]