Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
21 Управление процессом безударного захвата. . . 171
где (sign˙˜ω) — диагональная матрица (2 × 2) с элементами (sign˙˜ωi), N — постоянный
вектор с положительными элементами Ni, удовлетворяющими условию Ni> |Ω˜B|i, где
|Ω˜B|i— абсолютные величины элементов вектора Ω˜B.
Скалярно умножая (21.15) на˙˜ω, получим
2
12d˙˜ω
= −˙˜ωT[(sign˙˜ω)N + Ω˜B]. (21.17)
dt
Известно [153], что в некоторый конечный момент времени˜t1наступает равенство
˙
˜ω(˜t1) = 0. При этом левая часть (21.8) обращается в нуль. Тогда при t >˜t1изобра-
жающая точка Ni(ωi, ˙ωi) в фазовой плоскости (ωi, ˙ωi) будет двигаться в скользящем
режиме вдоль линии разрыва
˙ωi+ µiωi= 0 (i = 1, 2), (21.18)
асимптотически приближаясь к точке ωi= ˙ωi= 0 по закону
ωi= ωi(˜t1)e
−µi(t−˜t1)
,
но не попадая в эту точку за конечный момент времени.
Для того чтобы приведение изображающей точки в начало координат
ωi= ˙ωi= 0 (i = 1, 2) произошло за конечный промежуток времени, воспользуемся методом безударного приведения состояния механических систем в заданное многообразие, предложенным в [118]. Суть этого метода заключается в замене многообразия
(21.18), начиная с момента времени˜t1, другим многообразием
2
˙ω
(˜t1)
˙ωi(τ) − ˙ωi(˜t1) +
i
τ = 0 (i = 1, 2), (21.19)
2ωi(˜t1)
где τ = t −˜t1.
При этом в качестве квазискорости принимается выражение
2
˙ω
(˜t1)
˙
˜ωi= ˙ωi(τ) − ˙ωi(˜t1) +
i
τ, (21.20)
2ωi(˜t1)
а за линию разрыва, вместо (21.18), принимается линия
ωi(τ) =
ωi(˜t1)
2
˙ω
(˜t1)
i
2
[ ˙ω
(˜t1) − ˙ω
i
2
(τ)]. (21.21)
i
Из (21.20) следует, что в момент времени
τi0= 2
ωi(˜t1)
˙ωi(˜t1)
значение ˙ωi(τi0) обращается в нуль, а из (21.21) следует, что значение ωi(τi0) тоже
обращается в нуль в тот же момент времени τi0. Таким образом, приведение системы
в положение ωi= ˙ωi= 0 произойдет без удара.
Теперь, используя (21.16), определим U. Для этого˜U ищем в виде
T
˜
U = Ω
˜
λ. (21.22)
172 21 Управление процессом безударного захвата. . .
Подставляя (21.22) в (21.16), получим
(ΩΩT)˜λ = −(sign˙˜ω)N.
Отсюда
˜
λ = −(ΩΩT)−1(sign˙˜ω)N.
Теперь, учитывая˜U = J−1U, из (21.22) определим
U = −JΩT(ΩΩT)−1(sign˙˜ω)N, (21.23)
где Ω имеет вид (21.11), а элементы вектора˙˜ω имеют вид (21.8) при 0 < t ≤˜t1и вид
(21.20) при τ = t −˜t1≥ 0.
Управление роботом в режиме торможения. Выше было доказано, что при
управлении (21.23) в конечный момент времени˜t2=˜t1+ τ0, где τ0= max τi0(i = 1, 2),
ось Cz с ортом¯k3системы координат Cxyz приводится в положение, совпадающее с
линией визирования CCo. В этот момент времени˜t2приложим в точку C, помимо силы¯Fn, еще дополнительную силу¯Fτ, направленную по линии визирования CCoпротив
¯
k3. Сила¯Fτ, называемая силой торможения, призвана привести точку O0крепления
первого звена манипулятора к корпусу робота в точку O области досягаемости цели
«рукой манипулятора». В качестве точки O примем точку линии CCoна расстоянии
R0= |CoO| от точки Coдо точки O со стороны центра масс робота C. При этом ве-
личина R0должна быть меньше максимально возможного расстояния max |O0Oe|, где
Oe— центр схвата, прикреплённого к концу последнего звена манипулятора. Расстоя-
ние |O0O| обозначим через S, производную S по времени через V =˙S, а их начальные
значения, соответственно через S0и V0. Для решения этой части задачи используем
приём управления безударной стыковкой двух объектов, предложенный в работе [130].
Для этого запишем уравнение абсолютного движения центра масс C в проекции
на линию визирования
dV
a
m
= −R0− U, (21.24)
dt
где Va— проекция вектора абсолютной скорости точки C, m — масса робота, R0—
проекция главного вектора неуправляющих сил, U — проекция силы¯Fτ.
При движении робота по принципу пропорциональной навигации, навязываемом
силой¯Fn, прямая CCoдвижется поступательно, то есть оставаясь параллельной самой
себе. Принимая скорость движения точки Coза переносную, уравнение относительного движения точек C и O0в проекции на линию визирования CCoзапишем в виде,
аналогичном (21.24):
dV
m
= −R0− mae− U, (21.25)
dt
где V — проекция относительной скорости точек C и O0, ae— проекция переносного
ускорения этих точек.
Искомое управление U представим в виде U = (U1+ U2), где U1— постоянная
составляющая, а U2— ступенчатая составляющая.
Силу U1зададим в виде
2
V
U1= m
0
, (21.26)
2S
0
где S0— начальное расстояние между точками O0и O, V0— начальное значение
проекции относительной скорости¯V на |CCo|.
21 Управление процессом безударного захвата. . . 173
Заметим, что в случае R0= 0 и ae= 0 уравнение (21.25) при управлении U = U
имеет вид
2
= −
V
0
. (21.27)
2S
0
dV
dt
Интегрируя (21.27) по t, получим
2
V
V −V0+
0
t = 0. (21.28)
2S
0
Заметим, что отсчёт времени t ведётся, начиная с момента˜t2.
Из уравнения (21.28) определяется время t1= 2S0/V0, при котором S и V одновременно обращаются в нуль. Таким образом, при управлении U , движение изображающей точки N в фазовой плоскости (S, V ) происходит по кривой
S
0
S =
2
(V
− V2) (21.29)
0
2
V
0
от начальной точки N0(S0, V0) до начала координат S = 0, V = 0. Заметим, что эта кривая (21.29) следует из теоремы об изменении кинетической энергии точки в конечной
форме и является ветвью параболы.
Теперь обоснуем необходимость введения в управление кусочно-постоянной составляющей U2и определим её выражение. При ae6= 0, R06= 0 в правой части уравнения
(21.27) появляются слагаемые, при котором правая часть уравнения (21.28) не будет
равняться нулю. Поэтому, с целью наделения решений уравнения (21.25) свойствами
(21.28) и (21.29), предлагается следующая процедура.
Введём квазискорость
2
V
˜
V = V − V0+
0
t, (21.30)
2S
0
представляющую собой правую часть (21.28) при ae6= 0 и R06= 0.
Выразим V через˜V :
2
V
V =˜V + V0−
0
t. (21.31)
2S
0
Подставляя (21.3) и U = U1+ U2в (21.25), в силу (21.26) получим
1
d˜V
m
= −U2− mae− R0.
dt
Умножая это уравнение на˜V и внося˜V под знак дифференциала, получим
d
m˜V
!
2
= −˜V (U2+ mae+ R0). (21.32)
dt
2
Функцию m˜V2/2 , являющуюся знакоопределённой положительной, примем в ка-
честве функции Ляпунова для стабилизации невозмущённого состояния (21.28).
Зададим U2в виде
U2= U0sign˜V , (21.33)
где U0— положительная величина, удовлетворяющая условию
U0> |mae+ R0| + δ, δ = const > 0. (21.34)
При этом правая часть (21.32) становится определённо отрицательной. В этом случае значение˜V обращается в нуль за конечный промежуток времени.
174 21 Управление процессом безударного захвата. . .
21.3 Управление манипулятором при захвате цели
Конструктивные особенности манипулятора. В момент времени t2после при-
ведения точки O0в точку O начинается управление манипулятором для безударного
захвата цели Co. Прежде чем приступить к решению этой задачи, кратко опишем
основные конструктивные особенности манипулятора [124].
0
Пусть манипулятор состоит из цепочки n пар тел T
рой T
шарнира O
0
вращается относительно тела T
ν
(ν−1)
, а T
00
перемещается относительно T
ν
чало отсчёта перемещения Sνтела T
также обозначения:¯lν=
O
Dν,¯Sν= DνOν, ϕν— углы поворотов звеньев друг
(ν−1)
0
предыдущей пары вокруг цилиндрического
(ν−1)
00
относительно T
ν
0
по заданной направляющей. На-
ν
относительно друга вокруг шарниров.
Будем считать, что вращения тел T
ремещения T
00
относительно T
ν
0
, осуществляются электрическими двигателями, поме-
ν
щёнными со своими редукторами в точках O
0
вокруг шарниров O
ν
и Dν. Следовательно, управление
(ν−1)
манипулятором осуществляется 2n двигателями.
Программа движения схвата. В качестве программы движения схвата манипулятора примем закон движения центра схвата, помещённого в точку Oeна продолжении конца последнего звена манипулятора:
00
и T
ν
0
ν
(ν = 1, 2, . . . , n), в кото-
ν
обозначим через Dν. Введём
, так же как и пе-
(ν−1)
O0Oe=¯L(t). (21.35)
Вектор O0Oeвыразим через¯lνи¯Sν:
n
X
O0Oe=
(¯lν+¯Sν).
ν=1
Тогда условие (21.35) можно представить в следующем виде:
n
X
(¯lν+¯Sν) −¯L(t) = 0. (21.36)
ν=1
Уравнения движения манипулятора. Принимая углы ϕνи перемещения Sνв
качестве обобщённых координат в поступательно движущейся системе координат по
закону движения точки Coпреследуемого объекта, движение манипулятора в целом
можно представить системой 2n уравнений Лагранжа второго рода:
dt
dt
d
d
∂T
∂ ˙ϕ
∂T
∂˙S
−
−
∂T
∂ϕ
∂T
∂S
C
ν
C
ν
= Q
= Q
0
+ (−C
ν
00
+ (−C
ν
0
˙ϕν+ a
ν
00
˙
Sν+ a
ν
0
0
0
U
)K
ν
ν
00
)K
,
ν
00
,
ν
(21.37)
ν
00
U
ν
C
ν
C
ν
(ν = 1, 2, . . . , n),
где TC— кинетическая энергия манипулятора относительно подвижной системы коор-
0
динат Cxyz с ортами¯k1,¯k2,¯k3, Q
переносные силы инерции и силы тяжести элементов манипулятора, C
циенты сопротивления на валу двигателей, K
0
00
a
, a
— коэффициенты пропорциональности между управляющими моментами дви-
ν
ν
гателей и управляющими сигналами U
00
, Q
— обобщённые неуправляющие силы, в том числе
ν
ν
0
00
, K
— передаточные числа редукторов,
ν
ν
0
00
, U
.
ν
ν
0
00
, C
ν
ν
— коэффи-
21 Управление процессом безударного захвата. . . 175
Кинетическая энергия манипулятора имеет вид
1
T =
˙
¯ϕTA( ¯ϕ, t)˙¯ϕ, (21.38)
2
где A( ¯ϕ) — симметричная определённо положительная матрица (2n × 2n), ¯ϕ —
2n-мерный вектор обобщённых координат ϕν, Sν(ν = 1, 2, . . . , n).
Систему уравнений (21.37) можно привести к виду
A ¨ϕ = f( ¯ϕ,˙¯ϕ, t) + BU, (21.39)
где B — матрица (2n × k) распределения k-мерного вектора управления U между 2n
уравнениями системы (21.37), k ≤ 2n, f — вектор неуправляющих сил, в том числе
возмущающих сил и сил инерции.
Построение выражения программного многообразия. Дифференцируя
(21.36) по времени, получим
n
X
ν=1
˙
˙
¯
¯
(
lν+
Sν). (21.40)
˙
¯
L(t) =
Представим векторы¯lν,¯Sνв виде
¯
lν= l
¯
iν,¯Sν= Sν(t)¯jν,
ν
где¯iν,¯jν— орты векторов¯lν,¯Sν.
Учитывая, что lν= |¯lν| = const, получим
˙
¯
lν= l
¯
ν
˙
iν,
˙
¯
Sν=˙S
¯
jν+ S
ν
˙
¯
jν. (21.41)
ν
Воспользуемся формулами Пуассона
˙
¯
iν=
Подставляя в (21.42) ¯ωη= ˙ϕ
ν
X
˙
¯
iν=
η=1
ν
X
η=1
η
(¯k
¯
k
0
η
¯ωηׯiν,
0
, где¯k
η
ׯiν) ˙ϕη,
˙
¯
jν=
0
— орты векторов ¯ωη, получим
η
˙
¯
jν=
ν
X
¯ωηׯjν. (21.42)
η=1
ν
X
0
(¯k
ׯjν) ˙ϕη. (21.43)
η
η=1
Теперь подставим (21.43) в (21.41), а затем (21.41) в (21.40). Тогда (21.40) примет
следующий вид:
˙
¯
L =
n
X
ν=1
ν
X
0
¯
k
×
η
(¯lη+¯Sη)˙ϕη+˙S
η=1
¯
j
. (21.44)
ν
ν
˙
Потребуем, чтобы проекции вектора
˙
¯
L ·¯k1= 0,
¯
L на оси с ортами¯k1и¯k2были равны нулю:
˙
¯
L ·¯k2= 0, (21.45)
а проекция на ось с ортом¯k3изменялась по закону
2
V
V = V0−
2S
0
t,
0
176 21 Управление процессом безударного захвата. . .
где S0— расстояние между точками O и Coв начальный момент времени t2, V0—
начальное значение скорости сближения точки Oeс точкой Co.
Заметим, что отсчёт времени t ведётся начиная с момента t2, то есть t ≥ t2, где
t2— момент времени совпадения точек O0и O. Следовательно, к условиям (21.45)
присоединяется условие
2
V
˙
¯
L ·¯k3= V0−
Условия (21.45) и (21.46) после замены
¯
L правой частью (21.44) представим в виде
0
t. (21.46)
2S
0
˙
Ω˙¯ϕ =¯C, (21.47)
где Ω — прямоугольная матрица-строка (3 ×2n) с элементами
Ω1ν=
Ω2ν=
Ω3ν=
¯
k
¯
k
¯
k
ν
X
0
×
ν
0
ν
0
ν
(¯lη+¯Sη)·¯k1+ (¯jν·¯k1),
η=1
ν
X
×
(¯lη+¯Sη)·¯k2+ (¯jν·¯k2),
η=1
ν
X
×
(¯lη+¯Sη)·¯k3+ (¯jν·¯k3),
η=1
(21.48)
(ν = 1, 2, . . . , 2n),
˙
¯ϕ — 2n-мерный вектор-столбец с элементами˙¯ϕν,¯C — трёхмерный вектор-столбец
¯
CT(0, 0, C3),
C3= V0−
2
V
0
t. (21.49)
2S
0
Таким образом, искомое программное многообразие выражается в виде (21.47).
Построение вектора управления манипулятором. Представим (21.47) в виде
˙
¯ω = Ω˙¯ϕ −¯C. (21.50)
Задача заключается в построении вектора управления манипулятором так, чтобы
центр Oeсхвата манипулятора, начиная движение с начальной скоростью V0от точки
O, пришёл в точку Coс нулевой скоростью относительно точки Co, то есть в момент
совпадения точек Oeи Coабсолютные скорости этих точек должны быть одинаковы.
При этом встреча точек Oeи Coпроизойдет без удара. Для этого вектор управления
U в (21.39) необходимо построить так, чтобы вектор˙¯ω в (21.50) обратился в нуль за
конечный промежуток времени при любых непрерывных и ограниченных значениях
неуправляющих сил f( ¯ϕ,˙¯ϕ, t) в (21.39).
Для решения такой задачи продифференцируем (21.50) по t и получим
˙
Ω¨¯ϕ =¨¯ω −˙Ω˙¯ϕ +
¯
C. (21.51)
Определим решение трёх уравнений (21.51) относительно 2n элементов вектора¨¯ϕ.
Для этого ищем¨¯ϕ в виде
¨
¯ϕ = ΩTλ, (21.52)
21 Управление процессом безударного захвата. . . 177
где λ — искомый трёхмерный вектор.
Подставляя (21.52) в (21.51), получим
˙
(ΩΩT)λ =¨¯ω −˙Ω˙¯ϕ +
¯
C.
Отсюда
˙
λ = (ΩΩT)−1(¨¯ω −˙Ω˙¯ϕ +
¯
C). (21.53)
Теперь, определяя¨¯ϕ из (21.39) в виде
¨
¯ϕ = A−1BU + A−1f
и подставляя в левую часть (21.52), получим
−1
A−1BU = ΩT(ΩΩT)
¨
¯ω + X, (21.54)
где X — члены, не содержащие¨¯ϕ и U.
Умножая (21.54) на Ω, получим
¨
¯ω = ΩA−1BU − ΩX.
Теперь, скалярно умножая на˙¯ω, получим
T
˙
¨
¯ω
¯ω =˙¯ωTΩA−1BU −˙¯ωTΩX.
Отсюда
2
12d ˙ω
=˙¯ωTΩA−1BU −˙¯ωTΩX. (21.55)
dt
Выберем значение ΩA−1BU в первом члене правой части кусочно-постоянным в
виде
ΩA−1BU = −(sign˙¯ω)N, (21.56)
где sign˙¯ω — диагональная матрица с элементами sign˙¯ωi(i = 1, 2, 3), N — трёхмерный
вектор с постоянными положительными элементами
Ni≥ δi+ |ΩX|i(i = 1, 2, 3), (21.57)
где δi— отличные от нуля заданные положительные постоянные, |ΩX |i— абсолютные
значения элементов трёхмерного вектора ΩX .
Предположим, что размерность вектора U не меньше трёх. Тогда значение A−1BU
в левой части (21.56) можно искать в виде
T
A−1BU = Ω
˜
λ. (21.58)
Подставляя в (21.56), получим
(ΩΩT)˜λ = −(sign˙¯ω)N.
Отсюда
˜
λ = −(ΩΩT)−1(sign˙¯ω)N.
Подставляя в (21.58), получим
A−1BU = −ΩT(ΩΩT)−1(sign˙¯ω)N.
Умножая на A, получим
BU = −AΩT(ΩΩT)−1(sign˙¯ω)N.
Умножая на BT, получим
U = −(BTB)−1BTAΩT(ΩΩT)−1(sign˙¯ω)N.
178 21 Управление процессом безударного захвата. . .
21.4 Заключение
Построены аналитические выражения главного вектора и главного момента сил,
управляющих движением мобильного робота, оснащённого многозвенным манипулятором. При этих управляющих силах достигается движение робота по принципу пропорциональной навигации при погоне за непредсказуемо движущимся объектом. При
этом точка крепления манипулятора к корпусу робота в конечный промежуток времени приводится в точку, находящуюся от преследуемого объекта на расстоянии досягаемости цели схватом манипулятора, чтобы избежать удара при контакте схвата
с захватываемым объектом. Построены соответствующие аналитические выражения
сил и моментов управления поступательно и вращательно движущимися друг относительно друга звеньями манипулятора. При решении этой задачи используется лишь
информация о расстоянии между схватом манипулятора и преследуемым объектом.
Решение получено без использования информации о характере неуправляющих сил, в
том числе возмущающих сил и сил инерции.
Глава 22
Стабилизация многообразия состояния
обобщённых систем
22.1 Введение
Предлагается алгоритм безударной стабилизации за конечное время фазового состояния обобщённых систем, заданного голономными и неголономными программными
связями. Для решения задачи применяется «принцип обратной связи по квазиускорению» в дискретные моменты времени.
22.2 Постановка задачи
Пусть многообразие невозмущённого состояния механической системы задано с помощью непрерывных функций в виде
¯ω1(q, t) = 0,˜A(q, t) ˙q + ˜a2(q, t) = 0, (22.1)
где q, ˙q ∈ Rn— векторы обобщённых координат и скоростей, ¯ω1— k1-мерный, а ˜a2—
k2-мерный векторы,˜A — (k2× n)-матрица.
Предполагается det kΩΩTk6=0, Ω = k∂ ¯ω1/∂q,˜Ak — матрица (k × n), k = k1+ k2.
Пусть система описывается дифференциальным уравнением в векторной форме
∂T
∂ ˙q
−
∂T
= Q + Q0, (22.2)
∂q
d
dt
где
1
T =
A(q, ˙q, t) — неособенная матрица (n×n), b — вектор, T0— скаляр. Элементы A векторов
Q0, b и T0предполагаются непрерывными и ограниченными.
Задача заключается в построении вектора обобщённой управляющей силы Q для
обеспечения безударного приведения фазового состояния системы (22.2) в многообразие (22.1) при любых q0, ˙q0, b(q, t), T0(q, t), и Q0— неуправляющих, в том числе
возмущающих силах. Такое управление назовём безударной стабилизацией обобщённой системы (22.2) за конечное время в условиях частичной неопределённости.
Необходимо отметить, что матрица A(q, ˙q, t) системы (22.2) является лишь неосо-
бенной, а не обязательно определённо положительной, в отличие от подобных матриц
механических систем. К системам с такими матрицами относятся системы Гельмгольца
˙qTA(q, t) ˙q + ˙qTb(q, t) + T0(q, t), (22.3)
2
179
180 22 Стабилизация многообразия состояния обобщённых систем
[48] и широкий класс систем с переменными массами [148], зависящими кроме обобщённых координат еще и от обобщённых скоростей ˙q, что отражено в выражении A(q, ˙q, t).
К обобщённым системам можно отнести также модели динамических аналогов механических процессов.
22.3 Построение алгоритма управления
Для решения поставленной задачи введём вместо˙¯ω1вектор квазискорости
˙
˜ω1=˙¯ω1+ µ¯ω1, (22.4)
где µ — диагональная матрица с элементами µνων, µν= const > 0 (ν = 1, 2, . . . , k1).
Присоединяя к (22.4)˙˜ω2=˜A ˙q + ˜a2, получим k-мерный вектор˙˜ω = (˙˜ω1,˙˜ω2). Выражая
T в виде T = T˜ω+ Tp+˜T0, где T˜ω=˙˜ωTA
T
(2)
˜ω
=˙˜ωTA
˙
˜ω/2, получим укороченную часть системы (22.1) в квазикоординатах:
ω
d
dt
∂T
∂˙˜ω
−
∂T
˜ω
= Qω+ Q
˜ω
∂ ˜ω
Систему (22.5) представим в виде
¨
A
˜ω = Qω+˜Q
ω
˙
˜ω/2 +˙˜ωTb˜ω,˜T0= T0+ T
ω
∂T
0
+
ω
∂ω
0
. (22.6)
ω
−
∂T
˜ω
. (22.5)
∂ ˜ω
0
, b˜ω= bω−Aω˜a,
˜ω
Решение поставленной задачи в случае обобщённых систем не удается получить без
использования информации об элементах матрицы A˜ω, выражаемой через элементы
матрицы A исходной системы (22.2). Это обстоятельство связано с тем, что матрицы A
и A˜ωне всегда являются определённо положительными, в отличие от подобных матриц
механических систем.
В связи с этим приведем выражение A˜ωчерез A.
22.4 Выражение A˜ωчерез A
Для этого представим ˙q через ˙ω, дифференцируя ω1по t и присоединяя к ней второе
равенство в (22.1). Получим
∂ω
1
∂q
Учитывая предположение
получим решение (22.7) через ˙ω, ˙ω2в виде
∂ω
˙q = −
1
+ ˙ω1,˜A(q, t) ˙q = −˜a2(q, t) + ˙ω2. (22.7)
∂t
detkΩΩTk6=0, Ω = k∂ ¯ω1/∂q,˜Ak,
˙ω1−∂ ¯ω1/∂t
˙q = ΩT(ΩΩT)
−1
˙ω
−˜a
2
2
. (22.8)
Подставляя (22.8) в T2= ˙qTA ˙q, получим T
(2)
T
= ˙ωT[ΩT(ΩΩT)−1]TAΩT(ΩΩT)−1˙ω, ˙ω =
ω
Отсюда следует
Aω= [ΩT(ΩΩT)−1]TAΩT(ΩΩT)−1.
ω
(2)
=˙˜ωTA
˙
˜ω в виде
ω
˙ω
1
.
˙ω
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]