Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
0.1 Введение 11
гах систем другой физической природы, таких как адаптивные оптические системы
[145, 146, 147] и системы переменной массы. Особого внимания заслуживают работы, связанные с применением методов построения уравнений программного движения механических систем к задачам управления динамикой экономических систем
[8, 14, 15, 137, 152, 163, 164, 165, 166]. В последнее время к этим исследованиям добавились работы, связанные с построением систем управления программными движениями в сингулярных случаях [2]. Для решения этих проблем широко используется
оригинальная форма описания множества дифференциальных уравнений программных движений с помощью векторного произведения многомерных векторов [123].
Круг задач в направлении, возглавляемом В.М. Савчиным, прежде всего связан с
построением уравнений программного движения систем с распределенными параметрами, обладающих бесконечномерной степенью свободы [1, 25, 159, 162]. Проводимые
в этом направлении исследования существенно отличаются от систем, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями. В.М. Савчиным было предложено использовать другой математический аппарат для описания континуальных систем.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность О.И. Чекмарёвой за активное участие в написании глав 16, 19–21 и 23 книги, содержащих изложение исследований, выполненных в соавторстве с ней, а также за компьютерный набор и подготовку
макета книги.
Автор приносит глубокую благодарность д.ф.-м.н. В.М. Савчину и д.ф.-м.н.
О.В. Холостовой за рецензирование книги и полезные замечания, учтённые автором в
окончательной редакции книги и способствовавшие её улучшению, а также профессорам Р.Г. Мухарлямову и Ю.П. Рыбакову за полезные советы и замечания.
Глава 1
Этапы становления и развития теории
построения множества управляемых
систем по заданным программным
связям
Теперь переходим к краткому изложению обзора по публикациям, касающимся обсуждаемой проблемы. Впервые подобные обзоры были напечатаны в 1994 году в Вестнике
РУДН серии «Прикладная математика и информатика», №1, с. 5–21 (охватывает период с 1961 по 1994 год) и в 1997 году в сборнике «Проблемы механики и управления.
Нелинейные динамические системы», с. 6–13 (охватывает годы с 1994-го по 1997-й).
Эти обзоры были написаны авторским коллективом, состоящим из А.С. Галиуллина,
И.А. Мухаметзянова и Р.Г. Мухарлямова, и вышли из печати еще при жизни А.С. Галиуллина. За прошедшие после этого годы количество работ, посвящённых данной
проблеме, достигло трёхзначного числа. В связи с этим в силу ограниченности объёма
книги, удалось достаточно полно охватить в обзоре лишь работы самого автора этих
строк и некоторых его учеников, непосредственно относящиеся к теме, обсуждаемой
в данной книге.
Обзор охватывает три этапа исследований: первый — с 1963 по 1973 год, второй —
с 1995 по 2010 год, третий — с 2011 по 2015 год. Первые два этапа посвящены описанию методов стабилизации непрерывным управлением (главы 1–12), а третий этап —
разрывным управлением (главы 13–23).
Теперь переходим к изложению краткого описания результатов работ, относящихся
к каждому из этих трёх этапов.
1.1 Первый этап: постановка первоочередных задач и
разработка некоторых фундаментальных методов
их решения
Прежде всего заметим, что исследования данного этапа оказались основополагающими
при постановке и решении задач в последующие годы. В связи с этим работы этого
этапа описываются достаточно полно. При этом были использованы в основном работы
[84, 85, 86, 87, 91, 92, 96, 97, 98, 101, 102, 105, 111, 112, 113, 114, 115, 119, 125, 126] самого
автора с участием некоторых его учеников.
12
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 13
Приведённый ниже обзор является итогом многолетнего труда по решению некоторых задач теории построения систем программного движения, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (1), программа движения для которых
задается в виде многообразия (3) и освобождающих программных связей (4).
Изложение обзора начнем с решения задачи построения всего множества выражений r-мерной непрерывной вектор-функции P (x, t), входящей в правую часть уравнения вида [112, 114]
˙x = f (x, t) + B(x, t)P (x, t), (1.1)
при которой гладкое многообразие (3) является интегральным для уравнения (1.1).
При этом предполагается, что заданная n-мерная вектор-функция f (x, t) и элементы заданной (n×r) матрицы B(x, t) являются непрерывными в некоторой области D,
включающей в себя многообразие Ω(t) с его некоторой окрестностью. Допустимыми
считаются такие непрерывные вектор-функции P (x, t), которые в области D не нарушают условий существования и единственности решений уравнения (1.1). Доказано,
что в качестве P (x, t) может быть взята произвольная непрерывная r-мерная векторфункция, удовлетворяющая при x ∈Ω(t) условию
#
0
Γ
νi
0
)
ν
,
0
Γ
P =
s
X
i,ν=1
0
Γ
νi
0
g
0
l
ν
+ K(x, t)"W −
i
0
Γ
s
X
i,ν=1
0
g
(W · g
ν
где
∂ω
l
0
i
= −
i
− f (x, t) · grad ωi;
∂t
Γ0— определитель Грама, составленный из векторов
0
g
= B0(x, t)grad ωi, (j = 1, 2, . . . , s);
j
B0(x, t) — транспонированная матрица B(x, t); Γ
0
— алгебраическое дополнение i-го
νi
элемента ν-го столбца определителя Γ0; K(x, t), W (x, t) — произвольные непрерывные
соответственно скалярная и r-мерные вектор-функции.
Показано, что евклидова норма вектора P (x, t) имеет минимальную норму, если
при x∈Ω(t) принять K(x, t) ≡ 0, а при x¯∈Ω(t) — P (x, t) ≡ 0.
Поставленная задача решается и при условии, чтобы кроме многообразия (3) интегральным для уравнения (1.1) являлось еще семейство многообразий, образованное
пересечением гиперповерхностей [85]
ω
(x, t) − Ψ
s+i
s+i(C1
, . . . , CN, t) = 0 (i = 1, . . . , N),
где Ci— произвольные постоянные из заданного множества.
Предлагается также способ расширения множества дифференциальных уравнений
(1), обладающих заданным интегральным многообразием, путём повышения порядка
системы уравнений.
Сущность этого способа заключается в присоединении к уравнению (1) r-мерного
векторного дифференциального уравнения [85]
dkP
=¯F (x, P,˙P , . . . , P
k
dt
(k−1)
, t),
14 1 Этапы становления и развития теории построения. . .
где k — целое положительное число;¯F — произвольная непрерывная r-мерная векторфункция, удовлетворяющая при x, P,˙P , . . . , P
(k−1)
∈D1условию
#
Γ
νi
,
Γ
¯
F =
s
X
i,ν=1
A
Γ
νi
σi+ K(x, t)"W −
ν
Γ
s
X
Aν(W · Aν)
i,ν=1
где D1— область, определяемая уравнениями
ωi(x, t) = 0 (j = 1, 2, . . . , s),
где ω
(i)
ω
(x, P,˙P , . . . , P
j
(i)
— полная производная i-го порядка по t от функции ωj, вычисленная в силу
j
(k−1)
, t) = 0 (i = 1, . . . , k);
уравнения (1.5); Γ — определитель Грама, составленный из векторов
Aj= grad
P
(k−1)
(k)
ω
(j = 1, . . . , s);
j
Γνi— алгебраические дополнения определителя Γ; σi— скалярные функции вида
k−1
σi= −
X
i=1
grad
P
(k−1)
(k)
ω
(i)
· P
j
− gradxω
(k)
· f (x, P, t) −
j
Показано, что при начальных условиях x0, P0,˙P0, . . . , P
(k−1)
0
(k)
∂ω
j
.
∂t
∈D1движения, опре-
деляемые построенными уравнениями, происходят по программному многообразию
(3).
Затем рассматриваются уравнения систем управления вида [85]
˙x = f (x, U, t),
˙
U = R(x, U, t) + B(x, U, t)P(x, U, t),
(1.2)
где x, U — соответственно n и m-мерные векторы состояния объекта управления и
управляющего органа системы; f, R,B — заданные матрицы соответственно размерности (n×1), (m×1), (m×r);P(x, U, t) — искомая вектор-функция.
Строится множество вектор-функций P(x, U, t), при которых объект управления
обладает заданным семейством программных движений или же его движения по программному многообразию происходят по траекториям, обладающим определёнными
свойствами, такими как монотонное стремление к точке экстремума заданной функции и движения по экстремалям заданного функционала [85]. В частности, установлено, что при начальных условиях x0, U0∈¯Ω(t), где¯Ω(t) — область, определяемая
n-мерным векторным уравнением
f(x, U, t) −Z(x, t) = 0,
движения системы (1.2) происходят по траекториям, описываемым решениями
n-мерного заданного дифференциального уравнения
˙z = Z(z, t), (1.3)
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 15
если вектор-функция P (x, U, t) является произвольной непрерывной, удовлетворяющей при x, U ∈¯Ω(t) условию
#
¯
Γ
νi
,
Γ
P =
n
X
i,ν=1
A
¯
Γ
νi
¯
¯
li+ K(x, U, t)"W −
ν
¯
Γ
n
X
i,ν=1
(W ·¯Aν)
где¯Γ — определитель Грама, составленный из векторов
¯
Aj= B0(x, U, t)gradUfj(x, U, t) (j = 1, . . . , n);
¯
Γνi— алгебраические дополнения определителя¯Γ;
¯
lj= −gradUfi· R − gradx(fi− Zi) ·f −
∂
(fi− Zi),
∂x
K(x, U, t), W (x, U, t) — произвольные непрерывные соответственно скалярная и
r-мерная векторная функции.
Рассмотрен также случай, когда дифференциальное уравнение (1.3) описывает по-
ле условных или безусловных экстремалей заданного функционала [85].
Установлено, что движения системы (1.2) по многообразию Ω, заданному уравне-
ниями
ωj(x) = 0 (j = 1, . . . , s),
происходят по траекториям, монотонно приближающим изображающую точку (x, U) к
точке условного экстремума заданной функции V (x, U), если искомая вектор-функция
является произвольной и непрерывной, удовлетворяющей при x ∈ Ω ∩Ω0условию
P =
n
X
i,ν=1
A
Γ
νi
li+ K(x, U, t)
ν
Γ
kg
(2)
g
,
2
(2)
k
где Ω0— область, определяемая уравнениями
gradxωj· f (x, U, t) = 0 (j = 1, . . . , s);
Γ — определитель Грама, составленный из векторов
Aj= B0(x, U, t)gradU[gradxωj· f (x, U, t)] ,
(2)
g
— r-мерный вектор вида
n
X
Γ
i,j=1
ij
Ai(g · Aj),
Γ
g
(2)
= g −
g = B0(x, U, t)gradUV (x, U, t);
K(x, U, t) — произвольная непрерывная скалярная функция, удовлетворяющая лишь
условию
(1)
K(x, U, t) < −g
(1)
g
(1)
= g − g
· P
+ gradxV ·f + gradUV ·R,
0
s
(2)
, P
0
(1)
X
=
i,ν=1
A
Γ
νi
ν
Γ
li.
16 1 Этапы становления и развития теории построения. . .
Полученные результаты применяются для построения уравнений движения преследующей точки по кривой погони. Вектор силы P , управляющей точкой M, движущейся в пространстве согласно дифференциальному уравнению
d¯V
m(t)
=¯f(¯V , ¯r, t) +¯P ,
dt
определяется из условий
ω1=
(¯V ·¯j)
= 0, ω2=
V
(¯V ·¯k)
= 0, (¯P ·¯V ) = 0,
V
где
¯
j =
[¯k1ׯi ]
,¯k = [¯iׯj ],¯i =
|¯k1ׯi|
D
D
¯
,
где¯D = O1M − O1O, D = |¯D|,¯k1— орт одной из осей инерциальной системы отсчета
Oxyz, O — преследуемая точка, m, ¯r,¯V — масса, радиус-вектор и вектор скорости
точки M,¯f(¯V , ¯r, t) — главный вектор заданных сил.
Выражение управляющей силы получено в виде
¯
P = λ
¯
i + λ
1
¯
j + λ
2
¯
k,
3
где λ1, λ2, λ3— найденные скалярные функции, зависящие от ¯r,¯V ,¯D, ¯ω, где ω — абсо-
лютная угловая скорость вращения вектора¯D.
Для движения системы по заданной программе необходимо, чтобы условия (3) в
начальный момент времени точно выполнялись. Однако это условие не всегда соблюдается. Поэтому при построении программного движения следует иметь в виду ещё и
требование устойчивости программы.
Этому вопросу посвящены последующие работы [86, 87, 101, 102, 105], в которых
предлагаются методы, позволяющие выделить из всего множества дифференциальных уравнений, построенных выше, такие, для которых программное многообразие
обладает свойством устойчивости. Для этого вводятся определения устойчивости, равномерной устойчивости, асимптотической и абсолютной устойчивости программного
многообразия по отношению к некоторым заданным функциям. Показано, что эти
понятия являются естественным обобщением понятия устойчивости невозмущённого
движения путём распространения известного понятия устойчивости по отношению к
заданным функциям, сформулированного А.М. Ляпуновым, на случай, когда невозмущённым состоянием системы является программное многообразие.
Приведём некоторые из этих определений [102].
Для этого вводится k-мерная непрерывная вектор-функция Q(x, t), которая при
x ∈ Ω(t) тождественно обращается в нуль или, в общем случае, принимает вполне
определённые значения, которые представимы в виде k-мерной вектор-функции q(t).
Здесь под Ω(t) понимается (n−s)-мерное программное многообразие (3) построенной
системы
˙x = f (x, t). (1.4)
В пространстве состояний системы (1.4) выделяется область G(H):
kY (x, t)k ≤ H (H = const ≤ ∞),
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 17
где kY k — евклидова норма вектора Y = Q − q.
Определение 1. Многообразие Ω(t) называется устойчивым по отношению к вектор-
функции Q(x,t), если для любого ε > 0 можно указать такое δ(t0, ε) > 0, что при
kY (x0, t0)k ≤ δ выполняется условие kY (x, t)k ≤ ε при всех t≥t0.
Если наряду с выполнением условий Определения 1 имеет место
lim
kY (x, t)k = 0, (1.5)
t→∞
то Ω(t) называется асимптотически устойчивым по отношению к вектор-функции
Q(x, t).
Определение 2. Многообразие Ω(t) называется асимптотически устойчивым в це-
лом, если условие (1.5) выполняется при любых kY (x0, t0)k, как бы велики они ни
были.
Заметим, что если уравнение (1.4) является уравнением возмущённого движения в
смысле А.М. Ляпунова, то, выбирая за Qiкоординаты xi(i = 1, 2, . . . , k; k < n), приходим к известной задаче об устойчивости по части переменных в смысле В.В. Румянцева
[158].
Для установления условий устойчивости многообразия Ω(t) предлагается метод
векторных функций V (y, x, t), аналогичных векторным функциям А.М. Ляпунова.
Доказаны теоремы об устойчивости, равномерной устойчивости и о неустойчивости
программного многообразия по отношению к заданным функциям.
Приведём некоторые из этих теорем. Для этого необходимо привести несколько
определений.
Рассмотрим некоторую определённую, непрерывную и непрерывно дифференцируемую при всех t≥t0и x∈G(H) l-мерную вектор-функцию V (y, x, t), удовлетворяющую
условию V (0, x, t) ≡0.
Определение 3. Вектор-функция V (y, x, t) с неотрицательными компонентами на-
зывается знакоопределённой положительной, если существует функция a(r), обладающая свойством (P ), которая при всех t ≥t0, x ∈G(H ) удовлетворяет условию
kV (y, x, t)k ≥ a(kyk).
В этом определении под функцией a(r), обладающей свойством (P ), понимается непрерывная скалярная строго возрастающая функция, для которой имеет место
a(0) = 0.
Определение 4. Вектор-функция V (y, x, t) называется функцией, допускающей бес-
конечно малый высший предел по y, если существует функция b(r), обладающая свойством (P ), которая при всех t ≥t0, x ∈G(H ) удовлетворяет условию
kV (y, x, t)k ≤ b(kyk). (1.6)
Определение 5. Если вектор-функция V (y, x, t) удовлетворяет условию (1.6) при
t≥t0и всех x ∈G(H ), то будем говорить, что она допускает бесконечно малый высший
предел по y при t0.
18 1 Этапы становления и развития теории построения. . .
Теорема 1. Если найдутся знакоопределённая положительная l-мерная (l ≥ 1)
вектор-функция V (y, x, t), допускающая бесконечно малый высший предел по y при
t0, и l-мерная вектор-функция¯Z(z, t), обладающая свойством (D), такие, что тривиальное решение z = 0 уравнения
˙z =¯Z(z, t) (1.7)
устойчиво (асимптотически устойчиво), и при всех t ≥ t0, x ∈ G(H) имеет место
˙
V ≤¯Z(V, t), как бы мало ни было H ≥ 0, то многообразие Ω(t) устойчиво (асимпто-
тически устойчиво).
Здесь под функцией¯Z(z, t), обладающей свойством (D), понимается l-мерная
вектор-функция, непрерывная по всем переменным, удовлетворяющая условию
¯
Z(0, t) ≡0 и неубывающая по внедиагональным переменным, то есть¯Zi(z, t) не убывает
по всем Zs(s6=i) в некоторой области kZk<H, t≥0.
Если в условиях Теоремы 1 потребовать, чтобы функция V (y, x, t) допускала бес-
конечно малый высший предел при всех t≥t0, а тривиальное решение уравнения (1.7)
было равномерно устойчивым, то многообразие Ω(t) будет равномерно устойчивым.
Теорема 2. Если найдется l-мерная (l ≥1) положительная вектор-функция V (y, x, t),
определённая, ограниченная, непрерывная и непрерывно дифференцируемая, удовлетворяющая уравнению
˙
V = κ (t)V + W (y,x, t)
при всех t ≥ t0, x ∈ G(H), как бы мало ни было H, где W — l-мерная произвольная
вектор-функция с неотрицательными компонентами; κ(t) — матрица (l ×l) с неотрицательными компонентами, диагональные из которых таковы, что интегралы
t
Z
κii(t)dt (i = 1, . . . , l)
t
0
неограниченно растут вместе с t, то многообразие Ω(t) неустойчиво.
Показано, что из вышеприведённых теорем вытекают известные теоремы А.М. Ляпунова [75], К.П. Персидского [149, 150] и К. Кордуняну [66].
Далее [102] предлагается метод построения систем, имеющих программное многообразие, устойчивое по отношению к вектор-функции ω{ω1, . . . , ωs}. Сущность этого
метода заключается в том, что если вектор-функция y = Q −q является непрерывной
по ω функцией вида y(ω) или y(ω, x, t), допускающей бесконечно малый высший предел по ω при всех t≥t0, x ∈G(H), то из устойчивости Ω(t) по отношению к ω вытекает,
что оно устойчиво и по отношению к Q(x, t). При этом задача сводится к тому, чтобы
правая часть уравнения (1.4) удовлетворяла условиям
∂ω
grad ωj· f (x, t) +
j
= Fj(ω, x, t) (i = 1, . . . , l),
∂t
где Fj(ω, x, t) — произвольные непрерывные функции, удовлетворяющие условию
Fj(0, x, t) ≡0, такие, что тривиальное решение ω =0 уравнения ˙ω = F (ω, x, t) устойчи-
во.
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 19
Этот метод обобщается и на случай, когда условия устойчивости Ω(t) по отношению
к функциям ω и Q не равносильны. Сущность этого обобщения выражает следующая
теорема.
Теорема 3. Если правая часть f(x, t) уравнения (1.4), обладающего интегральным
многообразием Ω(t), удовлетворяет равенствам
∂y
grad yi· f (x, t) +
i
= Φi(y, x, t) (i = 1, . . . , k),
∂t
где функции Φi(y, x, t), удовлетворяющие условию Φ(0, x, t) ≡0, являются такими, что
уравнение ˙y = Φ(y, x, t) имеет устойчивое при всех x ∈ G(H) тривиальное решение
y = 0, то многообразие Ω(t) устойчиво по отношению к функциям Qi(x, t).
Пользуясь этой теоремой, построен класс функций Fν(ω, x, t), входящих в уравнение (1.4) вида [102]
s
X
˙x = f (x, t) +
Cν(x, t) · Fν(ω, x, t),
ν=1
где Fν(0, x, t) ≡0, при которых это уравнение обладает интегральным многообразием
Ω(t), устойчивым по отношению к функциям Qi. Затем устанавливаются достаточные,
а в некоторых случаях необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости
многообразия Ω(t) [102].
С этой целью вводится понятие абсолютной устойчивости [84, 125] многообразия
Ω(t), обобщающее известное понятие устойчивости нелинейных регулируемых систем.
Для этого, наряду с (1.4), рассматриваются уравнения
˙x = f (x, t) +
r
X
¯
βν(t)ϕν(σν, t), σν=
ν=1
s
X
γνi(t)ωi(ν = 1, . . . , r), (1.8)
i=1
где¯βν(t) — n-мерные заданные вектор-функции; γνi(t) — заданные скалярные функции; ϕν(σν, t) — произвольные функции, удовлетворяющие условию
ϕν(σν, t)
aν≤
σ
≤ bν(ν = 1, . . . , r), (1.9)
ν
aν, bν— заданные постоянные.
Определение 6. Многообразие Ω(t) называется абсолютно устойчивым, если оно
устойчиво в целом в силу уравнения (1.8) при любых ϕν(σν, t), удовлетворяющих усло-
вию (1.9).
Приведём одну из четырёх теорем об абсолютной устойчивости, доказанных при
решении этой проблемы.
Теорема 4. Если:
а) все элементы каждого столбца (s × r)-матрицы kβjν(t)k и все элементы
(r×s)-матрицы kγνk(t)k имеют соответственно одинаковые знаки;
б) матрица C (t) такова, что все элементы нормированной фундаментальной матрицы R(t) решений системы
˙ω = C(t)ω
20 1 Этапы становления и развития теории построения. . .
и все элементы матрицы
K(t, τ ) = R(t)R−1(τ)
при всех t≥τ ≥0 неотрицательны, то для абсолютной устойчивости многообразия
ωj= Bj(t)x + Ψj(t) = 0 (j = 1, . . . , s)
по отношению к функциям ωjнеобходимо и достаточно, чтобы тривиальное решение
уравнения
˙
X = [C(t) + ε(t)]X
было асимптотически устойчивым.
Здесь обозначения имеют следующий смысл:
βiν(t) = Bi(t)¯βν(t),
C(t) =
ε(t) =
aij(t) +
X
ν=1
r
X
1
βiν(t)γνj(bν+ aν)
2
ν=1
r
1
|βiν(t)γνj|(bν− aν)
2
s
,
s
s
,
s
aij(t) — некоторые заданные функции.
Особого внимания заслуживают способы установления условий инвариантности
программного многообразия [84, 125] по отношению к постоянно действующим возмущениям ϕν(x, t), являющимся компонентами произвольной r-мерной векторной функции ϕ(x, t), входящей в правую часть уравнения движения системы
˙x = f (x, t) + C(x, t)ϕ(x, t). (1.10)
Определён класс функций Cij(t), являющихся элементами (n×r) матрицы C(x, t), при
которых многообразие (3) является интегральным для уравнения (1.10) при любых
возмущающих вектор-функциях ϕ(x, t). При этом векторы-столбцы Cν(x, t) матрицы
C(x, t) определяются из условия
grad ωj· Cν≡ 0 (j = 1, . . . , s; ν = 1, . . . , r)
при x∈Ω(t).
Полученные результаты применяются для построения выражения сил, управляющих движением преследующего тела, когда преследуемый объект (точка) совершает
произвольное движение в пространстве [119]. Преследование предполагается происходящим по кривой погони. При этом информация о движении преследуемого объекта
получается в текущий момент времени, а характер его дальнейшего движения заранее
не известен. Построены выражения таких управляющих сил, при которых величина
скорости центра масс преследующего тела является инвариантной по отношению к
этим управляющим силам, а положение тела стабилизируется относительно подвижной декартовой системы координат с началом в центре масс преследующего тела, одна
ось которой направлена по прямой, проходящей через центр масс тела и преследуемую
точку, вторая лежит в вертикальной плоскости, а третья перпендикулярна первым
двум осям. Построенные выражения управляющих сил обеспечивают устойчивость
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]