Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
12 Построение уравнений регуляторов. . . 111
12.3 Построение множества уравнений регулятора
преследующего манипулятора
Предполагая, что det kRk 6= 0, вектор δ с помощью уравнения (12.5) представим в виде
δ = R−1(¨x − B − Mu). (12.23)
Дифференцируя (12.5) по t, получим
...
x
= M ˙u +
dM
dt
u +
dB
dt
+ R˙δ +
dR
δ. (12.24)
dt
Заменяя˙δ, δ в правой части этого уравнения их значениями (12.4) и (12.23), получим
...
x
= M ˙u +˜f0(¨x, ˙x, x, u, t), (12.25)
где˜f0— сумма членов, не содержащих вектора ˙u.
Таким образом, вместо исходной системы (12.5) получили систему (12.25) более
высокого порядка, не содержащую явно вектора возмущений δ. Теперь потребуем,
чтобы многообразие (12.6) было интегральным многообразием этого уравнения (12.25).
Для этого дифференцируем (12.6) два раза по t и приравниваем результат некоторой вектор-функции Φ( ˙ω, ω, u, ¨x, ˙x, x, t), обладающей свойством Φ(0, 0, u, ¨x, ˙x, x, t) ≡ 0
и способностью обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» многообразия (12.6). Здесь ω = kω1, ω2kT.
При этом необходимо использовать известные формулы Пуассона
˙
Iν= (ω0+
di
ν
= (ω0+
dt
ν
X
η=1
0
ω
) ×Iν,˙ki= (ω0+
η
ν
X
0
ω
) ×iν,˙sν=˙sνiν+ s
η
η=1
n
X
η=1
ω
0
η
ν
) ×ki,
di
ν
,
dt
где ω
относительно друга и
0
= ˙xηjη, jη— орты векторов угловых скоростей звеньев манипулятора друг
η
ωv=
2
X
µ=1
T
k
ω0+
µ
n
X
η=1
˙xηj
!
kµ.
η
После этой процедуры дифференцирования (12.6) получим
¨ω = ATM ˙u +˜f(¨x, ˙x, x, u, t), (12.26)
где˜f — сумма членов, не содержащих вектора ˙u; AT— (4×2n)-мерная матрица с
элементами
2
X
a
2+i,ν
="jν×
n
X
(Iν+ sν)
η=ν
aiν= e
#
T
i
T
ki, a
µ=1
T
k
jνkµ, a
µ
2+i,n+ν
= 0,
i,n+ν
T
= i
ki, i = 1, 2, ν = 1, 2, . . . , n.
ν
112 12 Построение уравнений регуляторов. . .
Приравнивая правую часть уравнения (12.26) вышеупомянутой функции Φ, полу-
чим
Ω ˙u = Q, (12.27)
где
Ω = ATM, Q = Φ( ˙ω, ω, u, ¨x, ˙x, x, t) −˜f(¨x, ˙x, x, u, t).
При этом функция Φ должна обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения ˙ω = 0, ω = 0 уравнения (12.13) и необходимое качество
переходного процесса. Выбор функции, обладающей этими свойствами, обсуждался в
разделе 12.2. Предположим, что det kΩΩTk 6= 0. Тогда искомое множество уравнений
регулятора выражается в виде (12.14).
Глава 13
Алгоритм асимптотического
сближения с заданным многообразием
13.1 Постановка задачи
Рассмотрим механическую систему, движения которой описываются следующими
уравнениями Лагранжа второго рода:
d
dt
где T — кинетическая энергия системы вида
1
T =
q — n-мерный вектор обобщённых координат, A(q, t) — (n × n)-матрица, b(q, t) —
n-мерный вектор, T0(q, t) — скалярная функция, Q — n-мерный вектор управляющих
сил, Q0— n-мерный вектор неуправляющих активных сил и случайных возмущающих
сил, ограниченных по величине.
Элементы вектора b(q, t) и матрицы A(q, t), а также функцию T0(q, t) и их производные по q и t в области G(q, t) функционирования системы (13.1) будем считать ограниченными и непрерывными. Заметим также, что A(q, t), b(q, t), T0(q, t), определяющие
конфигурацию системы, кроме этих условий не стеснены другими ограничениями.
Пусть невозмущённое состояние системы (13.1) задано в виде (n −k)-мерного многообразия
˙qTA(q, t) ˙q + ˙qTb(q, t) + T0(q, t), (13.2)
2
∂T
∂ ˙q
∂T
−
ω(q, t) = 0, (13.3)
= Q + Q0, (13.1)
∂q
где ω — k-мерный вектор с непрерывными и линейно независимыми в области G(q, t)
элементами, непрерывно дифференцируемыми по q и t в этой области. Заметим, что
k 6 n.
Задача заключается в построении управляющей обобщённой силы Q в виде комбинации непрерывных и ступенчатых функций от ω и ˙ω, обеспечивающей асимптотиче-
ское сближение фазового состояния системы (13.1) с многообразием (13.3) при любых
начальных условиях q0, ˙q0, t0, независимо от конкретного вида A(q, t), b(q, t), T0(q, t),
Q0.
Отыскание вектора Q в виде функции от ω и ˙ω объясняется тем, что их значения
в невозмущённом состоянии (13.3) равны нулю, а при отклонениях от него становятся
отличными от нуля. Следовательно, вектор ω может быть принят в качестве меры
отклонения от многообразия (13.3).
113
114 13 Алгоритм асимптотического сближения. . .
Заметим, что при размерности вектора Q, равной количеству степеней свободы системы, решение поставленной задачи возможно по принципу декомпозиции [153]. Здесь
важной особенностью цели данной работы является решение поставленной задачи при
минимальной размерности вектора Q, равной размерности k вектора ω или при любой
размерности s вектора Q, удовлетворяющей условию k 6 s 6 n.
13.2 Алгоритм управления укороченной системой
Для решения задачи переходим от обобщённых координат q1, q2, . . . , qnк другим обобщённым координатам ω1, ω2, . . . , ωk, являющимся элементами вектора ω, и координатам p1, p2, . . . , p
В силу ортогональности этих групп координат члены aqpматрицы A(q, p, t) кинетической энергии в новых координатах будут равны нулю. Следовательно, кинетическая
энергия системы будет иметь следующую структуру:
где
Заметим, что матрица Aωявляется определённо положительной. При этом уравнение (13.1) в новых координатах разбивается на две части:
, ортогональным к ним.
n−k
T = Tω+ Tp+ T0(ω, p, t), (13.4)
1
Tω=
˙ωTAω(ω, p, t) ˙ω + ˙ωTbω(ω, p, t),
2
1
Tp=
˙pTAp(ω, p, t) ˙p + ˙pTbp(ω, p, t).
2
d
∂T
dt
∂ ˙ω
d
∂T
dt
∂ ˙p
−
−
∂T
= Qω+ Q
∂ω
∂T
= Qp+ Q
∂p
(13.5)
0
, (13.6)
ω
0
. (13.7)
p
Систему (13.6) назовём укороченной системой.
Теперь переходим к преобразованиям, связанным лишь с укороченной системой,
считая влияние системы (13.7) на систему (13.6) через элементы p и ˙p, входящие в неё
через Aω(ω, p, t), b(ω, p, t) и их производные по t, p, ω, возмущающимися факторами
системы (13.6). Эти преобразования связаны стремлением замены T на Tωв (13.6). Из
(13.4) и (13.5) следует
∂T
∂ ˙ω
=
∂T
ω
= Aω˙ω + bω. (13.8)
∂ ˙ω
Следовательно, учитывая (13.4) и (13.8), уравнение (13.6) можно представить в виде
После замены
d
dt
∂T
ω
правой частью (13.8) получим
∂T
∂ ˙ω
−
∂T
ω
= Qω+ Q
ω
∂ω
∂T
0
+
ω
∂ω
∂T
p
+
0
. (13.9)
∂ω
∂ ˙ω
d
(Aω˙ω) +
dt
∂b
∂ω
ω
˙ω +
∂b
∂p
−
∂T
∂ω
ω
(2)
∂b
ω
˙p +
ω
∂t
−
T
∂b
˙ω = Qω+ Q
∂ω
∂T
0
+
ω
∂ω
∂T
p
+
0
. (13.10)
∂ω
13 Алгоритм асимптотического сближения. . . 115
Это уравнение можно представить более компактно в виде
(2)
∂T
ω
, (13.11)
∂ω
где
d
(Aω˙ω) = Qω+ B
dt
Bω=
∂b
∂ω
ω
−
T
˙ω +˜Qω+
ω
∂b
ω
∂ω
T
— кососимметричная матрица,
˜
Qω=
∂T
∂ω
∂T
p
+
∂ω
∂b
0
−
∂p
∂b
ω
˙p −
∂t
ω
+ Q
0
.
ω
Определим скалярное произведение (13.11) на ( ˙ω + 2ω), умножая сначала на ˙ω, а
затем на 2ω. При умножении (13.11) на ˙ω в его левой части получим
d
˙ωTAω˙ω− ¨ωTAω˙ω,
dt
где ˙ωTAω˙ω = 2T
ω
(2)
d
T
˙ω
(Aω˙ω) =
dt
.
Теперь, добавляя в обе части уравнения (13.11) сумму
−˙ω
(2)
∂T
ω
T
− ˙p
∂ω
(2)
∂T
ω
T
∂p
−
∂T
∂t
ω
(2)
,
получим
dT
dt
(2)
ω
= ˙ω
T
Qω+ B
T
˙ω +˜Qω+ ˙ω
ω
T
∂A
2∂ω
ω
˙ω− ˙ω
Скалярное произведение (13.11) на 2ω имеет следующий вид:
d
ωT2Aω˙ω= ˙ωT2Aω˙ω + 2ω
dt
T
Qω+ B
T
˙ω +˜Qω+ ˙ω
ω
так как
2ω
d
T
dt
(Aω˙ω) =
d
ωT2Aω˙ω−˙ωT2Aω˙ω,
dt
∂T
Суммируя (13.12) и (13.13), получим
d
˙ωTAω˙ω + ωT2Aω˙ω=
dt
= ( ˙ω + 2ω)
T
Qω+ B
T
˙ω + ˙ω
ω
T
∂A
2∂ω
ω
˙ω +˜Q
− ˙ω
ω
Вектор обобщённой силы управления зададим в виде
Qω= Uω− D ˙ω − 2Cω, (13.15)
∂ω
(2)
ω
dA
ω
T
˙ω. (13.12)
2dt
∂A
ω
T
˙ω, (13.13)
2∂ω
∂A
ω
T
= ˙ω
˙ω.
2∂ω
dA
T
ω
+ 2A
2dt
˙ω. (13.14)
ω
где D и C — знакоопределённые положительные постоянные k × k-матрицы, Uω—
ступенчатая часть Qω, определяемая ниже.
116 13 Алгоритм асимптотического сближения. . .
При подстановке (13.15) в (13.14) в правой части появляются члены:
dωTDω
−( ˙ω + 2ω)TD ˙ω = −ωT2D ˙ω − ˙ωTD ˙ω = −
dt
− ˙ωTD ˙ω,
dωTCω
−( ˙ω + 2ω)T2Cω = −ωT2C ˙ω − 4ωTCω = −
− 4ωTCω.
dt
Первые слагаемые правых частей этих выражений перенесём в левую часть (13.14).
Тогда уравнение (13.14) принимает вид
d
˙ωTAω˙ω + ωT2Aω˙ω + ωT(D + C)ω=
dt
= ( ˙ω + 2ω)
T
Uω+ ˙ω
∂A
T
2∂ω
− ˙ω
T
ω
˙ω + B
T
˙ω +˜Q
ω
dA
ω
− 2Aω+ D˙ω − 4ωTCω. (13.16)
−
ω
2dt
При задании матриц D и C, удовлетворяющих условию D + C > Aω, функция
V = ˙ωTAω˙ω + ωT2Aω˙ω + ωT(D + C)ω (13.17)
в левой части (13.16) становится положительно определённой функцией вида
T
V = ( ˙ω + ω)TAω( ˙ω + ω) + ω
˜
Cω, (13.18)
где˜C = C + D − Aω.
Действительно, функцию (13.17) можно представить в виде
T
V = ˙ωTAω˙ω + ωT2Aω˙ω + ωTAωω + ω
˜
Cω.
Первые три слагаемые этой суммы можно представить в виде
˙ωTAω˙ω + ωT2Aω˙ω + ωTAωω = ( ˙ω + ω)TAω( ˙ω + ω) . (13.19)
Следовательно, функция (13.17), являющаяся знакоопределённой положительной
функцией, допускающей бесконечно малый высший предел по ω, ˙ω, может быть приня-
та в качестве функции Ляпунова для стабилизации невозмущённого состояния ω = 0,
˙ω = 0 системы, если можно добиться знакоопределённой отрицательности правой ча-
сти (13.16) подходящим выбором функции Uωи матриц C и D.
Для выбора Uωпредложим способ, аналогичный принципу декомпозиции [153]. Для
этого вектор Uωвыберем в виде
Uω= −sign ( ˙ω + 2ω)
T
U0+ ˙ωTD0˙ω, (13.20)
где U0— постоянный вектор, удовлетворяющий условию
U0>
˜
Q
, (13.21)
ω
так как ( ˙ω + 2ω)TB
T
˙ω = 0, ˙ωTD0˙ω — вектор с элементами ˙ωTD0i˙ω, где D0i— опреде-
ω
лённо положительные (k × k)-матрицы, удовлетворяющие условию
D0i>
1
max
2
∂A
ω
. (13.22)
∂ω
i
13 Алгоритм асимптотического сближения. . . 117
При этом первый член в правой части (13.16) имеет следующее выражение:
k
X
( ˙ω + 2ω)TUω=
−( ˙ωi+ 2ωi)U0i+ ˙ωTD0i˙ωsign ( ˙ωi+ 2ωi)< 0,
i=1
где U0i— положительные элементы вектора U0.
Таким образом, правая часть (13.16) принимает вид
k
X
W =
−( ˙ωi+ 2ωi)U0i+ ˙ωTD0i˙ωsign ( ˙ωi+ 2ωi)−
i=1
− ˙ω
T
dA
ω
− 2Aω+ D˙ω − 4ωTCω. (13.23)
2dt
При условии
dA
−2Aω+ D >
ω
, C > 0 (13.24)
2dt
функция W становится знакоопределённой отрицательной функцией от ω, ˙ω. Следо-
вательно, при выборе Uωв виде (13.20) невозмущённое состояние ω = 0, ˙ω = 0 системы
(13.6) будет асимптотически стабилизировано.
Таким образом, искомый вектор обобщённых сил управления Qωпостроен в виде (13.15), где Uω, представляющая собой ступенчатую часть управления, имеет вид
(13.20).
13.3 Алгоритм управления исходной системой
Теперь необходимо определить вектор обобщённых сил управления Q исходной системой (13.1). С этой целью определим зависимость между Q и построенной в разделе
13.2 функцией Qω. Для этого определим сумму элементарных работ всех активных
сил управления
δAα= QTδq, (13.25)
где δq — вектор изохронных вариаций элементов q.
Выделим из (13.25) элементарную работу δA
α
ω
вариациях
δω = Ωδq, (13.26)
∂ω
вытекающих из (13.3), где Ω =
— прямоугольная (k × n)-матрица.
∂q
Из системы k уравнений (13.26) определим элементы вектора δq в количестве n
через k элементов вектора δω. Для этого вектор δq разложим на две составляющие:
(δq)N— вектор, нормальный к многообразию (13.3), и (δq)τ— вектор, касательный
к (13.3). Первый из них ищем в виде (δq)N= ΩTλ, где λ — k-мерный искомый вектор.
Подставляя
δq = (δq)N+ (δq)
в (13.26), получим ΩΩTλ + Ω(δq)τ= δω. Следовательно, имеем (δq)N= ΩT(ΩΩT)−1δω.
Подставляя в (13.25) значение (13.27), получим
= Q
τ
T
δω, совершаемую лишь при
ω
(13.27)
δAα= QTΩT(ΩΩT)−1δω + QT(δq)τ.
118 13 Алгоритм асимптотического сближения. . .
Второй член в правой части этого выражения не зависит от δω. Следовательно, частью суммы элементарных работ управляющих сил, совершаемых на элементарных
перемещениях δq, вносящих вклад в вариацию δω, является
α
δA
= QTΩT(ΩΩT)−1δω,
ω
откуда
T
Q
= QTΩT(ΩΩT)−1. (13.28)
ω
Если вектор обобщённых сил управления исходной системой (13.1) задавать в виде
Q = M0u, где u — r-мерный вектор управления, M0(q, ˙q, t) — матрица (n × r), удо-
влетворяющая в области G условию det
M
T
M
6= 0 и ΩM06= 0, то при подстановке
0
0
Q = M0u в (13.28) получим следующую систему k уравнений для определения r элементов вектора u:
(ΩΩT)−1ΩM0u = Qω. (13.29)
Заметим, что правая часть этого уравнения была определена в виде (13.15), где U
имеет вид (13.20).
Решение уравнения (13.29) относительно u можно представить в виде [114]
u =¯Ω
T
¯Ω¯
Ω
−1
T
Qω+ uτ, (13.30)
где¯ΩT= (ΩΩT)−1ΩM0, det k¯Ω¯ΩTk 6= 0, uτ— r-мерный произвольно задаваемый вектор,
удовлетворяющий условию¯Ωuτ= 0, который можно представить в виде
¯Ω¯
Ω
−1
T
Ω
T
¯
Ωi˜u,
−1
¯
Ω = 0. Следовательно, имеет место
uτ=hE −¯Ω
где E — единичная матрица, ˜u — произвольный вектор. Заметим, что при r = k матри-
ца¯Ω является квадратной, причём E −¯Ω
T
T
¯Ω¯
uτ≡ 0. Отсюда следует, что минимальная размерность вектора управления u может
быть равна размерности k вектора ω при k < n. Как отмечалось в разделе 13.1, в этом
заключается принципиальное преимущество предлагаемого здесь метода управления
от принципа декомпозиции [153] при задании невозмущённого состояния системы в
виде (n − k)-мерного многообразия (13.3).
Следует отметить также то, что в случае r > k, полагая uτ= 0, в силу произвольности вектора uτ, получим вектор управления u, имеющий минимальную евклидову
норму, в виде
u =¯Ω
T
¯Ω¯
Ω
−1
T
(Uω− D ˙ω − Cω) , (13.31)
ω
где Uω— ступенчатая функция (13.20).
В частном случае k = r = 1 матрицы M0и ΩTстановятся n-мерными векторамистолбцами, а C , D, Uω, U0, ω — скалярными величинами. При этом из (13.31) получим
скалярное управление
2
Ω
u =
(Uω− D ˙ω − Cω) , (13.32)
λ
где λ — скалярное произведение векторов M0и ΩT, Uω— выражается в виде (13.20).
13 Алгоритм асимптотического сближения. . . 119
13.4 Примеры
1.4.1. Управление движением точки по намотанной на круглый цилиндр
винтовой линии. В качестве обобщённых координат примем цилиндрические коор-
динаты: r = R = const — радиус поперечного сечения цилиндра, z — координата,
определяющая положение центра поперечного сечения цилиндра, на котором находится движущаяся по нему точка, ϕ — полярный угол поворота прямой, проходящей
через точку и центр сечения.
Для простоты примем массу точки равной единице. При этом проекциями скорости
точки на оси цилиндрической системы координат являются vr= ˙r, vϕ= r ˙ϕ, vz= ˙z.
Следовательно, имеет место
v2= ˙r2+ r2˙ϕ2+ ˙z2. (13.33)
При r = R = const обобщёнными координатами являются q1= ϕ, q2= z.
Параметрическое уравнение винтовой линии имеет вид z = t, ϕ = kt, где k —
параметр, определяющий шаг винта h = 2π/k. При этом уравнением невозмущённой
траектории точки является ω = ϕ − kz = 0.
В возмущённом движении происходят отклонения от этой траектории и имеет место ω 6= 0, ˙ω 6= 0.
Теперь от обобщённых координат ϕ и z переходим к новым ω и p. Производную
по времени от p ищем в виде ˙p = a ˙ϕ + b ˙z, где a и b — постоянные, определяемые из
условия отсутствия в v2в новых координатах ω и p члена, содержащего произведение
˙ω ˙p.
Теперь ˙ϕ и ˙z в (13.33) путём решения системы ˙ω = ˙ϕ − k ˙z, ˙p = a ˙ϕ + b ˙z заменим на
˙z = ( ˙p − a ˙ω) /∆, ˙ϕ = (b ˙ω + k ˙p) /∆, где ∆ = ak + b 6= 0.
Подставляя эти выражения в (13.33) с учётом ˙r = 0, получим
v2=
1
R2(b ˙ω + k ˙p)2+ ( ˙p − a ˙ω)
2
∆
2
.
Отсюда v2= Aω˙ω2+ Ap˙p2+ Aωp˙ω ˙p, где
∆
2
2
, Ap=
R2k2+ 1
, Aωp=
2
∆
= 0 в виде a = kR2b. При этом имеем
ωp
R2bk − a
2
∆
. (13.34)
Aω=
R2b2+ a
Определим a и b из условия A
∆ = (k2R2+ 1)b, а из условия ∆ 6= 0 следует b 6= 0.
Подставляя значения a, ∆ в (13.34), получим
2
Aω=
R
1 + R2k
, Ap=
2
1
,
b2(1 + R2k2)
где b можно задавать произвольно при условии b 6= 0.
При одномерном, т.е. скалярном управлении u, задавая M0в виде M
T
= kµ1, µ2k и
0
учитывая Ω = k1, −kk, Aω, Ap— постоянные величины, из (13.32) получим выражение
управления u в виде
2
Ω
u =
[−U0sign( ˙ω + 2ω) −D ˙ω − 2Cω] , (13.35)
λ
где Ω2= 1 + k2, λ = µ1− kµ26= 0.
120 13 Алгоритм асимптотического сближения. . .
Из условия λ 6= 0 следует, что при выборе µ1и µ2необходимо исходить из
µ16= kµ2. Значение U0в (13.35) необходимо выбрать из условия U0> max |Q
значение max |Q
0
| можно оценить, выражая Q
ω
0
через Q0с помощью (13.28). Напри-
ω
0
|, где
ω
мер, при отсутствии возмущений значение Q0определяется моментом силы тяжести
точки, равной mgR sin ϕ. Следовательно, значение U0в (13.35) можно взять равным
0
| 6 mgR/(1 + k2). При этом управление (13.35)
ω
mgR
−
1 + k
sign( ˙ω + 2ω) −D ˙ω − 2Cω,
2
U0= mgR/(1 + k2), так как max |Q
примет вид
2
1 + k
u =
µ1− kµ
2
где D > 2R2/(1 + R2k2), C > 0, µ16= kµ2.
Заметим, что (µ1− kµ2) является скалярным произведением вектора Q на вектор
M0. Следовательно, при равенстве этого произведения нулю управляющий вектор Q
будет лежать в касательной плоскости к многообразию ω = ϕ − kz = 0. Поэтому
изменениями ω, происходящими в подпространстве, нормальном к этому многообразию, точкой управлять невозможно. Следовательно, при таком управлении процесс
стабилизации многообразия становится неуправляемым.
1.4.2. Управление движением точки по намотанной на тор винтовой ли-
нии. При движении точки по поверхности тора с постоянным радиусом r = R = const
поперечного сечения в качестве обобщённых координат примем тороидальные координаты: r = R = const — радиус поперечного сечения тора, ϕ — угол поворота прямой,
проходящей через точку и центр сечения, при относительном движении точки по внешней окружности движущегося сечения, ψ — угол поворота поперечного сечения тора
вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тора.
Параметрическое уравнение винтовой линии имеет вид aψ = t, ϕ =˜kt, где
a — расстояние от центра поперечного сечения до оси вращения вокруг вертикальной оси (a > R). При этом уравнением невозмущённой траектории точки является
ω = ϕ − kψ = 0. В возмущённом движении происходят отклонения от этой траекто-
рии и имеет место ω 6= 0, ˙ω 6= 0. Для простоты массу точки примем равной единице.
При этом проекциями скорости точки на оси тороидальной системы координат
являются vr= ˙r = 0, vϕ= R ˙ϕ + (a + R cos ϕ)˙ψ. Следовательно, имеем
2
v2= R2˙ϕ2+ (a + R cos ϕ)
˙
ψ2. (13.36)
Теперь от обобщённых координат ϕ и ψ переходим к новым ω и p. Производную по
времени от p ищем в виде ˙p = ˜a ˙ϕ +˜b˙ψ, где ˜a и˜b — определяются из условия отсутствия
в выражении v2в новых координатах ω и p члена, содержащего произведение ˙ω ˙p.
Теперь ˙ϕ и˙ψ в (13.36) путём решения системы ˙ω = ˙ϕ −k˙ψ, ˙p = ˜a ˙ϕ +˜b˙ψ заменим на
˜
b ˙ω + k ˙p
∆
,
˙ϕ =
˙p − ˜a ˙ω
,˙ψ =
∆
где ∆ =˜b + k˜a 6= 0.
Подставляя эти выражения в (13.36), получим
v2= Aω˙ω2+ Ap˙p + Aωp˙ω ˙p,
где
Aω=
˜a2(a + R cos ϕ)2+˜b2R
2
∆
Aωp=
∆
h
2
2
˜
R
bk − ˜a(a + Rcos ϕ)
2
2
, Ap=
(a + R cos ϕ)2+ R2k
2
∆
i
2
.
2
,
(13.37)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]