Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
2 Построение одного семейства функций Ляпунова 31
(D + AH), −HT(F + E) в уравнении (1.12) были определённо-положительными. В
этом случае в условия Сильвестра для этих матриц войдут (n2+ n)/2 произвольных
параметров — элементов матрицы C0. Как видно из (2.11), необходимо, чтобы матрица
(D − G) была невырожденной.
Заметим, что при E = G матрицу C0можно принять равной D. Тогда из (2.11)
следует, что H равна единичной отрицательной матрице −I. Поэтому при H = −I
уравнение (2.12) принимает следующий вид:
h
12d
˙
˜xTA˙˜x + xT(D + F − A) x + X
dt
i
(3)
= −˙xT(D − A) ˙x − xTHT(F + E) x + X
1
(3)
2
.
Таким образом, получили случай, рассмотренный в работе [26].
Пусть теперь матрицы E и G пропорциональны:
E − δG = 0,
где δ — некоторое положительное число.
Принимая за H матрицу H = −δI, уравнение (2.9) представим в виде
12d
dt
h
˙
˜xTA˙˜x + x
T
F − δ2A + δDx + X
i
(3)
= −˙xT(D − δA) ˙x − xTδF x + X
1
(3)
2
.
Отсюда следует, что при определённой положительности матриц (D − δA) и F
положение x= ˙x=0 асимптотически устойчиво.
Если же E 6= δG, то возможно следующее обобщение теоремы, доказанной в [26].
Пусть A = aij, D −δA = hdij, F = lfij— положительно-определённые матрицы
(h>0, l>0); если E =δG, то невозмущённое состояние x = ˙x=0 асимптотически устой-
чиво; если E 6=δG, то при достаточно большом h > 0 или l >0 невозмущённое состояние
асимптотически устойчиво независимо от гироскопических и неконсервативных сил.
Доказательство этого утверждения следует из вида уравнения (2.9) при H =−δI:
h
1
˙
˜xTA˙˜x + xT(F + δ (D − δA)) xi+ X
2ddt
= −˙xT(D − δA) ˙x − −˙xT(E − δG) x − xTδF x + X
(3)
1
=
(3)
2
,
так как при достаточно больших h > 0 или l > 0 правая часть этого уравнения
определённо-отрицательна. Заметим, что доказанное утверждение содержит вывод
А.В. Карапетяна [65] о возможности стабилизации равновесия достаточно большими
диссипативными силами.
Глава 3
Стабилизация программного
движения обобщённых систем
Для систем дифференциальных уравнений движения материальной системы общего вида предлагается процедура построения семейства функций Ляпунова, позволяющая получать критерии асимптотической устойчивости по первому приближению.
Рассматриваются вопросы о построении систем управления, обеспечивающих асимптотическую устойчивость «в большом», и о повышении качества переходного процесса.
Приводятся примеры использования предложенной процедуры в задаче о стабилизации плоских движений спутника на эллиптической орбите, в задаче о стабилизации
программного движения математического маятника с подвижной точкой подвеса, гиромаятника на подвижном основании и другие.
В главе 2 было построено семейство функций Ляпунова для исследования устойчивости «в малом» невозмущённого движения механических систем. Этот подход был
применён в [132] для построения механических систем, обладающих асимптотически
устойчивым «в целом» программным движением.
Ниже эти результаты распространяются на более широкий класс материальных
систем, включающих в себя кроме механических еще и системы немеханической природы. Кроме того, построенное здесь семейство функций Ляпунова применяется для
улучшения качества переходного процесса механических систем путём оптимального
управления.
3.1 Построение семейства функций Ляпунова для ис-
следования устойчивости по первому приближению
Пусть возмущённое движение материальной системы описывается следующими векторными уравнениями:
A1(x1, ˙x1, x2, t)¨x1= B1(x1, ˙x1, x2, t), N1(x1, ˙x1, x2, t) ˙x2= K1(x1, ˙x1, x2, t), (3.1)
где A1, N1— (n×n)- и (m ×m)-матрицы; x1, B1— n-мерные, а x2, K1— m-мерные
векторы.
Элементы матриц A1, N1и векторов B1, K1предполагаются ограниченными, непрерывными и непрерывно дифференцируемыми в некоторой ограниченной области
32
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 33
G{x, ˙x}, включающей x1= 0, ˙x1= 0, x2= 0 при t ≥ t0. Кроме того, предполагается,
что det2|A1| > δ1, det2|N1| > δ2в области G при t ≥ t0, где δ1и δ2— некоторые положительные постоянные. Эти условия необходимы для обеспечения существования и
единственности решений уравнений (3.1) в области G при t ≥t0и для других целей,
достигаемых ниже.
Задача заключается в построении таких функций Ляпунова, которые сами и их
производные по времени образовали бы некоторое семейство квадратичных форм по
x1, ˙x1, x2с матрицами, диагональные элементы которых, тождественно не равняясь
нулю, содержали не только A1, B1, N1, K1, входящие в (3.1), но и некоторые произвольные векторные функции f(x1, t).
Смысл постановки такой задачи заключается в том, что её решение открывает
возможность получения целого семейства критериев асимптотической устойчивости
тривиального решения системы (3.1) с использованием лишь обобщённых критериев
Сильвестра [79], в которые кроме параметров системы войдут еще и произвольные
функции f(x1, t).
В следующих разделах работы эти функции Ляпунова будут использованы для
построения систем управления, обеспечивающих асимптотическую устойчивость «в
большом» и «в целом», а также для оценки и повышения качества переходного процесса.
Ранее [108, 132] некоторые из этих задач решены в случае механических систем при
выборе функции f(x1, t) в линейном виде H(t)x1.
Заметим, что здесь в отличие от механических систем матрицы A1, N1зависят от
˙x1и могут не быть симметрическими и определённо-положительными.
Для того чтобы симметризовать и сделать определённо-положительными эти матрицы, можно умножать уравнения (3.1) соответственно на транспонированные матрицы A
T
1
T
и N
. При этом уравнения (3.1) примут вид
1
A(x1, ˙x1, x2, t)¨x1= B(x1, ˙x1, x2, t), N (x1, ˙x1, x2, t) ˙x2= K(x1, ˙x1, x2, t), (3.2)
где A = A
B = A
T
B1, K = N
1
T
A1, N = N
1
T
N1— определённо-положительные и симметрические матрицы,
1
T
K1— n- и m-мерные векторы соответственно.
1
Введём замену
˙x1= y + f(x1, t), f (0, t) = 0, (3.3)
где f (x1, t) — произвольная n-мерная вектор-функция с ограниченными и дифференцируемыми элементами, допускающая бесконечно малый высший предел. Умножая
первое уравнение (3.2) скалярно на вектор y = ˙x1− f (x1, t), а второе — на вектор x2,
и затем складывая их, получим уравнения, которые после подстановки
¨x1= ˙y +
∂f
∂x
1
y +
∂f
f(x1, t) +
∂x
1
∂f
∂t
и использования равенства
yTA ˙y =
12d
(yTAy) −
dt
1
dA
T
y
2
y
dt
приведём к виду
12d
(yTA ˙y + x
dt
T
Nx2) = yTB −yTA
2
∂f
∂x
y −yTA
1
∂f
∂x
f +
1
∂f
∂t
+
1
dA
T
y
2
y +x
dt
T
K +
2
1
dN
T
x
2
x2.
2
dt
(3.4)
34 3 Стабилизация программного движения обобщённых систем
Предположим, что B, K,f разложимы в сходящиеся степенные ряды по x1, ˙x1, x2. Члены первого приближения этих векторов выражаются так:
f =
∂f
∂x
x1, B =
1
0
K =
∂K
∂ ˙x
∂B
∂ ˙x
1
0
∂K
˙x1+
1
0
∂x
˙x1+
1
x1+
0
∂B
∂x
1
∂K
∂x
x1+
0
2
0
x2.
∂B
∂x
x2,
2
0
Тогда
yTB = y
T
x
K = ˙x
2
∂B
T
∂ ˙x
∂K
T
1
∂ ˙x
˙x1+ y
1
0
T
˙x2+ x
1
0
∂B
T
∂x
∂K
T
1
∂x
1
1
0
T
0
x1+ x
x2+ x
T
∂B
T
2
∂x
∂K
T
2
∂x
y,
2
0
x2.
2
0
Сохраняя в правой части уравнения (3.4) члены не выше второго порядка малости и
заменяя в правой части вектор y на [ ˙x1− H(t)x1], где H(t) = (∂f/∂ ˙x1)0, получим
12d
(yTAy + x
dt
+ x
T
2
T
Nx2) = −˙x
2
∂K
∂x
2
0
T
Γ ˙x1− ˙x
1
1
+
2
T
(Γ1+ ΓH + ΓTH)x1− x
1
0
dN
x2+ ˙x
dt
T
1
∂K
∂ ˙x
+ x
1
T
2
T
0
x2− x
∂B
∂x
2
T
HT(ΓH − Γ1)x1+
1
T
∂K
T
T
H
1
T
˙x1− x
0
∂ ˙x
T
2
1
∂B
∂x
x2+
0
2
T
Hx1, (3.5)
0
где
Γ = AH −
Γ1= A(H2+˙H) −
∂B
∂ ˙x
1
∂B
∂ ˙x
dA
dt
,
0
1
−
2
0
∂B
H −
1
0
∂x
.
1
0
Из матриц первого и второго членов в правой части уравнения (3.5) выделим симметрические и кососимметрические части:
Γ = D + G, Γ1+ ΓH + ΓTH = C + E,
где D, C — симметрические, а G, E — кососимметрические части матриц. Перенеся в
левую часть член −˙x
1
V = − ˙x
2ddt
T
D ˙x1− ˙x
1
T
Cx1, получим
1
T
E ˙x1−x
1
"
∂K
T
+ ˙x
1
∂ ˙x
"
T
HT(ΓH − Γ1) −
1
T
∂B
+
1
0
∂x
#
˙
C
x1+ x
2
#
T
x2− ˙x
2
0
T
H
1
T
2
"
∂K
∂ ˙x
∂K
∂x
2
T
+
1
0
0
dN
x2+
dt
#
1
+
2
0
∂B
x2, (3.6)
∂x
2
0
где
V =
1
(yTAy + x
2
T
Nx2+ x
2
T
Cx1).
1
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 35
Здесь учтены следующие соотношения:
T
˙x
G ˙x1≡ 0, ˙x
1
T
Cx1=
1
12d
dt
( ˙x
T
1
Cx1) −
1
T
˙
x
Cx1.
1
2
Матрица H имеет n2произвольных элементов. Следовательно, функцию V , зависящую
от них, можно рассматривать в качестве искомого семейства функций Ляпунова, так
как правая часть равенства (3.6), являющаяся полной производной по t от функции
V , есть квадратичная форма по x1, ˙x1, x2с матрицей, диагональные элементы которой
тождественно не равняются нулю, чего нельзя добиться при H ≡ 0.
Таким образом, имеется возможность получения целого семейства критериев
асимптотической устойчивости невозмущённого движения по первому приближению,
пользуясь лишь обобщёнными критериями Сильвестра [79].
3.2 Построение систем асимптотически устойчивого
«в большом» программного движения
Введём в правую часть системы (3.2) векторы управления Q1и Q2. Получим
A(x1, ˙x1, x2, t)¨x1= B(x1, ˙x1, x2, t) + Q1, N(x1, ˙x1, x2, t) ˙x2= K(x1, ˙x1, x2, t) + Q2. (3.7)
12d
(yTAy + x
dt
= y
T
Nx2) =
2
T
Q1+ B − A
∂f
∂x
1
y − A
∂f
∂x
f +
1
+ x
∂f
T
2
∂t
+
K +
12dA
dt
12dN
dt
y+
x2+ Q
2
. (3.8)
Если векторы Q1, Q2выбрать в виде
Q1= −Dy − F1x1− B + A
∂f
∂x
y + A
1
∂f
∂x
f +
1
∂f
∂t
12dA
−
dt
y,
(3.9)
12dN
Q2= −K −
x2− F2x2,
dt
то получим
!
12d
(yTAy + x
dt
T
Nx2+ x
2
T
F1x1) = −yTDy + fTF1+ x
1
˙
F
1
T
1
x1− x
2
T
F2x2, (3.10)
2
где D, F1, F2— симметрические определённо-положительные матрицы.
Функция yTAy + x
T
Nx2+ x
2
T
F1x1построена определённо-положительной при всех
1
x1, ˙x1, x2, t, допускающих бесконечно малый высший и бесконечно большой низший пределы. Следовательно, в случае определённой отрицательности функции
T
(fTF1+ x
˙
F1/2)x1правая часть уравнения (3.10) будет определённо-отрицательной по
1
x1, ˙x1, x2, и при этом программное состояние x1= ˙x1=0, x2=0 системы (3.7) будет стабилизировано «в большом». Если приведённый подход применить для стабилизации
программного состояния «в целом», то необходимо иметь в виду некоторые дополнительные условия.
36 3 Стабилизация программного движения обобщённых систем
Выясним эти условия. Для этого обратим внимание на правые части уравнений
(3.9), которые имеют члены
12dA
y и
dt
12dN
x2,
dt
содержащие старшие производные ¨x1и ˙x2.
Заметим, что в уравнениях первого приближения эти производные отсутствуют,
так как члены с ними имеют более высокий порядок малости. Следовательно, при
наличии этих членов, вообще говоря, речь может идти только об устойчивости в ограниченной области начальных возмущений. Если же матрицы A1, N1явно не зависят
от ˙x1, а матрица N1еще и от x2, то правые части равенства (3.9) не содержат старших производных. При этом векторы Q1и Q2обеспечивают условия асимптотической
устойчивости невозмущённого состояния системы «в целом».
Для того чтобы, несмотря на явное содержание в A1и N1векторов ˙x1и x2, построить Q1и Q2так, чтобы невозмущённое состояние системы было асимптотически
устойчивым «в целом», можно предложить следующую схему.
Умножим уравнения (3.1) соответственно на неособенные матрицы AA
−1
1
и NN
−1
1
где A(x1, x2, t), N (x1, t) — произвольные ограниченные и имеющие ограниченные производные по всем переменным при всех x1, x2, t ≥ t0определённо-положительные
симметрические матрицы, удовлетворяющие обобщённым критериям Сильвестра [79].
Тогда уравнения (3.1) при введении в правую часть «обобщённых сил» управления Q
и Q2принимают вид
,
1
A(x1, x2, t)¨x1= AA
N(x1, t) ˙x2= NN
−1
1
−1
B1+ AA
1
K1+ NN
−1
1
−1
1
Q1,
Q2.
Умножая скалярно первое уравнение на y, а второе на x2, получим аналог уравнения (3.8), из которого следует, что при значениях
Q1= −B1+ A1A
−1
−Dy − F1x1+ A
Q2= −K1+ N1N
∂f
∂x
−1
−F2x2−
y + A
1
∂f
f +
∂x
1
12dN(x1, t)
dt
∂f
∂t
12dA(x1, x2, t)
−
x
,
2
dt
y,
(3.11)
получим уравнение вида (3.10).
При таком построении управлений условия существования и единственности решений системы (3.1) не нарушаются во всём фазовом пространстве при всех t≥t0.
3.3 Повышение качества переходного процесса меха-
нической системы оптимальным управлением
Рассмотрим механическую систему
∂T
∂ ˙q
−
∂T
= Q(q, ˙q, t), T =
∂q
1
˙qTA(q, t) ˙q + ˙qTa(q, t) +
2
1
a0(q, t).
2
d
dt
При выборе f = H(t)x и вектора обобщённых сил Q в виде
Q = −Dy −F x +
1
A0y−
2
∂T
∂x
2
+
∂T
∂x
0
12∂A(q0+ x,t)
2
+
∂t
y−GHx+
∂b
∂t
−
12∂b
∂x
0
dAHx
+
, (3.12)
dt
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 37
система обладает программным движением q0(t), стабилизированным «в целом».
Здесь
y = ˙x − H(t)x, T2=
1
˙qTA ˙q, T
2
1
0
=
yTAy,
2
2
b(x, t) = A(q0+ x,t) ˙q0+ a(q0+ x,t), b0= ˙qTA ˙q0+ 2 ˙qTa + a0,
A0— (n×n)-матрица с элементами a
0
= xTHT∂aij/∂x, aij— элемент матрицы A, H(t) —
ij
произвольная ограниченная (n×n)-матрица с ограниченной и непрерывной производной по t; G — кососимметрическая матрица с элементами gνi= ∂bν/∂xi+ ∂bi/∂xν, где
bν, bi— элементы вектора b; D и F — определённо-положительные симметрические
матрицы.
При этом для отклонений x = q −q0(t) от программного движения имеем функцию
Ляпунова и её производную по времени
V = T
0
+ xTF x/2,˙V = −yTDy + xT(HTF +˙F /2)x, (3.13)
2
где (HTF +˙F /2) — определённо-отрицательная функция.
При нелинейной замене y = ˙x − f (x, t) с помощью нелинейной функции f (x, t) с
ограниченными и дифференцируемыми элементами, допускающей бесконечно малый
высший предел, выбором обобщённой силы в виде, отличающемся от (3.12) заменой
Hx на f (x, t), получим
V = T
0
+ xTF x/2,˙V = −yTDy + fT(x, t)Fx + x
2
T
˙
F x/2.
T
Если функцию f (x, t) и матрицу F выбрать так, чтобы функция fTF x + x
˙
F x/2
была определённо-отрицательной, то показатель качества переходного процесса будет
иметь следующее значение:
∞
Z
yTDy −fTF x +
1
T
˙
x
F xdt = V0, V0= V (t0). (3.14)
2
t
0
Для повышения качества переходного процесса добавим к вектору Q дополнительную составляющую M (x, ˙x, t)u, где M — (n×r)-матрица, u — r-мерный вектор управ-
ления. Следуя предложенному ранее подходу [157], ищем подынтегральное выражение
функционала качества оптимального управления в виде
W0= F1(x, ˙x, t) + uTR(x, ˙x, t)u,
где R — определённо-положительная ограниченная симметрическая (r×r)-матрица.
Построим функцию
B0=˙V + uTMTy + F1+ uTRu.
Из условия ∂B0/∂u = 0 получим u0= −R−1MTy/2, а из условия B0=0 имеем
F1= −˙V + yTMR−1MTy/4.
При этом имеем
W0= −˙V + yTMR−1MTy/2
38 3 Стабилизация программного движения обобщённых систем
и следующий показатель качества переходного процесса:
∞
Z
yTDy −fTF x +
t
0
1
x
2
T
˙
F x+
1
yTMR−1MTydt = V0,
2
где V0— значение V = T
0
+ xTF x/2 при t = t0.
2
Таким образом, добавление к Q оптимального управления u0улучшило качество
переходного процесса, так как величина функционала качества при u = 0 (левая часть
равенства (3.13)) уменьшилась на
∞
Z
1
yTMR−1MTy dt.
2
t
0
Если нет необходимости требовать минимальности функционала
∞
Z
W0dt,
t
0
то функцию F1можно выбрать из условия
0≤F1≤−˙V + yTMR−1MTy/4.
При этом достигается гарантированная оценка качества переходного процесса
∞
Z
W0dt≤V0.
t
0
Заметим, что если задачу решать в рамках уравнений первого приближения, то
члены
1
A0y −
2
∂T
∂x
0
∂T
2
+
2
∂x
второго порядка малости в выражении Q можно приравнять нулю. Если при этом от
матриц H = (∂f/∂x)0, D, F потребовать, чтобы H = HTи матрицы
D −
12∂A(q0, t)
+ AH,
∂t
F − AH2−
dAH
dt
были определённо-положительными, то при условии определённой положительности
матрицы
−(HTF0+˙F0/2), где F0= F − dAH/dt − AH2,
вектор Q можно построить в виде
∂b
12∂b
Q = −Dy − F x +
−
∂t
0
∂x
− GHx.
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 39
3.4 Примеры
Пример 1. Стабилизация ориентации спутника на эллиптической орбите.
При использовании гравитационного момента для стабилизации вращательного движения ориентации спутника имеет место следующее уравнение движения [90]:
¨α − l(ν) ˙α + m(ν) sin α = 2l(ν) + u,
где
l(ν) =
где Θ — угол отклонения оси OZ спутника от радиального положения, ν — истинная
аномалия, ε — эксцентриситет орбиты (0< ε < 1), точками обозначены производные по
ν. Примем управляющий вектор u в виде суммы
где u0— управляющий момент при невозмущённом движении, M — стабилизирующий
момент.
При этом уравнение возмущённого движения имеет вид:
¨x = −l(ν) ˙x − g(ν, x) sin
Введём замену
Заменяя ¨x на ¨x = ˙y − Hy + H2x, получим
2ε sin ν
, m(ν) =
1 + ε cos ν
u = u0(ν, α, ˙α) + M, (3.15)
x
+ M, g(ν, x) = 2m(ν) cos(α0+
2
˙y = ˙x + Hx, H = const >0.
˙y = −l(ν)(y − H x) −H2x + Hy − g(ν,x) sin
2
n
1 + ε cos ν
, n2= 3
A − C
α = 2Θ,
B
x
).
2
x
+ M.
2
Умножим это уравнение на y и выберем M в виде
M = −D1y − F1x.
Введём обозначения
!
˙
F
2
g(ν, x)
x
x2.
D = D1− H + l(ν), F = F1+ H2− Hl(ν) +
После замены y в выражении (yFx), перенеся ( ˙xF x) в левую часть, получим
12d
(y2+ Fx2) = −Dy2− F H −
dν
Если потребовать выполнения условий
˙
D > 0, F > 0, F H −
F
>0,
2
sin
x
.
2
40 3 Стабилизация программного движения обобщённых систем
то при управляющем моменте (3.14) невозмущённое движение будет стабилизировано
в целом. При этом качество переходного процесса определяется равенством
"
∞
Z
Dy2+ F H −
t
0
!#
˙
F
dt = y
2
2
+ Fx
0
2
, y0=y(t0), x0=x(t0). (3.16)
0
Пример 2. Стабилизация программного движения математического маятника с подвижной точкой подвеса. Пусть точка подвеса маятника совершает
произвольно заданные плоские движения, описываемые законами Θ(t), ν(t) вдоль вертикальной и горизонтальной осей неподвижной системы координат.
При
m>1, l = 1/a, a>0,
где l — длина маятника, m — масса, имеет место следующее уравнение движения [22]:
¨ϕ + a¨ν(t) cos ϕ + a¨Θ sin ϕ + ag sin ϕ = M1.
Подставим ϕ = ϕ0(t) + x, где ϕ0— заданная программа, а управляющий момент
пердставим в виде суммы
M1= M0+ M, M0= ¨ϕ0+ a¨ν cos(x + ϕ0t),
где M — стабилизирующий момент. Тогда получим уравнение возмущённого движения
в виде
¨x + k sin(x + ϕ0) = M, k = a(¨Θ + g).
Это уравнение можно представить в виде
x
.
2
¨x = −g(x, t) sin
x
+ M, g = 2k cosϕ0+
2
Итак, получили уравнение, являющееся частным случаем уравнения возмущённого
движения, полученного в примере 1 при l =0. Следовательно, имеет место равенство
!
12d
(y2+ Fx2) = −Dy2− F H −
dt
D = D1− H, F = F1+ H2+
g(x, t)
x
x
sin
, y = ˙x + Hx, H = const>0,
2
˙
F
x2,
2
где D1, F1— элементы стабилизирующего момента (3.15), удовлетворяющие условиям
D > 0, F > 0.
При стабилизации таким моментом достигается показатель качества переходного процесса (3.16).
Пример 3. Стабилизация программного движения гиромаятника на подвижном основании. Пусть на платформу, совершающую вертикальное движение
по закону ζ0= ζ(t), помещён гиромаятник, имеющий угловую скорость собственного вращения, равную ˙ϕ. Положение оси OZ симметрии гиромаятника относительно
неподвижной системы координат ξηζ (ось Oζ вертикальна) будем задавать углами α
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]