Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
11 Построение уравнений регуляторов. . . 101
где˜f — сумма членов, не содержащих вектора˙u, Ω — (4×6)-мерная матрица.
Приравнивая правую часть уравнения (11.11) вышеупомянутой функции Φ, полу-
чим
Ω ˙u = Q,
(11.12)
Q = Φ( ˙ω, ω, u, ˙x, x, t) − f ( ˙x, x, u, t).
При этом функция Φ должна обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения ω = 0, ˙ω = 0 уравнения ¨ω = Φ( ˙ω, ω, u, ˙x, x, t). Для этого
функцию Φ достаточно выбрать, например, в виде
0
˙ω,
0
где Φ0, Φ
Φ = Φ0ω + Φ
0
— диагональные (4×4)-мерные матрицы с постоянными, не равными нулю
0
отрицательными элементами. При этом соответствующим выбором элементов матри-
0
цы Φ
переходному процессу можно придать любую быстроту затухания.
0
Учитывая условие det kΩΩTk 6= 0, решение системы (11.12) 4-х уравнений с 6-ю
искомыми элементами вектора ˙u можно представить в виде
˙
u = ΩT(ΩΩT)−1Q + [E − ΩT(ΩΩT)−1Ω]˜u, (11.13)
где E — единичная (6×6)-матрица,˜u — произвольная 6-мерная вектор-функция.
Полученное уравнение (11.13) является искомым множеством дифференциальных
уравнений регуляторов объекта управления (11.5).
В заключение отметим, что когда система (11.2) возмущается 6-мерным вектором
δ с элементами
δi= cisin pit, δj= cjcos pjt (i = 1, 2, 3; j = 4, 5, 6),
то компоненты вектор-функции f0(δ, t) в (11.3) можно задавать в виде
f0i= δipictg pit, f0j= −δjpitg pit, (11.14)
где pi>0 — заданные постоянные, ci, cj— случайные постоянные. Заметим, что возмущения, в частности, могут задаваться 6-ю членами ряда Фурье, начиная со второго,
при разложении семейства произвольных периодических функций с любым заданным
периодом.
11.3 Алгоритм решения задачи в обобщённой поста-
новке
Пусть дана система дифференциальных уравнений движения объекта управления в
виде
˙x1= ϕ1(x, u, t) + R(x, t)δ,
˙x2= ϕ2(x, u, δ, t),
где x1, ϕ1, δ — s-мерные, x2, ϕ2— (n−s)-мерные, u — r-мерный, x(x1, x2) — n-мерный
векторы; R — (s×s)-мерная матрица.
Предполагается, что det kRk 6= 0 в некоторой ограниченной области G.
В отличие от случая, рассмотренного в разделе 11.2, будем считать, что каждая
компонента вектора δ может зависеть от соответствующего количества компонент вектора c. Следовательно, максимальная размерность вектора c может превышать числа
(11.15)
102 11 Построение уравнений регуляторов. . .
s, поэтому порядок дифференциального уравнения (11.3) может оказаться больше порядка исходной системы (11.15).
В этом случае метод решения задачи, приведённой в разделе 11.2, оказывается
неприемлемым. В таких случаях для решения задачи можно предложить следующий
способ.
Допустим, что удалось построить дифференциальные операторы
где ni— количество c
Pi[δi(t, c1, c2, . . . , c
i
i
, c
, входящих в компоненту δiвектора δ.
1
n
i
)] = 0 (i = 1, 2, . . . , s), (11.16)
n
i
Условие det kRk 6= 0 в области G позволяет выражать вектор δ с помощью первого
уравнения (11.15) в виде
δ = R−1[ ˙x1− ϕ1(x, t)]. (11.17)
Подставляя (11.17) в (11.16), получим векторную форму (11.16):
P[R−1˙x1− R−1ϕ1(x, u, t)] = 0. (11.18)
Система (11.18) состоит из s дифференциальных уравнений, каждое из которых
имеет порядок (1+ni). Таким образом, вместо (11.15) получается расширенная система
P[R−1˙x1− R−1ϕ1(x, u, t)] = 0, (11.19)
˙x2= ϕ2(x, u, δ, t). (11.20)
Заметим, что построением системы (11.19), (11.20) вместо (11.15) достигается явная независимость системы уравнений движения от возмущений δ(c, t), но при этом
сохраняется их влияние на начальные условия.
Предположим, что система (11.19) в области G разрешима относительно старших
производных переменных x. Тогда систему (11.19), (11.20) можно привести к виду
x
x
(N)
µ
(mν)
ν
= ˜ϕ
= ϕ
(N)
(x, u, t) + F
µ
(mν)
(x, u, t) + F
ν
(N−1)
x
µ
µ
(N−1)
x
ν
ν
, x
, x
(mν−1)
ν
(mν−1)
ν
, . . . , ˙x, x, u
, . . . , ˙x, x, u
(N−1)
, . . . , ˙u, u, t,
(N−1)
, . . . , ˙u, u, t,
(11.21)
˙x2= ϕ2(x, u, δ, t) (µ = 1, . . . , l1) (ν = l1+1,. . . , s),
где δ имеет выражение (11.17); N — наибольшее из чисел ni; l1— количество уравнений
системы (11.19) с наибольшим порядком N дифференцирования по t; xν— компоненты
вектора x, входящие в (11.19) с порядком дифференцирования меньше N .
Теперь пусть программное многообразие задано в виде (n−k)-мерного многообразия
ω(x, t) = 0. (11.22)
Заметим, что k-мерная вектор-функция ω в (11.22) является непрерывной и N раз
дифференцируемой в области G.
Дифференцируя (11.22) по t N раз, получим
=
∂ω
(N−2)
u
+ Fx
(N−1)
, . . . , ˙x, u
(N−2)
, . . . , ˙u, u, t, (11.23)
(N)
ω
∂˜x∂ψ∂u
где F — часть ω
(N)
, не содержащая u
(N−1)
; ˜x — вектор с компонентами
xµ(µ = 1, 2, . . . , l1); ψ — вектор с компонентами ˜ϕµ(µ = 1, 2, . . . , l1).
11 Построение уравнений регуляторов. . . 103
Приравнивая правую часть (11.23) произвольной k-мерной вектор-функции
Φω
(N−1)
, . . . , ˙ω, ω, x
(N−1)
, . . . , ˙x, x, u
(N−2)
, . . . , ˙u, u, t,
удовлетворяющей условию
Φ0, . . . , 0, 0, x
(N−1)
, . . . , ˙x, x, u
(N−2)
, . . . , ˙u, u, t≡ 0
и обладающей способностью обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения ω = 0, ˙ω = 0, . . . , ω
Тогда для определения r компонентов вектора u
(N−1)
(N−1)
= 0 уравнения ω
получим k конечных уравнений
(N)
= Φ.
вида
Ωu
(N−1)
= Qx
Ω =
(N−1)
∂ω
, . . . , ˙x, x, u
, Q = Φ −F.
(N−2)
, . . . , ˙u, u, t,
(11.24)
∂˜x∂ψ∂u
Предположим, что det kΩΩTk 6= 0 в области G. В этом случае общее решение си-
стемы (11.24) при r ≥k имеет вид
(N−1)
u
= ΩT(ΩΩT)−1Q + [E − ΩT(ΩΩT)−1Ω]˜u, (11.25)
где˜u — произвольная r-мерная вектор-функция, E — единичная (r×r)-матрица.
Уравнение (11.25) и есть множество искомых дифференциальных уравнений регуляторов, обеспечивающих асимптотическую устойчивость «в большом» и интегральность многообразия (11.22) при действиии на исходную систему возмущений δ(c, t).
Заметим, что при r = k уравнение (11.25) становится единственным, так как при этом
[E − ΩT(ΩΩT)−1Ω] = 0 в силу того, что матрица Ω является квадратной.
Следует особо отметить, что некоторые элементы вектора ω в (11.22) могут не содержать переменных xµили одновременно и переменных xν. При этом такие элементы
вектора ω необходимо дифференцировать по t в первом случае mνраз, а во втором
один раз. В этих случаях в систему конечных уравнений (11.24) могут войти элементы вектора u со старшими производными разных порядков. Систему (11.24) в таких
случаях следует решать относительно старших производных всех элементов вектора
u. Тогда система дифференциальных уравнений регуляторов будет состоять из уравнений разных порядков относительно производных элементов вектора u.
11.4 Построение уравнений регулятора системы ста-
билизации ориентации преследующего движения тела
Рассмотрим уравнения движения преследующего тела в виде (11.4), а программную
ориентацию тела зададим в виде
i
ω
= ki· e = 0, ω
1
где k1, k2— орты осей cx, cy; e — орт вектора co линии визирования; (·) — знак скалярного произведения. Предположим, что det kR1k 6= 0.
Вектор возмущений зададим в виде
δ = c1+ c2sin(˜pt + c3), (11.27)
i
= ki· v = 0 (i = 1, 2), (11.26)
2
104 11 Построение уравнений регуляторов. . .
зависящем в 9-ти случайных постоянных элементов трёхмерных постоянных векторов
ci(ci1, ci2, ci3);˜p(˜p1, ˜p2, ˜p3) — заданный постоянный трёхмерный вектор.
Поставим задачу: построить множество дифференциальных уравнений регулятора, определяющего изменения векторов управления u1, u2так, чтобы обеспечивались
интегральность и асимптотическая устойчивость «в большом» программного многообразия (11.26) системы (11.4) при любых случайных значениях постоянных ci, входящих
в выражение (11.24) возмущающего вектора δ.
Заметим, что (11.27) является общим решением системы дифференциальных уравнений δ
(3)
i
2
˙
+ ˜p
δi= 0 (i = 1, 2, 3), которая может быть представлена в следующей
векторной форме:
(3)
δ
где ˜p — диагональная матрица (3×3) с элементами ˜p
2
˙
+ ˜p
δ = 0, (11.28)
2
.
i
Из первого уравнения системы (11.4) имеем
δ = R
−1
˙
ω0− R
1
−1
I−1[(Iω0×ω0) + M∗] −R
1
−1
u1. (11.29)
1
Умножая (11.28) на матрицу R1, которую будем предполагать постоянной, и подставляя в него значения˙δ и δ
3
d
(4)
ω
=
0
I−1(Iω0×ω0+ M∗)+ u
3
dt
(3)
, полученные дифференцированием (11.29) по t, имеем
(3)
1
− ˜p
d
˙
ω0− I−1(Iω0×ω0+ M∗) −u
dt
. (11.30)
1
Присоединим к этому уравнению второе уравнение системы (11.4), подставляя в него
выражение (11.29):
˙
v = f/m + u2+ R2R
−1
˙
ω0− I−1(Iω0×ω0+ M∗) + u
1
. (11.31)
1
Дифференцируя (11.26) по t, получим
d5ω
dt
i
d5k
dt
5
i
· e + ki·
1
=
5
d5e
dt
,
5
dω
dt
i
dk
=
i
· v + ki·
2
dt
dv
. (11.32)
dt
Для производных векторов kiимеет место формула Пуассона˙ki= ω0×ki. Следовательно, имеем
(ν)
k
i
= ω
(ν−1)
× ki+ ω0× k
0
(ν−1)
i
(ν = 2, 3, 4, 5).
Подставим эти выражения в (11.32). Тогда
i
d5ω
dt
1
5
= ω
(4)
· (ki× e) + ω0· (k
0
i
dω
2
= (ω0× ki) ·v + ki·˙v.
(4)
× e) + ki· e
i
dt
Подставляя в (11.33) выражения (11.30), (11.31), получим
i
d5ω
1
= (ki× e) ·u
5
dt
dω
dt
i
2
= k1· u2+ F
(3)
1
i
+ F
(¨u1,˙u1, u1, ω
1
i
(u1,˙ω0, ω0, f, m, I, M∗, R2),
2
(3)
0
,¨ω0,˙ω0, ω0, t),
(5)
,
(11.33)
(11.34)
11 Построение уравнений регуляторов. . . 105
где F
i
— члены, не содержащие u
1
(3)
1
i
; F
— члены, не содержащие u2.
2
Приравниваем правые части уравнений (11.34), соответственно, двумерным вектор-
функциям
Φ1= −a1ω
(4)
1
− a2ω
(3)
1
− a
¨
ω1− a
3
˙
ω1− a5ω1,
4
Φ2= −a6ω2,
где ai(i = 1, . . . , 5, 6) — произвольные постоянные (2 ×2)-матрицы, такие, что вещественные части корней характеристических уравнений, соответствующих системе
(5)
ω
+ a1ω
1
являются отрицательными. Здесь ω1и ω2— двумерные векторы с элементами ω
(4)
1
+ a2ω
(3)
+ a
1
˙
ω2+ a6ω2= 0,
¨
ω1+ a
3
˙
ω1+ a5ω1= 0,
4
i
, ω
1
После этого получим
(3)
Ω1u
Ω1=
= Q1, Ω2u2= Q2, Qu= Φi− Fi(i = 1, 2),
1
0 −(e · k3) (e · k2)
(e · k3) 0 −(e · k1)
, Ω2=
1 0 0
0 1 0
,
(11.35)
i
.
2
где Ω1и Ω2— (2 ×3)-матрицы, элементы строк которых, соответственно, равны элементам векторов (ki×e) и ki.
При det kΩiΩ
T
k 6= 0 общее решение уравнений (11.35) может быть представлено в
i
виде
(3)
u
1
(2)
u
где E — единичная (3×3)-матрица; u
= Ω
= Ω
T
(Ω1Ω
1
T
(Ω2Ω
2
T
)−1Q1+ [E − Ω
1
T
)−1Q2+ [E − Ω
2
0
0
, u
— произвольные трехмерные вектор-функции.
1
2
T
(Ω1Ω
1
T
(Ω2Ω
2
T
)−1Ω1]u
1
T
)−1Ω2]u
2
0
,
1
0
,
2
(11.36)
Таким образом, построено множество уравнений (11.36) регуляторов, присоединяемых к уравнениям объекта управления (11.2), которые обеспечивают интегральность
и асимптотическую устойчивость «в большом» программного многообразия (11.21).
Глава 12
Построение уравнений регуляторов
квазиинвариантно-
стабилизированного преследующего
движения манипулятора
Предложена процедура построения множества дифференциальных уравнений регуляторов, обеспечивающих квазиинвариантную стабилизацию преследующего движения
манипулятора при пропорциональной навигации.
12.1 Постановка задачи
Рассмотрим манипулятор на подвижном основании, состоящий из цепочки n пар тел
0
00
T
, T
(ν = 1, 2, . . . , n), в которой T
ν
ν
пары в цилиндрическом шарнире o
направляющей, совпадающей с единичным вектором iν.
Введём обозначения Iν= o
мещения тела T
00
относительно T
ν
ν−1Dν
В точку onпоследнего тела T
ничными ортогональными векторами k1, k2, k3.
Положение тела — основания манипулятора — относительно неподвижной системы координат 0ξηζ определяется законом движения r0(t) точки o0крепления первого
шарнира манипулятора к основанию и тремя углами Эйлера, которые будем считать
известными функциями от времени. Вектор угловой скорости основания обозначим
через ω0(t).
Будем считать, что вращение тел T
относительно T
в точках o
0
осуществляется двигателями, помещёнными со своими редукторами
ν
, Dν. Следовательно, управление манипулятором осуществляется 2n дви-
ν−1
гателями.
В программу движения схвата заложим два требования: вектор скорости v центра схвата должен быть направлен по оси схвата с ортом k3, а компонента угловой
скорости вращения ωvвектора скорости v на плоскости, перпендикулярной линии визирования, должна быть пропорциональна вектору угловой скорости ωeэтой линии,
направленной от центра схвата onна преследуемую цель со скалярным коэффициентом пропорциональности b.
При выполнении второго требования движение центра схвата будет осуществлено
по принципу пропорциональной навигации [64].
0
вращается относительно тела T
ν
ν−1
, а T
00
перемещается относительно T
ν
00
предыдущей
ν−1
0
по заданной
ν
, sν= Dνoν, где Dν— начало отсчета sν-го пере-
0
. Заметим, что |Iν| постоянные.
ν
00
поместим центр схвата, жестко связанного с еди-
n
0
вокруг шарниров o
ν
и перемещения тел T
ν−1
00
ν
106
12 Построение уравнений регуляторов. . . 107
Эти требования можно выразить уравнениями
ki· v = 0, ei· ωv= b(ωe· ei), i = 1, 2, (12.1)
где (·) — знак скалярного произведения; e1, e2– единичные ортогональные векторы,
лежащие в плоскости, перпендикулярной линии визирования.
Заметим, что при выполнении этих условий вектор v будет направлен по оси схвата
с ортом k3. Следовательно, вектор ωvугловой скорости вращения вектора v будет
ортогонален k3.
При таком принципе навигации угловая скорость ωeлинии визирования и её производные по t считаются доступными измерению в каждый момент времени.
Если вектор o0onвыразить через Iνи sν, то первое из условий (12.1) примет вид
"
˙
r0(t) +
n
X
(˙Iν+˙sν)#· ki= 0, i = 1, 2. (12.2)
ν=1
Движение манипулятора зададим уравнениями Лагранжа
ddt∂T
∂ ˙x
−
∂T
= Q − c ˙x + M0u + R0δ, (12.3)
∂x
где x — 2n-мерный вектор обобщённых координат — углов поворотов ϕνв шарнирах и
перемещений sν, u — r-мерный вектор управляющих сигналов, R0— 2n-мерная матрица распределения 2n-мерного вектора δ(t, c1, c2, . . . , c2n) возмущений между каналами,
являющегося общим решением уравнения
˙
δ = f0(δ, t); (12.4)
Q — вектор обобщённых сил тяжести и других неуправляющих сил; T — кинетическая
энергия манипулятора:
1
c =c
T =
1
˙xTA0(x, t) ˙x +˜bT(x, t) ˙x +˜b0(x, t),
2
2
˜
k
2
˜
, c
k
, . . . , c
2
1
2
2n
2
˜
k
, M0=˜kα, R0=˜kγ,
2n
где cν— коэффициент сопротивления на валу двигателей;˜kν— передаточные числа редукторов; α — (2n × r)-мерная матрица коэффициентов пропорциональности между управляющими моментами двигателей и управляющими сигналами uν;
˜
k = (˜k1,˜k2, . . . ,˜k2n); γ — (2n×2n)-мерная матрица; r ≤2n.
Уравнение (12.3) можно представить в виде
¨x = B( ˙x, x, t) + Mu + Rδ, (12.5)
B = A
−1
0
"
1
∂A
T
˙x
2
∂x
M = A
0
˙x +
∂˜b
dA
0
−
∂x
−1
M0, R = A−1R0.
0
dt
Предполагается, что матрица R неособенная.
− c!˙x −
d˜b
dt
+
∂˜b
∂x
0
+ Q#,
108 12 Построение уравнений регуляторов. . .
Требования (12.1) с учетом (12.2) представим в виде
ω1( ˙x, x, t) = 0, ω2( ˙x, x, t) = 0, (12.6)
где ω1, ω2— двумерные векторы с элементами
ω
i
1
T
= e
(ωv− bωe), ω
i
i
2
= k
"
n
X
T
i
(˙Iν+˙sν) +˙r
ν=1
#
, i = 1, 2. (12.7)
0
Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: построить множество
дифференциальных уравнений регуляторов, определяющих изменения вектора u, обеспечивающих интегральность многообразия (12.6) для системы (12.5) и асимптотическую устойчивость «в большом» этого многообразия при любых ограниченных случайных значениях постоянных c1, c2, . . . , c2n, входящих в выражение вектора возмущения
δ(t, c1, c2, . . . , c2n), являющегося общим решением уравнения (12.4).
12.2 Метод решения задачи
Пусть дана система дифференциальных уравнений движения объекта управления в
виде
˙x1= ϕ1(x, u, t) + R(x, t)δ, ˙x2= ϕ2(x, u, δ, t), (12.8)
где x1, ϕ1, δ — s-мерные, x2, ϕ2— (n−s)-мерные, u — r-мерный, x(x1, x2) — n-мерные
векторы; R — (s×s)-мерная матрица. Предпологается, что det kRk 6= 0 в некоторой
ограниченной области G.
Требуется построить множество дифференциальных уравнений регуляторов, определяющих изменения вектора управления u, обеспечивающих интегральность и асимптотическую устойчивость «в большом» (n−k)-мерного программного многообразия
ω(x, t) = 0 (12.9)
системы (12.8), подверженной действию возмущений δ(c, t), при любых случайных значениях конечномерного ограниченного постоянного вектора c.
Пусть вектор возмущений δ(t, c1, c2, . . . , cs) в системе (12.8) является общим решением уравнения (12.4) с постоянными интегрирования c1, c2, . . . , cs. Например, когда
система (12.8) возмущается (2s1+1)-мерным вектором δ(δ0, δ1, . . . , δ
) с элементами
2s
1
δ0= c0, δi= cisin pit, δj= cjcos pit (i = 1, 2, . . . , s1; j = s1+1, . . . , 2s1),
компоненты вектор-функции f0(δ, t) можно задавать в виде
f00= 0, f0i= δipictg pit, f0j= −δjpjtg pit,
где pi>0 — заданные постоянные, c0, ci, cj— случайные постоянные. Заметим, что эти
возмущения, в частности, могут задаваться 2s1+1 членами ряда Фурье при разложении
семейства произвольных периодических функций с любым заданным периодом.
Условие det kRk 6= 0 в области G позволяет выражать вектор δ с помощью первого
уравнения (12.8) в виде
δ = R−1[ ˙x1− ϕ1(x, t)]. (12.10)
12 Построение уравнений регуляторов. . . 109
Дифференцируя (12.8) по t и подставляя в них (12.10) и˙δ = f0(δ, t), где δ заменяется
правой (12.10) в виде
∂ϕ
¨x1=
∂u
1
˙u +
¨x2=
∂ϕ
∂x
1
∂ϕ
∂u
˙x +
2
˙u +
∂ϕ
1
+ ˙x1− ϕ1+
∂t
∂ϕ
2
∂x
˙x +
∂ϕ
∂δ
2
f0+
dR
R−1( ˙x1− ϕ1),
dt
∂ϕ
2
.
∂t
(12.11)
Эти уравнения можно представить в виде
ϕ
1
,
ϕ
2
¨x =
∂ϕ
˙u +˜f( ˙x, x, u, t), ϕ =
∂u
где˜f — n-мерная вектор-функция, составленная из элементов правых частей (12.11),
не содержащих вектора ˙u.
Дифференцируя ω(x, t) = 0 в силу этих уравнений два раза по t и приравнивая
правую часть некоторой вектор-функции Φ, получим
Ω ˙u = Q,
(12.12)
Ω =
∂ω∂x∂ϕ
∂u
, Q = −
∂ω
∂x
˜
f −
∂ ˙ω
∂x
˙x −
∂ ˙ω
+ Φ( ˙ω, ω, ˙x, x, u, t),
∂t
где Φ( ˙ω, ω, ˙x, x, u, t) — произвольная вектор-функция, удовлетворяющая условию
Φ(0, 0, ˙x, x, u, t) ≡ 0 и обладающая способностью обеспечивать асимптотическую устой-
чивость «в большом» тривиального решения ω = 0, ˙ω = 0 уравнения
¨ω = Φ( ˙ω, ω, ˙x, x, u, t). (12.13)
Предположим, что det kΩΩTk 6= 0 в области G. При этом общее решение системы
(12.12), состоящей из k конечных уравнений относительно r компонентов вектора ˙u,
при r ≥k1имеет вид
˙u = ΩT(ΩΩT)−1Q + [E − ΩT(ΩΩT)−1Ω]˜u, (12.14)
где E — единичная (r×r)-матрица, ˜u1— произвольная r-мерная вектор-функция. Полученное уравнение (12.14) является искомым множеством дифференциальных уравнений регуляторов объекта управления (12.8).
Необходимо отметить, что от подходящего выбора произвольной вектор-функции
Φ в правой части (12.13) зависит качество переходного процесса в системе (12.8),
(12.14). В связи с этим приведём один из возможных способов выбора функции Φ,
позволяющий наделить систему необходимым качеством переходного процесса. С этой
целью, умножая (12.13) на некоторую симметрическую определённо-положительную
(k×k)-матрицу A(x, t), получим
A¨ω = AΦ. (12.15)
Введём замену:
y = ˙ω − f (ω, t), f (0, t) ≡ 0, (12.16)
где f(ω, t) — произвольная k-мерная вектор-функция с ограниченными и дифференцируемыми в области G элементами, допускающая бесконечно малый высший предел
по модулю.
110 12 Построение уравнений регуляторов. . .
Умножая уравнение (12.15) скалярно на y, получим
12d
(yTAy) = yTAΦ. (12.17)
dt
Если вектор AΦ в правой части этого уравнения выбрать в виде [110]
AΦ = −Dy − F ω − A
∂f
∂ω
T
y + A
"
T
∂f
f +
∂ω
∂f
∂t
#
12dA
−
y, (12.18)
dt
то (12.17) приводится к уравнению
!
12dV
= −yTDy + fTF + ω
dt
˙
F
T
ω, (12.19)
2
где D, F — некоторые произвольно выбираемые симметрические определённоположительные матрицы; V = yTAy + ωTF ω — определённо-положительная функция
Ляпунова, допускающая бесконечно малый высший предел. Следовательно, при дости-
T
жении определённой отрицательности функции (fTF + ω
˙
F /2) соответствующим вы-
бором матрицы F и функции f правая часть (12.19) будет определённо-отрицательной
по y, ω, и при этом программное многообразие будет асимптотически устойчивым «в
большом» в области G. В частности, при f = −ω (12.18) имеет вид
AΦ = −Dy − F ω − A ˙ω −
y.
dt
Здесь dA/dt предполагается ограниченной в G. Теперь из (12.18) получим
12dA
∂f
Φ = −A−1(Dy + Fω) −
∂ω
T
y +
∂f
∂ω
T
f +
∂f
∂t
−
1
dA
−1
A
2
y. (12.20)
dt
Для оценки качества переходного процесса, интегрируя обе части (12.19), получим
"
∞
Z
yTDy − fT+ ω
t
0
!ω#
˙
F
T
2
dt =
1
V0, V0= V (t0). (12.21)
2
Это равенство является интегральной оценкой качества переходного процесса. Имея
свободу выбора матриц D, F,A и функции f , подынтегральному выражению и функции V можно придать нужную структуру с необходимыми весовыми элементами.
При задании конкретного числового значения V0уравнение
1
2
(y
T
0
Ay0+ ω
T
F ω0) = V
0
0
(12.22)
в 2k-мерном пространстве ( ˙ω0, ω0) описывает эллипсоид, поверхность которого является геометрическим местом точек, обладающих следующим свойством. Для начавшихся из них движений имеет место интегральная оценка качества переходного процесса
(12.21), а для всех начальных значений ˙ω0, ω0внутри эллипсоида (12.22) справедлива
оценка качества переходного процесса
"
∞
Z
yTDy − fT+ ω
t
0
T
˙
F
2
!ω#
dt <
1
V0, V0= V (t0),
2
где V0— значение V (t) на поверхности (12.22).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]