Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
3.2. Лабораторная работà 2. Плоскàÿ çàäà÷à î нагреве è îхлаждении термоупругого
òåëà
131
Òаблица 3.8.
Варианты заданий лабораторной работы 1 (ïðîäîëæåíèå)
13 Осесимметричная çàäà÷à.
a1= a3= 9 · 10−3ì,
a2= a4= 11 · 10−3ì,
H = 3 ·10−3ì,
V = 10
Â
14 Плоскàÿ деформация.
a1= a4= 11 · 10−3ì,
a2= a3= 9 · 10−3ì,
H = 2 ·10−3ì,
V = 5
Â
15 Плоскàÿ деформация.
a1= a3= 0.015
ì,
a2= 0.03
ì,
H = 0.004
ì,
V = 5
Â
3.2. Лабораторная работà 2. Плоскàÿ çàäà÷à î
нагреве è îхлаждении термоупругого òåëà
Öåëü работы
1. Изучить основные особенности решения íåñòационарных çàäà÷ òåð-
моупругости â ANSYS APDL íà примере плоскîé çàäà÷è î медлен-
íîì нагреве è îхлаждении òåëà â форме буквы ¾R¿ (ôàéë примера
FE_Mod_CP_2.inp, ñ. 136). Определить возможности решения çàäà÷ ñ
неполной связанностью ìåõанических è температурных полей è ñ ïðå-
небрежением динамических ñëàãаемых â уравнениях äâèæåíèÿ.
2. Ñîñòавить программу íà ÿçûêå APDL ANSYS äëÿ индивидуальной
íåñòационарной çàäà÷è äëÿ двумерного термоупругого òåëà â óсловиях
плоскîé деформации.
3. Провести расчеты, проанализировать ðåçóëüòàòû è оформить отчет.
132
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
3.2.1. Краткие сведения î решении â ANSYS íåñòационарных
çàäà÷ термоупругости äëÿ изотропных òåë
Ïîñòановкà íåñòационарных çàäà÷ термоупругости áûëà приведена
ранее â разделе 1.4. Â íåå âõîäèëè полевые уравнения (1.110), (1.111),
определяющие соотношения (1.112), (1.113), формуëû (1.114), (1.115),
граничные óсловия (1.120)(1.124) è íàчальные óсловия (1.125).
Отметим, ÷òî многие термоупругие материалы являютсÿ изотропными,
è èõ ìîäóëè èç (1.112), (1.113), (1.115) имеют следующую структуру
c
ijkl
= λδijδkl+ µ(δikδjl+ δilδjk),
(3.7)
γij= γδij, kij= kδij,
(3.8)
ãäåλ,µ êоэффициенты Ëàìå (
µ = G
называетсÿ åùå ìîäóëåì
ñäâèãà),γ êоэффициент температурных íàïðÿæåíèé,k êоэффициент
теплопроводности,
δij символ Кронекåðà.
Äëÿ изотропных материалов определяющие соотношения (1.112),
(1.113) â ïîêомпонентной записи ìîæíî записать â âèäå
σij= λεkkδij+ 2µεij− γθδij,
(3.9)
S = γεkk+
ρc
ε
T
0
θ,
(3.10)
ãäå
εkk= div u = ∇ ·u =
3
k
=1
εkk.
Òîãäà, используÿ (1.118), (1.119), (3.7), (3.8), систему дифференциаль-
íûõ уравнений линейной термоупругости относительно êомпонент ïåðå-
мещений
uiè температурыθäëÿ изотропных ñðåä ìîæíî представить â
форме:
ρu
i,tt
− (λu
k,k),i
− [µ(u
i,j
+ u
j,i)],j
+ (γθ),i= ρ fi, i = 1, 2, 3,
(3.11)
ρcεθ,t− (kθ,j),j+ T0γu
k,kt
= W.
(3.12)
 (3.11), (3.12) ïîдчеркнуты члены, êоторые âî многих случаях
ìîæíî îïóстить áåç существенной потери точности. Òàê, êàê отмечалось
â разделе 1.4, ïîдчеркнутый ÷ëåí â (3.12) â большинстве çàäà÷
термоупругости îêазываетсÿ малым è ìîæåò íå учитыватьсÿ (теория
температурных íàïðÿæåíèé). Â òàêîé ìîäåëè â (3.12) формально ìîæíî
ïîëîæèòü
T0= 0
, ÷òî ñâîäèò (3.12) ê классическîìó уравнению
íåñòационарной теплопроводности. Видно, ÷òî уравнение (3.12) ñ
T0= 0
вместе ñ граничными óсловиями (1.122)(1.124) è íàчальными óсловия
(1.125) äëÿ температуры äàåò несвязанную çàäà÷ó теплопроводности, èç
êоторой ïîëåθопределяетсÿ независимо îò ïîëÿ перемещенийu.
3.2. Лабораторная работà 2
133
Систему (3.11), (3.12) ìîæíî дополнительно упростить, åñëè îïóстить
ïîдчеркнутое ñëàãаемое â (3.11). Â ýòîì случае уравнение äâèæåíèÿ (3.11)
превращаетсÿ â более простое уравнение ñòатики (точнее, квазистатики).
Òàêîå упрощение ïîäõîäèò äëÿ многих íåñòационарных çàäà÷, êîãäà
внешние тепловые воздействия меняютсÿ ïî времени много медленнее ïî
сравнению ñ õарактерными временами распространения упругих âîëí.
Дадим íåêоторые êомментàðèè относительно материальных свойств
изотропных ñðåä. Êàê видно èç (3.11), (3.12), изотропные термоупругие
среды õарактеризуютсÿ шестью материальными ìîäóëÿìè: плотностьюρ;
параметрами Ëàìåλ,µ; êоэффициентом температурных íàïðÿæåíèéγ;
êоэффициентом теплопроводностиkè óдельной теплоемкостью
cε, вычис-
ленной ïðè постоянных деформациях. Однакî, вместо параметровλ,µ,
γ
è
cε÷àùå используютсÿ следующие величины: ìîäóëü ÞíãàE; êоэффи-
циент Ïóассонаν; êоэффициент температурных расширенийαè óäåëü-
íàÿ теплоемкîñòü
cσ, вычисленная ïðè постоянных íàïðÿæениях. Данные
ìîäóëè фигурируют â определяющих соотношениях, связывающих ïàðû
(
εij,S) è (
σij,θ):
εij= −
ν
E
σkkδij+
(1 + ν)
E
σij+ αθδij,
(3.13)
S = ασkk+
ρc
σ
T
0
θ.
(3.14)
Èç (3.9), (3.10), (3.13), (3.14) ìîæíî получить, ÷òî ýòè ìîäóëè
выражàþòñÿ äðóã через äðóãà ïî формуëàì:
E =
µ(3λ + 2µ)
λ + µ
, ν =
λ
2(λ + µ)
, α =
(1 −2ν)
E
γ, cσ= cε+
3T0αγ
ρ
.
(3.15)
 ANSYS APDL задание материальных свойствρ,E,ν,α,kè
cσìîæíî осуществить ïî êомандам
MP,Lab, MAT, C0
, ãäå
Lab
наименование ìîäóëÿ,
MAT
номер группы материальных свойств,C0
çíàчение ìîäóëÿ ñ наименованием
Lab
. Здесь
Lab=DENS
определяет
плотностьρ;
Lab=EX
ìîäóëü ÞíãàE;
Lab=NUXY
èëè
Lab
=
PRXY
êоэффициентÏóассона (äëÿ изотропных ñðåä
NUXY=PRXY
);
Lab=ALPX
êоэффициент температурных расширений;
Lab=KXX
êоэффициент теплопроводности;
Lab=C
óдельная теплоемкîñòü,
вычисленная ïðè постоянных íàïðÿæениях.
Âñå ýòè ìîäóëè могут òàêæå зависеть îò температуры ïî полиномиаль-
íîìó çàêîíó, åñëè использовать êоманду
MP,Lab, MAT, C0, C1, C2, C3,
C4
. Òîãäà величина ñ наименованием
Lab
áóäåò вычислятьсÿ ïî формуëå
134
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
C0 + C 1 θ + C2 θ2+ C3 θ3+ C4 θ4, è çàäà÷à ñòановитсÿ нелинейной ïîθ,
åñëè любая èç величин
C1, C2, C3, C4
áóäåò îòлична îò íóëÿ.
Äëÿ решения связанных çàäà÷ термоупругости â ANSYS предназна÷åíû
следующие êонечные элементы:
PLANE223
ñ KEYOPT(1)=11 двумер-
íûé четырехугольный элемент ñ 8 узлами;
SOLID226
ñ KEYOPT(1)=11
ãåêñàýäð ñ 20 узлами;
SOLID227
ñ KEYOPT(1)=11 тетраэäð ñ 10 óç-
ëàìè. Ýòè элементы позволяют решать íåñòационарные çàäà÷è, çàäà÷è îá
óñòановившихñÿ êолебаниях è ñòационарные çàäà÷è термоупругости.
¾Óñòаревшие¿ êонечные элементы
PLANE13
ñ KEYOPT(1)=4 (äâó-
мерный четырехугольный элемент ñ четырьмя узлами),
SOLID5
ñ
KEYOPT(1)=0 (ãåêñàýäð ñ восемью узлами) è
SOLID98
ñ KEYOPT(1)=0
(тетраэäð ñ äåñÿòüþ узлами) могут применятьсÿ äëÿ решения íåñòàöèî-
нарных è ñòационарных çàäà÷ температурных íàïðÿæåíèé. Ê уравнени-
ÿì теории температурных íàïðÿæåíèé ìîæíî прийти è ñ использованием
элементов
PLANE223,SOLID226èSOLID227
, åñëè задать
T0= 0
.
Последнее ìîæíî ñделать, применив êоманду APDL ANSYS
TOFFST, 0
.
Äëÿ ìîделирования çàäà÷ температурных íàïðÿæåíèé, êîãäà îïóñêà-
åòñÿ динамическîå ñëàãаемое â (3.11), íî â (3.12) ñ
T0= 0
используåòñÿ
íåñòационарное уравнение äëÿ температуры, ìîæíî задать малую ïëîò-
ность
˜ρ = κρ
, ãäå
κ << 1
, à
cpзаменить íà
˜cp= κ−1cp. Òîãäà уравнение
(3.12) áóäåò выполнятьсÿ, ïîñêольку
˜ρ˜cp= ρcp, è
cp= cεïðè
T0= 0
.
Имеютсÿ è другие ïîäõîäû ê решению â ANSYS çàäà÷ термоупругости ñ
различной связанностью, разработанные äî введения êонечных элементов
PLANE223,SOLID226
è
SOLID227
. Ñ этими ïîäõîäàìè ìîæíî
ознакомитьсÿ ïî фирменной документàöèè ANSYS â разделе
Coupled-
Field Analyses Guide
.
3.2.2. Описание ìîдельной çàäà÷è è ìåòîäîâ åå решения
Ïîñòановкà çàäà÷è
Ðассматриваетсÿ íåñòационарная çàäà÷à термоупругости äëÿ плоскîé
фигуры â форме латинскîé буквы ¾R¿. Ãеометрия области, отнесенной ê
äåêартовой системе êîîðдинат
Oxy
, ïîêазана íà ðèñ. 3.12,à. Ðазмеры òåëà
определяютсÿ следующими параметрами: высотà
HL = 0.14
(ì); ширина
W L = 0.08
(ì); ширина стенок
W W L = 0.02
(ì); дополнительный размер
ïî высоте
HAL = 0.07
(ì). Криволинейные части фигуры описываютсÿ
÷àñòÿìè эллипсов ñ параметром эллиптичности
P EL = (HAL/2)/(WL −
W W L)
, êоторый задает отношение размера эллипса ïî îñèyê размеру
эллипса ïî îñèx.
3.2. Лабораторная работà 2
135
à) á)
Ðèñ. 3.12.
Ãеометрия области: ñõåìà ñ размерами (à); нумерация точек è линий (á)
Примем, ÷òî материалом области являетсÿ ñòàëü (изотропный ìàòå-
ðèàë) ñ ìîäóëåì Þíãà
E = 2 · 1011(Í/ì2), êоэффициентом Ïóассона
ν = 0.29
, плотностью
ρ = 7800
(êã/ì3), êоэффициентом теплопроводности
k = KXX= 46.7
(Âò/(ì·Ê)), êоэффициентом температурного расшире-
íèÿ
α = 1.51 · 10−5(1/Ê) è óдельной теплоемкостью
cσ= 462
(Äæ/(êã
·
Ê)), вычисленной ïðè постоянных íàïðÿæениях.
Предполагàåòñÿ, ÷òî íà нижней грани температураθâñå время равна
0◦C. Â íàчальный ìомент времени
t = 0
òåëî íàõîäèòñÿ â состоÿíèè
ïîêîÿ. Далее ñ íàчального моментà äî времени
t = T ES1 = 10
(ñ)
íà âåðõíåé грани температура линейно возрастàåò îò íóëÿ äî 90◦C.
После этого íà âåðõíåé грани принимаютсÿ óсловия êонвективного
теплообмена ñ êоэффициентом теплообмена
hf= 60
(Âò/(ì2·
Ê)) è
температурой окружающей среды
θb= 0◦C. Âñå îñòальные границы äëÿ
âñåõ рассматриваемых времен принимаютсÿ теплоизолированными, ò.å.
òакими, íà êоторых нормальная êомпонентà вектора потокà тепла равна
íóëþ:
n · q = 0
. Нижняя граница òåëà âñå время ñ÷èòàåòñÿ æåñòêî
закрепленной.
 çàäà÷å требуåòñÿ определить ïîëÿ температур è перемещений â
интервале времени
t ∈ [0, T ES2],T ES2 = 120
ñ, построить графики
зависимости температурыθè перемещений
uyîò времени äëÿ äâóõ
êонтрольных точек
x1= [W W L, HL]èx2= [W W L, HL − HAL/2 −
136
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
(W L −2 ∗ W W L) ∗ PEL]
(ñì. ðèñ. 3.12,à, ãäå точки помечены цифрами
1 è 2).
Ñ целью исследования влияния связанности è динамических эффектов
нужно òàêæå сравнить ðåçóëüòàòû äëÿ òðåõ разновидностей çàäà÷:
1) íåñòационарной çàäà÷è термоупругости ñ полной связанностью;
2) íåñòационарной çàäà÷è термоупругости ñ частичной связанностью,
êîãäà çàäà÷à äëÿ ïîëÿ температуры íå зависит îò ìåõанических полей,
ò.å. совпадает ñ íåñòационарной ñ çàäà÷åé теплопровоäности;
3) çàäà÷è термоупругости ñ частичной связанностью, êîãäà çàäà÷à äëÿ ïî-
ëÿ температуры íå зависит îò ìåõанических полей, ò.å. совпадает ñ íåñòà-
ционарной ñ çàäà÷åé теплопроводности, à уравнения äëÿ перемещений ðàñ-
сматриваютсÿ â квазистатическîé ïîñòановкå.
Äëÿ решения çàäà÷è предлагàåòñÿ программа FE_Mod_CP_2.inp.
Листинг âõîдного файла FE_Mod_CP_2.inp
! Ôàéë FE_Mod_CP_2.inp
! Тестовая задача 2
! ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА
! ТЕРМОУПРУГОЕ ÒÅËÎ
! Нестационарная задача
! Инвертирование ôîíà ñ черного íà белый
/RGB,INDEX,100,100,100,0
/RGB,INDEX,0,0,0,15
/PREP7
! Âñå величины â системе Ñè
TES1=10 ! Значение времени äëÿ окончания первого øàãà
TES2=120 ! Значение времени äëÿ окончания второго øàãà
! Подшаги ïî времени äëÿ временных шагов
DT1=1 ! Значение äëÿ øàãà 1
DT2=2 ! Значение äëÿ øàãà 2
! Условия äëÿ "температурного" анализа
T_INP1=0 ! Температура íà нижней границе
T_INP2=90 ! Температура íà правой верхней границе (íà øàãå 1)
T_EXT=0 ! Температура окружающей среды äëÿ конвективных условий
H_F=60 ! Коэффициент конвективного теплообмена
! Разность температур îò íóëÿ äî абсолютного íóëÿ
TOFFST, 273
3.2. Лабораторная работà 2
137
! Ïðè TOFFST=0 тепловое уравнение åñòü уравнение теплопроводности
! TOFFST, 0
! Материальные свойства (сталь)
E1=2.1e11 ! Модуль Þíãà
NU1=0.29 ! Коэффициент Пуассона
RHO1=7.8e3 ! Плотность
K1=46.7 ! Коэффициент теплопроводности
C1=462 ! Удельная теплоемкость
ALPH1=1.51e-05 ! Коэффициент температурного расширения
MP,EX,1,E1
MP,DENS,1,RHO1
MP,NUXY,1,NU1
MP,KXX,1,K1
MP,C,1,C1
MP,ALPX,1,ALPH1
! Команды äëÿ анализа возможности íå учета
! динамических слагаемых â уравнениях движения
! KAPPA=1e-6
! MP,DENS,1,RHO1*KAPPA
! MP,C,1,C1/KAPPA
ET,1,PLANE223,11,,2 ! Четырехугольный ÊÝ ñ 8 узлами,
! Степени свободы UX, UY, TEMP, плоская деформация
! Геометрические размеры òåëà â форме буквы "R"
HL=0.14 ! Высота
WL=0.08 ! Ширина
WWL=0.02 ! Ширина стенок буквы "R"
HAL=0.07 ! Дополнительный размер ïî высоте
! Параметры äëÿ триангуляции DMESH=WWL/4
! Параметр эллиптичности äëÿ криволинейной части
PEL=(HAL/2)/(WL-WWL)
! Эллиптическая система координат ñ номером 11
LOCAL,11,1,WWL,HL-HAL/2,,,,,PEL
CSYS,0 ! Переход â основную декартову систему координат
! Создание геометрии фигуры
! Внешняя часть - область 1
K,1,0,0
K,2,WWL,0
K,3,WWL,HL-HAL-WWL
138
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
K,4,WL-WWL,0
K,5,WL,0
K,6,WWL,HL-HAL
K,7,WL,HL-HAL/2
K,8,WWL,HL
K,9,0,HL
L,1,2 $ L,2,3 $ L,3,4 $ L,4,5 $ L,5,6
CSYS,11
L,6,7 $ L,7,8
CSYS,0
L,8,9 $ L,9,1
AL,1,2,3,4,5,6,7,8,9
! Отверстие - область 2
K,10,WWL,HL-HAL/2-(WL-2*WWL)*PEL
K,11,WL-WWL,HL-HAL/2
K,12,WWL,HL-HAL/2+(WL-2*WWL)*PEL
CSYS,11
L,10,11 $ L,11,12
CSYS,0
L,12,10
AL,10,11,12
ASBA,1,2 ! Вырезать èç области 1 область 2
! Установка размера конечного элемента
ESIZE,DMESH
AMESH,ALL
! Условия жесткого закрепления
NSEL,S,LOC,Y,0 ! Выбор узлов внизу (ïî îñè Y)
D,ALL,UX,0
D,ALL,UY,0
NSEL,ALL ! Вернуться ê выбору âñåõ узлов модели
! Выбор узлов äëÿ мониторинга результатов
! Óçåë N1_MON - â верхней части фигуры
! Y=HL, X=WWL
NSEL,S,LOC,Y,HL,HL
NSEL,R,LOC,X,WWL
*GET,N1_MON,NODE,,NUM,MIN
! Óçåë N2_MON - íèæå ïî X=WWL
NSEL,S,LOC,Y,HL-HAL/2-(WL-2*WWL)*PEL
NSEL,R,LOC,X,WWL
*GET,N2_MON,NODE,,NUM,MIN
3.2. Лабораторная работà 2
139
NSEL,ALL
FINISH
! Решение связанной задачи термоупругости
/SOLU ANTYPE,TRANS ! Решение нестационарной задачи
KBC,0 ! Линейный ðîñò внешних воздействий
! Коэффициент затухания â схеме интегрирования ïî времени
!TINTP,0.005 ! TINTP=0.005 - ïî умолчанию
TIME,TES1 ! Время окончания øàãà 1
DELTIM,DT1 ! Подшаг ïî времени äëÿ øàãà 1
NSEL,S,LOC,Y,0 ! Выбор узлов внизу (ïî îñè Y)
! Задать äëÿ âñåõ выбранных узлов TEMP=T_INP1
D,ALL,TEMP,T_INP1
NSEL,S,LOC,Y,HL,HL ! Выбор узлов вверху (ïî îñè Y)
NSEL,R,LOC,X,0,WWL
! Задать äëÿ âñåõ выбранных узлов TEMP=T_INP2
D,ALL,TEMP,T_INP2
NSEL,ALL
! Запись â áàçó данных результатов NSOL äëÿ âñåõ подшагов
OUTRES,BASIC,ALL
SOLVE
! Øàã 2
TIME,TES2
DELTIM,DT2
KBC,1 ! Значения внешних воздействий постоянны
NSEL,S,LOC,Y,HL,HL ! Выбор узлов вверху (ïî îñè Y)
NSEL,R,LOC,X,0,WWL
DDEL,ALL,TEMP ! Удаление условий TEMP=T_INP2
SF,ALL,CONV,H_F,T_EXT ! Конвективный теплообмен â выбранных узлах
NSEL,ALL
SOLVE
SAVE
FINISH
! Âõîä â постпроцессор Time History Postprocessor
/POST26
/SHOW,WIN32C
140
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS
/TRIAD,OFF ! Íå показывать начала координат è îñåé
/PLOPTS,INFO,2 ! Использовать формат вывода Auto-legend äëÿ
подписей
/PLOPTS,LEG2,OFF
/PLOPTS,LOGO,OFF ! Логотип ANSYS íå показывать â графическом âèäå
/PLOPTS,FRAME,OFF ! Íå показывать рамку
/PLOPTS,DATE,OFF ! Íå показывать äàòó
/COLOR,CURVE,WHIT,1,6 ! Öâåò графиков - белый (черный ïðè инвертации)
/COLOR,GRID,WHIT ! Öâåò сетки - белый (черный ïðè инвертации)
/GMARKER,1,2,3 ! Äëÿ кривой 1 метка 2 - квадратики, íà каждом
3-åì значении
/GMARKER,2,4,3 ! Äëÿ кривой 2 метка 4 - крестики, íà каждом 3-ì
значении
/GRID,1 ! Сетка ïî X è Y (полная сетка)
/XRANG,0,TES2
/AXLAB,Y,Temperature (degree) ! Подпись ê îñè Y
/AXLAB,X,Time (sec) ! Подпись ê îñè Y
NSOL,2,N1_MON,TEMP,,TEMP1 ! Переменная 2 - температура â óçëå
N1_MON
NSOL,3,N2_MON,TEMP,,TEMP2
NSOL,4,N1_MON,U,Y,UY1 ! Переменная 4 - перемещение UY â óçëå
N1_MON
NSOL,5,N2_MON,U,Y,UY2
PLVAR,2,3 ! Построение графиков переменных 2, 3 îò времени
(переменной 1)
! Снять комментарии äëÿ вывода UY â контрольных узлах
! /AXLAB,Y,UY (m)
! PLVAR,4,5
 данной программе решаетсÿ связанная линейная çàäà÷à термоупруго-
ñòè â ðàìêàõ предполоæåíèÿ î плоскîé деформации, êîãäà
u = {ux(x, y,t)
,
uy(x, y,t), 0},θ = θ(x, y, t)
.
Êàê è â примере èç первой лабораторной работы, здесь âíà÷àëå
строитсÿ òâåðдотельная ìîäåëü, à затем, èç íåå íà основе íåå êîнечно-
элементная. Òâåðдотельная ìîäåëü получаетсÿ ìåòîäîì построения
геометрических объектов ¾снизу ââåðõ¿. Äëÿ этого ñíà÷àëà задаютсÿ
опорные точки, потом линии (ñì. ðèñ. 3.12,á), à затем двумерные
области.
Äëÿ построения плоскîé ìîäåëè ñòðîÿòñÿ äâå îдносвязные области:
первая область, ограниченная внешними линиями буквы ¾R¿, è вторая
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]