Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
5 Стабилизация цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите 61
Q3= −d3y3− f3x3− A1y3sin 2θ1/2 −g13x3+ A1˙ω
−A1ω
2
cos ψ1sin ψ1sin2θ1+ C1r1ω0sin ψ1sin θ1− A1˙x3sin2θ1− A1˙x1x3sin 2θ1,
0
Q4= −d4y4− f4x4− A2y4sin 2θ2/2 −g24x2+ A2˙ω
−A2ω
2
cos ψ2sin ψ2sin2θ2+ C2r2ω0sin ψ2sin θ2− A2˙x4sin2θ2− A2˙x2x4sin 2θ2,
0
2
sin θ1cos θ1cos ψ1− C1˙r1cos θ1−
0
2
sin θ2cos θ2cos ψ2− C2˙r2cos θ2−
0
xi= θ1− π/2, xj= ψj− π (i = 1, 2; j = 3, 4),
где gijвыражается в виде (5.7). Теперь из равенств
Qi= M
∂U
+
θ
i
, Qj= M
∂θ
i
∂U
+
ψ
i
∂ψ
(i = 1, 2; j = 3, 4)
i
определим значения стабилизирующих моментов
3
M
= Q1+
θ
1
M
= Q2+
θ
2
M
= Q3+ k(ψ1− ψ2), M
ψ
1
2
ω
(C1− A1) cos2θ1+ k(θ1− θ2),
0
2
3
2
ω
(C2− A2) cos2θ2− k(θ1− θ2),
0
2
= Q4− k(ψ1− ψ2),
ψ
2
обеспечивающих асимптотическую устойчивость в целом цилиндрической прецессии
спутника. Заметим, что при этом качество переходного процесса определяется значением функционала (5.4)
∞
Z
yTDy − xTF xdt = V0,
t
0
равным величине функции Ляпунова (5.2): V =yTDy − xTF xdt/2 при t=t0.
Можно поставить вопрос об улучшении качества переходного процесса путём до-
бавления к M
θ
, M
i
элементов вектора оптимального управления
ψ
i
1
M(x, ˙x, t)u, u = u0= −
R−1(x, ˙x, t)MT(x, ˙x, t)y,
2
где M(x, ˙x, t) — заданная (4 ×r)-матрица, r ≤ 4, R(x, ˙x, t) — заданная определённо-
положительная матрица (r ×r).
При этом значение функционала качества уменьшается на величину
∞
Z
1
yTMR−1MTy dt,
2
t
0
тем самым улучшается качество переходного процесса.
Глава 6
Об инвариантности качества
стабилизации программных
многообразий при случайных
возмущениях
Для систем дифференциальных уравнений широкого класса материальных систем,
включающих в себя кроме механических также и системы немеханической природы,
предлагается процедура построения множества матриц распределения случайных возмущений между каналами, при которых заданные программные связи сохраняют свойство интегральности, а их стабилизация происходит с тем же качеством переходного
процесса, которым система обладала при отсутствии случайных возмущений. Приводится пример использования предложенной процедуры в задаче обеспечения инвариантности качества стабилизации программной ориентации манипулятора на подвижном основании.
6.1 Постановка задачи
Пусть движения системы описываются уравнением
A0( ˙x, x, t)¨x = B0( ˙x, x, t) + M0( ˙x, x, t)u + R0( ˙x, x, t)δ, (6.1)
где A0, M0, R0— (n ×n)-, (n ×r)-, (n ×s)-матрицы, x, B0— n-мерные, u — r-мерный,
δ — s-мерный векторы, причем r ≤ n, а ограничение на s будет указано ниже. Здесь
A0, в отличие от механических систем, может зависеть от ˙x, не быть определённо-
положительной и симметрической, но должна быть неособенной.
Задача состоит из двух вполне самостоятельных, но в то же время взаимно дополняющих друг друга частей.
Первая из них заключается в построении вектора управления u( ˙x, x, t), при кото-
ром, в случае δ = 0, система (6.1) обладает асимптотически устойчивыми «в большом»
программными связями
ω1(x, t) = 0, ω2( ˙x, x, t) = 0, (6.2)
стабилизированными путем оптимального управления.
Вторая часть задачи заключается в построении множества матриц R0, при которых интегральность многообразия (6.2) и качество переходного процесса, достигнутые
при решении первой части задачи выбором вектора u, остаются неизменными при любых ограниченных возмущениях δ( ˙x, x, t) 6= 0, т.е. являются инвариантными к этим
возмущениям.
62
6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . . 63
В уравнениях (6.2) ω1, ω2— заданные k- и m-мерные непрерывные и непрерывно
дифференцируемые вектор-функции, ограниченные в некоторой области G(x, ˙x) при
t≥t0. Предполагается, что область G включает в себя многообразие (6.2) с некоторой
его окрестностью. На размерности s и r векторов δ и u наложены условия
n − k − m≥s, k + m≤r.
Предполагается, что вектор B0и элементы матриц A0, M0, R0— ограниченные,
непрерывные в области G функции. Кроме того, предполагается, что определители
матриц M
т
M0, (∂ω1/∂x)т(∂ω1/∂x),(∂ω2/∂ ˙x)т(∂ω2/∂ ˙x), R
0
т
R0, являющиеся определи-
0
телями Грама, в области G не равняются нулю.
6.2 Алгоритм построения вектора u
В качестве меры отклонения движений (6.1) от многообразия (6.2) будем принимать
величины |ω1| и |ω2|.
Дифференцируя по времени t в силу уравнения (6.1) первое уравнение (6.2) два
раза, а второе — один раз, получим
¨ω1= B1( ˙x, x, t) +
˙ω2= K1( ˙x, x, t) +
∂ω
∂x
∂ω
∂ ˙x
т
1
M( ˙x, x, t)u +
т
2
M( ˙x, x, t)u +
∂ω
∂x
∂ω
∂ ˙x
т
1
R( ˙x, x, t)δ,
т
2
R( ˙x, x, t)δ,
(6.3)
где
B1=
∂ω
∂x
K1=
1
т
−1
A
B0+
0
∂ω
2
∂ ˙x
M = A
"
d
dt
т
−1
A
B0+
0
−1
M0, R = A
0
∂ω
∂x
1
∂ω
∂x
#
т
˙x +
т
2
˙x +
d
dt
∂ω
∂ω
1
,
∂t
2
,
(6.4)
∂t
−1
R0.
0
Если матрицы∂ω1/∂x,∂ω2/∂ ˙xбыли бы ортогональными к R( ˙x, x, t), то имело бы
место
∂ω
∂x
т
1
R( ˙x, x, t) = 0,
∂ω
∂ ˙x
т
2
R( ˙x, x, t) = 0. (6.5)
При этом, как видно из (6.3), значения ¨ω1, ˙ω2в каждой изображающей точке x, ˙x, t
не зависили бы от возмущения δ.
В этом случае задача определения управления u была бы решена, например, по
методу, предложенному в [110], где построен вектор управления u, обеспечивающий
интегральность многообразия (6.2) и его асимптотическую стабилизацию, в виде
u = Ω0(Ω0Ω
т
)−1Q +E − Ω
0
т
(Ω0Ω
0
т
−1
)
0
˜u, (6.6)
64 6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . .
где E — единичная матрица, ˜u — произвольный r-мерный вектор,
Q
1
Q
2
, Ω0=
Q =
Q1= −Dy − F1ω1− AB1− A
A (∂ω1/∂x)тA
N (∂ω2/∂ ˙x)тA
т
∂f
∂ω
1
y + A
−1
M
0
0
M
т
0
f +
,
#
∂f
∂t
−
12dA
dt
y,
(6.7)
−1
0
"
∂f
∂ω
1
Q2= −NK1−
ω2− F2ω2,
dt
где D, F1, F2, A, N — произвольно выбираемые определённо-положительные, симметрические матрицы с ограниченными, непрерывными и непрерывно дифференцируемыми в области G элементами, f (ω1, t) — произвольная k-мерная вектор-функция с
ограниченными, непрерывными и непрерывно дифференцируемыми элементами, обладающая свойством f (0, t) = 0 и допускающая бесконечно малый высший предел по
модулю, y = ˙ω1− f (ω1, t).
При этом система обладает следующим интегральным показателем качества пере-
ходного процесса
12dN
"
∞
Z
т
ω
F2ω2+ yтDy − fтF1+ ω
2
t
0
где V0— значение функции V = ω
т
Nω2+ yтAy + ω
2
!
˙
F
т
1
2
т
1
#
1
ω
dt =
1
F1ω1при t = t0.
1
V0,
2
Возможно также повышение качества переходного процесса путем введения в
правую часть системы (6.1) дополнительной составляющей˜M0( ˙x, x, t)˜u, где˜M0—
(n×r)-матрица, ˜u — r-мерный вектор оптимального управления. В этом случае в пра-
вые части уравнений (6.3) добавляются соответственно члены∂ω1/∂x
∂ω2/∂ ˙x
т
˜
M( ˙x, x, t)˜u, где˜M = A
−1
0
˜
M0.
т
˜
M( ˙x, x, t)˜u и
Умножая (6.3) на симметрические определенно-положительные (k × k)- и
(m × m)-матрицы A(x, t), N (x, t) с ограниченными, непрерывными и непрерывнодифференцируемыми элементами в области G, получим
т
A(x, t)¨ω1= B(˙x, x, t) + Q1+˜M1˜u,˜M1= A∂ω1/∂x
N(x, t) ˙ω2= K( ˙x, x, t) + Q2+˜M2˜u,˜M2= N∂ω2/∂ ˙x
˜
M,
т
˜
M,
(6.8)
B = AB1, K = N K1.
Умножая первое уравнение скалярно на вектор y, а второе на вектор ω2, затем
складывая, получим
12dV
=˙V + ˜u
dt
т
M
т
˜
1
y + ˜u
т
т
˜
M
ω2, (6.9)
2
где
V = ω
˙
V = −yтDy + fтF1+ ω
т
Nω2+ yтAy + ω
2
т
F1ω1,
1
!
˙
F
1
т
1
ω1− ω
2
т
F2ω2.
2
Заметим, что функция˙V является производной по времени функции V для системы (6.8) при eu = 0.
(6.10)
6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . . 65
Введение управления ˜u должно повышать качество переходного процесса. С этой
целью ищем такое ˜u = ˜u0, при котором правая часть (6.9) имеет вид [157]
т
−W0( ˙ω1, ω1, ω2, ˜u, t) = −F ( ˙ω1, ω1, ω2, t) − ˜u
˜
R( ˙ω1, ω1, ω2, t)˜u, (6.11)
а функционал
J =
∞
Z
W0( ˙ω1, ω1, ω2, ˜u0)dt (6.12)
t
0
имеет минимальное значение на решениях (6.8). Заметим, что искомая функция
F ( ˙ω1, ω1, ω2, t) должна быть неотрицательной, а (r ×r)-матрица˜R( ˙ω1, ω1, ω2, t) зада-
ется симметрической и определённо-положительной. Для нахождения функции F и
вектора ˜u0, следуя [67], введем функцию вида
B0(V, ω, ˜u) =˙V + ˜uт(˜M
т
y +˜M
1
т
ω2) + F + ˜u
2
т
˜
R˜u. (6.13)
При ˜u = ˜u0величина B0должна иметь минимум и обращаться при этом в нуль [67].
Следовательно, дифференцируя правую часть (6.13) по ˜u и приравнивая результат к
нулю, получим
˜u0= −
1
˜
R−1(˜M
2
т
y +˜M
1
т
ω2). (6.14)
2
Из условия B0= 0 определим функцию
F = −˙V +
4
(y
т
˜
M1+ ω
т
˜
M2)˜R−1(˜M
2
т
y +˜M
1
т
ω2). (6.15)
2
1
При значениях (6.10), (6.13), (6.11), (6.14) уравнение (6.15) имеет следующий вид:
12dV
= −W0, −W0=˙V −
dt
1
2
(y
т
˜
M1+ ω
т
˜
M2)˜R−1(˜M
2
т
y +˜M
1
т
ω2). (6.16)
2
Если не потребовать минимальности функционала (6.12), то функцию F в (6.13)
можно выбрать не только в виде (6.15), а в любом другом виде, удовлетворяющем
неравенству
0≤ F ≤−˙V +
4
(y
т
˜
M1+ ω
т
˜
M2)˜R−1(˜M
2
т
y +˜M
1
т
2
ω2).
1
При этом достигается гарантированная оценка качества управления вида [11]
∞
Z
W0(ω1, ˙ω1, ω2, t, ˜u0)dt ≤
t
0
1
(ω
2
т
Nω20+ ω
20
т
F1ω10+ y
10
т
Ay0).
0
Так как система (6.8) при ˜u ≡ 0 удовлетворяет строгому неравенству˙V < 0 при всех
ω16= 0, ˙ω16= 0, ω26= 0, то показатель качества переходного процесса при ˜u = 0 имеет
значение
∞
Z
−˙V dt =
t
0
1
(y
2
т
Ay0+ ω
0
т
Nω20+ ω
20
т
F1ω10).
10
Как видно из (6.16), при введении оптимального управления (6.14) значение интеграла качества, несмотря на увеличение подынтегрального выражения на величину
1/2(y
т
˜
M1+ ω
т
˜
M2)˜R−1(˜M
2
т
y +˜M
1
т
ω2), остается неизменным, тем самым повышается
2
качество переходного процесса.
Таким образом, теперь решение поставленной задачи в целом сводится к нахождению множества матриц R, удовлетворяющих условию (6.5).
66 6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . .
6.3 Построение множества матриц R
Искомые матрицы R, удовлетворяющие условию (6.5), обозначим через Rτ. Для нахождения Rτвыберем матрицу R произвольно и из вектора U = Rδ выделим составляющую Uτ= Rτδ.
Итак, вектор U = Rδ разложим на две составляющие: Un, лежащую в подпространстве, натянутом на векторы-столбцы матриц (∂ω1/∂x), (∂ω2/∂ ˙x), и Uτ, лежащую
в ортогональном дополнении к этому подпространству. Если определить Un, то U
найдется как разность
Uτ= U − Un. (6.17)
τ
Введем матрицу
Ω =
∂ω
1
∂x
∂ω
2
,
∂ ˙x
.
Вектор Unкак вектор, лежащий в подпространстве, натянутом на векторы-столбцы
матрицы Ω, можно представить в виде линейной комбинации этих векторов-столбцов
Un= Ωλ,
где λ — (k + m)-мерный вектор, определяемый из равенства скалярных произведений
векторов-столбцов матрицы Ω на векторы Unи U:
ΩтUn= ΩтU
в виде
λ = (ΩтΩ)−1ΩтU.
Следовательно, Unимеет вид
Un= Ω(ΩтΩ)−1ΩтU.
Подставляя это выражение в (6.17), получим
Uτ= [E − Ω(ΩтΩ)−1Ωт]U,
где E — единичная матрица.
Подставляя в это равенство выражения Uτ= Rτδ, U = Rδ, получим
Rτδ = [E − Ω(ΩтΩ)−1Ωт]Rδ.
Следовательно, искомые матрицы Rτвыражаются в виде
Rτ= [E − Ω(ΩтΩ)−1Ωт]R, (6.18)
где R — произвольно выбираемые матрицы.
Заметим, что произведение Ωти матриц (6.18)
ΩтRτ= [Ωт− ΩтΩ(ΩтΩ)−1Ωт]R
дает результат ΩтRτ= 0, соответствующий условию (6.5).
Искомое множество матриц R0, согласно обозначению (6.4), определяется в виде
R0= A0Rτ.
6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . . 67
6.4 Замечания
Замечание 1. Если предположить, что R = Ω при k + m = s, то из (6.18) получим
Rτ= [Ω −Ω(ΩтΩ)−1ΩтΩ]. Отсюда Rτ= 0.
Следовательно, в этом случае множество матриц Rτоказывается пустым.
Это объясняется тем, что в случае, когда векторы-столбцы матрицы R лежат в подпространстве, натянутом на векторы-столбцы матрицы Ω, их проекции на ортогональное дополнение к этому подпространству равны нулю. В этом случае инвариантность
по отношению к возмущению δ невозможна вообще. Отсюда следует необходимость
выбора матриц из множества (6.18), удовлетворяющих условию detkR
Замечание 2. Как видно из выражения (6.6) управляющего вектора u, при условии
инвариантности (6.5) управляющий вектор u от случайных возмущений δ не зависит
явно. Но это не означает, что вектор u является детерминированным. Это связано
с тем, что в силу случайного характера возмущения δ решения x(t) системы (6.1)
тоже носят случайный характер, так как система (6.1) явно зависит от возмущения
δ. Следовательно, вектор u, как функция случайных переменных x, ˙x, тоже носит
случайный характер.
Таким образом, управляя системой с программными связями (6.2) случайными
управляющими сигналами, оказалось возможным добиться интегральности этих связей, а также стабилизации их с тем качеством переходного процесса, которым система
обладала при отсутствии случайных возмущений.
Этот факт наталкивает на мысль, что при управлении объектами (6.1), находящимися от управляющего центра на дальних расстояниях, с целью предотвращения
возможности расшифровки управляющей информации может оказаться полезным искусственно вводить в систему случайные возмущения указанным выше способом.
Замечание 3. Матрица M0перед управляющим вектором u в (6.1) не должна при-
надлежать множеству построенных матриц Rτвида (6.18), так как при этом система
(6.1) становится неуправляемой и нестабилизируемой по отношению к программе (6.2).
Но это не означает, что к матрице M0нельзя добавлять Rτ. При добавлении Rτпоявляется возможность придания управлению системой новых качеств. Одним из них
является принудительное возмущение системы, оставляя программу (6.2) и качество
ее стабилизации инвариантными к нему.
т
Rτk6=0.
τ
6.5 Пример. Условия инвариантности качества про-
граммной ориентации манипулятора
Рассмотрим манипулятор, состоящий из n прямолинейных звеньев Tν(ν = 1, 2, . . . , n),
расположенный на подвижном основании. Каждое звено Tνвращается относительно
предыдущего звена T
стим центр схвата, а плоскость схвата зададим плоскостью единичных векторов epи
kp.
Будем считать, что вращение звена Tνвокруг шарнира O
гателем, помещенным со своим редуктором в этой точке. Первое звено манипулятора
связано с точкой O0основания манипулятора. Положение тела — основания манипулятора относительно неподвижной системы координат oϕηζ определяется законом
движения r0(t) точки O0и тремя углами Эйлера, являющимися известными функциями от времени.
вокруг шарнира O
ν−1
. В точку Onпоследнего звена Tnпоме-
ν−1
осуществляется дви-
ν−1
68 6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . .
В программу движения схвата заложим два требования: движение центра схвата
относительно основания должно подчиняться заданному закону
O0On= L(t); L(t) = L1(t) −r0(t), (6.19)
где L1(t), r0(t) — заданные функции, а плоскость схвата должна быть ортогональна
единичному вектору e0, т.е.
т
e
e0= 0, k
p
т
e0= 0. (6.20)
p
Если вектор O0Onвыразить через векторы Iν= O
вид
n
X
, то условие (6.19) примет
ν−1Oν
Iν− L(t) = 0. (6.21)
ν=1
Движения манипулятора зададим уравнениями Лагранжа
ddt∂T
∂ ˙x
−
∂T
= Q(p) −C ˙x + M0u + R0δ, (6.22)
∂x
где x — n-мерный вектор обобщённых координат — углов поворотов ϕν(ν = 1, . . . , n)
его звеньев, u — n-мерный вектор управляющих сигналов, δ — s-мерный вектор случайных возмущений, Q(p) — вектор обобщённых сил тяжести и других неуправляющих
сил, T — кинетическая энергия манипулятора:
1
T =
˙xтA0(x, t) ˙x + bт(x, t) ˙x + b0(x, t),
2
C = diag (c1k
, c2k
1
2
, . . . , cnk
2
2
); M0= ka; R0= kγ; cν— коэффициенты сопротивле-
n
2
ния на валу двигателей, kν— передаточные числа редукторов, a — (n×r)-матрица
коэффициентов пропорциональности между управляющими моментами двигателей и
управляющими сигналами uν; k = diag(k1, k2, . . . , kn), γ — (n ×s)-матрица; r ≤ n;
s < n − 5.
Уравнение (6.22) можно представить в виде (6.1)
A0(x, t)¨x = B0( ˙x, x, t) + M0u + R0δ, (6.23)
где
B0=
∂A
0
т
˙x
2
˙x +−
∂x
dA
dt
∂b
0
+
− C˙x −
∂x
db
dt
+
∂b
∂x
0
+ Q(p).
1
Исходя из требований (6.21) и (6.20), программное многообразие (6.2) представим
в виде 5-мерного векторного уравнения
ω(x, t) = 0 (6.24)
с элементами вектора ω(x, t)
"
n
X
ωi= k
т
i
lνeν− L(t)#, i = 1, 2, 3; ω4= e
ν=1
т
e0, ω5= k
p
т
e0, (6.25)
p
где ki— орты осей системы координат oϕηζ; eν— орты векторов Iν.
6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . . 69
Дифференцируя равенства (6.25) в силу (6.23) два раза по t с использованием
формул Пуассона
˙eν= ω0+
0
где ω
Здесь A
= ˙xηjη, jη— орты векторов ω
η
¨ω = A
т
— (5×n)-мерная матрица с элементами
1
т
1
a4ν= (jν× ep)тe0, a5ν= (jν× kp)тe0,
c0— вектор с элементами
ν
X
ω
η=1
˙
kp= ω0+
−1
A
B0+˙A
0
aiν= jν×
!
0
× eν, ˙ep= ω0+
η
!
n
X
0
ω
η
η=1
0
, получим уравнение
η
т
˙x − ˙c0+ A
1
n
X
η=ν
т
−1
A
1
0
!
т
I
ki, i = 1, 2, 3,
η
X
η=1
× kp,
M0u + A
!
n
0
ω
× ep,
η
т
−1
A
R0δ. (6.26)
1
0
"
0
c
0
c
= −(ω0× ep)тe0− e
4
˙
=
L(t) −
i
n
X
(ω0× Iν)
ν=1
т
p
˙e0, c
#
т
ki, i = 1, 2, 3,
0
= −(ω0× kp)тe0− k
5
т
˙e0,
p
ω0— угловая скорость основания.
Из обозначений (6.4) следует R = A
−1
R0. Сравнение последних членов уравнений
0
(6.3), (6.26) с учетом обозначения (6.4) показывает, что в данном случае условие (6.5)
имеет вид
т
A
Rτ= 0. (6.27)
1
Поэтому множество матриц Rτ, согласно (6.18), принимает вид
Rτ=E − A1(A
т
A1)−1A
1
т
R,
1
где R — произвольно задаваемые (n×r)-матрицы, удовлетворяющие условию
detk˜A
т
˜
A1k 6= 0, detkR
1
т
Rτk 6= 0, (6.28)
τ
где˜A1= kA1, Rk.
Согласно обозначению (6.4) искомая матрица R0определяется в виде
R0= A0Rτ. (6.29)
70 6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . .
6.6 Заключение
При решении задач, изложенных в разделах 2 и 3, используется уравнение (6.1), разрешенное относительно ¨x путем умножения на матрицу A
−1
. В связи с этим возникает
0
вопрос о том, почему автор с самого начала не воспользовался таким уравнением вместо (6.1). Прежде всего это связано со стремлением не нарушать физического смысла
объектов, описываемых уравнением (6.1). Например, при описании механических систем уравниями Лагранжа 2-го рода матрица A0в уравнении (6.1) совпадает с матрицей квадратичной формы T = ˙xτA0(x, t) ˙x кинетической энергии системы. При этом
система четко разделяется на каналы, соответствующие каждой обобщенной координате, а элементы матриц M0и R0при этом являются весовыми коэффициентами при
распределении управления u и возмущения δ между каналами. А в случае написания уравнения (6.1) в виде, разрешенном относительно ¨x, элементы матриц M и R
становятся комбинациями элементов матрицы A0кинетической энергии и матриц M
и R0. Следовательно, при этом теряется смысл говорить о каналах управления или
возмущения.
С другой стороны, явная независимость матрицы A0системы (6.1) от ˙x становится
отличительной чертой системы как механической с постоянными массами ее частиц,
если эта матрица симметрична и определенно-положительна. А случай явной зависимости матрицы A0от ˙x означает, что система (6.1) имеет другую природу, в частности,
состоит из материальных частиц с переменными массами mν, зависящими от ˙x, x, t.
Кинетическая энергия таких систем выражается в виде [148]
0
1
T =
˙xтA0( ˙x, x, t) ˙x + bт( ˙x, x, t) + b0( ˙x, x, t) (6.30)
2
с матрицей A0, состоящей из элементов
aij=
n
X
mν( ˙x, x, t)
ν=1
∂r
∂x
ν
i
∂r
ν
·
∂x
,
j
где rν— радиус-векторы частиц системы.
При этом уравнения Лагранжа 2-рода, составленные путем включения реактивных
сил в число обобщённых активных сил, выражаются в виде (6.1) [148].
В тех случаях, когда массы частиц системы не зависят от ˙x матрица A0в уравнении
(6.1) совпадает с матрицей A0кинетической энергии (6.30), являющейся при mν6= 0
симметричной и неособенной. А в случаях явной зависимости масс частиц от ˙x матрица
A0системы (6.1) существенно отличается от матрицы A0в (6.30). Более того, в этих
случаях матрица A0в (6.1) может стать несимметричной, а иногда и особенной [148],
тем самым система (6.1) может стать неразрешимой относительно ¨x. Такие особенные
случаи должны исследоваться более углубленно.
Заметим, что при рассмотрении системы (6.1) в виде, разрешенном относительно
¨x, особенные случаи выпадают из внимания.
В монографии [148] описаны важные проблемы аналитической механики систем с
переменными массами, а также приведено много интересных примеров систем, описываемых уравнением вида (6.1), такие как движение шаровой капли при испарении
или конденсация паров на ее поверхности (с. 26), вороты с разматывающейся и навивающимися цепями (с. 53), движение экипажей переменной массы (с. 213) и другие.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]