Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
91
Базисные функции имеют âèä:
N5(ξ, η) = (1 − ξ2)(1 −η)/2, N6(ξ, η) = (1 − η2)(1 + ξ)/2,
N7(ξ, η) = (1 − ξ2)(1 + η)/2, N8(ξ, η) = (1 − η2)(1 −ξ)/2,
N1(ξ, η) = (1 − ξ)(1 − η)/4 −(1/2)N5(ξ, η) −(1/2)N8(ξ, η),
N2(ξ, η) = (1 + ξ)(1 − η)/4 −(1/2)N5(ξ, η) −(1/2)N6(ξ, η),
N3(ξ, η) = (1 + ξ)(1 + η)/4 −(1/2)N6(ξ, η) −(1/2)N7(ξ, η),
N4(ξ, η) = (1 − ξ)(1 + η)/4 −(1/2)N7(ξ, η) −(1/2)N8(ξ, η).
(2.58)
Èëè â единой форме
Ns(ξ, η) =
1
4
(3ξ
2
s
η
2
s
− 2)[ξ
2
s
η
2
s
(1 + ξsξ)(1 + ηsη)−
−η
2
s
(1 −ξ2)(1 + ηsη) − ξ
2
s
(1 −η2)(1 + ξsξ)],
(2.59)
ãäå
s = 1, 2,..., 8
, è óçëû
ξs= {ξs, ηs}
áûëè определены ранее.
Элемент обеспечивает квадратичное поведение ïîëÿ
ahïîξè
η
íà êаноническîì квадрате. Â èñõîäíîì четырехугольникå ïîëå
ah(x)
ведет ñåáÿ ñëîæíûì образом. Íî íà êаждой стороне изменение ïîëÿ
a
h
òàêîå æå, êàê è äëÿ треугольного элементà ñ шестью узлами. Поэтому
четырехугольный элемент ñ восемью узлами ñîãëàñóåòñÿ ïî общей стороне
ñ общими узлами ñ ñåáå ïîдобным è ñ треугольным шестиузловым
элементом.
Многие
трехмерные конечные ýëåменты
могут áûòü построены ïî
аналогии ñ двумерными. Ïî ýòîé причине â ýòèõ случаях приведем
толькî основные формуëû элементов. Описание íà÷íåì ñ элементов áåç
промежуточных ¾серединных¿ узлов.
Òетраэäð ñ четырьмя узлами
(Ðèñ. 2.10, слева)
Óçëû (вершины) â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s =
1, 2, 3,4
.
Óçëû (вершины) êаноническîãî тетраэäðà
Ω
em
ξ
â пространстве
ξηζ
:
ξ1= {0, 0, 0},ξ2= {1, 0, 0},ξ3= {0, 1, 0},ξ4= {0, 0, 1}
.
Òетраэдральные êîîðдинаты äëÿ êаноническîãî тетраэäðà:
L1= 1 −ξ −η −ζ, L2= ξ, L3= η, L4= ζ.
(2.60)
Базисные функции (
Ls тетраэдральные êîîðдинаты):
Ns(ξ, η) = Ls(ξ, η), s = 1, 2, 3, 4.
(2.61)
92
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
Ðèñ. 2.10.
Òетраэäð è ãåêñàýäð áåç ¾серединных¿ узлов:
тетраэäð ñ четырьмя узлами (слева); ãåêñàýäð ñ восемью узлами (справа)
Ãåêñàýäð (¾кирпичик¿) ñ восемью узлами
(Ðèñ. 2.10, справа)
Óçëû (вершины) â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s =
1, 2, ...,8
.
Óçëû (вершины) êаноническîãî ãåêñàýäðà
Ω
em
ξ
â пространстве
ξηζ
:
ξ1= {−1, −1, −1}, ξ2= {1, −1, −1},
ξ3= {1, 1, −1}, ξ4= {−1, 1, −1},
ξ5= {−1, −1, 1}, ξ6= {1, −1, 1},
ξ7= {1, 1, 1}, ξ8= {−1, 1, 1}.
(2.62)
Базисные функции:
Ns(ξ, η, ζ) =
1
8
(1 + ξsξ)(1 + ηsη)(1 + ζsζ), s = 1, 2, ..., 8.
(2.63)
Ïðÿìàÿ треугольная призма ñ шестью узлами
(Ðèñ. 2.11, слева)
Óçëû (вершины) â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s =
1, 2, ...,6
.
Óçëû (вершины) êаноническîé призмы
Ω
em
ξ
â пространстве
ξηζ
:
ξ1= {0, 0, −1}, ξ2= {1, 0, −1}, ξ3= {0, 1, −1},
ξ4= {0, 0, 1}, ξ5= {1, 0, 1}, ξ6= {0, 1, 1}.
(2.64)
Базисные функции:
Ns= Ls(1 −ζ )/2, N
s+3
= Ls(1 + ζ )/2, s = 1, 2, 3,
(2.65)
ãäå
Ls êîîðдинаты площади (2.51) äëÿ треугольникà (
L1(ξ, η) = 1−ξ −η
,
L2(ξ, η) = ξ,L3(ξ, η) = η
).
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
93
Ðèñ. 2.11.
Призма è пирамида áåç ¾серединных¿ узлов:
призма ñ шестью узлами (слева); пирамида ñ пятью узлами (справа)
Призматический элемент применяетсÿ ïðè ìîделировании трехмерных
çàäà÷ äëÿ òåë обобщенной цилиндрическîé формы. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ õî-
рошие трехмерные сетки могут áûòü построены трансляцией соответству-
þùèõ плоских сеток вдоль îñèz(èëè криволинейной аналогичной îñè).
Òîãäà призматические элементы получаютсÿ ïðè трансляции плоских òðå-
угольных элементов вдоль ýòîé îñè. Êàê видно èç (2.65), базисные ôóíê-
öèè äëÿ шестиузловой призмы определяютсÿ â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ ñî-
ответствующих базисных функций линейного треугольного элементà íà
линейные функции ïîζ.
Четырехугольная пирамида ñ пятью узлами
(Ðèñ. 2.11, справа)
Óçëû (вершины) â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s =
1, 2, ...,5
.
Ω
em
ξ
êанонический êóá â пространстве
ξηζ
, íà âåðõíåé грани êоторого
выбираетсÿ ëèøü îäèí óçåë (вершина):
ξ1= {−1, −1, −1}, ξ2= {1, −1, −1},
ξ3= {1, 1, −1}, ξ4= {−1, 1, −1}, ξ5= {0, 0, 1}.
(2.66)
Базисные функции:
N1= (1 −ξ)(1 −η)(1 −ζ)/8, N2= (1 + ξ)(1 −η)(1 −ζ)/8,
N3= (1 + ξ)(1 + η)(1 −ζ)/8, N4= (1 −ξ)(1 + η)(1 −ζ)/8,
N5= (1 + ζ)/2.
(2.67)
Элемент â форме пирамиды îòличаетсÿ òåì, ÷òî äëÿ íåãî ïðè
параметрическîì отображåíèè
x = x(ξ)
êанонический êóá
Ω
em
ξ
перевоäèòñÿ â четырехугольную пирамиду
Ω
em
x
. Ýòî отображåíèå,
94
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
естественно, íå являетсÿ взаимно îднозна÷íûì, ïîñêольку âñå точки грани
êóáà
ζ = 1
перехîäÿò â îäíó вершину
x
r
5
. Òåì íå менее, отмеченная
особенность параметрическîãî отображåíèÿ â îäíîé òî÷êå íå мешает
использованию этого элементà íà практикå. Призматический элемент
íåîáõîäèì äëÿ перехîäà îò тетраэдральных сеток ê ãåêсаэральным, è
наоборот.
Относительно сеток èç описанных âûøå тетраэäðîâ, гесаэäðîâ, призм è
пирамид справедливы следующее замечание. Âñå ýòè элементы могут áûòü
состыкованы между собой ñ ñîхранением непрерывности полевой функции
a
h
(x)
ïðè перехîäå îò îдного элементà ê другому. Íåîáõîäèìî толькî,
чтобы элементы имели общие грани è общие единые óçëû íà ñòûêовочных
гранях.
Äëÿ использования более точных квадратичных базисных функций
применяютсÿ трехмерные êонечные элементы ñ дополнительными узлами
íà сторонах.
Òетраэäð ñ äåñÿòüþ узлами
(Ðèñ. 2.12, слева)
Óçëû â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s = 1, 2,..., 10
.
Óçëû êаноническîãî тетраэäðà
Ω
em
ξ
â пространстве
ξηζ:ξ1= {0, 0,0}
,
ξ2= {1, 0, 0},ξ3= {0, 1, 0},ξ4= {0, 0, 1},ξ5= {1/2, 0, 0},ξ6=
{1/2, 1/2, 0},ξ7= {0, 1/2, 0},ξ8= {0, 0, 1/2},ξ9= {1/2, 0, 1/2},ξ10=
{0, 1/2, 1/2}
.
Базисные функции (
Ls тетраэдральные êîîðдинаты èç (2.60)):
Ns= (2Ls− 1)Ls, s = 1, 2, 3, 4;
N5= 4L1L2, N6= 4L2L3, N7= 4L1L3,
N8= 4L1L4, N9= 4L2L4, N10= 4L3L4.
.
(2.68)
Ãåêñàýäð (¾кирпичик¿) ñ двадцатью узлами
(Ðèñ. 2.12, справа)
Óçëû â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s = 1, 2,..., 20
.
Óçëû êаноническîãî ãåêñàýäðà
Ω
em
ξ
â пространстве
ξηζ
: (2.62) äëÿ
s = 1, 2,..., 8
, è
ξ9= {0, −1, −1}, ξ10= {1, 0, −1}, ξ11= {0, 1, −1},
ξ12= {−1, 0, −1}, ξ13= {−1, −1, 0}, ξ14= {1, −1, 0},
ξ15= {1, 1, 0}, ξ16= {1, −1, 0}, ξ17= {0, −1, 1},
ξ18= {1, 0, 1}, ξ19= {0, 1, 1}, ξ20= {−1, 0, 1}.
(2.69)
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
95
Ðèñ. 2.12.
Òетраэäð è ãåêñàýäð ñ ¾серединными¿ узлами:
тетраэäð ñ äåñÿòüþ узлами (слева); ãåêñàýäð ñ двадцатью узлами (справа)
Базисные функции:
Ns(ξ, η, ζ) =
1
8
(3ξ
2
s
η
2
s
ζ
2
s
− 2)[ξ
2
s
η
2
s
ζ
2
s
(1 + ξsξ)(1 + ηsη)(1 + ζsζ)−
−ξ
2
s
η
2
s
(1 + ξsξ)(1 + ηsη)(1 − ζ2) −η
2
s
ζ
2
s
(1 + ηsη)(1 + ζsζ)(1 − ξ2)−
−ξ
2
s
ζ
2
s
(1 + ξsξ)(1 + ζsζ)(1 − η2)],
(2.70)
ãäå
s = 1, 2,..., 20
.
Ïðÿìàÿ треугольная призма ñ пятнадцатью узлами
(Ðèñ. 2.13,
слева)
Óçëû â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s = 1, 2,..., 15
.
Ïî аналогии ñ призмой ñ 5 узлами (ñì, (2.64), (2.65)) óçëû êаноническîé
пятнадцатиузловой призмы
Ω
em
ξ
â пространстве
ξηζ
è базисные функции
ëåãêî получаютсÿ â ðåçóëüòàòå трансляции шестиузлового треугольного
элементà вдоль îñèζîò
−1äî1
è óìíîæåíèÿ åãî базисных функций íà
базисные функции îдномерного ïî îñèζквадратичного элементà.
Четырехугольная пирамида ñ тринадцатью узлами
(Ðèñ. 2.13,
справа)
Óçëû â физическîì пространстве:
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
, z
r
s
},s = 1, 2,..., 13
.
96
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
Ðèñ. 2.13.
Призма è пирамида ñ ¾серединными¿ узлами:
призма ñ пятнадцатью узлами (слева); пирамида ñ тринадцатью узлами (справа)
Ω
em
ξ
êанонический êóá â пространстве
ξηζ
, íà âåðõíåé грани êоторого
выбираетсÿ ëèøü îäèí óçåë (вершина):
ξ1= {−1, −1, −1}, ξ2= {1, −1, −1},
ξ3= {1, 1, −1}, ξ4= {−1, 1, −1},
ξ5= {0, −1, −1}, ξ6= {1, 0, −1},
ξ7= {0, 1, −1}, ξ8= {−1, 0, −1},
ξ9= {−1, −1, 0}, ξ10= {1, −1, 0},
ξ11= {1, 1, 0}, ξ12= {−1, 1, 0},
ξ13= {0, 0, 1}.
(2.71)
Базисные функции:
N1= (1 −ξ)(1 −η)(−1 −qξ −qη)q/4,
N2= (1 + ξ)(1 −η)(−1 + qξ −qη)q/4,
N3= (1 + ξ)(1 + η)(−1 + qξ + qη)q/4,
N4= (1 −ξ)(1 + η)(−1 −qξ + qη)q/4,
N5= (1 −ξ2)(1 −η)q2/2, N6= (1 + ξ)(1 −η2)q2/2,
N7= (1 −ξ2)(1 + η)q2/2, N8= (1 −ξ)(1 −η2)q2/2,
N9= (1 −ξ)(1 −η)q(1 −q), N10= (1 + ξ)(1 −η)q(1 −q),
N11= (1 + ξ)(1 + η)q(1 −q), N12= (1 −ξ)(1 + η)q(1 −q),
N13= (1 −q)(1 −2q), q = (1 − ζ)/2.
(2.72)
Относительно параметрическîãî отображåíèÿ
x = x(ξ)
здесь
справедливы òå æå замечания, ÷òî è äëÿ пирамиды ñ пятью узлами.
Призматический элемент ñ тринадцатью узлами требуåòñÿ äëÿ перехîäà îò
тетраэдральных сеток ê ãåêсаэральным äëÿ элементов ñ ¾серединными¿
узлами.
Äëÿ âñåõ элементов ñ ¾серединными¿ узлами (тетраэäðîâ, гесаэäðîâ,
призм è пирамид) обеспечиваетсÿ непрерывность полевой функции
ah(x)
Çàäà÷è ê ãëàâå 2
97
ïðè перехîäå îò îдного элементà ê другому. Äëÿ этого элементы должны
иметь общие грани è общие единые óçëû íà ñòûêовочных гранях (êàê â
вершинах, òàê è íà сторонах).
Нужно отметить, ÷òî êàê двумерные, òàê è трехмерные элементы
ñ ¾серединными¿ узлами íå могут ñòûêоватьсÿ ñ соответствующими
элементàìè áåç ¾серединных¿ узлов áåç потери ãарантии непрерывности
полевой функции
ah(x)
. Чтобы перейти îò элементà ñ ¾серединными¿
узлами ê элементу áåç ¾серединных¿ узлов нужно ìîдифицировать
элемент ñ ¾серединными¿ узлами, óдалив óçëû íà сторонах ñòûêовочной
поверхности (äëÿ 2D элементов) èëè íà грани (äëÿ 3D элементов). Äëÿ
этого çíàчения степеней свобоäû â ¾серединных' узлах должны áûòü
заданы êàê средние арифметические çíàчений степеней свобоäû â узлах,
располоæенных â вершинах соответствующих сторон.
 заключение раздела сформуëèðóåì íåêоторые общие свойства
рассмотренных âûøå êонечных элементов è èõ базисных функций.
Äëÿ âñåõ базисных функций
Ω
em
ξ
выполнено óсловие (2.18), ò.å. âñå
базисные функции равны единице â своем óçëå, è íóëþ âî âñåõ
îñòальных узлах элементà.
Äëÿ âñåõ рассмотренных êонечных элементов выполнено óсловие
полноты (2.19), ò.å сумма âñåõ функций формы элементà равна 1.Отметим,
÷òî óсловие полноты (2.19) äëÿ изопараметрических элементов (2.39)
(2.46) ãарантируåò, ÷òî произвольная линейная ïîxфункция íà
Ω
em
x
ìîæåò áûòü ïî (2.39)(2.46) представлена точно.
Çàäà÷è ê ãëàâå 2
2.1.
Íà ðèñ. 2.1,áприведен пример смешанной сетки èç треугольных è
четырехугольных элементов ñ узлами толькî â вершинах элементов. Ñêîëüêî
íåíóлевых элементов áóäåò â построенной äëÿ îäíîé ñêалярной полевой функции
матрицеKразмера
25 × 25
â строкå ñ номером 17 ?
2.2.
Íà ðèñ. 2.2,áприведен пример смешанной сетки èç треугольных è
четырехугольных элементов ñ узлами, располоæенными êàê â вершинах элементов,
òàê è íà серединах èõ сторон. Ñêîëüêî íåíóлевых элементов áóäåò â построенной äëÿ
îäíîé ñêалярной полевой функции матрицеKразмера
71 ×71
â строкå ñ номером 29 ?
2.3.
Ответьòå íà òîò æå вопрос, ÷òî è â çàäà÷å 2.2, íî относительно строки матрицы
K
ñ номером 18.
2.4.
Ответьòå íà òîò æå вопрос,÷òî è â çàäà÷å 2.2, íî относительно столбца матрицы
M
ñ номером 69.
2.5.
Ответьòå íà òîò æå вопрос,÷òî è â çàäà÷å 2.2, íî относительно столбца матрицы
M
ñ номером 68.
98
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
2.6.
Ïîêажите, ÷òî треугольные êîîðдинаты
L(ξ)
íà êаноническîì треугольникå
Ω
em
ξ
действительно имеют âèä (2.53), ò.å. вычислите èõ ïî формуëàì (2.51), (2.52) äëÿ
êаноническîãî ïðямоугольного треугольникà ñ êàòåòàìè, равными 1.
2.7.
Ïîêажите, ÷òî поведение полевой функции
ahíà четырехугольникå ñ 4 узлами
линейно íà любой стороне êàê ïîξ, òàê è ïîx. Какими èç çíàчений
As(
s = 1, 2, 3, 4
)
èç (2.39) определяетсÿ ýòî поведение?
2.8.
Ïîêажите, ÷òî поведение полевой функции
ahíà треугольникå ñ 6 узлами
íà стороне определяетсÿ изопараметрическîé квадратичной зависимостью. Òàêæå
ïîêажите, ÷òî åñëè сторона линейна, à óçåë íà стороне íàõîäèòñÿ â åå середине, òî
ýòî поведение квадратично ïîx.
2.9.
Ïîêажите, ÷òî поведение полевой функции
ahíà серендиповом четырехуголь-
íèêå ñ восемью узлами íà стороне определяетсÿ изопараметрическîé квадратичной
зависимостью. Òàêæå ïîêажите, ÷òî åñëè сторона линейна, à óçåë íà стороне íàõîäèò-
ñÿ â åå середине, òî ýòî поведение квадратично ïîx.
2.10.
Постройте изопараметрический треугольный êонечный элемент ñ пятью
узлами (òðè óçëà â вершинах êаноническîãî треугольникà, äâà промежуточные íà
äâóõ êàòåòàõ), проведя редукцию óçëà 5 íà гипотенузе (Ðèñ. 2.8). Äëÿ этого ïîëîæèòå â
представлении полевой функции
A5= (A2+A3)/2
, à â параметрическîì отображåíèè
{x5= (x2+ x3)/2,y5= (y2+ y3)/2}
. Получите вместо (2.57) новые базисные функции,
è ïîêажите, ÷òî полученный элемент áóäåò обеспечивать линейное поведение полевой
функции
ahíà стороне ñ редуцированным промежуточным узлом.
2.11.
Постройте изопараметрический треугольный êонечный элемент ñ пятью
узлами (òðè óçëà â вершинах êаноническîãî треугольникà, îäèí промежуточный
óçåë íà êатете
ξ = 0
, à другой íà гипотенузе), проведя редукцию óçëà 4 íà
êатете
η = 0
(Ðèñ. 2.8). Äëÿ этого ïîëîæèòå â представлении полевой функции
A4= (A1+ A2)/2
, à â параметрическîì отображåíèè
{x4= (x1+ x2)/2,y4= (y1+
y2)/2}
. Получите вместо (2.57) новые базисные функции, è ïîêажите, ÷òî полученный
элемент áóäåò обеспечивать линейное поведение полевой функции
ahíà стороне ñ
редуцированным промежуточным узлом.
2.12.
Ïîêажите, ÷òî åñëè äëÿ изопараметрическîãî треугольного элементà ñ
шестью узлами провести редукцию âñåõ òðåõ узлов íà серединахсторон ïî ìåòîдологии
çàäà÷ 2.10, 2.11, òî получитсÿ линейный треугольный êонечный элемент ñ тремя
узлами.
à) á)
Ðèñ. 2.14.
Сетки èç элементов áåç ¾серединных¿ узлов è ñ ¾серединными¿ узлами:
треугольная ñåòêà (à) è четырехугольная ñåòêà (á)
Çàäà÷è ê ãëàâå 2
99
à) á)
Ðèñ. 2.15.
Сетки èç элементов áåç ¾серединных¿ узлов:
треугольная ñåòêà (à) è четырехугольная ñåòêà (á)
2.13.
Постройте изопараметрический четырехугольный êонечный элемент ñ
семью узлами, проведя â восьмиузловом четырехугольном элементе редукцию
промежуточного óçëà íà îäíîé стороне ïî ìåòîдологии çàäà÷ 2.10, 2.11. Получите
вместо (2.58) новые базисные функции, è ïîêажите, ÷òî полученный элемент áóäåò
обеспечивать линейное поведение полевой функции
ahíà стороне ñ редуцированным
промежуточным узлом.
2.14.
Ïîêажите, ÷òî åñëè äëÿ изопараметрическîãî четырехугольного элементà
ñ восемью узлами провести редукцию âñåõ четырех узлов íà серединах сторон ïî
ìåòîдологии çàäà÷ 2.10, 2.11, òî получитсÿ билинейный четырехугольный êонечный
элемент ñ четырьмя узлами.
2.15.
Ïîêажите, ÷òî êонечный элемент â форме ïðÿìîé треугольной призмы
ñ шестью узлами совместим ïî áîêîâûì четырехугольным граням ñ ïîдобными
элементàìè è ñ восьмиузловыми ãåêñàýдрами.
2.16.
Ïîêажите, ÷òî êонечный элемент â форме ïðÿìîé треугольной призмы ñ
шестью узлами совместим ïî торцевым треугольным граням ñ ïîдобными элементàìè
è ñ четырехузловыми тетраэдрами.
2.17.
Выпишите функции формы ïîêазанной íà ðèñ. 2.13 (слева) ïðÿìîé
треугольной призмы ñ пятнадцатью узлами.
2.18.
Обеспечивают ëè непрерывность полевой функции сетки èç линейных
треугольных êонечных элементов, ïîêазанные íà ðèñ. 2.15,à, êîãäà íåêоторые èç
узловых вершин меньших треугольных элементов ëåæàò íà сторонах других больших
элементов, íî íå являютсÿ èõ узлами? Ответ обоснуйте.
2.19.
Обеспечивают ëè непрерывность полевой функции сетки èç билинейных
четырехугольных êонечных элементов, ïîêазанные íà ðèñ. 2.15,á, êîãäà íåêоторые
èç узловых вершин меньших четырехугольных элементов ëåæàò íà сторонах других
больших элементов, íî íå являютсÿ èõ узлами? Ответ обоснуйте.
2.20.
Обеспечивают ëè непрерывность полевой функции сетки èç шестиузловых
треугольных êонечных элементов, ïîêазанные íà ðèñ. 2.16,à, êîãäà узловые вершины
îäíèõ êонечных элементов совпадают ñ серединными узлами других элементов? Ответ
обоснуйте.
2.21.
Обеспечивают ëè непрерывность полевой функции сетки èç восьмиузловых
четырехугольных êонечных элементов, ïîêазанные íà ðèñ. 2.16,á, êîãäà узловые
вершины îäíèõ êонечных элементов совпадают ñ серединными узлами других
элементов? Ответ обоснуйте.
100
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
à) á)
Ðèñ. 2.16.
Сетки èç элементов ñ ¾серединными¿ узлами:
треугольная ñåòêà (à) è четырехугольная ñåòêà (á)
2.22.
Обеспечивают ëè непрерывность полевой функции сетки èç трехузловых è
шестиузловых треугольных êонечных элементов, ïîêазанные íà ðèñ. 2.14,à? Ответ
обоснуйте.
2.23.
Обеспечивают ëè непрерывность полевой функции сетки èç четырехузловых
è восьмиузловых четырехугольных êонечных элементов, ïîêазанные íà ðèñ. 2.14,á?
Ответ обоснуйте.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]