Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
19 Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки. . . 161
где U0— сумма проекций всех неуправляющих сил на линию визирования CO.
Вектор управляющих сил U построим без использования информации о массе m
тела и величине вектора U0следующим образом. При t = 0 сообщаем преследующему
телу управление
˙
U = −λ t sign
где λ > 0 — достаточно большая величина.
˙
Начинаем измерение
нуль, при котором правая часть (19.18) обращается в нуль и наступает равенство
˙
U0(t0) = −λ t0sign
˙
Если
лая положительная величина, примем значение |U0| равным |U0| = λt0+˜∆, где˜∆ —
задаваемая нами положительная величина. Заметим, что при t = t0+ ∆t прежнее
значение
Измерения
где δ0= γδ, γ — величина, удовлетворяющая неравенству 0 < γ < 1. В этот момент
t1добавим к U(t1) величину˜∆. Тогда величина U принимает значения
˜
V (0) 6= 0, то t06= 0. Теперь, зная t0, при t = t0+ ∆t, где ∆t — бесконечно ма-
˙
˜
V (t0) = 0 становится равным
Из (19.20) следует, что значение δ определяется измерением величины
˙
˜
V продолжим до тех пор, пока не наступит равенство
˜
V (0). Заметим, что в случае
˜
V с момента t = 0 до момента t0обращения
˙
˜
V (t0+ ∆t) = −δ sign˜V . (19.20)
˜
V (0), (19.19)
˙
˜
V в
˙
˜
V (0) = 0 имеет место U0(0) = 0, t0= 0.
˙
˜
V (t0+ ∆t).
˙
˜
V (t1) + δ0sign˜V = 0,
U(t1+ ∆t) = −[λt0+˜∆(1 + i)] sign˜V (t1+ ∆t), (19.21)
где i = 1 соответствует очередному номеру 1 времени t1наступления в первый раз
˙
равенства
При продолжении измерения
котором
Заметим, что момента времени t2, удовлетворяющего (19.22), может и не быть.
Если же t2существует, то за i в (19.21) принимается i = 2. Таким образом, процедура
определения i в (19.21) продолжается до момента стыковки объектов.
Итак, искомое выражение управления U имеет вид
где i = 1, 2, ...; ∆t — бесконечно малая положительная величина, соизмеримая со
временем, затрачиваемым на измерение
˜
V (t1) + δ0sign˜V = 0.
U(ti+ ∆t) = −[λt0+˜∆(1 + i)] sign˜V (ti+ ∆t), (19.23)
˙
˜
V возможно наступление следующего момента t2, при
˙
˜
V (t2) + δ0sign˜V = 0. (19.22)
˙
˜
V в моменты времени ti.
Глава 20
Управление безударной стыковкой
множества подвижных объектов в
упорядоченные моменты времени
20.1 Постановка задачи
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных тел с центрами
масс Cν(ν = 1, 2, . . . , n). Задача заключается в построении аналитических выражений
главных векторов управляющих сил, обеспечивающих их преследующее движение за
непредсказуемо движущимся объектом с целью встречи с ним без удара в заданные
упорядоченные моменты времени τν(ν = 1, 2, . . . , n).
20.2 Построение выражения сил управления преследующими движениями
В работе [133] была построена сила¯Fν, обеспечивающая преследующее движение одной
точки Cνза другой точкой O по принципу пропорциональной навигации [64] в виде
¯
Fν= mνb(¯ωνׯVν), (20.1)
где mν,¯Vν— масса и абсолютная скорость точки Cν, ¯ων— абсолютная угловая скорость
линии визирования CνO, b — положительный коэффициент пропорциональности.
При решении поставленной здесь задачи за точку O примем центр масс преследуемого точками Cνобъекта. В [133] предполагалась возможность измерения ¯ων. Если
такой возможности не имеется, то можно выражать этот вектор через абсолютные
скорости¯Voи¯Vνточек O и Cνв виде
¯ων=
При этом предполагается выполнение условий
(¯sν·˙¯sν) < 0, |¯Vν| > |¯Vo|, (20.3)
где ¯sν= OCν.
Заметим, что ¯sνявляется законом относительного движения точки Cνв подвижной
системе координат с началом в точке O, одна ось которой направлена по вектору CνO.
1
[OCν× (¯Vν−¯Vo)]. (20.2)
|OCν|
162
20 Управление безударной стыковкой множества подвижных объектов. . . 163
20.3 Приведение центров масс объектов в исходные
положения
Теперь определим другие составляющие Rνсил управления, обеспечивающие безударное приведение точек Cνв точку O в заданные упорядоченные моменты времени τν.
Заметим, что для решения этой задачи прежде всего необходимо обеспечить выполнение условий (20.3). Это связано с тем, что в начальный момент времени tν= 0 первое
из условий (20.3) может оказаться невыполненным. В этом случае точку Cνнеобходимо привести за конечное время в исходное положение, где это условие имеет место.
Покажем, что в качестве множества исходных точек можно использовать любую точку
прямой
˙sν+ µνsν= 0 (20.4)
в фазовой плоскости (sν, ˙sν), где sνи ˙sνявляются проекциями векторов ¯sνи˙¯sνна ось
CνO, µν= const > 0.
Заметим, что из (20.4) следует, что при выборе µνв виде µν= −˙sν(0)/sν(0) обеспе-
чивается выполнение условия (20.3).
Для гарантированного обеспечения выполнения (20.4) при t = 0 потребуем, чтобы
при ˙sν(0) + µνsν(0) 6= 0 значение
˜
Vν= ˙sν(t) + µνsν(t) (20.5)
обращалось в нуль за конечный промежуток времени.
Эту задачу можно решить следующим образом. Используем основной закон дина-
мики для описания относительного движения точки Cνв проекции на ось CνO:
mν¨sν= Rν+ R
где Rν— проекция силы управления, R
0
— проекция неуправляющих сил, в том числе
ν
0
, (20.6)
ν
переносной и кориолисовой сил инерции.
Выберем Rνв виде
0
sign˜Vν, (20.7)
ν
где R
Rν= −R
0
— положительная кусочно-постоянная ступенчатая функция, выбор которой
ν
осуществляется по принципу обратной связи по квазиускорению следующим образом.
˙
После замены в (20.6) ¨sνчерез
˜
Vν, определяемой в виде (20.5), уравнение (20.6) при-
нимает вид
где˜R
0
ν
= R
0
+ µν˙sν.
ν
˙
˜
m
Vν= Rν+˜R
ν
0
, (20.8)
ν
Уравнения (20.8) для всех точек Cνпредставим в векторной форме
˙
˜
M
V = R +˜R0, (20.9)
где M — диагональная матрица с элементами mν, R и˜R0— векторы с элементами
˜
Rν,˜R
0
(ν = 1, 2, . . . , n).
ν
Вектор управляющих сил R ищем в виде
R = −(sign˜V )(R0+ ∆R), (20.10)
164 20 Управление безударной стыковкой множества подвижных объектов. . .
где sign˜V — диагональная матрица с элементами sign˜Vν.
˙
T
Если при t = 0 имеет место˜V
˜
V ≥ 0, то для определения постоянной составляю-
щей R0в (20.10), без использования информации об элементах матрицы M , сообщим
системе (20.9) при t = 0 управление
˙
R = −(sign
˜
V )λt, (20.11)
где λ — n-мерный вектор с достаточно большими положительными элементами.
˙
Момент времени обращения
˜
V в нуль обозначим через t0. Заметим, что при t = t
имеет место
˜
R0= [sign
˙
˜
V (0)]λt0.
Теперь потребуем, чтобы при t = t0+ ∆t, ∆t > 0 имело место
˙
T
˜
˜
V
V = −δ, δ = const > 0. (20.12)
Для этого при t = t0сообщим системе управление
R = −(sign˜V )(λt0+˜∆), (20.13)
0
где˜∆ — вектор с элементами ∆ν> 0, при которых соблюдается неравенство в (20.12).
˙
Измерение или вычисление˜V и
˜
V продолжим до тех пор, пока не наступит равенство
˙
T
˜
˜
V
V = −δ0, (20.14)
где δ = γδ, 1 > γ > 0. Заметим, что в том случае, когда при t = 0 имеет место (20.14),
принимается t0= 0. В момент времени t1> t0наступления равенства (20.14) к правой
части (20.13) дополнительно добавим˜∆. Тогда (20.13) принимает вид
R = −(sign˜V )hλt0+˜∆(i + 1)i, (20.15)
где i = 1 есть первый момент наступления равенства (20.14). При продолжении изме-
˙
рения или вычисления˜V и
˜
V возможен второй момент времени t2наступления равен-
ства (20.14). В этом случае значение i в (20.15) удваивается. Таким образом, процедура
определения очередных значений i продолжается до тех пор, пока не наступит время обращения˜V в нуль. Следовательно, искомые векторы R0и ∆R в (20.10) имеют
следующий вид:
R0= (λt0+˜∆) signh(˜VT(0)
˙
˜
V (0) + δ0) + |˜VT(0)
˙
˜
V (0) + δ0|i,
(20.16)
∆R =˜∆i (i = 1, 2, . . .).
С момента времени˜t обращения в нуль значения˜V процесс управления точками C
производится в «режиме торможения» для обеспечения безударной встречи точек Cνс
преследуемой точкой O по следующей схеме. Начиная с момента˜t организуем процесс
скользящего движения точек Cνпо другим, отличным от (20.4) линиям разрыва
2
˙s
(τ) − ˙s
ν
2
(˜t)1 −
ν
sν(τ)
= 0, τ = t −˜t, (20.17)
sν(˜t)
ν
20 Управление безударной стыковкой множества подвижных объектов. . . 165
вытекающим из теоремы об изменении кинетической энергии в конечной форме для
точки Cν, дифференциальное уравнение относительного движения которой имеет вид
2
˙s
(˜t)
mν¨sν= −m
ν
ν
2|sν(˜t)|
. (20.18)
Интегрируя это уравнение по t, получим
2
˙s
(˜t)
˙sν(τ) − ˙sν(˜t) +
ν
τ = 0, τ = t −˜t. (20.19)
2sν(˜t)
Учитывая, что µν= −˙sν(˜t)/sν(˜t), в момент времени τ0νодновременного обращения ˙s
и sνв нуль из (20.19) получим
µντ0ν= 2. (20.20)
Теперь, используя соотношение (20.20) между µνи τ0ν, можно упорядочить моменты времени прихода точек Cνв положение O с заданным интервалом времени
∆τ временного отставания друг относительно друга путём выбора коэффициентов
µν(ν = 1, 2, . . . , n) в виде
2
µν=
(ν = 1, 2, . . . , n).
τ01+ (ν − 1)∆τ
Итак, до наступления времени˜t управление осуществляется по закону (20.10). А с
момента˜t начинается управление в «режиме торможения», для чего с этого момента
квазискорости˜V в (20.10) необходимо заменить на˜V0с элементами
2
˙s
(˜t)
0
˜
V
= ˙sν(τ) − ˙sν(˜t) +
ν
ν
2sν(˜t)
τ, τ = t −˜t. (20.21)
Исходя из этого, представим управления Rν, отражающие требования к управлению
R до и после моментов˜t, в следующем виде:
˙
Rν= −(sign
˜
V0ν)hλt0+˜∆ν(i + 1)i(i = 1, 2, . . . , n), (20.22)
ν
где˜V0ν=˜Vνsign˜V
ν
0
+˜V
sign(1 −sign˜V
ν
2
).
ν
2
20.4 Управление объектами с переменными массами
Рассмотрим случай, когда движение центров масс преследующих объектов управляется реактивными силами. В этом случае уравнение относительного движения точки
Cνвыражается в виде
mν(t) ¨sν= Rν+ R
где Rν= −Vrν˙mν— реактивные силы управления, Vrν— скорость истечения массы
относительно точки Cν, R
0
— главный вектор неуправляющих сил, в том числе сил
ν
инерции.
Управляющую силу Rνзададим в виде
Rν= −mν(t)
2|sν(t0)|
0
, (20.23)
ν
2
˙s
(t0)
ν
.
166 20 Управление безударной стыковкой множества подвижных объектов. . .
В идеальном случае при R
0
= 0 уравнение (20.23) имеет вид
ν
2
˙s
(t0)
¨sν= −
ν
,
2|sν(t0)|
аналогичный (20.18). Следовательно, имеют место выражения (20.19), (20.20), (20.21).
Теперь, вводя квазискорости˜Vνи˜V
0
в виде (20.5) и (20.21), можно построить управ-
ν
ление Rνв виде (20.22).
20.5 Оценка расхода массы
Определим расходуемую массу, затрачиваемую на управление Rνв процессе преследующего движения точки Cνс момента исходного положения до момента стыковки с
точкой O.
Из (20.10) видно, что Rνскладывается из постоянной составляющей R0νи кусочнопостоянной составляющей ∆Rν. Расход массы на управление реактивной силой
Rν= ˙mνVrνможно определить путём её интегрирования по t при Vrν= const в виде
Постоянная составляющая R0νостаётся неизменной от t0до момента времени
˜
t0=˜t + 2/µ1+ (n −1)∆τ завершения процесса приведения всех точек Cνв положе-
ние O.
Следовательно, подставляя вместо Rνзначение R0ν= const, после интегрирования
от t0до˜t0получим долю расхода массы на управление R0νв виде
t
Z
˙mνt = −
t
0
1
|Vrν|
t
Z
Rνt, Rν= R0ν+ ∆Rν. (20.24)
t
0
∆mν=
λνt0+˜∆
ν
(˜t0− t0).
|Vrν|
Теперь определим долю расходуемой массы на кусочно-постоянную составляющую
∆Rνуправления. Для этого в правую часть (20.24) вместо Rνподставим значение
2,...
X
∆Rν= −
1
|Vrν|
˜
∆νi(ti− t
i=1
i−1
).
Теперь, суммируя все расходы, затрачиваемые на создание реактивной тяги R0νи
∆Rνвсех n объектов, получим общую величину расходуемой массы:
∆m =
1
|Vrν|
"
n
X
(λνt0+˜∆ν)(˜t0− t0) +
ν=1
2,...
X
˜
∆νi(ti− t
i=1
i−1
)#.
Глава 21
Управление процессом безударного
захвата непредсказуемо движущегося
объекта мобильным
манипуляционным роботом
Строится алгоритм управления безударным захватом непредсказуемо движущейся цели схватом мобильного манипуляционного робота. Захват осуществляется за конечное
время. Решение получено без использования информации о неуправляющих силах, в
том числе возмущающих силах и силах инерции.
Задача решается в четыре этапа. Во-первых, строится главный вектор сил, обеспечивающий движение центра масс корпуса робота по принципу пропорциональной навигации при погоне за объектом. Во-вторых, строится главный момент управляющих
сил относительно центра масс робота для приведения одной из главных центральных
осей инерции подвижной системы координат, связанной с корпусом робота, в положение, совпадающее с линией визирования. В-третьих, определяется дополнительная
управляющая сила для безударного приведения точки крепления первого звена манипулятора с корпусом робота на расстояние «вытянутой руки манипулятора» от цели по
линии визирования, чтобы обеспечить захват. В-четвёртых, строятся выражения сил
и моментов управления для поступательно и вращательно движущихся относительно
друг друга звеньев манипулятора, позволяющие безударно захватить преследуемый
объект.
Для автоматического выбора оптимального значения управления предлагается самонастраиваемый способ, осуществляемый по «принципу обратной связи по квазиускорениям» в дискретные моменты времени. Этот принцип был предложен автором
в статье, опубликованной в Вестнике РУДН (серия «Математика. Информатика. Физика», 2013, №3).
21.1 Постановка задачи
Рассмотрим упакованный в корпус робота манипулятор и сам робот в целом как одну механическую систему. С главными центральными осями инерции корпуса робота
жёстко свяжем систему координат Cxyz. Задача заключается в построении главного
вектора сил, обеспечивающего движение центра масс C корпуса робота по принципу
пропорциональной навигации [64] при погоне за непредсказуемо движущимся объектом. Одновременно с этим необходимо построить аналитическое выражение главного
момента управляющих сил относительно точки C для приведения одной из главных
167
168 21 Управление процессом безударного захвата. . .
центральных осей инерции системы Cxyz, связанной с роботом, в положение, совпадающее с линией визирования CCo, где Co– центр масс преследуемого объекта. Далее
необходимо построить аналитическое выражение дополнительной управляющей силы
для безударного приведения точки O0крепления первого звена манипулятора с корпусом робота в положение точки O на линии визирования, находящейся на расстоянии
«вытянутой руки манипулятора» от точки Coобъекта преследования. Это позволяет
осуществить захват цели схватом манипулятора, центр которого помещён в точку O
конца последнего звена манипулятора. Необходимо построить также аналитическое
выражение сил и моментов управления поступательно и вращательно движущимися
относительно друг друга звеньями многозвенного манипулятора, которые позволяют
безударно захватить преследуемый объект.
21.2 Управление процессом приведения робота в область досягаемости цели манипулятором
Построение главного вектора управляющих сил. Определим выражение главного вектора управляющих сил Fnв правой части дифференциального уравнения движения центра масс C корпуса робота
e
˙
¯
m
Va=¯F
n
(21.1)
так, чтобы движение точки C происходило по принципу пропорциональной навигации
¯ωv= b¯ωe, (21.2)
где m — общая масса робота, ¯ωv— вектор угловой скорости вращения абсолютной
скорости¯Vaточки C, ¯ωe— вектор угловой скорости линии визирования CCo, b —
заданный положительный коэффициент пропорциональности.
Заметим, что вращение вектора скорости¯Vaосуществляется благодаря действию
силы¯Fn, направленной по главной нормали траектории абсолютного движения центра
масс C. Определим эту силу¯Fn, исходя из условия (21.2) и условия ортогональности
¯
Vaвекторам¯Fnи ¯ωv. Вектор ¯ωvимеет величину ωv= Va/ρ и направлен по орту
(¯VaׯFn)
¯
где Fn= mV
i =
VaF
2
/ρ, ρ — радиус кривизны траектории абсолютного движения точки C.
a
,
n
Следовательно, имеет место
(¯VaׯFn)
¯ωv=
mV
.
2
a
Скалярно умножая (21.2) на ¯ωe, получим
(¯VaׯFn)
· ¯ωe= bω
2
mV
a
Отсюда
¯
Fn· (¯ωeׯVa) = mV
2
.
e
2
2
bω
. (21.3)
a
e
21 Управление процессом безударного захвата. . . 169
Ищем решение уравнения (21.3) в виде¯Fn= λ(¯ωeׯVa), обеспечивающем кол-
линеарность векторов¯Fnи (¯ωeׯVa), и тем самым минимальность |¯Fn|. Подставляя
¯
Fn= λ(¯ωeׯVa) в (21.3), определим
2
mV
λ =
(¯ωeׯVa)
2
bω
a
e
.
2
Учитывая ¯ωe⊥¯Va, получим λ = mb. Следовательно, имеем
¯
Fn= mb(¯ωeׯVa). (21.4)
Теперь необходимо ответить на вопрос о том, каково влияние возмущающих сил,
если таковые имеют место, на процесс преследующего движения в погоне за целью
при движении по принципу пропорциональной навигации. На этот вопрос можно ответить следующим образом. Составляющие возмущающих сил, направленных по главной нормали траектории точки C, влияют на силу¯Fn, тем самым влияя на величину
коэффициента пропорциональности b. Следовательно, при достаточно больших значениях коэффициента b эти возмущения не оказывают существенного воздействия на
процесс преследующего движения по данному принципу навигации. Что касается составляющих возмущающих сил, направленных по касательной к траектории точки C,
то они приводят лишь к изменению величины скорости¯Vaточки C, что не оказывает
влияния на угловую скорость ¯ωv, то есть не нарушает основного условия (21.2) преследования по принципу пропорциональной навигации. Таким образом, эти возмущения
могут оказывать некоторое влияние лишь на время встречи точек C и Co.
Построение главного момента управляющих сил. Известно, что вращательное движение тела вокруг центра масс в осях подвижной системы координат Cxyz
описывается дифференциальным уравнением
J˙¯ω0= (J ¯ω0× ¯ω0) +¯M0+¯U, (21.5)
где J — тензор инерции тела в точке C, ¯ω0(p, q, r) — мгновенная угловая скорость тела,
p, q, r — проекции вектора ¯ω0на оси Cx, Cy, Cz,¯M0— главный момент действующих
на тело неуправляющих сил относительно точки C,¯U(Up, Uq, Ur) — главный момент
управляющих сил относительно точки C.
Вектор¯U определим, используя требуемое условие коллинеарности вектора¯l0—
орта линии визирования CCoи вектора¯k3— орта оси Cz системы координат Cxyz:
(¯ki·¯l0) = 0 (i = 1, 2), (21.6)
где¯ki— орты осей Cx и Cy системы Cxyz.
Отклонения от условий (21.6) зададим вектором ¯ω с элементами
ω1= (¯k1·¯l0), ω2= (¯k2·¯l0). (21.7)
Введём квазискорости
˙
˜ωi= ˙ωi+ µi(¯ki·¯l0), µi= const > 0 (i = 1, 2), (21.8)
где ˙ωi, согласно формулам Пуассона
˙
¯
ki= ¯ω0ׯki,
˙
¯
l0= ¯ωeׯl0, выражаются в виде
˙ωi= ¯ω0· (¯kiׯl0) + ¯ωe· (¯l0ׯki).
170 21 Управление процессом безударного захвата. . .
Из (21.8) следует
¯ω0· (¯kiׯl0) =˙˜ωi+ Bi(i = 1, 2), (21.9)
где Bi= −¯ki· (¯ωeׯl0) −µi(¯ki·¯l0).
Систему (21.9) из двух уравнений относительно трёх элементов вектора ¯ω0(p, q, r)
представим в виде
Ω¯ω0=˙˜ω + B, (21.10)
где матрица Ω определяется из
p(¯k1ׯl0) ·¯k1+ q(¯k1ׯl0) ·¯k2+ r(¯k1ׯl0) ·¯k3=˙˜ω1+ B1,
p(¯k2ׯl0) ·¯k1+ q(¯k2ׯl0) ·¯k2+ r(¯k2ׯl0) ·¯k3=˙˜ω2+ B
в виде
Ω =
0 −(¯l0·¯k3) (¯l0·¯k2)
(¯l0·¯k3) 0 −(¯l0·¯k1)
. (21.11)
При получении (21.11) были учтены следующие очевидные соотношения:
(¯kiׯl0) ·¯ki= 0, (¯k1ׯl0) ·¯k2= −(¯l0·¯k3), (¯k1ׯl0) ·¯k3= (¯l0·¯k2)
(¯k2ׯl0) ·¯k1= (¯l0·¯k3), (¯k2ׯl0) ·¯k3= −(¯l0·¯k1) (i = 1, 2).
Решение (21.10) относительно ¯ω0ищем в виде
¯ω0= ΩTλ, (21.12)
где λ — вектор λT(λ1, λ2).
Подставляя (21.12) в (21.10), получим
(ΩΩT)λ =˙˜ω + B.
Отсюда
λ = (ΩΩT)−1(˙˜ω + B).
2
Подставляя λ в (21.12), получим
¯ω0= ΩT(ΩΩT)−1(˙˜ω + B). (21.13)
Дифференцируя по t выражение (21.13) и подставляя˙¯ω в (21.5), получим
−1
ΩT(ΩΩT)
¨
˜ω =˜U +˜B, (21.14)
где˜U = J−1U,˜B = J−1[(J ¯ω0× ¯ω0) +¯M0] −M(˙˜ω + B) −M˙B, M = ΩT(ΩΩT)−1.
Умножая (21.14) на Ω, получим
¨
˜ω = Ω˜U + Ω˜B. (21.15)
Зависящий от вектора управления U первый член в правой части (21.15) зададим
в виде
Ω˜U = −(sign˙˜ω)N, (21.16)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]