Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
41
ãäå
Kuu= Kuu+ Kuφ· K
−1
φφ
· K
∗
uφ
,
(1.102)
Fu= Fu− Kuφ· K
−1
φφ
· Fφ.
(1.103)
 ðåçóëüòàòå получаем çàäà÷ó (1.101), (1.99) толькî относительно âåê-
òîðàUñ симметричной è ïî меньшей ìåðå неотрицательно определенной
матрицей
Kuu. Ýòà çàäà÷à имеет почти òå æå свойства, ÷òî è äëÿ чисто
упругой среды. Îòличие состоит â наличии обратной матрицы
K
−1
φφ
. Åñëè
ïðè реализации численных алгоритмов ïðè разреженных матрицах
Muu,
Kuu,
Kuφ,
Kφφиспользовать технику разреженных матриц [21], òî форми-
ровать матрицу
K
−1
φφ
â явном âèäå крайне íåæелательно, òàê êàê матрица,
обратная ê разреженной, вообще говорÿ, заполнена. Поэтому ïðè íåîáõî-
димости реализации óìíîæåíèÿ
Kuφ·Φ
нужно êаждый ðàç решать систе-
ìó (1.98) линейных алгебраических уравнений (ÑËÀÓ) относительноΦè
ïîäñòавлять ðåçóëüòàò â (1.97).
1.3.4. Обзор основных особенностей çàäà÷ электроупругости
Ïîдведем èòîã рассмотрения çàäà÷ электроупругости.
Классические ïîñòановки çàäà÷ электроупругости включают системы
дифференциальных уравнений ñ динамическими уравнениями äâèæåíèÿ
(áåç ó÷åòà связности гиперболическîãî òèïà) è уравнения квазиэлектро-
ñòатики (áåç ó÷åòà связности эллиптическîãî òèïà). Поэтому â совокуп-
ности ïîðÿäêè ñòарших произвоäíûõ ïî времени â уравнениях линейной
динамическîé теории электроупругости различаютсÿ.
Краевые è íàчально-краевые çàäà÷è электроупругости õарактеризуют-
ñÿ íåñòандартными электрическими граничными óсловиями, особенно, äëÿ
электроäîâ, запитываемых генераторами òîêîâ. Ïðè ýòîì íà îòдельных
электродированных поверхностÿõ, запитываемых генераторами íàïðÿæå-
íèé, электрический потенциал äîëæåí принимать îдинакîâûå çíàчения
äëÿ âñåõ точек электроäà, è ýòè çíàчения известны. Íà электроäàõ, çà-
питываемых генераторами òîêîâ, электрический потенциал òàêæå äîëæåí
áûòü îдинакîâ íà êаждом участкå, íî ýòè çíàчения íå известны, è äëÿ èõ
íàõîждения задаютсÿ дополнительные интегральные óсловия, определяю-
ùèå суммарные çàðÿäû íà электроäàõ.
Обобщенные èëè слабые ïîñòановки çàäà÷ электроупругости, получен-
íûå â ðåçóëüòàòå ñòандартных преобразований, привоäÿò ê вариационно-
ìó принципу ñòационарности электрическîé ýíòальпии (áåç свойства ìè-
нимальности). Òàêèì образом, äëÿ çàäà÷ электроупругости íå имеетсÿ
обычного вариационного принципа виртуальных работ ñ варьированием
42
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
полей перемещений è электрическîãî потенциала, приводящего ê миниму-
ìó функционала энергии.
Íå совсем обычны è функциональные пространства
H
1
φ
, â êоторых
определяютсÿ слабые решения çàäà÷ электроупругости. Äëÿ пространства
H
1
φ
функции должны принимать ñòационарные (íå зависÿùèå îòx),
íî произвольные çíàчения íà íåêоторых участкàõ
Γφj, запитываемых
генераторами òîêà. Ñòандартно, êàê, например, äëÿ
H
1
u
ñòавятсÿ ëèøü
ограничения îднородности äëÿ ãлавных граничных óсловий (
u = 0;x ∈
Γu). Здесь æå ãлавные граничные óсловия могут áûòü è íåîднородными.
Ïðè численном решении ïî ìåòîäó БубноваГалеркина ñòатических
çàäà÷ электроупругости получаетсÿ связанная система уравнений относи-
тельно перемещений è потенциалов ñ общей матрицей, íå являющейсÿ ïî-
ëîжительно определенной. Матрице ýòîé системы ìîæíî придать струк-
òóðó квазиопределенной матрицы (матрицы äëÿ çàäà÷ ñ седловой òî÷êîé)
симметричного âèäà [4, 26]:
K =
KuuK
uφ
K
∗
uφ
−K
φφ
.
Ïðè редукции çíàчений электрических потенциалов ìîæíî получить
системы уравнений ñ ïîëîжительно определенными матрицами äëÿ
определения перемещений, ïîõîæèå íà уравнения структурного анализа
(äëÿ чисто упругой среды). Ïðè ýòîì наличие пьезоэффектà ëèøü
увеличивает свойства ïîëîжительной определенности матрицы æåñòêîñòè,
ò.å.
Kuu≥ Kuu, ïîñêольку
Kuu−Kuu= Kuφ·K
−1
φφ
·K
∗
uφ
неотрицательно
определенная матрица.
Отметим, ÷òî здесь è далее неравенства
A > BèA ≥ B
äëÿ матриц
îçíà÷àþò, ÷òî матрица
A − B
ïîëîжительно èëè неотрицательно îïðå-
делена, соответственно. Ïðè ýòîì óсловие ïîëîжительной определенности
матрицыAáóäåì записывать â âèäå
A > 0
, à óсловие неотрицательной
определенности â âèäå
A ≥ 0
.
Äëÿ пьезоэлектрических òåë существенную ðîëü играют специальные
наборы собственных частот [13]: частоты электрических резонансов
frjè
частоты электрических антирезонансов
faj.
Êàê частоты электрических резонансов
frj, òàê è частоты электриче-
ñêèõ антирезонансов
fajявляютсÿ собственными частотàìè, êолебания íà
êоторых ìîæíî эффективно возбуäèòü ïðè электрических внешних âîç-
действиях, изменяющихñÿ ïî ãармоническîìó çàêîíó. Ýòè внешние âîç-
действия îòличаютсÿ äëÿ частот
frjè
faj.
Äëÿ поискà собственных частот пьезоэлектрическîãî (электроупругого)
òåëà нужно рассматривать режимы óñòановившихñÿ êолебаний
U =
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
43
˜
U exp(iωt),Φ =˜Φ exp(iωt)
ñ круговой частотойω(
ω = f/2π
). Кроме
òîãî, äëÿ поискà собственных частот рассматриваютсÿ îднороäíûå çàäà÷è
ñ
Fu= 0,Fφ= 0
ïðè отсутствии демпфирования, ò.å. ïðè
Cuu= 0
. Òîãäà
èç (1.97), (1.98) получаетсÿ обобщенная çàäà÷à íà собственные çíàчения:
Kuu· U + Kuφ· Φ = ω2Muu· U,
(1.104)
−K
∗
uφ
· U + Kφφ· Φ = 0 ,
(1.105)
ãäå çíàê ¾˜¿ ó амплитуäíûõ çíàчений˜U
,˜Φ
опущен.
Ïðè ýòîì â (1.104), (1.105) матрицы
Kuφ,
Kφφäëÿ частот электрических
резонансов è антирезонансов îòличаютсÿ. Ðазличие â çàäà÷àõ î поискå
собственных частот электрических резонансов è антирезонансов состоит
â следующем. Äëÿ çàäà÷è î поискå частот электрических резонансов
íåêоторые электроäû
Γφjñ÷èòàþòñÿ êороткозамкнутыми (
φ = 0,x ∈
Γφj), à äëÿ соответствующих çàäà÷ î поискå частот электрических
антирезонансов ýòè электроäû ñ÷èòàþòñÿ свободными (
φ = ΦΓj,
x ∈
Γφj;
Γ
φj
n · D dΓ = 0
). Òàêèì образом, â äâóõ соответствующих çàäà÷àõ
íà собственные çíàчения следуåò рассматривать различные электрические
граничные óсловия íà íåêоторых (íå íà âñåõ!) электродированных
поверхностÿõ
Γφj.
Математически ýòî îòличие состоит â различной структуре матриц
K
uφ
è
Kφφ. Åñëè äëÿ çàäà÷è î поискå частот электрических антирезонансов
матрицы
Kuφ,
Kφφè векторΦпредставить â блочных формах
Kuφ=
K
c
uφ
, K
s
uφ
, Kφφ=
K
c
φφ
K
cs
φφ
K
cs∗
φφ
K
s
φφ
, Φ =
Φ
c
Φ
s
,
(1.106)
òî äëÿ çàäà÷è î поискå частот электрических резонансов матрицы
Kuφ,
Kφφè векторΦáóäóò иметь âèä:
Kuφ= K
c
uφ
, Kφφ= K
c
φφ
, Φ = Φc.
(1.107)
Здесь â вектореΦâ (1.106) выделены îòдельно степени свобоäû
Φs, äëÿ
êоторых ïðè íàõîждении частот электрических антирезонансов ñ÷èòàåòñÿ,
÷òî суммарные электрические çàðÿäû íà соответствующих электроäàõ
равны íóëþ, à ïðè íàõîждении частот электрических резонансов
Φs= 0
.
Поэтому äëÿ íàõîждения частот электрических резонансов è антире-
зонансов требуåòñÿ решать äâà ðàçà çàäà÷è (1.104), (1.105) ñ различными
матрицами
Kuφ,
Kφφè векторомΦâ формах (1.106) è (1.107).
Обозна÷èì собственные частоты äëÿ çàäà÷è (1.104)(1.106) через
ωaj,
à собственные частоты äëÿ çàäà÷è (1.104), (1.105), (1.107) через
ωrj.
44
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
Отметим, ÷òî â ñèëó ïîëîжительнойопределенности матрицы
Muu(çàäà÷à
1.20) è ïî меньшей ìåðå неотрицательной определенности матрицы
K
uu
(çàäà÷à 1.24) âñå ýòè частоты вещественны è могут áûòü выбраны
неотрицательными.
Åñëè занумеровать частоты â ïîðÿäêå возрастàíèÿ, òî ìîæíî ïîêазать
[2], ÷òî имеют место неравенства
ωrj≤ ωaj; j = 1, 2, ..., m,
(1.108)
ãäåm ïîðÿäîê матрицы
Muuèëè
Kuu.
Äëÿ практики важную ðîëü играет динамический êоэффициент
электромеханическîé связи (ÊÝÌÑ)
kdjäëÿj-îé частоты, определяемый
формуëîé
k
2
dj
=
ω
2
aj
− ω
2
rj
ω
2
aj
.
(1.109)
Динамический ÊÝÌÑ определяет эффективность преобразования
энергии íàj-îé ìîäå êолебаний. Естественно, åñëè
kdjîòличен îò íóëÿ,
òî
ωrj= ωaj, è именно òàêèå частоты электрически активные. (Íåêоторые
ìîäû êолебаний могут áûòü чисто упругими, è äëÿ íèõ
ωrj= ωaj.)
Òàêèì образом, äëÿ анализа работы пьезоэлектрических óстройств
â режиме óñòановившихñÿ êолебаний часто требуåòñÿ íàõîäèòü частоты
ωrj,
ωaj, решая äâà ðàçà немного îòличающиесÿ обобщенные çàäà÷è
íà собственные çíàчения, è ïðè ýòîì íàõîäèòü именно òå частоты,
äëÿ êоторых
ωrjè
ωajîòличаютсÿ. Данный òèï çàäà÷ òàêæå являетсÿ
îòличительной особенностью пьезоэлектрическîãî анализа реальных
пьезоэлектрических óстройств.
Пьезопреобразователи могут представлять собой òåëà, ñîñòавленные èç
набора упругих è пьезоэлектрических ïîдобластей (например, пьезоиз-
лучатель â êîðïóñå). Кроме òîãî, äëÿ íåêоторых óстройств, например,
äëÿ встречноштыревых преобразователей íà поверхностных àêóстических
волнах, нужно учитывать êîíòàêò пьезоэлектрическîãî òåëà ñî внешней
средой (например, воздухîì).  òàêèõ случаях имеем ñîñòавные çàäà÷è
äëÿ многослойной среды
Ω = ∪Ωkñ, вообще говорÿ, различными физикî-
ìåõаническими свойствами. Îäíè области
Ωk= Ω
p
k
могут áûòü пьезоэлек-
трическими, другие области
Ωk= Ω
e
k
упругими, à îñòальные области
Ωk= Ω
d
k
диэлектрическими. Äëÿ упругих è диэлектрических ñðåä ìîæ-
íî воспользоватьсÿ òåìè æå ìîделями электроупругости ïðè êоэффици-
åíòàõ связностиe, равными íóëþ, è применять ëèáî ìåõаническую, ëèáî
диэлектрическую части ìîäåëè. Óсловия ñîïðÿæåíèÿ (непрерывностьu,
1.4. Ìîделирование çàäà÷ термоупругости
45
n · σ,φ,n · D
ïðè перехîäå через границу раздела) áóäóò òîãäà естествен-
íûì образом âõîäèòü â обобщенные ïîñòановки çàäà÷. Ïðè ýòîì числен-
íûå алгоритмы, предназначенные äëÿ решения çàäà÷ äëÿ ñîñòавных òåë ñ
различными физикî-ìåõаническими свойствами áóäóò иметь особенности,
связанные ñ наличием ñðåä ñ разными полевыми функциями (u,φ äëÿ
пьезоэлектрических ñðåä,u äëÿ упругих,φ äëÿ диэлектрических).
Нужно òàêæå отметить, ÷òî внешние диэлектрические среды (окружàþ-
ùàÿ воздушная среда) могут áûòü сильно ïðîòÿæенными è ìîделировать-
ñÿ неограниченными областÿìè. Òîãäà äëÿ неограниченных диэлектриче-
ñêèõ ñðåä нужны óсловия поведения ïîëÿφíà áåñêонечности, è нужно
иметь â арсенале численные ìåòîäû решения çàäà÷ äëÿ áåñêонечных îá-
ластей.
Òàêèì образом, çàäà÷è электроупругости имеют ðÿä существенных
особенностей, вызванных êàê особенностÿìè математических ìîделей,
òàê è потребностÿìè практики расчетà реальных пьезоэлектрических
óстройств.
1.4. Ìîделирование çàäà÷ термоупругости
 çàäà÷àõ термоупругости рассматриваетсÿ связанность ìåõанических
è температурных полей. ×òî êасаетсÿ ìåõаническîé части, òî здесь имеет-
ñÿ много общего ñ обычной теорией упругости è ñ óæå рассмотренной ранее
теорией электроупругости. Однакî уравнения äëÿ температурных полей
существенно îòличаютсÿ îò уравнений квазиэлектростатики диэлектри-
êîâ. Ïî теории термоупругости имеетсÿ обширная литература, èç êоторой
отметим базовые монографии Â. Новацкîãî [14, 15].
1.4.1. Классические ïîñòановки çàäà÷ термоупругости
Ïóñòü термоупругое òåëî занимает областьΩñ границей
Γ = ∂Ω
.
Состоÿíèå òåëà õарактеризуåòñÿ вектором перемещений
u = u(x, t)
è
изменением температурного ïîëÿ
θ = θ(x, t)
. Функция
θ(x, t)
описывает
прирост температуры
T (x, t)
îò естественного состоÿíèÿ
T0:
θ = T − T0.
Ïîñòановкà çàäà÷ линейной термоупругости включает следующую
группу уравнений.
Полевые уравнения состоÿò èç уравнений äâèæåíèÿ сплошной среды,
идентичных (1.23)
∇ ·σ + ρ f = ρ¨u,
(1.110)
46
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
è ëîêального çàêîíà ñîхранения тепловой энергии
T
0
˙
S + ∇ ·q = W.
(1.111)
Здесь äëÿ ìåõанических величин приняты òå æå обозначения, ÷òî è
â теории электроупругости â разделе 1.3 (ρ плотность;σ тензор
íàïðÿæåíèé второго ðàíãà;f вектор плотности массовых ñèë), à òàêæå
введены следующие обозначения äëÿ тепловых величин:S плотность
энтропии, отчитываемой îò естественного состоÿíèÿ;q вектор потокà
тепла;
W = W (x, t)
интенсивность источникîâ тепла.
Определяющие соотношения связывают íàïðÿæåíèÿσè энтропию
S
ñ тензором деформацийεè полем температурθ. Äëÿ линейной среды
определяющие соотношения имеют âèä:
σ = c : ε − γθ,
(1.112)
S = γ : ε +
ρc
ε
T
0
θ,
(1.113)
ãäåc ïîëóсимметричный тензор упругих ìîäóëåé четвертого ðàíãà;
γ
симметричный тензор êоэффициентов температурных íàïðÿæåíèé
второго ðàíãà;
cε óдельная теплоемкîñòü ïðè постоянной деформации.
Íàêîíåö, соотношения, связывающие потокîâûå величиныεèqñ
полевыми функциямиuèθимеют следующую форму:
ε = (∇u + ∇u∗)/2,
(1.114)
q = −k · ∇θ,
(1.115)
ãäåk тензор второго ðàíãà êоэффициентов теплопроводностей.
Формуëà (1.115) выражàåò çàêîí Фурье äëÿ теплопровоäíîé среды.
Òензор
k
â (1.115) äîëæåí áûòü симметричным è ïîëîжительно
определенным:
kij= kji; ∃αk> 0 : ∀a a∗· k · a ≥ αka∗· a.
Òàêèì образом, система дифференциальных уравнений термоупругости
даетсÿ формуëàìè (1.110)(1.115). Åñëè представить ýòè уравнения êàê
систему уравнений относительно перемещенийuè приростà температур
θ
, òî áóäåì иметь:
ρ¨u −∇ · (c : ∇u − γθ) = ρ f ,
(1.116)
ρc
ε
˙
θ+T
0
γ : ∇˙u −∇ · (k ·∇θ) = W,
(1.117)
èëè â ïîêомпонентной записи
ρu
i,tt
− (c
ijkluk,l
− γijθ),j= ρ fi, i = 1, 2, 3,
(1.118)
1.4. Ìîделирование çàäà÷ термоупругости
47
ρcεθ,t+ T0γiju
i,jt
− (kijθ,j),i= W.
(1.119)
Êàê видно, связность ìåõанических è температурных полей определя-
åòñÿ тензором температурных íàïðÿæåíèéγ. Åñëè
γ = 0
, òî (1.116) åñòü
просто уравнение äâèæåíèÿ â динамическîé теории упругости, à (1.117)
уравнение теплопроводности. Отметим, ÷òî уравнение äâèæåíèÿ теории
упругости являетсÿуравнением гиперболическîãî òèïà, à уравнение тепло-
проводности параболическîãî òèïà. Ðазличный ïîðÿäîê ñòарших произ-
âîäíûõ ïî времени ñîхраняетсÿ è â системе связанных уравнений: â (1.116)
второй, à â (1.117) первый.
Ê системе (1.116), (1.117) èëè (1.118), (1.119) нужно присовокупить
граничные óсловия, êоторые здесь ïîдразделяютсÿ íà ìåõанические è
тепловые краевые óсловия.
Ìåõанические граничные óсловия примем òåìè æå, ÷òî è â разделе 1.3
äëÿ электроупругого òåëà (
Γ = Γu∪ Γσ):
u = uΓ; x ∈ Γu,
(1.120)
p = n · σ; p = pΓ; x ∈ Γσ,
(1.121)
ãäå ìåõанический смысл используåìûõ величин òîò æå, ÷òî è äëÿ (1.31),
(1.32).
Äëÿ формулировки температурных граничных óсловий предполоæèì,
÷òî границаΓразбитà íà òðè части
Γθ,
Γqè
Γc:
Γ = Γθ∪ Γq∪ Γc.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà
Γθзадана температура
θΓ(x, t)
:
θ = θΓ; x ∈ Γθ.
(1.122)
Íà
Γqзададим тепловой поток èëè, более точно, поверхностную
плотность мощности источникîâ теплоты
qΓ(x, t)
:
n∗· q = −qΓ; x ∈ Γq.
(1.123)
Íàêîíåö, íà участкå
Γcзададим óсловие êонвективного теплообмена ñ
внешней средой:
n∗· q = −hf(θb− θ); x ∈ Γc,
(1.124)
ãäå
hf êоэффициент теплообмена èëè êоэффициент теплоотäà÷è íà
границе (
hf> 0),θb температура окружающей внешней среды.
Ïî (1.122)(1.124) имеем òðè òèïà тепловых краевых óсловий. Óсловие
(1.122) åñòü óсловие первого ðîäà, óсловие òèïà Дирихле èëè ãлавное
граничное óсловие; óсловие (1.123) óсловие второго ðîäà, óсловие òèïà
Неймана èëè естественное граничное óсловие; à óсловие (1.124) óсловие
третьего ðîäà.
48
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
Граничные óсловия (1.122)(1.124) являютсÿ основными êàê â çàäà÷àõ
теплопроводности, òàê è более общих çàäà÷àõ термоупругости. Помимо
ýòèõ óсловий возмоæíû è другие граничные óсловия, например, нелиней-
íîå óсловие лучистого теплообмена ïî çàêîíó Стефана-Больцмана è äð.
Наиболее часто, îäíàêî, встречаютсÿ именно óсловия (1.122)(1.124), êî-
торыми здесь è ограничимсÿ.
Отметим, ÷òî óсловия третьего ðîäà õарактерны именно äëÿ çàäà÷
теплопроводности è термоупругости. Ýòè óсловия íîñÿò признаки êàê
óсловий первого ðîäà (ïðè больших
hfèç (1.122) имеем
θ − θb= h
−1
f
n∗·
q ≈ 0
), òàê è óсловий второго ðîäà (ïðè малых
hf(1.122) ìîæåò áûòü
аппроксимировано óсловием
n∗· q = 0
).
Åñëè äëÿ упругого òåëà большая часть границы обычно åñòü
Γ
σ
ñ îднороäíûì óсловием второго ðîäà, ò.å. большая часть границы
Γ
σ
свобоäíà îò ìåõанических íàïðÿæåíèé
pΓ, òî äëÿ тепловых граничных
óсловий îднороäíûå óсловия второго ðîäà (
qΓ= 0
â (1.123))
îçíà÷àþò теплоизолированную границу. Случай теплоизолированной
границы являетсÿ большей абстракцией, ÷åì óсловие êонвективного
теплообмена ñ окружающей средой, ò.å. ÷åì óсловие третьего ðîäà.
 случае íåóñòановившихñÿ процессов помимо граничных óсловий
íåîáõîäèìû åùå è íàчальные óсловия. Здесь, кроме задания íàчального
ïîëîæåíèÿ òåëà
us(x)
è íàчальной ñêорости
vs(x)
, нужно определить åùå
è íàчальную температуру
θs(x)
:
u = us,˙u = vs, θ = θs; x ∈ Ω, t = +0.
(1.125)
Èòàê, обычная èëè классическàÿ ïîñòановкà íåñòационарных çàäà÷ òåð-
моупругости â линейном приближåíèè включает систему дифференциаль-
íûõ уравнений (1.116), (1.117), краевые óсловия (1.120)(1.124) è íà÷àëü-
íûå óсловия (1.125).
Äëÿ ñòационарного случая íàчальных óсловий íåò;
u = u(x),θ = θ(x)
;
внешние воздействия íå зависÿò îò времени, à система дифференциальных
уравнений (1.116), (1.117) принимает âèä:
−∇ ·(c : ∇u − γθ) = ρ f,
(1.126)
−∇ ·(k · ∇θ) = W.
(1.127)
Êàê видно èç (1.126), (1.127), â ñòационарном случае имеем частичную
связанность полей: ïîëå перемещенийuзависит îòθ, íî äëÿ ïîëÿ
температур
θ
имеем несвязанную çàäà÷ó теплопроводности (1.127),
(1.122)(1.124).
1.4. Ìîделирование çàäà÷ термоупругости
49
Другой вариант термоупругой çàäà÷è ñ частичной связанностью даетсÿ
теорией температурных íàïðÿæåíèé [14, 15]. Â ýòîé теории â уравнении
(1.117) äëÿ ïîëÿ температур пренебрегàþò связанностью полей, îïóñêàÿ
÷ëåí
T0γ : ∇˙u
, îäíàêî äëÿ ìåõанических полей рассматриваетсÿ
динамическîå уравнение (1.116). Â итоге полевые уравнения теории
температурных íàïðÿæåíèé имеют âèä:
∇ ·σ + ρ f = ρ¨u, σ = c : ε −γθ,
(1.128)
ρc
ε
˙
θ + ∇· q = W, q = −k · ∇θ.
(1.129)
Обоснованием перехîäà îò системы (1.116), (1.117) ê (1.128), (1.129)
ñëóæàò данные многих ýêспериментов è анализ êоэффициентов связности
ïðè надлежàùåì обезразмеривании çàäà÷è термоупругости.
Èòàê, êàê уравнения температурных íàïðÿæåíèé (1.128), (1.129), òàê
è уравнения ñòационарной термоупругости (1.126), (1.127) äàþò çàäà÷è ñ
частичной связанностью полей.
Важно отметить следующее обстоятельство. Äëÿ çàäà÷ связанной
термоупругости (1.116), (1.117), (1.120)(1.125) наличие члена
T0γ :
∇˙u
ñ первой произвоäíîé ïî времени îò перемещений привоäèò ê
диссипации энергии, è дополнительный ó÷åò демпфирования â ýòîé
çàäà÷å íå особенно âàæåí. Между òåì, â частично связанной çàäà÷å î
температурных íàïðÿæениях äëÿ ìåõанических полей демпфирования
íåò, è поэтому ìîæíî принять способ ó÷åòà демпфирования ïî Ðåëåþ,
аналогично ïðîделанному â разделе 1.3.1 äëÿ çàäà÷è электроупругости.
Именно, вместо (1.128) ìîæíî использовать соотношения
∇ ·σ + ρ f = ρ¨u + αdρ˙u, σ = c : (ε + β
d
˙
ε) −γ θ
(1.130)
ñ êоэффициентàìè демпфирования
αd≥ 0,βd≥ 0
. Относительно
недостàòêîâ è преимуществ этого способа здесь ìîæíî повторить òå æå
рассуждения, ÷òî è â разделе 1.3.1.
1.4.2. Обобщенные ïîñòановки çàäà÷ термоупругости
Следуÿ ñõåìå, èçëîæенной â разделе 1.3.2, получим обобщенную èëè
слабую ïîñòановку связанной çàäà÷è термоупругости (1.116), (1.117),
(1.120)(1.125).
Óìíîæèì ñêалярно уравнение (1.110) íà ïîêà произвольную, íî äîñòà-
точно ãладкую функцию
v = v(x)
, à уравнение (1.111) íà произвольную
äîñòаточно ãладкую функцию
η = η(x)
. Затем проинтегрируåì получен-
íûå равенства ïîΩ, используåì операции тензорного è векторного анализа
50
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
(1.41), (1.42), à òàêæå формуëû Ãàóññà - Остроградскîãî (1.45), (1.46). (Â
(1.42), (1.46)χзаменяетсÿ íàη, àD íàq.)
Íàëîæèâ íà функциюvîднороäíîå ãлавное граничное óсловие (1.47)
v = 0; x ∈ Γu,
(1.131)
è используÿ естественные граничные óсловия (1.121), получаем:
Ω
ρv ·¨u dΩ +
Ω
(∇v)∗: σ(u, θ) dΩ =
Ω
v∗·ρf dΩ +
Γ
σ
v∗·pΓdΓ.
(1.132)
Ïðè преобразованиях уравнения (1.111) ñ учетом (1.113) имеем:
T
0
Ω
η˙S dΩ−
Ω
(∇η)∗·q(u, θ) dΩ =
Ω
ηW dΩ −
Γ
ηn∗·q(u, θ) dΓ.
(1.133)
Íàëîæèì íà функциюηóсловия равенства íóëþ íà
Γ
θ
η = 0; x ∈ Γθ.
(1.134)
Òîãäà, используÿ граничные óсловия (1.123) íà
Γqè (1.124) íà
Γc,
последний интеграл â (1.133) ìîæíî преобразовать следующим образом:
−
Γ
ηn∗· q(u, θ) dΓ =
Γ
q
ηqΓdΓ +
Γ
c
ηhfθbdΓ −
Γ
c
hfηθ dΓ.
(1.135)
Интегральное òîждество (1.133) ñ учетом (1.135) запишем â âèäå:
T
0
Ω
η˙S dΩ −
Ω
(∇η)∗· q(u, θ) dΩ +
Γ
c
hfηθ dΓ =
Ω
ηW dΩ +
Γ
q
ηqΓdΓ +
Γ
c
ηhfθbdΓ.
(1.136)
Òеперь â (1.132), (1.136) используåì определяющие соотношения
(1.112), (1.113) термоупругой среды è получаем основные интегральные
соотношения
ρ(v,¨u) + c(v,u) −γ(v, θ) =˜Lu(v),
(1.137)
T0γ(˙u, η) + s(η,˙θ) + k(η, θ) =˜Lθ(η),
(1.138)
ãäå
ρ(v, u) =
Ω
ρv∗· u dΩ,
(1.139)
c(v, u) =
Ω
(∇v)∗: cE: ∇u dΩ =
Ω
ε(v) : cE: ε(u) dΩ,
(1.140)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]