Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
1.4. Ìîделирование çàäà÷ термоупругости
51
γ(v,θ) =
Ω
(∇v)∗: γθ dΩ =
Ω
ε(v) : γ θ dΩ,
(1.141)
s(η, θ) =
Ω
ρcεηθ dΩ,
(1.142)
k(η,θ) =
Ω
(∇η)∗· k · ∇θ dΩ +
Γ
c
hfηθ dΓ,
(1.143)
˜
Lu(v) =
Ω
v∗· ρf dΩ +
Γ
σ
v∗· pΓdΓ,
(1.144)
˜
Lθ(η) =
Ω
ηW dΩ +
Γ
q
ηqΓdΓ +
Γ
c
ηhfθbdΓ.
(1.145)
Îñòàåòñÿ снять íåîднородность â ãлавных граничных óсловиях (1.120),
(1.122). Äëÿ этого решение {u,θ} áóäåì èñêàòü â âèäå
u = u0+ un, θ = θ0+ θn,
(1.146)
ãäå
un= un(x, t),θn= θn(x, t)
специально ïîдобранные функции,
óдовлетворяющие íåîднороäíûì ãлавным граничным óсловиям
un= uΓ; x ∈ Γu,
(1.147)
θn= θΓ; x ∈ Γθ,
(1.148)
à, следовательно, функции
u0= u0(x, t),θ0= θ0(x, t)
óдовлетворÿþò
îднороäíûì ãлавным граничным óсловиям
u0= 0; x ∈ Γu,
(1.149)
θ0= 0; x ∈ Γθ.
(1.150)
Ïîäñòавляя (1.146) â (1.137), (1.138), получаем îêончательную систему,
записанную относительно неизвестных функций
u0è
θ0:
ρ(v
,
¨
u0) + c(v,u0) −γ(v, θ0) = Lu(v),
(1.151)
T0γ(˙u0, χ) + s(η,˙θ0) + k(η, θ0) = Lθ(η),
(1.152)
ãäå
Lu(v) =˜Lu(v) −ρ(v,¨un) −c(v,un) + γ(v, θn),
(1.153)
Lθ(η) =˜Lθ(η) − T0γ(˙un, χ) − s(η,˙θn) −k(η, θn).
(1.154)
Ê системе (1.137), (1.138) èëè ê (1.151), (1.152) добавим åùå íàчальные
óсловия (1.125) â слабой форме
(v, u (x, +0)) = (v, us), (v,˙u (x, +0)) = (v, vs),
(η, θ(x, +0)) = (η, θs),
(1.155)
52
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
èëè
(v, u0(x, +0)) = (v, usn), (v,˙u0(x, +0)) = (v, vsn),
(η, θ0(x, +0)) = (η, θsn),
(1.156)
ãäå
usn(x) = us(x) −un(x, +0)
, è ò.ä.
Сравнение (1.151), (1.152) ñ аналогичной системой (1.83), (1.84) çàäà÷è
электроупругости ïîêазывает, ÷òî äëÿvè
u0ìîæíî выбрать òå æå
функциональные пространства, ÷òî è â разделе 1.3:
v ∈ H
1
u
,
u0∈ Qu=
L2(0, T ; H
1
u
)
.
Äëÿηè
θ0введем пространства, аналогичные
H
1
u
,
Qu, íî â ñêалярном
варианте.
Именно, íà ìíîæестве функций
η ∈ C1, óдовлетворяющих (1.134),
введем ñêалярное произведение
(η, θ)
H
1
θ
=
Ω
(∇η)∗· ∇θ dΩ.
(1.157)
Замыкàíèå данного ìíîæества â норме, ïîðîжденной ñêалярным ïðî-
изведением (1.157), назовем пространством
H
1
θ
, è определим пространство
Qθ= L2(0, T ; H
1
θ
)
.
Òеперь ìîæíî äàòü строгое определение обобщенного решения íåñòàöè-
онарной çàäà÷è термоупругости.
Определение.Обобщенным èëè ñлабым решениеì нестационарной
задачи òåðмоупругости называется ïàðà функций{u,θ};u = u0+ un;
θ = θ0+ θn,
таких, ÷òî
un,
θnудовлетворяют ãðаничным óñловиям
(1.147), (1.148),
u0∈ Qu,
θ0∈ Qθ;
u0,
θ0удовлетворяют начальным
óñловиям
(1.156),
è âûïîлняется систеìà äèôференциальных óðавнений
(1.151), (1.152)
∀t ∈ (0, T),∀v ∈ H
1
u
;
η ∈ H
1
θ
.
 ñòационарном случае система (1.151), (1.152) принимает âèä
c(v, u0) −γ(v, θ0) = Lu(v),
(1.158)
k(η,θ0) = Lθ(η),
(1.159)
è ìîæíî äàòü соответствующее определение обобщенного решения
ñòационарной çàäà÷è.
Определение.Обобщенным èëè ñлабым решениеì стационарной
задачи òåðмоупругости называется ïàðà функций{u,θ};u = u0+ un;
θ = θ0+ θn,
таких, ÷òî
un,
θnудовлетворяют ãðаничным óñловиям
(1.147), (1.148),
u0∈ H
1
u
,
θ0∈ H
1
θ
;
è âûïîлняется систеìà óðавнений
(1.158), (1.159)
∀v ∈ H
1
u
;
η ∈ H
1
θ
.
1.4. Ìîделирование çàäà÷ термоупругости
53
Относительно взаимосвязи обобщенного è классическîãî решений
è важности обобщенного решения здесь справедливы аналогичные
рассуждения èç раздела 1.3.
1.4.3. Ïîëóдискретные аппроксимации â çàäà÷àõ термоупруго-
ñòè
Аналогично разделу 1.3.3, зададимсÿ ïîëóдискретными аппроксимаци-
ÿìè
uh0≈ u0,
θh0≈ θ0â форме
uh0= N
∗
u
(x) ·U(t), θh0= N
∗
θ
(x) ·T(t),
(1.160)
ãäå
U(t),T(t)
векторы êîíñòàíò (зависÿùèõ îò времени) аппрокñèìà-
öèé,
N
∗
u
(x)
матрица базисных функций äëÿ
uh0, определенная â (1.91),
N
∗
θ
(x)
вектор-строкà базисных функций äëÿ
θh0, аналогичной (1.92)
структуры.
Проекционные функции
v(x)èη(x)
èç ýòèõ æå êонечномерных
пространств предстàâèì â âèäå
v = N
∗
u
(x) ·δU, η = N
∗
θ
(x) ·δT.
(1.161)
Ïîäñòановкà (1.160), (1.161) â (1.151), (1.152) ñ учетом (1.139)(1.145),
(1.153), (1.154) äàåò:
δU∗· (Muu·¨U + Kuu· U − Kuθ· T) = δU∗· Fu,
(1.162)
δT∗· (T0K
∗
uθ
·˙U + Cθθ·˙T + Kθθ· T) = δT∗· Fθ.
(1.163)
Здесь матрицы
Muuè
Kuuопределены ïî (1.96) ранее â разделе 1.3.3,
Kuθ=
Ω
B
∗
u
: γN
∗
θ
dΩ, Cθθ=
Ω
ρcεNθN
∗
θ
dΩ,
Kθθ=
Ω
B
∗
θ
· k · BθdΩ +
Γ
c
hfNθN
∗
θ
dΓ, Bθ= ∇N
∗
θ
,
(1.164)
Fu=˜Fu−
Ω
ρNu·¨undΩ −
Ω
B
∗
u
: c : ∇undΩ +
Ω
B
∗
u
: γ θndΩ,
Fθ=˜Fθ− T
0
Ω
(∇˙un)∗: γ NθdΩ −
Ω
ρcεN
θ
˙
θndΩ−
−
Ω
B
∗
θ
· k · ∇θndΩ −
Γ
c
hfNθθndΓ,
˜
Fθ=
Ω
NθW dΩ +
Γ
q
NθqΓdΓ +
Γ
c
NθhfθbdΓ,
54
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
a вектор˜Fuòàêæå áûë определен â (1.96) â разделе 1.3.3.
Ñ учетом произвольности
δU,δT
, èç (1.162), (1.163) получаем
систему дискретизованных ïî пространственным переменным уравнений
íåñòационарной термоупругости:
Muu·¨U + Kuu· U − Kuθ· T = Fu,
(1.165)
T0K
∗
uθ
·˙U + Cθθ·˙T + Kθθ· T = Fθ,
(1.166)
ê êоторой íàäî åùå добавить íàчальные óсловия
U(0) = Usn,˙U(0) = Vsn, θ(0) = θsn,
(1.167)
следующие èç íàчальных óсловий (1.156) è аппроксимаций (1.160), (1.161).
Отметим, ÷òî äëÿ системы (1.165), (1.166) матрицы
Muuè
C
θθ
ïîëîжительно определены (
Muu> 0,Cθθ> 0
), à матрицы
Kuuè
K
θθ
ïî крайней ìåðå неотрицательно определены (ñì. çàäà÷è 1.20, 1.21, 1.23,
1.301.32).
Äëÿ ñòатических (ñòационарных) çàäà÷ система (1.165), (1.166)
ñòановитсÿ ëèøü векторно-связанной:
Kuu· U = Fu+ Kuθ· T,
(1.168)
Kθθ· T = Fθ.
(1.169)
Здесь имеем несвязанную çàäà÷ó (1.169) äëÿ íàõîждения вектораT,
à çàäà÷à (1.168) имеет òàêîé æå âèä, êàê äëÿ чисто упругой среды, íî ñ
добавлением вектора правых частей
Kuθ· T
.
Íàêîíåö, äëÿ çàäà÷è î температурных íàïðÿæениях ñ учетом
демпфирования систему ÌÊÝ òàêæå ìîæíî записать â âèäå векторно-
связанной системы
Muu·¨U + Cuu·˙U + Kuu· U = Fu+ Kuθ· T,
(1.170)
Cθθ·˙T + Kθθ· T = Fθ,
(1.171)
ãäå матрица демпфирования
Cuuòà æå, ÷òî è â (1.96).
1.5. Çàäà÷è пороупругости. Поротермоупругàÿ анало-
ãèÿ
 данном разделе рассматриваютсÿ вопросы ìîделирования çàäà÷ ãåî-
ìåõаники деформируåìûõ пористых ïîðîä ñ учетом ôèëüтрации. Äàí-
íûå çàäà÷è описываютсÿ системами связанных уравнений пороупругости.
1.5. Çàäà÷è пороупругости. Поротермоупругàÿ аналогия
55
Сравнение уравнений пороупругости è термоупругости ïîêазывает, ÷òî
между этими системами уравнений имеетсÿ äîñòаточно полная аналогия.
Поэтому, используÿ аналогию между çàäà÷àìè пороупругости è термо-
упругости, ìîæíî ìîделировать ñëîæíûå связанные деформационные è
ôèëüтрационные процессы â геомеханических средах â ðàìêàõ çàäà÷ òåð-
моупругости, описанных â предыдущем разделе.
Пороупругие среды áóäåì ñ÷èòàòü гетерогенными ñ упругой матрицей
è порами, заполняемыми æèäêостью. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî пористость
ìàëà è распространение æèäêîñòè â массиве ïîдчиняетсÿ çàêîíàì
ôèëüтрации. Òензор íàïðÿæåíèéσè пористостьϕвыражàþòñÿ через
тензор деформацийεè функцию порового давленияpïî определяющим
уравнениям пороупругости [27]
σ − σ0= c : ε −b (p −p0)
(1.172)
ϕ −ϕ0= b : ε +
1
N
(p −p0),
(1.173)
ãäåc тензор упругих æåñòêостей четвертого ðàíãà,b тензор Áèî
второго ðàíãà,
N−1 обратный ìîäóëü Áèî, связывающий изменение
пористости ñ изменением давления ïðè постоянной деформации,
σ0,
ϕ0,
p0 íàчальные íàïðÿæåíèÿ, пористость è поровое давление,
соответственно.
Деформация пороупругого массива описываетсÿ уравнениями äâèæå-
íèÿ (1.23)
∇ ·σ + ρ f = ρ¨u.
(1.174)
Äëÿ описания процесса ôèëüтрации áóäåì использовать çàêîí Дарси â
квазистатическîì приближåíèè
v = −
K
ρfg
· (∇p − ρfg),
(1.175)
ãäåv ñêорость ôèëüтрации,K тензор êоэффициентов ôèëüтрации
второго ðàíãà,
ρf плотность æèäêîñòè,g вектор óñêорения свободного
падения,g=|g|.
Äëÿ получения уравнения äëÿ пористости используåì уравнение
неразрывности â âèäå
∂(ρfϕ)
∂t
+ ∇· (ρfv) = 0
(1.176)
è уравнение состоÿíèÿ æèäêîñòè
dρ
f
ρ
f
=
dp
K
f
,
(1.177)
56
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
ãäå
Kf ìîäóëü объемного ñæàòèÿ äëÿ æèäêîñòè.
Ïîäñòавляя (1.175), (1.177), (1.173) â уравнения неразрывности (1.176),
è ñ÷èòàÿ малым изменения ñжимаемости è пористости, получаем
b :˙ε +
1
M
˙p −∇ · (
K
ρf0g
· ∇p) = 0,
(1.178)
ãäå
ρf0 íàчальная плотность æèäêîñòè,
1/M = 1/N + ϕ/Kf.
Äëÿ насыщенной пористой среды тензор Áèî ìîæíî принять единич-
íûì (
b = I
), è òîãäà (1.174) ñ учетом (1.172) è (1.178) äàþò следующую
систему уравнений пороупругой среды
ρ¨u −∇ · (c : ε − p I) = ρf ,
(1.179)
I :˙ε +
1
M
˙p −∇ · (
K
ρf0g
· ∇p) = 0,
(1.180)
ãäåI единичный тензор, è, следовательно,
I :˙ε = ∇ ·˙u = ˙εii.
Система (1.179), (1.180) представляет собой связанную систему
дифференциальных уравнений ñ различным ïîðÿäêîì произвоäíûõ
ïî времени è ñ сильно îòличающимисÿ ïî величине çíàчениями
материальных параметров è физических ìîäóëåé. Ïðè ìîделировании
явлений гидрорасчленения ïîðîä è èõ разрушения ìîäóëè ôèëüтрации
принимаютсÿ зависящими îò поровогодавления, à ìîäóëè упругостимогут
зависеть îò деформаций, ÷òî делает систему (1.179), (1.180) нелинейной.
Äëÿ ïîñòановок çàäà÷ пороупругости ê (1.179), (1.180) следуåò добавить
åùå краевые è íàчальные óсловия, ÷òî привоäèò â итоге ê связанным
íåñòационарным линейным èëè нелинейным íàчально-краевым çàäà÷àì
геомеханики пороупругих ñðåä.
Äëÿ решения çàäà÷ пороупругости ìîæíî воспользоватьсÿ аналогией
между уравнениями è краевыми óсловиями äëÿ пороупругих è термоупру-
ãèõ ñðåä.
Êàê áûëî ïîêазано â разделе 1.4, дифференциальные уравнения
термоупругих ñðåä имеют âèä:
ρ¨u −∇ · (c : ∇u − γθ) = ρ f ,
(1.181)
T0γ : ∇˙u + ρc
ε
˙
θ − ∇· (k ·∇θ) = W.
(1.182)
Сравнение (1.179), (1.180) ñ (1.181), (1.182) ïîêазывает, ÷òî уравнения
связанной пороупругости после óìíîæåíèÿ (1.180) íà
T0перехîäÿò â
уравнения связанной термоупругости ñ
W = 0
ïðè заменах
p ↔ θ, I ↔ γ,
T
0
ρM
↔ cε,
T0K
ρf0g
↔ k,
(1.183)
1.5. Çàäà÷è пороупругости. Поротермоупругàÿ аналогия
57
причем â уравнениях пороупругости нужно ïîëîæèòü
T0= 1
.
Òàêèì образом, äëÿ решения связанных íàчально-краевых çàäà÷
пороупругости ìîæíî решать соответствующие íàчально-краевые çàäà÷è
термоупругости è использовать программные средства, разработанные
äëÿ решения çàäà÷ термоупругости.
Äëÿ расчетов çàäà÷ пороупругости следуåò òàêæå принять âî внимание,
÷òî â çàäà÷àõ геомеханики çíàчения ìîäóëåé упругости, êоэффициентов
ôèëüтрации è пористости имеют существенно различные ïîðÿäêè è
îòличаютсÿ îò соответствующих величин çàäà÷ термоупругости (кроме
ìîäóëåé упругости). Â связи ñ ýòèì äëÿ обеспечения óстойчивости
ñõîдимости численных ìåòîäîâ решения полезно перейти ê безразмерным
параметрам è обозначениям.
Выберем â êàчестве параметра обезразмеривания ïî пространственным
êîîðдинатàì õарактерную длину областиR, â êàчестве параметра
обезразмеривания ïî времени õарактерное время геомеханическîãî
процесса
t∗, à êàчестве параметра обезразмеривания ïî давлению è
íàïðÿæениям õарактерное давление
p∗. Безразмерные величины áóäåì
помечать çíà÷êîì ¾тильда¿ ñâåðõó:
˜
x = x/R,˜u = u/R,˜∇ = R∇,˜t = t/t∗,
(1.184)
˜
c = c/p∗,˜σ = σ/p∗, ˜p = p/p∗.
(1.185)
 ýòèõ обозначениях уравнения пороупругости (1.179), (1.180) ìîæíî
переписать â âèäå
˜ρ
∂
2
˜
u
∂˜t
2
−˜∇ ·(˜c : ε − ˜p I) = ˜ρ˜f,
(1.186)
T0I :
∂ε
∂˜t
+ ˜ρ˜c
p
∂ ˜p
∂˜t
−˜∇ ·(˜K ·˜∇˜p) = 0,
(1.187)
ãäå
˜ρ =
R
2
p2t
2
∗
ρ,˜f =
t
2
∗
R
f, ˜cp=
T0p
∗
M ˜ρ
,˜K =
T0p∗t
∗
R2ρf0g
K.
(1.188)
Отметим, ÷òî уравнения пороупругости â безразмерном âèäå перехîäÿò
â безразмерные уравнения термоупругости ïðè замене
˜p ↔˜θ, I ↔˜γ, ˜cp↔ ˜cε,˜K ↔˜k,
(1.189)
ïðè соответствующих обозначениях äëÿ безразмерных температурных
величин, причем â уравнениях термоупругости ìîæíî ïîëîæèòü
T0= 1
.
Êàê ïîêазывают тестовые расчеты, перехîä ê безразмерным уравнени-
ÿì è величинам (1.184)(1.189) позволяет существенно повысить óстойчи-
вость è точность численных вычислений, ïîñêольку êоэффициенты систе-
ìû îêазываютсÿ выровненными ïî ïîðÿäêàì.
58
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
1.6. Ìîделирование взаимодействия òâåðäûõ дефор-
ìèðóåìûõ òåë ñ àêóстическими средами
 классическîé линейной àêóñòèêå изучаетсÿ распространение çâóêî-
âûõ âîëí малой амплитуäû â æèäêîñòÿõ èëè ãàçàõ. Àêóстические èëè çâó-
êîâûå волны îáóсловлены упругими возмущениями, возникающими ïðè
деформировании òâåðдотельной структуры, êîíòактирующей ñ àêóстиче-
ñêîé средой.  связи ñ ýòèì àêòóальными являютсÿ çàäà÷è î взаимоäåé-
ствии упругих, пьезоэлектрических èëè более ñëîæíûõ òâåðäûõ деформи-
ðóåìûõ òåë ñ àêóстическими средами.  òàêèõ çàäà÷àõ имеютсÿ äâå ãðà-
ничащие области
Ωsè
Ωa:
Ωs область, занимаемая òâåðдотельной струк-
турой,
Ωa область, занимаемая àêóстическîé средой. Â êаждой èç îáëà-
ñòåé поведение ñðåä ìîделируåòñÿ соответствующими уравнениями, çàïè-
санными относительно различных полевых функций. Òàê, ïðè ïîñòановкå
çàäà÷è теории упругости относительно функции перемещений неизвестной
функцией являетсÿ вектор перемещений
u(x, t),x ∈ Ωs. Äëÿ пьезоэлек-
трическîé среды неизвестными ïðè ñòандартных ïîñòановкàõ выбираютсÿ
функции перемещений
u(x, t)
è электрическîãî потенциала
φ(x, t)
. Между
òåì, äëÿ àêóстическîé среды
Ωaосновной неизвестной являетсÿ функции
избыточного давления
p(x, t)
èëè функция потенциала àêóстическîé ñêî-
рости
ψ(x, t)
. Поэтому íà границе êîíòàêòà äâóõ ñðåä
Γsa= Ωs∩Ωaтребу-
åòñÿ использовать òàêèå óсловия ñîïðÿæåíèÿ полей, êоторые ìîæíî áûëî
áû эффективно включать â различные математические ìîäåëè упругих,
пьезоэлектрических è àêóстических ñðåä.
Ìîделирование связанных çàäà÷ взаимодействия упругих, пьезоэлек-
трических èëè других òâåðäûõ деформируåìûõ òåë ñ àêóстическими ñðå-
äàìè имеет íåêоторые ñëîжности è ñîñòавляет предмет рассмотрения íà-
ñòîящего раздела.
1.6.1. Классические ïîñòановки çàäà÷ àêóстики
Приведем âíà÷àëå краткий âûâîä основных уравнений классическîé
линейной àêóстики [29].
Плотность àêóстическîé среды (æèäêîñòè èëè ãàçà) обозна÷èì через
˜ρ = ˜ρ(x, t)
, давление через
˜p = ˜p(x, t)
, êолебательную (àêóстическую)
ñêорость через
v = v(x,t)
.
Êàê è äëÿ любой æèäêîñòè, имеем уравнение неразрывности,
выражающее çàêîí ñîхранения массы:
∂ ˜ρ
∂t
+ ∇· (v ˜ρ) = 0.
(1.190)
1.6. Ìîделирование взаимодействия òâåðäûõ òåë ñ àêóстическими средами
59
Ñ÷èòàÿ æèäêîñòü идеальной, âÿçêостью è теплопроводностью êоторой
пренебрегàåì, имеем уравнение äâèæåíèÿ Эйлера:
˜ρ (
∂v
∂t
+ (v ·∇)v) = −∇˜p.
(1.191)
Äëÿ àêóстическîé среды исследуютсÿ возмущенные èëè избыточные
давление
p(x, t)
è плотность
ρ(x, t)
относительно èñõîäíûõ равновесных
состоÿíèé
p0è
ρ0:
˜p = p0+ p, ˜ρ = ρ0+ ρ,
(1.192)
причем величины
p/p0è
ρ/ρ0принимаютсÿ малыми.
Àêóстическàÿ æèäêîñòü ñ÷èòàåòñÿ ñжимаемой ñ çàêîíîì состоÿíèÿ
(адиабатой Ïóассона)
˜p = p
0
˜ρ
ρ
0
γ
.
(1.193)
Ïîäñòавляя â (1.193) формуëû (1.192) è учитывая малость
p/p0è
ρ/ρ0,
получаем:
p + p0= p
0
1 +
ρ
ρ
0
γ
≈ p0+
p0γ
ρ
0
ρ.
(1.194)
Величинаp0γ/ρ0являетсÿ основной постоянной среды è называетсÿ
адиабатическîé ñêоростью çâóêà
c0:
c
2
0
=
p0γ
ρ
0
.
(1.195)
Поэтому èç (1.194), (1.195) имеем линейную связь между избыточными
давлением è плотностью:
p = c
2
0
ρ.
(1.196)
Ñ÷èòàÿ безразмерную ñêорость
v/c0малой величиной, линеаризуåì
уравнения (1.190), (1.191) ñ учетом (1.192):
˙ρ + ρ0∇ ·v = 0,
(1.197)
ρ
0
˙
v = −∇p.
(1.198)
Дифференцируÿ (1.197) ïî времени è учитывая (1.198) è (1.196),
получаем волновое уравнение äëÿ функции избыточного давления:
1
c
2
0
¨p − ∆p = 0.
(1.199)
Ýòî уравнение являетсÿ основным, åñëè çà независимую полевую ôóíê-
öèþ принимать функцию избыточного давления
p(x, t)
. Àëüтернативным
60
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
ïîäõîäîì являетсÿ перехîä ê уравнению относительно потенциала àêóñòè-
÷åñêîé ñêорости.
Óìíîæèì векторно îáå части уравнения (1.198) íà∇, è ñ учетом
òîждества
∇ × ∇p = 0
, получим:
rot v = 0
. Òàêèì образом, ïîëå
àêóстическîé ñêорости безвихревое, è ìîæíî ввести функцию потенциала
ñêорости
ψ = ψ(x, t)
:
v = ∇ψ.
(1.200)
Òîãäà èç (1.198) получаем соотношение, связывающее функцииpèψ:
p = −ρ
0
˙
ψ.
(1.201)
Формуëû (1.201), (1.199) ïîêазывают, ÷òî è потенциал ñêоростей
ψ
óдовлетворÿåò волновому уравнению
1
c
2
0
¨
ψ − ∆ψ = 0.
(1.202)
Äëÿ дифференциальных уравнений (1.199) èëè (1.202) нужно сформу-
лировать соответствующие краевые óсловия.
Предполоæèì, ÷òî граница
Γa= ∂Ωaàêóстическîé среды разбитà
íà четыре основные части:
Γaf свобоäíàÿ граница;
Γar æåñòêàÿ
стенкà;
Γai импедансная граница;
Γas граница êîíòàêòà ñ òâåðäûì
деформируåìûì телом.
Íà свобоäíîé границе избыточное давлениеpдолжно обращатьсÿ â
íóëü, à òîãäà ïî (1.201) è потенциал ñêоростей äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ:
p = 0, ψ = 0; x ∈ Γaf.
(1.203)
Íà æåñòêîé стенкå равна íóëþ нормальная êомпонентà вектора
àêóстическîé ñêорости:
na·v = 0,x ∈ Γar, ãäå
na внешняя ïî отношению
ê
Ωaединичная нормаль ê
Γar. Òîãäà ïî (1.200) произвоäíàÿ ïî нормали
îò функции потенциала ñêоростей равна íóëþ íà
Γar, è, следовательно,
òàêîå æå óсловие справедливо è äëÿ функции избыточного давления:
∂ψ/∂n = n · ∇ψ = 0, ∂p/∂n = n · ∇p = 0; x ∈ Γar.
(1.204)
Äëÿ ограничения сильно ïðîòÿæенных областей нужно ââîäèòü
неотражающие èëè ïîãлощающие границы. Íà òàêèõ границах задаетсÿ
импедансное граничное óсловие:
p = Zvn;
x ∈ Γai, ãäåZ импеданс
границы
Γai. Ñ использованием (1.201) ýòî óсловие ìîæíî записать êàê
óсловие äëÿ функцииψèëè äëÿ функцииp:
n ·∇ψ = −ρ0Z
−1
˙
ψ, n · ∇p = −ρ0Z−1˙p; x ∈ Γai.
(1.205)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]