Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
21
распыления æèäêостей, à òàêæå äëÿ очистки поверхностей, êàê, например,
â óëüтразвукîâûõ стиральных машинах, â сваркå, äëÿ повышения ãàçî-
è нефтеотäà÷è пластов è äëÿ многих других прилоæåíèé. Обратимость
пьезоэффектà позволяет пьезопреобразователю íå толькî генерировать
ìåõанические êолебания, íî è принимать èõ è регистрировать, преобра-
çóÿ ìåõанические сигналы â электрические. Поэтому пьезоэлектрические
преобразователи широкî используютсÿ êàê датчики расстоÿíèÿ, уровня
æèäêîñòè, параметров среды è ò.ä.
Другими типами óстройств пьезотехники являютсÿ генераторы, пьезо-
трансформаторы íàïðÿæåíèÿ è òîêà, пьезодатчики, сенсоры, актюаторы,
пьезоэлектрические ôèëüòðû è линии задерæêè è ïð.
Математические ìîäåëè пьезоэлектрических óстройств базируютсÿ íà
уравнениях связанной теории электроупругости èëè пьезоэлектричества.
Библиография ïî пьезоэлектричеству äîñòаточно обширна è ïîдразде-
ляетсÿ íà литературу физическîãî õарактера, наиболее многочисленную
литературу, посвященную прикладным èëè техническим вопросам пьезо-
электрическîãî приборостроения, è, íàêîíåö, íà работы, â êоторых ðàñ-
сматриваютсÿ ìåõанические, математические èвычислительные проблемы
теории электроупругости. Классическими òðóäàìè, â êоторых прекрасно
èçëîæåíû физические è ìåõанические аспекты пьезоэлектричества, ÿâëÿ-
þòñÿ монографии [3, 11] è äð. Ðазличные проблемы теории электроупруго-
ñòè êàê раздела ìåõаники èçëîæåíû â [12, 16, 20, 32], à численные ìåòîäû
решения çàäà÷ электроупругости â [32, 13, 36]. Современные ïîäõîäû ê
расчету пьезоэлектрических óстройств базируютсÿ íà êонечно-элементных
технологиях, алгоритмах триангуляции, ансамблирования è íà ìåòîäàõ
решения çàäà÷ вычислительной математики ñ большими разреженными
матрицами. Основой ýòèõ ïîäõîäîâ являютсÿ слабые èëè вариационные
ïîñòановки связанных çàäà÷ электроупругости è èõ аппроксимации. Äàí-
íûå вопросы è áóäóò рассмотрены â следующих разделах.
1.3.1. Классические ïîñòановки çàäà÷ электроупругости
ÏóñòüΩ ограниченная область â
R3, занимаемая пьезоэлектрическим
телом;
Γ = ∂Ω
граница областиΩ;
n = n(x)
вектор внешней
единичной нормали êΓ(
x ∈ Γ
).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî состоÿíèå пьезоэлектрическîé среды определяетсÿ
вектор-функцией перемещений
u = u(x, t)
è ñêалярной функцией
электрическîãî потенциала
φ = φ(x, t)
.
22
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
Ïî вектор-функции перемещений
u(x, t)
задаетсÿ тензор малых
деформаций
ε = (∇u + ∇u∗)/2,
(1.10)
à ïî функции электрическîãî потенциала вектор íàïðÿæенности
электрическîãî ïîëÿ
E = −∇φ.
(1.11)
Отметим, ÷òî êàê êомпоненты
εijтензора деформаций, òàê è êîìïî-
ненты
Eiвектора íàïðÿæенности электрическîãî ïîëÿ определяютсÿ ÷å-
ðåç первые произвоäíûå ïî пространственным êîîðдинатàì îò полевых
функций
ui(x, t)èφ(x, t)
, соответственно,
εij=
1
2
(
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
) =
1
2
(u
i,j
+ u
j,i
),
(1.12)
Ei= −
∂φ
∂x
i
= −φ,i.
(1.13)
Äëÿ пьезоэлектрическîé среды â линейном приближåíèè существуåò
линейная связь между тензором деформацийεè вектором íàïðÿæåííî-
ñòè электрическîãî ïîëÿEñ тензором íàïðÿæåíèéσè вектором ýëåê-
трическîé индукцииD. Ýòè зависимости íîñÿò название определяющих
соотношений è имеют следующий âèä:
σ = cE: ε −e∗· E,
(1.14)
D = e : ε + ϵS· E.
(1.15)
Здесь
cE тензор четвертого ðàíãà упругих ìîäóëåé, вычисленных
ïðè постоянном электрическîì ïîëå (E);e тензор третьего ðàíãà ïüå-
çîìîäóëåé;
ϵS тензор второго ðàíãà диэлектрических проницаемостей,
вычисленных ïðè постоянных деформациях (S).
 ïîêомпонентной записи уравнения (1.14), (1.15) ìîæíî записать â
форме:
σij= c
E
ijkl
εkl− e
kijEk
,
(1.16)
Di= e
iklεkl
+ ϵ
S
ik
Ek.
(1.17)
Заметим, ÷òî тензор íàïðÿæåíèéσявляетсÿ симметричным тензором
второго ðàíãà, ò.å.
σij= σji.
Òензор упругих ìîäóëåé
cEявляетсÿ ïîëóсимметричным тензором
четвертого ðàíãà
c
E
ijkl
= c
E
jikl
= c
E
ijlk
= c
E
klij
,
(1.18)
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
23
à тензор пьезомоäóëåéeтретьего ðàíãà симметричен толькî ïî äâóì
последним индекñàì
e
ikl
= e
ilk
.
(1.19)
Компоненты
c
E
ijkl
,
e
ijk
,
ϵ
S
ij
являютсÿ материальными êîíñòàíòàìè,õàðàê-
теризующими, соответственно, упругие (æåñòêостные), пьезоэлектриче-
ñêèå è диэлектрические свойства материала òåëà. Â большинстве случаев
ýòè величины постоянные (äëÿ îднороäíûõ òåë) èëè êóсочно-постоянные
(äëÿ êóсочно-однороäíûõ òåë). Однакî äëÿ íåîднороäíûõ òåë ìîäóëè ìî-
ãóò áûòü непрерывными èëè êóсочно-непрерывными функциями îòx.
Åñëè свернуть уравнение (1.14) двойным внутренним произведением
(двойной сверткîé) ñε, уравнение (1.15) óìíîæèòü ñêалярно íà
E∗, à затем
ñëîæèòü полученные соотношения, òî придем ê выражåíèþ äëÿ плотности
внутренней энергии пьезоэлектрическîãî òåëà
Π =
1
2
(ε : σ + E∗· D) =
1
2
(ε : cE: ε + E∗· ϵS· E).
(1.20)
Èç физическîãî требования ïîëîжительной определенности внутренней
энергии следуют óсловия ïîëîжительной определенности äëÿ тензоров
упругих ìîäóëåé è диэлектрических проницаемостей:
∃α1> 0 : ∀ε = ε∗, ε : cE: ε ≥ α1ε : ε,
(1.21)
∃α2> 0 : ∀E, E∗· ϵS· E ≥ α2E∗· E.
(1.22)
Äëÿ сплошной среды должны óдовлетворÿòüñÿ уравнения äâèæåíèÿ,
êоторые â линейном приближåíèè è ïðè пренебрежåíèè демпфирующими
факторами имеют òàêîé æå âèä, êàê è â обычной теории упругости
∇ ·σ + ρ f = ρ¨u,
(1.23)
ãäå
ρ = ρ(x)
плотность материала,
f = f (x, t)
вектор плотности
массовых ñèë,¨u = ∂2u/∂t2.
 ñèëó òîãî, ÷òî ñêорости упругих è электромагнитных âîëí îòличают-
ñÿ íà ïîðÿäêè, à пьезоэлектрические среды являютсÿ диэлектрикàìè, íå
проводящими электрический òîê, ìîæíî принять уравнение приближåíèÿ
квазиэлектростатики
∇ ·D = σΩ,
(1.24)
ãäå
σΩ объемная плотность электрических çàðÿäîâ, причем обычно â
диэлектрикàõ
σΩ= 0
.
 ïîêомпонентной записи уравнения (1.23), (1.24) имеют âèä:
σ
ij,j
+ ρ fi= ρu
i,tt
,
(1.25)
24
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
D
i,i
= σΩ.
(1.26)
Ïîäñòавляя â (1.23), (1.24) определяющие соотношения (1.14), (1.15) è
формуëû (1.10), (1.11), получаем итоговую систему дифференциальных
уравнений линейной электроупругости относительно функцийuèφ:
∇ ·(cE: ∇u + e∗· ∇φ) + ρ f = ρ¨u,
(1.27)
∇ ·(e : ∇u − ϵS· ∇φ) = σΩ.
(1.28)
(Здесь использовано, ÷òî â ñèëó свойств симметрии (1.18), (1.19) тензоров
cEèeимеют место равенства:
cE: ε = cE: ∇u;e : ε = e : ∇u
.)
 ïîêомпонентной записи система (1.27), (1.28) записываетсÿ òàê:
(c
E
ijkl
u
k,l
+ e
kijφ,k),j
+ ρ fi= ρu
i,tt
, i = 1, 2, 3,
(1.29)
(e
ikluk,l
− ϵ
S
ik
φ,k),i= σΩ.
(1.30)
Êàê видно, äëÿ пьезоэлектрическîé среды имеем связанную систему
(1.29), (1.30) четырех дифференциальных уравнений относительно ÷åòû-
ðåõ функций
ui= ui(x, t),i = 1, 2,3;φ = φ(x, t)
. Âñå ýòè уравнения ÿâ-
ляютсÿ уравнениями второго ïîðÿäêà ïî пространственным переменным.
Между òåì, произвоäíûå ïî времени (второго ïîðÿäêà) имеютсÿ â уравне-
íèÿõ (1.29), íî отсутствуют â уравнении êвазиэлектростатики (1.30). Ýòî
обстоятельство ñîñòавляет существенную особенность уравнений электро-
упругости.
Äëÿ ïîñòановкиíàчально-краевой çàäà÷è электроупругости íåîáõîäèìî
ê системе уравнений (1.27), (1.28) èëè (1.29), (1.30) присовокупить
граничные è íàчальные óсловия.
Граничные óсловия ìîæíî ïîдразделить íà ìåõанические è электриче-
ñêèå. Äëÿ формулировки ìåõанических граничных óсловий предполоæèì,
÷òî границаΓразбиваетсÿ íà äâà участкà
Γuè
Γσ, íà êоторых задаютсÿ,
соответственно, векторы перемещений
uΓè íàïðÿæåíèé
pΓ:
u = uΓ; x ∈ Γu,
(1.31)
p = n · σ; p = pΓ; x ∈ Γσ,
(1.32)
ãäå, вообще говорÿ, внешние воздействия
uΓè
pΓмогут зависеть îòxèt.
Òàêèì образом, здесь ìû ограничиваемсÿ толькî основными óсловиями
первого è второго ðîäà: óсловие (1.31) óсловие первого ðîäà èëè óсловие
òèïà Дирихле, óсловие (1.32) óсловие второго ðîäà èëè óсловие òèïà
Неймана. Стоит отметить, ÷òî ýòè óсловия могут áûòü заданы íà ÷àñòÿõ
границы, ò.å. совсем íå îáязательно, чтобы
Γ = Γuèëè
Γ = Γσ.
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
25
Важными случаями являютсÿ îднороäíûå óсловия первого èëè второго
ðîäà, êîãäà
uΓ= 0
èëè
pΓ= 0
. Â случае
uΓ= 0
говорÿò
î æåñòêî закрепленном участкå границы
Γu, à ïðè
pΓ= 0
î
свобоäíîé îò íàïðÿæåíèé границе
Γσ. Êàê è äëÿ упругого òåëà, óсловие
æåñòêîãî закрепления â теории электроупругости являетсÿ наиболее
распространенным типом граничного óсловия первого ðîäà (1.31), à íà
большей части границы
Γ = Γσвектор
pΓобычно равен íóëþ.
Отметим, ÷òî äëÿ единственности решения óдобно потребовать, чтобы
граница
Γuáûëà íå ïóñòà, ò.å. чтобы íå äîïóñêались решения îднороäíîé
краевой çàäà÷è â âèäå äâèæåíèÿ òåëà êàê òâåðäîãî целого:
u = u
rigit
=
uc+ ωc× x,uc= const,ωc= const
.
Äëÿ задания электрических граничных óсловий áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
существуåò åùå îäíî независимое разбиение границыΓ:
Γ = Γφ∪ ΓD.
Участок
Γφìîæåò â ñâîþ очередь состоÿòü èç несоприкасающихñÿ ìåæ-
äó собой частей
Γφj;
j = 0, 1,..., M
, ò.å.
Γφ= ∪jΓφj. Ýòè участки назовем
электродированными поверхностÿìè. Â реальности участки
Γφjåñòü ÷à-
ñòè границы пьезоэлектрическîãî òåëà, покрытые ìåòаллизированными
поверхностÿìè, êоторые è называютсÿ электроäàìè. Ìåòаллическîå íà-
несение обычно очень òîíêîå, è математически åãî ìîæíî ñ÷èòàòü áåñêî-
нечно тонким. Однакî, â ñèëó принятого допущения квазиэлектростатики,
попадающий íà электроä
Γφjэлектрический потенциал
ΦΓjмгновенно ðàñ-
пространяетсÿ íà âåñü участок
Γφj, è поэтому
ΦΓjíå зависит îòxíà
Γφj.
Òàêèì образом, электроä следуåò ñ÷èòàòü эквипотенциальной поверõíî-
ñòüþ.
Наличие электроäîâ являетсÿ важной îòличительной особенностью çà-
äà÷ квазиэлектростатики диэлектрикîâ è более общих çàäà÷ электроупру-
гости.
Кроме òîãî, äëÿ электроäîâ следуåò различать äâà важных случая. Íà
íåêоторых электродированных поверхностÿõ
Γφjçíàчения потенциалов
ΦΓjмогут ñ÷èòàòüñÿ известными (
ΦΓj= Vj), è òàêèå электроäû áóäåì
называть электроäàìè, запитываемыми генераторами электрическîãî
íàïðÿæåíèÿ. Íà других электродированных поверхностÿõ
Γφjпотенциалы
ΦΓj, ïî прежнему íå зависÿùèå îòx, являютсÿ неизвестными величинами.
Òåì íå менее äëÿ íèõ ñ÷èòàåòñÿ известным суммарный электрический
çàðÿä
Qjèëè òîê
Ij= ±dQj/dt
, ãäå çíàê ¾+¿ èëè ¾−¿ определяетсÿ
принятым направлением òîêà âî внешней öåïè. Участки
Γφjвторого òèïà
áóäåì называть электроäàìè, запитываемыми генераторами òîêà.
Äëÿ электроäîâ первого òèïà ïðè
Vj= 0
áóäåì говорить î
êороткозамкнутых èëè заземленных электроäàõ, à äëÿ электроäîâ второго
26
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
òèïà ïðè
Qj= 0
áóäåì говорить î свобоäíûõ электроäàõ, ê êоторым íå
ïîäâîäèòñÿ электрический òîê.
Описанные âûøå граничные óсловия íà электроäàõ математически
ìîæíî сформулировать следующим образом. Ïóñòü
Γφ= ΓV∪ ΓQ;
ΓV=
∪Γφj,
j ∈ JV= {0, m + 1, ..., M};ΓQ= ∪Γφj,
j ∈ JQ= {1, 2, ..., m}
,
причем участки
Γφjíå соприкасаютсÿ äðóã ñ другом. (Последнее нужно,
чтобы íå äîïóñêались ñèòóàöèè ñ разрывными граничными óсловиями äëÿ
электрическîãî потенциала.)
Íà электроäàõ
Γφj⊆ ΓV, запитываемых генераторами электрическîãî
íàïðÿæåíèÿ, задаютсÿ потенциалы
Vj:
φ = ΦΓj; ΦΓj= ΦΓj(t) = Vj(t); x ∈ Γφj, j ∈ JV.
(1.33)
Íà электроäàõ
Γφj⊆ ΓQ, запитываемых генераторами òîêà, ñòавятсÿ
следующие граничные óсловия:
φ = ΦΓj; ΦΓj= ΦΓj(t); x ∈ Γφj, j ∈ JQ,
(1.34)
Γ
φj
n ·D dΓ = −Qj; Ij= ±˙Qj; j ∈ JQ.
(1.35)
Необычность граничных óсловий (1.34), (1.35) состоит íå толькî â
òîì, ÷òî функция
φ(x, t)
должна принимать постоянные çíàчения
Φ
Γj
(ïðè êаждом ôèêсированном моменте времениt), íî è â òîì, ÷òî
задаетсÿ íåêоторое интегральное óсловие, фактически è являющеесÿ
дополнительным уравнением äëÿ íàõîждения
ΦΓj.
 теории упругости аналогом óсловий (1.34), (1.35) являютсÿ óсловия
êîíòактного òèïà. Åñëè æесткий øòàìï вдавливаетсÿ â деформируåìîå
òåëî, òî осадкà øòàìïà аналогична потенциалу
Φ
Γj
, à äëÿ íàõîждения
осадки задаетсÿ интегральное óсловие, выражающее равенство интеграла
îò êîíòактных íàïðÿæåíèé ïîä øòампом суммарной ñèëå, действующей
íà øòàìï (åñëè íå учитывать моменты è повороты øòàìïà).
Îòличие îò çàäà÷ теории упругости здесь состоит â òîì, ÷òî
åñëè äëÿ çàäà÷ теории упругости граничные óсловия òèïà (1.34),
(1.35) принимаютсÿ толькî äëÿ íåêоторых типов çàäà÷, òî äëÿ çàäà÷
электроупругости óсловия (1.34), (1.35) требуютсÿ äëÿ анализа работы
большинства реальных пьезоэлектрических óстройств.
Íàêîíåö, íà неэлектродированных поверхностÿõ
ΓDзадаетсÿ поверõ-
ностная плотность электрических çàðÿäîâ
σΓ= σΓ(x, t)
n ·D = −σΓ; x ∈ ΓD.
(1.36)
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
27
Èç (1.36) ñòановитсÿ более ÿñíà формуëà (1.35). Ïîñêольку, êàê известно
èç электростатики диэлектрикîâ, (
−n · D
) åñòü поверхностная плотность
çàðÿäîâ, òî интегрирование функции (
−n · D
) âî всему участку
Γφjäàåò
суммарный электрический çàðÿä íà ýòîì участкå.
Èòàê, основные òèïû граничных óсловий электроупругости даютсÿ
формуëàìè (1.31) (1.36).
Äëÿ íåñòационарных çàäà÷, êàê известно, нужны åùå íàчальные
óсловия
u(x,+0) =
u
s
(x);˙u(x, +0) = vs(x); x ∈ Ω ,
(1.37)
ãäå
us,
vs íàчальные смещения è ñêорости точек òåëà, соответственно.
Òàêèì образом, ïîñòановкà íàчально-краевых çàäà÷ электроупругости
включает систему дифференциальных уравнений (1.27), (1.28) èëè (1.29),
(1.30), граничные óсловия (1.31)(1.36) è íàчальные óсловия (1.37).
Отметим, ÷òî представленная âûøå система дифференциальных
уравнений динамическîé теории электроупругости (1.27), (1.28) èëè
(1.29), (1.30) имеет îäèí существенный äëÿ практических применений
недостàòîê. Â ýòîé системе íå учитываютсÿ эффекты затухàíèÿ,
демпфирования èëè âÿçêîñòè. (Ýòè слова áóäåì далее использовать êàê
синонимы.) Ïî аналогии ñ классическими çàäà÷àìè теории упругости
примем здесь способ ó÷åòà демпфирования ïî Ðåëåþ, óдобный äëÿ
дальнейшего применения численных ìåòîäîâ. Именно, â уравнения
äâèæåíèÿ (1.23) добавим ñëàãаемое, пропорциональное ñêорости точек
òåëà
∇ ·σ + ρ f = ρ¨u + αdρ˙u,
(1.38)
à определяющее соотношение (1.14) изменим следующим образом:
σ = cE: (ε + β
d
˙
ε) −e∗· E.
(1.39)
Здесь â (1.38), (1.39)
αdè
βd неотрицательные êоэффициенты
демпфирования.
Òîãäà система дифференциальных уравнений теории электроупругости
ñ демпфированием ïî Ðåëåþ áóäåò определятьсÿ уравнениями (1.10),
(1.11), (1.39), (1.15), (1.38), (1.24), è, следовательно, â системе (1.27), (1.28)
вместо (1.27) áóäåì иметь
∇ ·(cE: (∇u + βd∇˙u) + e∗· ∇φ) + ρ f = ρ¨u + αdρ˙u.
(1.40)
Принятый способ ó÷åòà демпфирования ïî Ðåëåþ имеет много
недостàòêîâ. Òàê, добавление ñëàãаемого
αdρ˙u
â (1.38) термодинамически
28
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
íå обосновано, à вместо (1.39) äëÿ анизотропных òåë логичнее áûëî áû
принять õîòÿ áû соотношение
σ = cE: ε +˜cE:˙ε −e∗· E,
ãäå˜cE= βdcEáóäåò ëèøü частным случаем этого более общего соотноше-
íèÿ. Другие, åùå более общие формы определяющих соотношений могут
áûòü построены â ðàìêàõ теории âÿçêоэлектроупругости.
Однакî, несмотрÿ íà âñå отмеченные недостàòêè, способ ó÷åòà
демпфирования ïî Ðåëåþ являетсÿ îäíèì èç наиболее простых, позволяет
êàчественно описать основные эффекты затухàíèÿ âîëí, è ýòîò способ
принят â ìîделях, çàëîæенных â òàêèõ известных êонечно-элементных
программных êомплекñàõ, êàê ANSYS, ABAQUS è äð.
 связи ñ èçëîæенным, далее ïðè íåîáõîдимости ó÷åòà затухàíèÿ â çà-
äà÷àõ электроупругости áóäåì использовать способ ó÷åòà демпфирования
ïî Ðåëåþ, ò.å. íàчально-краевые çàäà÷è электроупругости áóäåì описы-
âàòü уравнениями (1.10), (1.11), (1.39), (1.15), (1.38), (1.24), граничными
óсловиями (1.31) (1.36) è íàчальными óсловиями (1.37).
 случае ñòатических çàäà÷ âñå внешние воздействия íå зависÿò îò âðå-
ìåíèt, íàчальные óсловия отсутствуют, è â уравнениях äâèæåíèÿ (1.23)
èëè â (1.38), (1.39) следуåò îïóстить члены, ñîäåðæàùèå произвоäíûå ïî
времени (ïîñêольку äëÿ çàäà÷ ñòатики
u = u(x)
, è˙u = 0
,¨u = 0
).
Ïàðó функцийu,φ, óдовлетворяющих дифференциальным уравнени-
ÿì, граничным óсловиям è íàчальным óсловиям (äëÿ íåñòационарных çà-
äà÷), áóäåì называть классическим èëè обычным решением.
Óñòановление свойств ãëàäêîñòè решения â зависимости îò ãëàäêîñòè
внешних воздействий, областиΩ, åå границыΓ, участкîâ ñ различными
краевыми óсловиями, материальных êîíñòàíò (
c
E
ijkl
,
e
kij
,
ϵ
S
ik
), внешних
воздейстий (f,
σΩ,
uΓ,
pΓ,
Vj,
Qjèëè
Ij,
σΓ) è íàчальных óсловий
(
us,
vs) являетсÿ çàäà÷åé îòдельного математическîãî исследования.
Очевидно, ÷òî функции
u(x, t)èφ(x, t)
должны áûòü ïî крайней ìåðå
дважды дифференцируемыми ïîxè ïît, ïîñêольку вторые произвоäíûå
фигурируют â системе дифференциальных уравнений (1.29), (1.30). Â
следующем разделе áóäåò сформулировано другое понятие решения çàäà÷è
электроупругости ñ более слабыми требованиями íà ãëàäêîñòü, ÷åì ó
классическîãî решения.
1.3.2. Обобщенные ïîñòановки çàäà÷ электроупругости
Перехîä îò классическîé ïîñòановки çàäà÷è ê обобщенной äîñòаточно
ñòандартен, è äëÿ çàäà÷è электроупругости состоит èç òåõ æå шагов, ÷òî
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
29
è äëÿ других краевых çàäà÷ ñ системами дифференциальных уравнений
дивергентного òèïà.
Ýòè ýòàïû ïðè преобразованиях толькî ïî пространственным êîîðäè-
íàòàì состоÿò â следующем:
1) óìíîæåíèå дифференциальных уравнений íà ïîêà произвольные, íî
äîñòаточно ãладкие проекционные функции è интегрирование ïî области
Ω
;
2) интегрирование ïî ÷àñòÿì интегралов ñ оператором дивергенции, ïî-
íèæåíèå ïîðÿäêà ñòарших произвоäíûõ ïî пространственным êîîðäèíà-
òàì è получение (ïî возможности) симметричных интегральных ôîðì;
3) применение формуë ÃàóссаОстроградскîãî äëÿ перехîäà îò
интегралов ïî области ñ оператором дивергенции ê интегралам ïî границе;
4) преобразование интегралов ïî границе, полученных после примене-
íèÿ формуë ÃàóссаОстроградскîãî, ñ использованием краевых óсловий;
4.1) íà части границы задаютсÿ ограничения íà проекционные
функции, соответствующие îднороäíûì краевым óсловиям (ãлавным
граничным óсловиям) íà ýòèõ участкàõ;
4.2) íà других участкàõ границы используютсÿ краевые óсловия ñ
проекциями ïî нормали потокîâûõ величин (
n ·σ,n ·D
è ò.ä.);
5) снятие íåîднородности ãлавных граничных óсловий путем ïîдбора
функций, óдовлетворяющих íåîднороäíûì ãлавным краевым óсловиям íà
части границы;
6) определение íåîáõîдимых функциональных пространств è формуëè-
ðîâêà слабой (обобщенной) ïîñòановки çàäà÷è.
Отметим, ÷òî äëÿ уравнений ïîðÿäêà2mвторой ýòàï требуåòñÿ повто-
ðÿòümðàç. Например, çàäà÷è изгиба балок описываютсÿ дифференци-
альными уравнениями четвертого ïîðÿäêà, è äëÿ íèõ требуåòñÿ äâà ðàçà
применять процедуру интегрирования ïî ÷àñòÿì.
Описанная ñõåìà служит основой òàê называемых ïîëóдискретных
численных алгоритмов, êîãäà âíà÷àëå ïî времени íå произвоäèòñÿ íèêàêèõ
преобразований, è поэтому проекционные функции могут зависеть толькî
îòx, íî íå зависÿò îòt. Слабая èëè обобщенная формулировкà çàäà÷è â
ýòîì случае соответствуåò вариационному принципу Лагранжà.
Àëüтернативный ïîäõîä состоит â интегрировании ïî областиΩè ïî
времениtíà íåêотором интервале
[0, T ]
. Â ýòîì случае проекционные
функции должны зависеть êàê îòx, òàê è îòt, à äëÿ интегрирования
ïî времени ìîæåò использоватьсÿ операции свертки. Дальнейшие
преобразования привоäÿò ê совершенно другой обобщенной ïîñòановкå,
соответствующей вариационному принципу Ãамильòîíà.
30
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
 случае ñòационарных (ñòатических) çàäà÷ возмоæíà толькî первая
ñõåìà, ïîñêольку íåò зависимости îò времени (кроме çàäà÷ ñ памятью,
òèïà çàäà÷ теории âÿçêоупругости). Ðассмотрим, например, ñòатическую
èëè квазистатическую çàäà÷ó электроупругости, êîãäà â (1.23) íåò
члена ñ
ρ¨u
, è уравнение äâèæåíèÿ перехîäèò â уравнение равновесия.
Следуÿ описанной âûøå ñõåìå, óìíîæèì уравнение ñòатики (1.23) áåç
ρ¨u
ñêалярно íà íåêоторую, ïîêà произвольную, íî äîñòаточно ãладкую
вектор-функцию
v∗(x)
è проинтегрируåì ïî областиΩ. Аналогично,
уравнение (1.24) óìíîæèì íà произвольную äîñòаточно ãладкую функцию
χ(x)
è òàêæå проинтегрируåì ïîΩ.
Используÿ формуëû тензорного анализа
v∗· (∇· σ(u, φ)) = ∇ ·(v∗· σ(u, φ)) − (∇v)∗: σ(u, φ),
(1.41)
χ∇ ·D(u, φ)) = ∇ ·(χD(u,φ)) −(∇χ)∗· D(u, φ),
(1.42)
получаем
Ω
(∇v)∗: σ(u, φ) dΩ =
Ω
v∗· ρf dΩ +
Ω
∇ ·(v∗· σ(u, φ)) dΩ,
(1.43)
−
Ω
(∇χ)∗· D(u, φ) dΩ =
Ω
χσΩdΩ −
Ω
∇ ·(χD(u, φ)) dΩ.
(1.44)
Последние интегралы â (1.43), (1.44) åñòü интегралы ñ оператором
дивергенции è могут áûòü преобразованы ê поверхностным интегралам
ïî формуëå ÃàóссаОстроградскîãî
Ω
∇ ·(v∗· σ(u, φ)) dΩ =
Γ
v∗· (n · σ(u, φ)) dΓ,
(1.45)
Ω
∇ ·(χD(u, φ)) dΩ =
Γ
χ(n∗· D(u, φ)) dΓ.
(1.46)
Òеперь â интегралах ïî границеΓнужно попытàòüñÿ учесть краевые
óсловия.
Äëÿ ìåõанических граничных óсловий
Γ = Γu∪ Γσ, è íà
Γσïî (1.32)
задан вектор íàïðÿæåíèé
pΓ= n · σ(u, φ)
. Íà
Γuвеличина
n · σ(u, φ)
неизвестна, è единственной возможностью исключить зависимость îòu,
φ
являетсÿ требование, чтобыvобращалась â íóëü íà
Γu.
Èòàê, íà проекционную функцию
v(x)
íåîáõîäèìî íàëîæèòü îднороä-
íîå краевое óсловие, соответствующее (1.31):
v = 0; x ∈ Γu.
(1.47)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]