Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
И.А. Мухаметзянов
МЕТОДЫ
БЕЗУДАРНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
ПРОГРАММНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Москва
Российский университет дружбы народов
2018
УДК 519.86:336.763(075.8)
ББК 22.18+65.053я73
М92
Российского университета
У т в е р ж д е н о
РИС Ученого совета
дружбы народов
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор В.М. Савчин;
доктор физико-математических наук, профессор О.В. Холостова
Мухаметзянов, И. А.
М92 Методы безударной стабилизации программных многообразий : моно-
графия / И. А. Мухаметзянов. – Москва : РУДН, 2018. – 201 с. : ил.
В монографии изложены принадлежащие автору методы безударной стабилизации про-
граммных многообразий механических и обобщённо-механических систем и их приложения
к решению актуальных прикладных задач.
Издание предназначено для студентов и аспирантов физико-математических, экономических и инженерных специальностей, а также научных сотрудников, работающих в области
теории и конструирования управляемых систем различной физической природы.
ISBN 978-5-209-07486-1 © Мухаметзянов, И.А., 2018
© Российский университет дружбы народов, 2018
Оглавление
0.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Этапы становления и развития теории построения множества управ-
ляемых систем по заданным программным связям 12
1.1 Первый этап: постановка первоочередных задач и разработка некоторых
фундаментальных методов их решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Второй этап: построение семейства функций Ляпунова путём введения
квазискоростей взамен традиционных обобщённых скоростей и его при-
менения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Третий этап: разработка методов безударной стабилизации программ-
ных связей в условиях неопределённости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Построение одного семейства функций Ляпунова 28
2.1 Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 32
3.1 Построение семейства функций Ляпунова для исследования устойчиво-
сти по первому приближению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Построение систем асимптотически устойчивого «в большом» программ-
ного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Повышение качества переходного процесса механической системы опти-
мальным управлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Стабилизация программных многообразий 48
4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Оценка качества переходного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Стабилизация цилиндрической прецессии спутника на эллиптической
орбите 56
5.1 Метод решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Построение стабилизирующих моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообра-
зий при случайных возмущениях 62
6.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Алгоритм построения вектора u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3
6.3 Построение множества матриц R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5 Пример. Условия инвариантности качества программной ориентации ма-
нипулятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Управление ориентацией преследующего тела с инвариантным каче-
ством стабилизации 72
7.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2 Алгоритм управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3 Оценка качества переходного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4 Повышение качества переходного процесса оптимальным управлением . 76
8 Инвариантная стабилизация преследующего движения манипулятора 78
8.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2 Построение алгоритма управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3 Общий метод построения множества матриц R . . . . . . . . . . . . . . . 83
9 О квазиинвариантности программных многообразий при возмущени-
ях из заданного класса функций 85
9.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Решение задачи в частной постановке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Пример. Квазиинвариантная стабилизация программной ориентации ма-
нипулятора при пропорциональной навигации . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.4 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10 Об управлении программным движением без использования инфор-
мации о части переменных 92
10.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.2 Алгоритм построения множества уравнений регулятора . . . . . . . . . . 92
10.3 Стабилизация заданной ориентации свободного тела в пространстве без
использования информации и скорости центра масс . . . . . . . . . . . . 96
11 Построение уравнений регуляторов квазиинвариантно-
стабилизированного преследующего движения тела 98
11.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.2 Алгоритм решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.3 Алгоритм решения задачи в обобщённой постановке . . . . . . . . . . . . 101
11.4 Построение уравнений регулятора системы стабилизации ориентации
преследующего движения тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12 Построение уравнений регуляторов квазиинвариантно-
стабилизированного преследующего движения манипулятора 106
12.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.2 Метод решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.3 Построение множества уравнений регулятора преследующего манипуля-
тора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13 Алгоритм асимптотического сближения с заданным многообразием 113
13.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.2 Алгоритм управления укороченной системой . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.3 Алгоритм управления исходной системой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13.4 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14 Управление приведением системы в неголономное многообразие 125
14.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
14.2 Алгоритм управления укороченной системой . . . . . . . . . . . . . . . . 126
14.3 Оценка времени приведения системы в терминальное состояние . . . . . 127
14.4 Алгоритм управления исходной системой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
14.5 Приведение преследующего тела в режим движения по кривой погони . 128
15 Управление безударным приведением системы в голономное много-
образие 131
15.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
15.2 Управление укороченной системой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15.3 Оценка времени приведения системы в терминальное состояние . . . . . 134
15.4 Управление исходной системой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
15.5 Управление процессом приведения преследующего тела в заданную ори-
ентацию при пропорциональной навигации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
16 Безударная посадка тела на подвижную платформу 141
16.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
16.2 Построение управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
16.3 Построение управления преследующим телом переменной массы . . . . . 143
16.4 Определение расхода массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
17 Самонастраиваемое управление безударным приведением механиче-
ских систем в заданное многообразие 145
17.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.2 Алгоритм управления укороченной системой . . . . . . . . . . . . . . . . 146
17.3 Алгоритм самонастраиваемого управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
17.4 Управление системой в режиме торможения . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
17.5 Управление исходной системой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
17.6 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
18 Динамические уравнения относительного движения тела, выражен-
ные через планарный тензор инерции 151
18.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
18.2 Решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
18.3 Уравнения относительного движения тела вокруг центра масс в главных
осях инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
18.4 Частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6
19 Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки двух
подвижных объектов 157
19.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
19.2 Построение вектора управления процессом сближения с целью в режиме
торможения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
19.3 Построение управления преследующим телом переменной массы . . . . . 159
19.4 Оценка расхода массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
19.5 Алгоритм самонастраиваемого управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
20 Управление безударной стыковкой множества подвижных объектов в
упорядоченные моменты времени 162
20.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
20.2 Построение выражения сил управления преследующими движениями . . 162
20.3 Приведение центров масс объектов в исходные положения . . . . . . . . . 163
20.4 Управление объектами с переменными массами . . . . . . . . . . . . . . . 165
20.5 Оценка расхода массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
21 Управление процессом безударного захвата непредсказуемо движу-
щегося объекта мобильным манипуляционным роботом 167
21.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
21.2 Управление процессом приведения робота в область досягаемости цели
манипулятором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
21.3 Управление манипулятором при захвате цели . . . . . . . . . . . . . . . . 174
21.4 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
22 Стабилизация многообразия состояния обобщённых систем 179
22.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
22.2 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
22.3 Построение алгоритма управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
22.4 Выражение A˜ωчерез A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
22.5 Построение управления исходной системой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
22.6 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
23 Управление процессом приведения динамики слаборазвитой эконо-
мики производственного предприятия в состояние эталонной модели
развитой экономики 183
23.1 Метод решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
23.2 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
23.3 Решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
23.4 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
0.1 Введение 7
0.1 Введение
На данном этапе развития современной цивилизации происходит стремительная автоматизация всех процессов управления в технике и экономике. Крупной помехой этому
процессу является наличие непредсказуемых случайных возмущений в процессе достижения поставленных целей. В частности, это приводит к возникновению ударных
нагрузок в момент контакта, опасных как для управляемых, так и для преследуемых
объектов. Поэтому чрезвычайно важной задачей является выбор такого управления,
которое позволяет выполнить задачу стыковки этих объектов или их захвата, избегая
удара, за конечный промежуток времени. В данной книге предлагается максимально автономное («самонастраиваемое») управление, которое не требует вмешательства
человека.
При построении систем программного движения в основном необходимо решить
задачу определения вектор-функции управления P(x, t), входящей в правую часть
заданного n-мерного векторного дифференциального уравнения движения
˙x = f (x, P, t) (1)
системы управления, при которой движения построенной системы при определенных
начальных условиях происходят по заданной программе.
Задача построения систем (1) по заданному частному решению
x = ϕ(t) (2)
уравнения (1) получила существенное развитие в работах А.С. Галиуллина [38],
Я.Н. Ройтенберга, Е.А. Барбашина и др. [16, 17, 18, 155, 156].
В работах А.С. Галиуллина получены условия, при которых n-мерная векторфункция ϕ(t) является решением уравнения (1), а также определён класс устойчивых
движений. В работах Я.Н. Ройтенберга и Е.А. Барбашина рассматривались задачи,
когда размерность вектора P недостаточна для того, чтобы программа (2) была частным решением уравнения (1), в связи с чем решались задачи минимизации отклонений
от программы (2).
В 1961 году в Университете дружбы народов имени П. Лумумбы начал работать
научный семинар по теории устойчивости и управлению движением, руководимый профессором А.С. Галиуллиным. На одном из первых заседаний (май 1962 года) А.С. Галиуллин выступил с докладом «О задачах динамического программирования», в котором
были сформулированы основные задачи динамики, состоящие в частичном или полном
определении правых частей дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в управляемых системах, по известным требованиям, накладываемым
на свойства их движений. В докладе также былa изложена программа исследований
кафедры теоретической механики в этом направлении. В последующем эти задачи
получили дальнейшее развитие в своих постановках и методах решения. Неоднозначность решения основной задачи построения систем дифференциальных уравнений по
известным частным интегралам позволила учитывать различные дополнительные требования, такие как устойчивость движения по многообразиям и самого многообразия,
оптимальность в заданном смысле, инвариантность по отношению к возмущениям и
т.д. В дальнейшем совокупность требований, накладываемых на движения системы,
стала рассматриваться как программа движений, а искомая частично или полностью
8 0.1 Введение
система дифференциальных уравнений — как система уравнений программных движений.
Естественным обобщением различных задач программирования [39] явился метод
Н.П. Еругина о построении множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую [56], получивший дальнейшее развитие в работах
участников семинаров при кафедре теоретической механики УДН.
Общность постановки и широкие возможности задачи Н.П. Еругина привели к
тому, что в начале 1960-х гг. началось интенсивное развитие теории построения систем
различной физической природы, в том числе и механических, программой для которых
служит заданное многообразие Ω(t), описываемое уравнениями
ωj(x, t) = 0 (j = 1, 2, . . . , s ≤n), (3)
аналогичными уравнениям удерживающих связей, наложенных на несвободные механические системы. В отличие от несвободных механических систем координаты системы управления могут и не удовлетворять уравнениям программных связей (3), так
как система управления, вообще говоря, является свободной системой, а условия (3)
указывают лишь на то, что многообразие Ω(t) должно являться интегральным для
уравнений движения системы. А для достижения этой цели активные управляющие
силы, действующие на систему, выбираются так, чтобы при начальных состояниях системы, удовлетворяющих условиям (3), построенная система вела бы себя точно так
же, как несвободная система, на которую наложены связи вида (3). В этом заключается основная особенность и в то же время сходство систем программного движения
и несвободных механических систем.
Следует отметить, что так называемые обратные задачи механики, аналогичные
вышеуказанной, в прошлом привлекали внимание многих известных математиков и
механиков. Приведем некоторые известные классические задачи, которые заложили
фундамент становления и развития современной теории обратных задач динамики.
Одной из первых обратных задач динамики, решённых в прошлом, явилась задача
Ньютона по определению сил, под действием которых планеты совершают движение
согласно законам Кеплера.
Задача Ньютона в дальнейшем вызвала постановку и других обратных задач динамики точки. Так, например, Бертран [13] поставил задачу об определении структуры
позиционных сил, под действием которых материальная точка движется по коническому сечению. Решением этой задачи в различных её видоизменениях занимались
многие известные механики и математики прошлого.
Окончательное решение этой задачи в довольно общей постановке было дано
В.Г. Имшенецким [63].
Отметим, что в курсах лекций по теоретической механике прошлого было принято
четко выделять два самостоятельных раздела динамики: раздел, где рассматривались
задачи по определению свойств движения при заданных связях и силах, и раздел,
посвящённый обратным задачам. Таким, например, является известный в прошлом
курс лекций Г.И. Шебуева [179]. Там же в простейшей постановке содержатся решения
вполне современных задач по управлению преследующей точкой и точкой, движущейся по локсодромии.
Следующей фундаментальной обратной задачей явилась задача Г.К. Суслова о построении силовой функции, допускающей данные частные интегралы [169], изложенная в его докторской диссертации, изданной в 1890 году [170]. Эта задача является
0.1 Введение 9
весьма общей постановкой обратных задач динамики механических систем в предположении, что поле сил является потенциальным. В работе [169] дана постановка этой
задачи и изложен аналитический метод её решения для систем с n степенями свободы,
когда задано n−1 независимых интегралов. Н.Е. Жуковский с помощью геометризации
толкований этой задачи построил силовую функцию в явном виде для механических
систем с одной и двумя степенями свободы [58].
Глубоко содержательными в прикладном и теоретическом отношениях оказались обратные задачи динамики точки переменной массы, поставленные и решённые
И.В. Мещерским [80], где определяются закон и скорость изменения массы по заданной
траектории или по заданному закону движения точки. К этой же группе обратных задач примыкают задачи отыскания условий, наложенных на геометрию масс твердого
тела с закреплённой точкой, когда соответствующие уравнения движения допускают
алгебраические интегралы (работы Д.Н. Горячева [53] и С.А. Чаплыгина [176]).
Если в задачах Бертрана и Суслова определялась вся правая часть дифференциальных уравнений движения по заданным интегралам, то в указанной группе обратных задач структура правых частей уравнений предполагается известной, и отыскиваются дополнительные силы или параметры механической системы, при которых движение с заданной траекторией или с заданным законом является одним из возможных
движений механической системы.
В настоящее время задачи такого рода стали одним из основных типов задач теории
управления движением материальных систем, когда по заданным свойствам движения
объекта управления строятся функции управления или дифференциальные уравнения
относительно этих функций. Так, например, в [38] ставится и решается задача определения переменных (во времени) параметров материальных систем различной физической природы (движения которых описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями) так, чтобы заданное (программное) движение системы являлось одним
из возможных её движений и устойчивым в смысле Ляпунова, а также в смысле Каменкова на конечном интервале времени.
Как было отмечено выше, в 1952 году была опубликована работа Н.П. Еругина [56],
где обратная задача теории дифференциальных уравнений, поставленная как задача
построения множества систем дифференциальных уравнений по заданным частным
интегралам, явилась наиболее общей математической постановкой обратных задач
динамики и основополагающей в постановке многих задач теории управления движением материальных систем [72], в частности в задачах аналитического построения
систем программного движения [39, 44, 50]. Метод решения обратных задач теории
дифференциальных уравнений, установленный в работе [56], оказался действенным
и универсальным методом для решения как обратных задач динамики, так и задач
построения дифференциальных уравнений материальных систем, движения которых
происходят с заданными свойствами, записанными в виде частных интегралов строящихся уравнений.
Естественно, что общность постановки задачи Еругина и действенность метода её
решения позволяют с большей широтой толковать и ставить, а также решать многие
обратные задачи управления движением материальных систем. Заметим, что задачу
Еругина полезно ставить и решать в различных сочетаниях с требованиями устойчивости, оптимальности и инвариантности заданных свойств движения. Такие сочетания, а также дополнительные качественные и количественные требования к программе
позволяют, используя неоднозначность решения самой задачи Еругина, доопределять
10 0.1 Введение
правые части искомых дифференциальных уравнений движения, а также находить
дополнительные условия для определения искомых функций управления, параметров
и управляющих сил рассматриваемой материальной системы [39, 44, 50].
Итак, понятие обратных задач динамики механических систем охватывает задачи
по определению параметров системы, активных сил и различного рода связей, при которых движение с заданными свойствами относительно его геометрических и кинематических показателей (программа движения) является одним из возможных движений
рассматриваемой материальной системы.
Обратные задачи динамики механических систем привлекали к себе внимание механиков и математиков прежде всего потому, что эти задачи заключали в себе широкие
прикладные возможности и являлись проблематичными в смысле их окончательной
разрешимости. В настоящее время эти задачи уже вышли за рамки одной лишь теоретической механики и превратились в задачи построения таких систем различной физической природы и конструкции, где происходят процессы, удовлетворяющие заранее
поставленным требованиям, что составляет основную проблему современной теории
управления движением материальных систем.
Таким образом, современные задачи построения систем программного движения
можно считать дальнейшим качественным развитием обратных задач классической
механики, которые в настоящее время стали особенно актуальными в связи с развитием теории и техники автоматического управления процессами различной физической
природы.
Исследования данной проблемы с самого начала развивались интенсивно, самим
А.С. Галиуллиным и его аспирантами И.А. Мухаметзяновым, Р.Г. Мухарлямовым и
В.М. Савчиным. После ухода из жизни А.С. Галиуллина в 1999 году каждый из них
возглавил одно из трёх направлений исследований данной проблемы.
Автор этих строк еще в 1963 году предложил в [105] форму уравнений возмущённого движения, которые описывают характер отклонений от заданного многообразия
(3) при наличии ограничений, в виде неравенств
¯ωi(x, t) ≤ 0 (i = 1, 2, . . . , N). (4)
В качестве меры отклонения от многообразия (1.3) им принимались значения ωjв
уравнениях, полученных приравниванием их производных по времени множеству так
называемых функций Н.П. Еругина Φj(ω, x, t), обладающих свойством Φj(0, x, t) = 0.
При этом было установлено, что уравнения ˙ωj= Φj(ω, x, t) могут служить в качестве
уравнений возмущённого движения системы. Такой подход в дальнейшем был охотно подхвачен другими авторами и широко используется по настоящее время. Выбор
функции Φjпозволяет строить множество систем программного движения, удовлетворяющих различным дополнительным требованиям, таким как устойчивость движения по многообразиям (3) и самого многообразия при соблюдении неравенств (4),
оптимальности в заданном смысле, инвариантности к постоянно действующим и параметрическим возмущениям и т.д. Результаты работ, развивающих данное направление
исследований, подробно изложены в данной книге.
Направление исследований, возглавляемое Р.Г. Мухарлямовым, охватывает методы построения множества систем уравнений программных многообразий по заданному фазовому портрету, образованному различными типами интегральных кривых [143, 30]. Также к этому направлению исследований относятся работы, связанные с численным моделированием в задачах механики и в механических анало-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]