Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
13 Алгоритм асимптотического сближения. . . 121
Из условия Aωp= 0 следует R2k˜b−˜a(a +R cos ϕ)2= 0, откуда˜b =
(a+ R cos ϕ)2.
R2r
При условии ˜a 6= 0 можно выбрать ˜a произвольно. Например, при ˜a = 1 имеют
˜a
место
(a + R cos ϕ)
˜
b =
R2k
2
, ∆ =
R2k2+ (a + R cos ϕ)
R2k
2
.
Подставляя эти выражения в (13.37), получим
Aω=
R2(a + R cos ϕ)
R2k2(a + R cos ϕ)
2
, Ap=
2
R2k2+ (a + R cos ϕ)
R4k
2
. (13.38)
2
При одномерном, т.е. скалярном управлении u при задании вектора M0в виде
T
M
= kµ1, µ2k, учитывая Ω = k1, −kk, получим из (13.20) управление u в виде
0
2
−
Ω
u =
λ
где Ω2= 1 + k2, λ = µ1− kµ26= 0, U0> max
U0+ ˙ωTD0˙ωsign( ˙ω + 2ω) −D ˙ω − 2Cω, (13.39)
˜
Q
. Из условия λ 6= 0 следует, что при
ω
выборе µ1и µ2необходимо исходить из µ16= kµ2.
Значение U0в (13.39) необходимо выбрать из условия U0> max |Q
max |Q
0
| можно оценить, выражая Q
ω
0
через Q0с помощью (13.28). Например, при
ω
0
|, где значение
ω
отсутствии возмущений значение Q0, определяемое моментом силы тяжести точки,
равной mgR sin ϕ, можно оценить так:
max |Q
0
(mg)| 6
ω
mgR
1 + k
. (13.40)
2
Следовательно, значение U0в (13.35) можно взять равным U0= mgR/(1 + k2).
∂T
Теперь оценим член
p
, входящий в выражение˜Qωв (13.11).
∂ω
1
Имеем Tp=
виде
˙pTAp˙p, где Apимеет вид (13.38), а её производную по ω представим в
2
∂A
∂ω
∂A
p
=
p
.
∂ϕ∂ϕ∂ω
∂ω
Так как
= 1, то
∂ϕ
∂A
∂ω
∂A
p
=
∂ϕ
2R5k2(a + R cos ϕ) sin ϕ
p
=
[R2k2+ (a + R cos ϕ)2]
. (13.41)
2
Следовательно, имеет место оценка
∂A
Теперь оценим max
вию (13.22) вида D0> max
max
∂ω
∂A
p
∂ω
ω
для выбора значения D0, удовлетворяющего усло-
∂A
ω
. Для этого, обращаясь к (13.38), определим
∂ω
2R5k2(a + R)
6
[R2k2+ (a −R)2]
. (13.42)
2
∂A
∂ω
∂A
ω
=
ω
=
∂ϕ
−2R2(a + R cos ϕ) sin ϕ [R2k2(a + R cos ϕ)2] + 2R3sin ϕ(a + R cos ϕ)
=
[R2k2+ (a + R cos ϕ)2]
2
3
. (13.43)
122 13 Алгоритм асимптотического сближения. . .
Отсюда
max
∂A
∂ω
2R3(a + R)3(Rk2+ 1)
ω
6
[R2k2+ (a −R)2]
Следовательно, условие (13.22) выполняется при
2R3(a + R)3(Rk2+ 1)
D0>
[R2k2+ (a −R)2]
dA
ω
Теперь оценим значение max
D > max
Имеем
dA
dt
∂A
ω
=
ω
˙ϕ. Отсюда в силу (13.43) имеем
∂ϕ
dA
ω
max
dt
, необходимое при выборе D, из условия (13.24):
dt
dA
ω
+ 2max Aω. (13.46)
dt
2R3(a + R)3(Rk2+ 1)
6
[R2k2+ (a −R)2]
. (13.44)
2
. (13.45)
2
max | ˙ϕ|. (13.47)
2
Из (13.38) следует
max Aω6
R2(a + R)
R2k2+ (a −R)
2
. (13.48)
2
Таким образом, значение U0в (13.20), удовлетворяющее условию U0> |˜Qω|, оценивается неравенством
∂A
U0> max |Q
где первое слагаемое правой части (13.49) оценивается неравенством (13.40), а зна-
чение max
∂A
p
— выражением (13.42). Значение D0в (13.20) оценивается неравен-
∂ω
0
(mg)| + max
ω
p
∂ω
max
ством (13.45), а max |˙p2| — неравенством max |˙p2| 6 max|˜a ˙ϕ| +
2
˙p
, (13.49)
2
˜b˙
ψ
.
Итак, построено управление (13.39) с параметрами D0, U0, C, выбираемыми из
условий (13.45), (13.49), C > 0, а D — из условия (13.46) путём замены в нём значений
dA
ω
max
и max Aωправыми частями (13.47) и (13.48).
dt
1.4.3. Управление процессом нарезания резьбы на круглую цилиндриче-
скую трубу. Процесс нарезания резьбы на внешнюю или внутреннюю поверхность
трубы можно осуществить двумя способами: двигая и вращая трубу относительно
неподвижного резца или двигая и вращая резец относительно неподвижной трубы.
Такими способами можно осуществить этот процесс одним и тем же законом поступательного движения оси трубы с одновременным вращением вокруг этой оси или теми
же движениями резца с держателем. Зададим закон этого движения в следующем
параметрическом виде:
z = t, ϕ = kt,
13 Алгоритм асимптотического сближения. . . 123
где z — координата центра масс движущегося тела на прямой, параллельной оси цилиндра, ϕ — угол поворота тела вокруг этой оси. При этом на внешней или внутренней
2πR
поверхности трубы описывается винтовая линия ω = ϕ −kz с шагом k =
, где R —
k
радиус наружной окружности трубы за вычетом глубины резания в случае нарезания
резьбы на внешнюю поверхность трубы, в случае нарезания резьбы на внутреннюю поверхность трубы R есть радиус внутренней окружности трубы плюс глубина резания,
k — заданная постоянная, определяющая шаг винта.
Как известно, при этом кинетическая энергия движущей части определяется по
формуле Кёнига:
T =
m ˙z
2
2
+
2
J ˙ϕ
, (13.50)
2
где m — масса движущегося тела, J — момент инерции этого тела относительно оси
трубы. В случае движущегося резца с держателем положение их центра масс будем
считать лежащим на оси трубы.
Теперь вместо обобщённых координат z и ϕ введём новые ω и p, причём производную по времени от p будем искать в виде ˙p = a ˙ϕ + b ˙z, где a и b определим из условия
отсутствия в выражении T в новых координатах члена, содержащего произведение ˙ω ˙p.
Теперь представим T через ˙ω и ˙p, подставляя в (13.50) значения
˙p − a ˙ω
˙z =
, ˙ϕ =
∆
где ∆ = ak + b 6= 0, найденные из уравнений
˙ω = ˙ϕ − k ˙z, ˙p = a ˙ϕ + b ˙z.
Получим
m
T =
( ˙p + a ˙ω)2+
2
2∆
Отсюда
T =
1
˙ωTAω˙ω +
2
1
2
где
∆
2
2
, Ap=
m + Jk
Aω=
ma2+ Jb
Из условия Aωp= 0 следует, что a =
через b, получим
(Jk2+ m)b
∆ =
m
, Aω−
Jm
Jk2+ m
b ˙ω + k ˙p
,
∆
J
( ˙ωb + k ˙p)2.
2
2∆
˙pTAp˙p + Aωp˙ω ˙p,
∆
2
2
, Aωp=
Jkb − ma
2
∆
.
Jk
b. Подставляя значение a, выраженное
m
2
, Ap=
m
. (13.51)
b2(Jk2+ m)
Заметим, что параметр b, входящий в (13.51), можно задавать произвольно при условии b 6= 0.
При одномерном, т.е. скалярном управлении u, задавая вектор M0в виде
T
M
= kµ1, µ2k и учитывая Ω = k1, −kk, из (13.32) получим
0
2
u = −
Ω
[U0sign( ˙ω + 2ω) + D ˙ω + 2Cω] , (13.52)
λ
124 13 Алгоритм асимптотического сближения. . .
где U0> max |Q
0
|, так как Aωи Apявляются постоянными, Ω2= 1+k2, λ = µ1−kµ26= 0.
ω
Отсюда вытекает необходимость соблюдения условия µ16= kµ2при выборе µ1и µ2.
Значение Q
случайных возмущающих сил max |Q
0
можно определить из (13.28) через Q0. Например, при отсутствии
ω
max |Q
0
| оценивается неравенством
ω
max |Mc| + k max |Pc|
0
| 6
ω
1 + k
2
, (13.53)
где Mc— момент сопротивления резанию относительно оси вращения, Pc— сила сопротивлению резанию вдоль оси трубы. Следовательно, значение U0в (13.52) может быть
принято равным правой части (13.53). Заметим, что данный процесс можно осуществить путём управления лишь вращением вокруг оси цилиндра, оставляя движение
вдоль оси произвольным. При этом µ2= 0, µ16= 0, а значение U0оценивается неравенством U0> max |Mc|/(1 + k2).
Глава 14
Управление приведением системы в
неголономное многообразие
14.1 Постановка задачи
Рассматривается механическая система, динамика которой описывается уравнениями
Лагранжа второго рода:
где
T =
Здесь q, ˙q ∈ Rn— векторы обобщённых координат и скоростей, Q — вектор управляющих обобщённых сил, Q0— вектор неуправляющих активных сил, в том числе
случайных возмущений, ограниченных по величине, удовлетворяющих условию Липшица. Матрица кинетической энергии A положительно определена:
∂T
∂ ˙q
−
∂T
= Q + Q0, (14.1)
∂q
d
dt
1
˙qTA(q, t) ˙q + ˙qTb(q, t) + T0(q, t). (14.2)
2
n
X
λ
1
i=1
1
2
˙q
6
i
˙qTA(q, t) ˙q 6 λ
2
2
n
X
2
˙q
, λν= const > 0, ν = 1, 2, (14.3)
i
i=1
а её элементы aik(q, t) — гладкие.
Пусть программное многообразие системы задано в виде, образованном неголономными программными связями:
˜
A(q, t) ˙q + a(q, t) = 0, (14.4)
где˜A(q, t) — матрица (k × n) с гладкими элементами, удовлетворяющая условию
det
˜A˜
A
T
6= 0.
Задача заключается в построении выражения Q, обеспечивающего приведение за
конечное время фазового состояния системы (14.1) на многообразие (14.4) при любых
начальных условиях q0, ˙q0, t0, независимо от конкретного вида A(q, t), b(q, t), T0(q, t),
Q0, используя лишь информацию об отклонениях от многообразия (14.4), выражаемую
через q и ˙q.
Заметим, что эту задачу можно решить по принципу декомпозиции [153], но при
размерности управляющего вектора, равной числу степеней свободы системы. Здесь
предлагается решение при меньшей размерности вектора управления.
125
126 14 Управление приведением системы в неголономное многообразие
14.2 Алгоритм управления укороченной системой
Для решения задачи переходим от координат qνк квазикоординатам ωi(i = 1, 2, . . . , k),
а также к координатам p1, p2, . . . , p
вводим в виде
˙ω =˜A(q, t) ˙q + a(q, t). (14.5)
, ортогональным ωi, при этом квазискорости
n−k
Выражая T через ˙ω, ˙p в виде T = Tω+Tp+˜T0, где Tω=
1
b˜ω= bω− Aωa, T
ω
(2)
=
˙ωTAω˙ω, получим уравнение (14.1) в квазикоординатах:
2
d
dt
d
dt
∂T
∂ ˙ω
∂T
∂ ˙p
−
∂T
ω
= Qω+ Q
ω
∂ω
∂T
−
= Qp+ Q
∂p
Систему (14.6) назовём укороченной системой.
∂T
Подставляя
ω
= Aω˙ω + b˜ωв (14.6), получим
∂ ˙ω
∂T
∂b
∂t
∂ω
˜ω
(2)
ω
+
где B˜ω=
∂b
∂ω
d
(Aω˙ω) + B˜ω˙ω −
dt
T
∂b
˜ω
−
˜ω
,˜Qω= Q
∂ω
∂b
−
∂p
˜ω
˙p −
0
ω
Умножая уравнение (14.8) скалярно на ˙ω, получим
dT
dt
ω
(2)
= ˙ω
T
Qω+˜Qω+
1
∂A
T
˙ω
2
∂ω
1
˙ωTAω˙ω + ˙ωTb˜ω,˜T0= T0+T
2
0
, (14.6)
ω
0
. (14.7)
p
ω
= Qω+˜Qω, (14.8)
0
∂T
ω
.
∂ω
1
ω
˙ω−
dA
ω
T
˙ω
2
˙ω. (14.9)
dt
0
,
Вектор обобщённых сил выберем в виде
dA
ω
, (14.10)
dt
Qω= Uω+ D ˙ω, D >
1
2
где
Uω= −(sign ˙ω)U0+ ˙ωTD0˙ω, (14.11)
i
U0— постоянный вектор с элементами U0i>
˜
Q
, ˙ωTD0˙ω — вектор с элементами
ω
˙ωTD0i˙ω, D0i— определённо положительные матрицы, удовлетворяющие условию
D0i>
1
max
2
∂A
ω
, (14.12)
∂ω
i
sign ˙ω — диагональная матрица с элементами sign ˙ωi. При этом правая часть (14.9)
становится определённо отрицательной функцией по ˙ω. Следовательно, значение | ˙ω|
со временем будет убывать.
Заметим, что при выборе Uωв виде (14.11) при любых ограниченных начальных
значениях ˙ω(0) время обращения | ˙ω| будет конечным. Доказательство этого утвержде-
ния приводится ниже.
14 Управление приведением системы в неголономное многообразие 127
14.3 Оценка времени приведения системы в терминальное состояние
Так как правая часть (14.9) является определённо отрицательной по ˙ω, то в силу (14.3)
имеет место
dV
6 −b
dt
где b1, b2— положительные постоянные, V = T
Интегрируя правую часть неравенства
до 0, получим оценку времени приведения системы в состояние ˙ω = 0:
2
t16
b
2
√
1
√
ln1 +
V + b2V, (14.13)
(2)
.
ω
dV
6 −dt от 0 до t1, а левую от V
V b1+ b2V
b
2
√
b
1
, (14.14)
V
0
0
где V0— начальное значение T
ω
(2)
.
14.4 Алгоритм управления исходной системой
Теперь необходимо определить вектор обобщённых сил управления Q исходной системой (14.1). С этой целью определим зависимость между Q и построенной в разделе
14.2 функцией Qω. Для этого определим сумму элементарных работ всех активных
сил управления
δAα= QTδq, (14.15)
где δq — вектор изохронных вариаций элементов q.
Выделим из (14.15) элементарную работу δA
α
ω
вариациях
δω = Ωδq, (14.16)
вытекающих из (14.4), где Ω =
˜
A
— прямоугольная (k × n)-матрица.
Из системы k уравнений (14.16) определим элементы вектора δq в количестве n
через k элементов вектора δω. Для этого вектор δq разложим на две составляющие:
(δq)N— вектор, нормальный к многообразию (14.4), и (δq)τ— вектор, касательный
к (14.4). Первый из них ищем в виде (δq)N= ΩTλ, где λ — k-мерный искомый вектор.
Подставляя
δq = (δq)N+ (δq)
= Q
τ
T
δω, совершаемую лишь при
ω
(14.17)
в (14.16), получим ΩΩTλ + Ω(δq)τ= δω. Следовательно, имеем (δq)N= ΩT(ΩΩT)−1δω.
Подставляя в (14.15) значение (14.17), получим
δAα= QTΩT(ΩΩT)−1δω + QT(δq)τ.
Второй член в правой части этого выражения не зависит от δω. Следовательно, частью суммы элементарных работ управляющих сил, совершаемых на элементарных
перемещениях δq, вносящих вклад в вариацию δω, является
α
δA
= QTΩT(ΩΩT)−1δω,
ω
128 14 Управление приведением системы в неголономное многообразие
откуда
T
Q
= QTΩT(ΩΩT)−1. (14.18)
ω
Если вектор обобщённых сил управления исходной системой (14.1) задавать в виде
Q = M0u, где u — r-мерный вектор управления, M0(q, ˙q, t) — матрица (n × r), удо-
влетворяющая в области G условию det
M
T
M
6= 0 и ΩM06= 0, то при подстановке
0
0
Q = M0u в (14.18) получим следующую систему k уравнений для определения r элементов вектора u:
(ΩΩT)−1ΩM0u = Qω. (14.19)
Заметим, что правая часть этого уравнения была определена в виде (14.10), где U
имеет вид (14.11).
Решение уравнения (14.19) относительно u можно представить в виде [114]
u =¯Ω
T
¯Ω¯
Ω
−1
T
Qω+ uτ, (14.20)
где¯Ω = (ΩΩT)−1ΩM0, det k¯Ω¯ΩTk 6= 0, uτ— r-мерный произвольно задаваемый вектор,
удовлетворяющий условию¯Ωuτ= 0, который можно представить в виде
¯Ω¯
Ω
−1
T
Ω
T
¯
Ωi˜u,
−1
¯
Ω = 0. Следовательно, имеет место
uτ=hE −¯Ω
где E — единичная матрица, ˜u — произвольный вектор. Заметим, что при r = k матри-
ца¯Ω является квадратной, причём E −¯Ω
T
T
¯Ω¯
uτ≡ 0. Отсюда следует, что минимальная размерность вектора управления u может
быть равна размерности k вектора ω при k < n. Как отмечалось в разделе 14.1, в этом
заключается принципиальное преимущество предлагаемого здесь метода управления
от принципа декомпозиции [153] при задании невозмущённого состояния системы в
виде (n − k)-мерного многообразия (14.4).
Следует отметить также то, что в случае r > k, полагая uτ= 0, в силу произвольности вектора uτ, получим вектор управления u, имеющий минимальную евклидову
норму, в виде
u =¯Ω
¯Ω¯
Ω
−1
T
(Uω− D ˙ω) , (14.21)
T
ω
где Uω— ступенчатая функция (14.11).
В частном случае k = r = 1 матрицы M0и ΩTстановятся n-мерными векторамистолбцами, а C, D, Uω, U0, ω — скалярными величинами. При этом из (14.21) следует
скалярное управление
2
Ω
u =
(Uω− D ˙ω) , (14.22)
λ
где λ — скалярное произведение векторов M0и ΩT, Uω— выражается в виде (14.11).
14.5 Приведение преследующего тела в режим дви-
жения по кривой погони
При движении центра масс тела по кривой погони [64] имеет место
˙ωi=¯`i·¯V (i = 1, 2), (14.23)
14 Управление приведением системы в неголономное многообразие 129
где¯`i— орты осей, ортогональных линии визирования CO, где C — центр масс, O —
преследуемая точка,¯V — скорость точки C.
Построим вектор управляющих центром масс C тела так, чтобы направление скорости¯V точки C было приведено за конечное время из любого начального положения,
удовлетворяющего условию (¯V ·¯`3) > 0, в положение, совпадающее с линией визирования CO, где¯`3— орт вектора CO.
Из (14.23) следуют два уравнения для выражения трёх компонентов Vx, Vy, V
вектора¯V через ˙ω1, ˙ω2:
¯
`1·¯V = ˙ω1,¯`2·¯V = ˙ω2, (14.24)
где Vx, Vy, Vz— проекции¯V на главные оси инерции тела с ортами¯k1,¯k2,¯k3.
Уравнения (14.24) можно представить в виде
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
1
1
Vx+
Vx+
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
2
2
Vy+
Vy+
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
Vz= ˙ω1,
3
Vz= ˙ω
3
2
или в матричной форме
Ω¯V = ˙ω, ˙ωT= ( ˙ω1, ˙ω2) , (14.25)
z
где
Ω =
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
1
1
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
2
2
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
3
. (14.26)
3
Решение (14.25) относительно¯V ищем в виде
¯
V = ΩTλ, (14.27)
где λ — двумерный вектор λT= (λ1, λ2).
Подставляя (14.27) в (14.25), получим уравнение ΩΩTλ = ˙ω для определения λ в
виде λ =ΩΩ
Обозначим M1= ω
Теперь, подставляя (14.28) в выражение T =
где V2= ˙ωTM
Теперь вектор Q
−1
T
˙ω. Следовательно, получим выражение¯V через ˙ω:
ΩΩ
−1
T
˙ω.
2
mV
¯
V = Ω
ΩΩ
T
−1
. Тогда
T
T
¯
V = M1˙ω. (14.28)
, получим T = T
2
T
M1˙ω, T
1
T
=Q
ω
(2)
= ˙ωTAω˙ω, Aω= M
˜ω
(1)
ω
, Q
(2)
можем построить в виде (14.10)
ω
m
T
M
.
1
1
2
ω
(2)
+ T
ω
(1)
+ T
0
,
ω
Qω= Uω− D ˙ω,
где Uωимеет вид (14.11).
Для выражения вектора управления U1через Qωвоспользуемся следующими уравнениями, записанными в проекциях на главные оси инерции тела:
m
˜
d¯V
dt
=
¯
V × ¯ω
m + f + U1,
0
130 14 Управление приведением системы в неголономное многообразие
где ¯ω0— угловая скорость вращения тела.
Исходя из (14.28), вариацию δω можно выразить через δ¯V в виде δ¯V = M1δω.
Сумму элементарных работ управляющих сил U
0
U
, U
1
p
0
q
0
, U
можно представить в
r
виде
δA
a
ω
=˜U
T
δ¯V =˜U
1
T
M1δω,
1
где˜U1= U1/m.
Эту же сумму можно записать в виде δA
T
˜
M
U1= Qω. (14.29)
1
a
ω
T
= Q
δω. Следовательно, имеет место
ω
Решение˜U1уравнения (14.29) ищем в виде
˜
U1= M1λ0, (14.30)
где λ0— двумерный вектор λ
T
0
Подставляя (14.30) в (14.29), получим M
= (λ
0
0
, λ
).
1
2
T
M1λ0= Qω. Отсюда λ0=M
1
−1
T
M
1
Qω.
1
Следовательно, из (14.30) определим выражение˜U1с минимальной евклидовой нормой
в виде
˜
U1= M
M
1
−1
T
M
1
Qω,
1
где Qωимеет вид (14.10), а Uω— вид (14.11).
Заметим, что в случае равенства нулю одного из компонентов вектора U1матрица
(14.26) становится квадратной. Например, при U
Ω =
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
1
1
При этом управление U1будет двумерным вектором U
0
= 0 имеет место
r
¯
`1·¯k
¯
`2·¯k
2
.
2
T
=U
1
p
0
, U
0
.
q
В заключение отметим, что оценка времени t1приведения вектора¯V в положение,
направленное по CO, выражается в виде (14.14).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]