Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 21
преследования и стабилизации преследующего тела при начальных отклонениях вектора скорости центра масс преследующего тела от направления вектора дальности, а
также самого тела от требуемого положения, определяемого упомянутой подвижной
системой координат.
При решении конкретных практических задач недостаточно лишь установления
факта устойчивости заданной программы, но необходимо оценить отклонения от этой
программы в зависимости от возможных значений начальных, постоянно действующих и параметрических возмущений. Решение этой задачи сводится к оценке решений
уравнения для отклонений от программы вида [91, 92, 96, 91, 126]
˙y = Y (t, y, x, ∆k) + Φ(t, y, x), (1.11)
где x — вектор состояния системы, y — вектор отклонения от программы, ∆k, Φ —
векторы параметрических и постоянно действующих возмущений.
Предлагается метод оценки отклонений от программного многообразия. Сущность
этого метода выражает Теорема 5. Для того чтобы сформулировать эту теорему, си-
стему (1.11) представим в виде
˙y = P (t)y + f(t, y, x, ∆k), (1.12)
где P (t) — некоторая (k ×k) матрица с непрерывными элементами, f(t, y,x, ∆k) —
вектор-функция, компоненты которой удовлетворяют условию
fi(t, y, x, ∆k) ≤ ϕ(y, t) (i = 1, . . . , k). (1.13)
Теорема 5. Если существует k-мерная вектор-функция ϕ(y, t), непрерывная и
неубывающая по всем yi(i = 1, . . . , k), удовлетворяющая условию (1.13) при t∈[t0, T),
и k-мерная вектор-функция M (t), непрерывная и удовлетворяющая при всех t∈[t0, T)
условиям µi(t)≥ϕi(z, t) (i = 1, . . . , k), где
t
Z
z(t) = |R(t)|y0+
|K(t, τ )|M (t)dτ ;
t
0
R(t) — нормированная фундаментальная матрица решений уравнения ˙y = P (t)y;
K(t, τ ) = R(t)R−1(τ); то при t ∈ [t0, T) для решений yi(i = 1, . . . , k) уравнения (1.12)
имеют место оценки |yi|< Zi(t) при любых |yi(t0)|< y0i, где y0i— компоненты вектора
y0.
Рассматриваются различные случаи задания уравнения (1.11). Показано, что из полученных результатов следуют известная теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях Н.Г. Дубошина и теорема об асимптотической устойчивости по
первому приближению А.М. Ляпунова. Получены оценки отклонений от программы с
учётом взаимных возмущений каналов в многоканальных системах. При этом получены неулучшаемые оценки отклонений и оценки, имеющие наперёд заданную точность.
Приводятся также некоторые способы уменьшения отклонений от программы, а также
предлагается способ построения систем, отклонения которых от программы не превышают заданных пределов. Полученные результаты применяются для оценки отклонений от программного движения управляемой точки в силовом поле притягивающего
центра.
22 1 Этапы становления и развития теории построения. . .
Особое место занимают методы построения выражения вектор-функции управления P (x, t), входящей в уравнение (1.1), когда движения системы, в том числе и по
программному многообразию (3), ограничиваются освобождающими связями (4) [112].
Решается задача отыскания в классе кусочно-непрерывных функций такого множества управляющих функций P (x, t), при которых многообразие (3) является интегральным для уравнения (1.1), а решения этого уравнения удовлетворяют условиям
(4) при всех t≥0.
Когда гиперповерхности
¯ωi(x, t) (i = 1, . . . , N ) (1.14)
не пересекаются между собой, решение получено в виде
N
X
P =
{Pi(x, t) [1 −sign(|¯ωi| + kωk)] +
i=1
+¯Pi(x, t) sign kωk(1 −sign |¯ωi|)} + F0(ω, x, t) sign
N
Y
i=1
|¯ωi|,
где F0(ω, x, t) — произвольная кусочно-непрерывная r-мерная вектор-функция, удовлетворяющая условию F0(ω, x, t) ≡ P0(x, t), вектор-функции P0(x, t),¯Pi(x, t), Pi(x, t)
выражаются соответственно в виде
#
0
Γ
νi
0
)
i
,
0
Γ
#
Γ
νj
,
Γ
P0=
¯
Pi=
Pi=
s
X
Γ
0
g
ν
i,ν=1
¯g
¯g
s+1
X
j,ν=1
Γ
i
¯
Fi(¯ωi, x, t) −l
2
i
Γ
0
ljg
ν
0
νi
0
l
+ K1(x, t)"W1−
i
0
0
+ K2(x, t)W2−
i
νj
+ K3(x, t)"W3−
Γ
s
X
g
i,ν=1
s+1
X
gν(W3· gj)
j,ν=1
0
(W1· g
ν
¯g
i
2
¯g
i
(¯gi· W2),
где
0
g
= B0(x, t)grad ωi(x, t),
j
∂ω
l
0
j
= −
j
− f (x, t)grad ωj(x, t),
∂t
¯gi= B0(x, t)grad ¯ωi(x, t),
∂ ¯ω
=
j
− f (x, t)grad ¯ωi,
∂t
0
l
i
¯
Fi, Fi— произвольные скалярные функции, удовлетворяющие условиям¯Fi(0, x, t) ≥0,
Fi(0, x, t) ≥ 0; gj= g
0
; lj= −l
j
0
(j = 1, . . . , s); g
j
s+1
= ¯gi; l
s+1
= Fi− l
0
; Ki(x, t),
i
Wi(x, t) (i = 1, 2, 3) — произвольные, соответственно скалярные и r-мерные векторные
функции; Γ0, Γ — определители Грама, составленные соответственно из векторов g
gj; а Γ
0
и Γνj— их алгебраические дополнения.
νi
0
j
и
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 23
Доказано, что евклидова норма вектора P при всех t ≥ 0 имеет минимальное зна-
чение, если произвольные функции выбрать в виде
Ki(x, t) ≡ 0 (i = 1, 2, 3),
0
l
¯
Fi=
i
(sign |l
2
0
| + l
i
0
),
i
F0(ω, x, t) ≡ 0 при x¯∈Ω(t),
0
F
Fi=
i
(sign |F
2
0
| + F
i
0
),
i
где
(
"
r
0
F
= l
i
X
0
−
i
k=1
s+1
X
ν=1
gνkΓ
ν,s+1
!
·
s+1
X
ν=1
s
X
j=1
gνkljΓ
νj
#)
÷
r
X
k=1
s+1
X
ν=1
gνkΓ
ν,s+1
!
2
.
Рассмотрен также случай пересекающихся гиперповерхностей (1.14).
Из множества построенных вектор-функций P (x, t) выделено подмножество непре-
рывных вектор-функций P (x, t).
Решение этой задачи имеет вид
#
Γ
νi
,
Γ
P =
s+1
X
i,ν=1
lig
Γ
νi
+ K(x, t)"W −
ν
Γ
s+1
X
gν(W · gi)
i,ν=1
где K(x, t), W (x, t) — произвольные непрерывные соответственно скалярная и r-мерная
векторная функции; li— скалярные функции вида
∂ω
lj= Fj(ω, x, t) −
j
− f · grad ωj(j = 1, . . . , s),
∂t
l
s+1
= F
(Π, x, t) −f ·
s+1
N
X
k=1
grad ¯ωk·
N
Y
i=1
i6=k
¯ωi−
N
X
k=1
∂ω
∂t
N
Y
k
·
¯ωi;
i=1
i6=k
где Fj(j = 1, . . . , s + 1) — произвольные непрерывные скалярные функции, удовлетворяющие условиям
Fj(0, x, t) ≡ 0 (j = 1, . . . , s) F
(0, x, t) ≥ 0.
s+1
Значение Π при непересекающихся гиперповерхностях (1.14) выражается в виде
N
Y
Π =
¯ωk,
k=1
а при пересекающихся в виде
N
Y
Π =
¯ωk− δ,
k=1
где δ — сколь угодно малая положительная постоянная.
24 1 Этапы становления и развития теории построения. . .
Независимо от того, пересекаются гиперповерхности (1.14) или нет, выражение
вектор-функции P получено в виде
#
˜
Γ
νi
,
˜
Γ
P =
s+N
X
i,ν=1
˜
li˜g
˜
Γ
νi
+ K(x, t)"W −
ν
˜
Γ
s+N
X
i,ν=1
˜gν(W · ˜gi)
где
0
˜gi= g
˜
l
=¯Zν(¯ω, t) + F
s+ν
F
— произвольные неотрицательные непрерывные функции,¯Zν(¯ω, t) — компоненты
s+ν
,˜li= li(i = 1, . . . , s), ˜g
i
(x, t) − f(x, t) · grad ¯ων−
s+ν
s+ν
∂ ¯ω
= ¯gν,
ν
(ν = 1, . . . , N ),
∂t
произвольной непрерывной N-мерной вектор-функции, обладающей свойством (D).
Как отмечалось А.М. Лётовым [72], многие проблемы синтеза систем автоматического управления с заданными динамическими качествами переходного процесса
сводятся к построению систем, отклонения которых от заданного невозмущённого состояния подчиняются некоторым неравенствам. Вследствие этого для решения некоторых из этих проблем оказалось возможным применение вышеприведённых методов
построения уравнений движений. Полученные результаты применяются для решения
конкретных прикладных задач: строится уравнение движения преследующей точки,
имеющей минимальные перегрузки при наведении к цели с заданной точностью; строится также выражение минимальной управляющей силы, достаточной для сближения
преследующей точки с объектом преследования со скоростью, не меньшей заданной
величины.
1.2 Второй этап: построение семейства функций Ля-
пунова путём введения квазискоростей взамен
традиционных обобщённых скоростей и его при-
менения
Универсальность построенных здесь алгоритмов достигается во многом благодаря тому, что матрица квадратичной формы, зависящая от обобщённых и квазиобобщённых
скоростей, является определенно положительной по этим скоростям во всех механических системах. Эта особенность механических систем была использована еще на заре
зарождения теории устойчивости движения в 1788 году Лагранжем при установлении
устойчивости равновесия в теореме, носящей его имя. Эта теорема является первым
применением подхода с использованием так называемой функции Ляпунова в виде
вышеупомянутой квадратичной формы, который в современной теории устойчивости
движения называется вторым методом Ляпунова. Исследования в этом направлении,
описанные в работе [108], начинаются с построения семейства функций Ляпунова, позволяющего развить идеи Лагранжа с целью исследования влияния непотенциальных
сил, не затронутых в теореме Лагранжа, на устойчивость не только равновесия, но
и нестационарного движения механических систем. Полученный здесь результат позволяет получить целое семейство критериев устойчивости невозмущенного движения,
пользуясь лишь обобщённым критерием Сильвестра [79]. В [90, 104] этот подход распространяется на обобщённые системы при построении систем управления, обеспечивающих устойчивость возмущённого движения не только по первому приближению,
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 25
но и с учетом членов более высокого порядка при больших начальных возмущениях. Приводятся примеры использования предложенного алгоритма для стабилизации
плоских движений спутника на эллиптической орбите, программного движения математического маятника с подвижной точкой подвеса и гиромаятника на подвижном
основании, при стабилизации заданной траектории движения точки переменной массы в ньютоновом поле тяготения и при управлении сближением со спутником при
больших начальных отклонениях от заданного движения по эллиптической орбите.
Работа [110] посвящается построению обобщённых систем с асимптотически устойчивыми программными связями. Приводятся примеры использования предложенной
процедуры для стабилизации программного многообразия манипулятора на подвижном основании и программной ориентации преследующего тела по кривой погони [64].
Другой важной прикладной задаче применения результатов работы [110] посвящена работа [93] о стабилизации цилиндрической прецессии спутника на эллиптической
орбите. С работы [100] начинается изложение проблем, связанных с разработкой алгоритмов построения систем с инвариантными и квазиинвариантными к постоянно
действующим возмущениям программными многообразиями. Работа [95] посвящена
построению систем с инвариантными многообразиями. Одному из важных приложений результатов этой работы посвящена работа [100] о стабилизации программной ориентации преследующего тела с заданным оптимальным качеством переходного процесса, где приведен алгоритм построения вектора распределения случайных возмущений
между каналами управления, при котором заданное программное многообразие и качество стабилизации этого многообразия являются инвариантными к этим возмущениям.
Приложению результатов работы [95] посвящена также работа [94], где строится вектор оптимального управления путем определения матрицы распределения возмущений между каналами управления, при котором программное многообразие ориентации
преследующего манипулятора, расположенного на подвижном основании, и качество
стабилизации этого многообразия являются инвариантными к этим возмущениям.
В работе [88] предлагается процедура построения множества дифференциальных уравнений регуляторов, обеспечивающих квазиинвариантную стабилизацию программного многообразия при произвольных значениях случайных параметров, входящих в выражения возмущающих функций из заданного класса. К приложениям
результатов работы [88] относятся работы [99, 106, 107].
В работе [99] строится множество уравнений регуляторов без использования информации о части переменных, в работе [106] — множество уравнений регуляторов для стабилизации ориентации преследующего тела, а в работе [107] — множество уравнений
регуляторов преследующего манипулятора при движении его по принципу пропорциональной навигации.
1.3 Третий этап: разработка методов безударной
стабилизации программных связей в условиях
неопределённости
Теперь переходим к работам по построению универсальных алгоритмов безударной
стабилизации заданного многообразия управляемых систем. Здесь под термином «стабилизация заданного многообразия» подразумевается, с одной стороны, всё множество
механических и обобщённых систем, а с другой — многообразие невозмущённого состо-
26 1 Этапы становления и развития теории построения. . .
яния этих систем, описываемое конечными уравнениями, зависящими от обобщённых
координат и времени, которые принято называть голономными программными связями, а также системой неявных дифференциальных уравнений, зависящих от времени
и обобщённых координат и скоростей. Эти уравнения в фазовом пространстве системы
q, ˙q ∈ Rnобобщённых координат q и обобщённых скоростей ˙q образуют многообразие
любой размерности от нуля до максимальной, равной (2n −1). В частности, при нулевой размерности, когда количество голономных программных связей равно количеству
обобщённых координат, имеет место задание программы в виде закона движения, являющегося одним из частных решений уравнений движения системы в целом, который
принято называть невозмущённым движением системы. Для того чтобы различать эти
два термина, здесь термин «невозмущённое состояние системы» употребляется в случае задания программы в виде многообразия с ненулевой размерностью.
В работе [103] описывается алгоритм разрывного управления процессом асимптотического сближения состояния механических систем с заданным многообразием. Разрывное управление обусловлено применением «принципа декомпозиции», предложенного Е.С. Пятницким в работе [153], который позволяет стабилизировать программное
движение управляемой голономной стационарной системы в условиях неопределенности её массо-инерционных параметров и действующих на неё случайных возмущений
при приведении системы из любой точки фазового пространства в любую заданную
неподвижную точку.
В работе [120] строится управление для приведения состояния системы за конечное
время в заданное неголономное программное многообразие в условиях неопределенности. В качестве примера приводится задача управления преследующим движением
тела по кривой погони.
В [81] и [82] аналогичная задача решается путем построения управления, позволяющего привести систему в заданное голономное многообразие, избегая ударных сил.
Дело в том, что при приведении состояния системы в голономное многообразие за
конечное время возможен удар о связь в момент касания этой связи изображающей
точкой. Для предотвращения такого удара вводятся специального вида «квазискорости», чтобы представить через них квадратичную часть кинетической энергии системы. В качестве примера приводится задача управления безударным приведением тела
в заданную ориентацию при преследующем движении по принципу пропорциональной
навигации [64].
Другим приложением такого подхода является метод безударной посадки тела на
подвижную платформу, описанный в работе [127].
В [118] изложен метод построения самонастраиваемого управления безударной стабилизацией процесса приведения состояния механических систем в заданное многообразие за конечный промежуток времени.
Работа [83] посвящена описанию новой формы динамических уравнений движения
твердого тела путём введения новых понятий «планарный тензор инерции» и «планарный кинетический момент тела». Эта форма уравнений имеет более компактную
форму по сравнению с традиционными. При управлении безударной стабилизацией
программного движения тела по принципу пропорциональной навигации весьма плодотворным оказалось использование в качестве квазискоростей значений относительной скорости центра масс тела и относительной угловой скорости вращательного движения вокруг этого центра. Такой подход был применен в работах [130] (при построении самонастраиваемого управления процессом безударной стыковки двух подвижных
1 Этапы становления и развития теории построения. . . 27
объектов) и [133] (при управлении безударной стыковкой множества подвижных объектов в заданные упорядоченные моменты времени).
В работе [116] описывается метод стабилизации программного состояния обобщённых систем. Особенность этих систем, по сравнению с механическими, заключается
в том, что матрица квадратичной формы аналога кинетической энергии таких систем относительно квазискоростей, используемая в качестве функции Ляпунова, в
общем случае не является определённо положительной. Это обстоятельство не позволяет строить алгоритмы управления без использования информации об аналогах
массо-инерционных параметров системы, что было возможно в случае механических
систем. Зато оказалось возможным строить обобщённую управляющую силу в виде
Q = AR(ω, ˙ω, t), где A — матрица аналога кинетической энергии исходной системы, а
вектор R(ω, ˙ω, t), зависящий лишь от функций ω, ˙ω, определяющих отклонения от мно-
гообразия заданного фазового состояния системы, является универсальным для всех
обобщённых систем с неособенной матрицей A. В работе [122] эти результаты применяются к задаче о приведении экономики слаборазвитого производственного предприятия в состояние развитой эталонной модели.
Глава 2
Построение одного семейства функций
Ляпунова
Построено семейство функций Ляпунова с целью исследования влияния непотенциальных сил на устойчивость нестационарного движения.
2.1 Общий случай
Пусть уравнение возмущённого движения механической системы описывается следующим векторным уравнением в форме Лагранжа:
∂T
∂ ˙x
−
∂T
2
= Q( ˙x, x, t), (2.1)
2
∂x
d
dt
где T2— квадратичная часть зависимости кинетической энергии от ˙x вида
1
T2=
˙xTA(x, t) ˙x; (2.2)
2
A(x, t) — любая определённо положительная (n×n)-матрица массо-инерционных характеристик системы; Q( ˙x, x, t) — n-мерный вектор обобщённых сил, включающий в
себя и гироскопические, и потенциальные, и непотенциальные позиционные добавки,
обусловленные составляющими T1и T0кинетической энергии, соответственно, зависящей от первой степени ˙x и не содержащей ˙x.
Введём квазискорость˙˜x путём замены
˙x =˙˜x + H(t)x, (2.3)
где H(t) — произвольная (n×n)-матрица с ограниченными непрерывными и дифференцируемыми элементами. Тогда выражение (2.2) примет следующий вид:
0
0
T0= T
2
+ T
1
0
+ T
, (2.4)
0
где
1
0
T
2
˙
=
˜xTA(x, t)˙˜x, T
2
0
=˙˜xTAH x, T
1
1
0
=
0
2
xTHTAH x.
Теперь уравнение (2.1) можно представить в виде
∂T
∂˙˜x
0
∂T
2
−
= Q. (2.5)
∂x
d
dt
28
2 Построение одного семейства функций Ляпунова 29
Умножая обе части уравнения (2.5) скалярно на˙˜x, получим
d
T
˙
˜x
dt
∂T
∂˙˜x
0
=˙˜xTQ +˙˜x
∂T
T
2
.
∂x
Согласно теореме Эйлера об однородных функциях, учитывая (2.4), получим
0
d(T
2
dt
− T
0
)
0
= −˙x
T
∂(T
0
1
∂x
+ T
0
)
0
−
0
∂T
+ ˙xTQ −xTHTQ − ˙x
∂t
0
∂T
2
T
+ ( ˙xT−xTHT)
∂x
∂T
∂x
2
. (2.6)
Заметим, что последние два члена в правой части этого уравнения имеют порядок
малости выше второго относительно x и ˙x, а первые два члена представляются в виде
0
−˙x
T
∂(T
1
∂x
+ T
0
)
0
= −˙xTHTA ˙x, −
∂T
∂t
0
= −
1
∂A
T
˙x
2
˙x − ˙xTA˙Hx.
∂t
Подставляя эти выражения в (2.6), получим
где R
d(T
0
2
− T
0
)
0
= −˙x
T
HTA +
dt
(3)
— члены выше второго порядка малости.
12∂A
∂t
˙x − ˙xTA˙Hx + ˙xTQ − xTHTQ + R
(3)
,
Допустим, что Q( ˙x, x, t) и A(x, t) разлагаются в абсолютно сходящиеся ряды по
степеням x, ˙x. Тогда это уравнение можно представить в виде
12d
dt
где X
h
˙
˜xTA(0, t)˙˜x − xTHTA(0, t)Hx + X
− ˙xTA(0, t)˙Hx + ˙x
(3)
(3)
, X
1
— члены выше второго порядка малости. Обозначим
2
"
∂Q
+
0
∂Q
+
0
D = −
F = −
1
∂Q
2
∂ ˙x
"
1
∂Q
2
∂x
∂ ˙x
∂x
(3)
1
T
0
T
0
T
#
#
i
T
= −˙x
∂Q
∂ ˙x
− xTH
, G = −
, E = −
HTA(0, t) +
∂Q
˙x +
∂x
∂Q
0
T
∂ ˙x
"
1
∂Q
2
∂ ˙x
"
1
∂Q
2
∂x
x−
0
˙x +
0
0
0
12∂A(0, t)
∂Q
∂x
−
−
∂t
∂Q
∂ ˙x
∂Q
∂x
˙x−
x+ X
0
#
T
0
#
T
0
,
.
(3)
, (2.7)
2
При этом уравнение (2.7) принимает следующий вид:
h
12d
˙
˜xTA˙˜x − xTHTAHx + X
dt
− ˙x
i
(3)
= −˙x
1
h
T
F + E + A˙H − (D − G) Hix + xTHT(F + E) x + X
T
HTA +
˙
A
+ D!˙x−
2
(3)
2
Из матрицы второго члена в правой части этого уравнения выделим две составляющие:
1) симметрическую
h
¯
C(t) = F +
1
A˙H − (D − G) H +˙HTA − HT(D + G)i;
2
. (2.8)
30 2 Построение одного семейства функций Ляпунова
2) кососимметрическую
h
¯
E(t) = E +
1
A˙H − (D − G) H −˙HTA + HT(D + G)i.
2
Тогда уравнение (2.8) можно представить в виде
T
HTA +
"
T
HT(F + E) +
˙
A
+ D!˙x−
2
C
2
˙
¯
#
x + X
(3)
. (2.9)
2
12d
dt
h
˙
˜xTA˙˜x − x
T
¯
C(t) −HTAHx + X
(3)
1
− ˙x
i
= −˙x
T
¯
E(t)x + x
Матрица H(t) имеет n2произвольных элементов hij(t). Следовательно, функция
V =
h
1
˙
˜xTA˙˜x − x
2
T
¯
C(t) −HTAHx + X
1
(3)
i
также зависит от этих же n2произвольных функций. Поэтому семейство этих функций
может рассматриваться в качестве семейства функций Ляпунова, так как правая часть
уравнения (2.9), являющаяся полной производной по t от этой функции, содержит
квадратичные формы как по переменным ˙x, так и по переменным x.
Таким образом, можно получить целое семейство критериев устойчивости невозмущённого движения, пользуясь лишь обобщёнными критериями Сильвестра [79], куда
войдут кроме параметров системы и действующих сил еще и произвольные функции
hij(t).
2.2 Частные случаи
Рассмотрим несколько частных случаев выбора произвольной матрицы H. Ограничимся случаями, когда матрицы A, D, G, F, E и H являются постоянными. При этом
имеет место
¯
C +¯E = F + E − (D − G)H. (2.10)
Потребуем от H, чтобы матрица (2.10) была симметрической. Так как F — симметрическая, то остается симметризовать оставшуюся часть E −(D −G)H. Для этого
определим H из условия
E − (D − G)H = C0,
где C0— произвольная постоянная симметрическая матрица. Отсюда получаем
H = (G − D)−1(C0− E). (2.11)
При этом уравнение (2.9) принимает следующий вид:
12d
h
˙
˜xTA˙˜x + x
T
C0+ F − HTAHx + X
dt
где H имеет выражение (2.11).
Следовательно, для устойчивости положения x = ˙x = 0 достаточно существования
симметрической матрицы C0, такой, чтобы квадратичные формы (C0+ F − HTAH),
i
(3)
= −˙xT(D + AH) ˙x + xTHT(F + E) x + X
1
(3)
2
(2.12)
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]