Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
4 Стабилизация программных многообразий 51
4.2 Оценка качества переходного процесса
Интегрируя обе части равенства (4.8) по времени, получим
"
∞
Z
T
ω
F2ω2+ yTDy − fTF1+ ω
2
t
0
!
˙
F
T
1
2
#
1
ω
1
dt =
1
V0, V0= V (t0). (4.11)
2
Это равенство является интегральным показателем качества переходного процесса. Имея свободу выбора матриц D, F1, F2, N, A и функции f , подынтегральному выражению и функции Ляпунова можно придать нужную структуру с необходимыми
весовыми элементами.
При задании конкретного числового значения V0уравнение
1
(ω
2
T
Nω20+ y
20
T
Ay0+ ω
0
T
F1ω10) = V
10
0
(4.12)
в (2k + m)-мерном пространстве ˙ω10, ω10, ω20описывает эллипсоид, поверхность которого является геометрическим местом точек, обладающих следующим свойством. Для
начавшихся их них движений имеет место интегральный показатель качества переходного процесса (4.11), а для всех начальных значений ˙ω10, ω10, ω20внутри эллипсоида
(4.12) справедлива оценка качества переходного процесса
"
∞
Z
T
ω
F2ω2+ yTDy − fTF1+ ω
2
t
0
!
˙
F
T
1
2
#
1
ω
1
dt<
1
V0.
2
4.3 Примеры
Пример 1. Стабилизация программного многообразия манипулятора на подвижном основании. Рассмотрим манипулятор, состоящий из n прямолинейных зве-
ньев Tν(ν = 1, 2, . . . , n), расположенных на подвижном основании [124]. Каждое звено
Tνвращается относительно предыдущего звена T
В точку Onпоследнего звена Tnпоместим центр схвата, а плоскость схвата зададим
плоскостью единичных векторов epи kp.
Будем считать, что вращение звена Tνвокруг шарнира O
трическим двигателем, помещённым со своим редуктором в этой точке. Первое звено
манипулятора связано с точкой O0основания манипулятора. Положение тела (основания манипулятора) относительно неподвижной системы координат 0ϕηζ определяется
законом движения r0(t) точки O0и тремя углами Эйлера.
В программу движения схвата заложим два требования: движение центра схвата
относительно основания должно подчиняться заданному закону
O0On= L(t), L(t) = L1(t) −r0(t), (4.13)
где L1(t), r0(t) — заданные функции, а плоскость схвата должна быть ортогональна
заданному вектору e0, т.е.
T
e
e0= 0, k
p
T
e0= 0. (4.14)
p
в цилинрическом шарнире O
ν−1
осуществляется элек-
ν−1
ν−1
.
52 4 Стабилизация программных многообразий
Если вектор O0Onвыразить через векторы lν= O
вид
n
X
ν−1Oν
, то условие (4.13) примет
lν− L(t) = 0. (4.15)
ν=1
Движения манипулятора зададим уравнениями Лагранжа
∂T
∂ ˙x
−
∂T
= Q(p) −C ˙x + M0u, (4.16)
∂x
d
dt
где x — n-мерный вектор обобщённых координат — углов поворотов ϕν(ν = 1, . . . , n)
его звеньев, u — n-мерный вектор управляющих сигналов, Q(p) — вектор обобщённых
сил тяжести, T — кинетическая энергия манипулятора:
1
T =
˙xTA0(x, t) ˙x + bT(x, t) ˙x + b0(x, t),
2
C = diag(c1k
, c2k
1
2
, . . . , cnk
2
2
), M0= diag(a1k
n
2
, a2k
1
2
, . . . , ank
2
2
),
n
2
cν— коэффициенты сопротивления на валу двигателей, kν— передаточные числа ре-
дукторов, aν— коэффициенты пропорциональности между управляющими моментами
двигателей и управляющими сигналами uν.
Уравнение (4.16) можно представить в виде (4.1)
A0(x, t)¨x = B0( ˙x, x, t) + M0u, (4.17)
где
B0=
∂A
0
T
˙x
2
˙x +−
∂x
dA
dt
∂b
0
+
− C˙x −
∂x
db
dt
+
∂b
∂x
0
+ Q(p).
1
Исходя из требований (4.15) и (4.14), программное многообразие (4.2) представим
в виде 5-мерного вектора
ω(x, t) = 0, (4.18)
с элементами
"
n
X
ωi= k
T
i
lνeν− L(t)#, i = 1, 2, 3, ω4= e
ν=1
T
e0, ω5= k
p
T
e0, (4.19)
p
где ki— орты осей системы координат 0ϕηζ, eν— орты векторов lν.
Дифференцируя равенства (4.19) два раза по t с использованием формул Пуассона
˙
eν= ω0+
!
ν
X
0
ω
× eν,˙ep= ω0+
η
η=1
˙
kp= ω0+
ν
X
η=1
ω
0
η
!
X
η=1
× kp,
!
ν
0
ω
× ep,
η
где ω
0
= ˙xηjη, jη— орты векторов ω
η
¨ω = A
T
A
1
0
, получим уравнение (4.3) в виде [121]
η
−1
B0+˙A
0
T
˙x − ˙c0+ A
1
T
−1
A
M0u. (4.20)
1
0
4 Стабилизация программных многообразий 53
Здесь A1— (n×5)-мерная матрица с элементами
!
T
l
ki, i = 1, 2, 3,
η
aiν= jν×
n
X
η=ν
a4ν= (jν×ep)Te0, a5ν= (jν×kp)Te0,
c0— вектор с элементами
"
0
c
0
c
= −(ω0×ep)Te0− e
4
˙
=
L(t) −
i
n
X
(ω0×lν)
η=ν
T
e0, c
p
˙
#
T
ki, i = 1, 2, 3,
0
= −(ω0×kp)Te0− k
5
T
p
˙
e0,
ω0— угловая скорость основания.
Умножая равенство (4.20) на симметрическую определённо-положительную
(5×5)-матрицу A(x, t), получим
A¨ω = B( ˙x, x, t) + Q, (4.21)
где
B = A(A
1
A
−1
B0+˙A
0
T
˙x − ˙c0), Q = AA
1
T
Mu, M = A
1
−1
0
M0.
T
Уравнение (4.21) является первым из уравнений (4.4).
Следовательно, уравнение (4.9) для определения вектора u имеет вид
T
AA
Mu = Q, (4.22)
1
где
"
∂f
∂ω
T
f +
∂f
∂t
T
y#−
12dA
y,
dt
Q = −Dy − F ω − B − A
∂f
∂ω
T
y − A
y = ˙ω − f (ω, t),
D, F — произвольные симметрические определённо-положительные матрицы, f (ω, t) —
произвольная вектор-функция с ограниченными и дифференцируемыми элементами,
T
выбираемая так, чтобы функция (fTF + ω
˙
F /2)ω была определённо-отрицательной.
Решение уравнения (4.22) можно представить в виде (4.10)
u = ΩT(ΩΩT)−1Q, Ω = AA
T
1
M.
При этом евклидова норма вектора управления u будет минимальной.
Заметим, что показатель качества переходного процесса (4.11) в данном случае
имеет вид
"
∞
Z
yTDy − fT+ ω
t
0
˙
F
T
ω!#dt =
2
1
V0, V0= V (t0).
2
Пример 2. Стабилизация программной ориентации преследующего тела.
Рассмотрим твердое тело, жестко связанное с подвижной системой координат cxyz.
54 4 Стабилизация программных многообразий
Главный вектор управляющих сил˜u2построим так, чтобы центр масс тела c двигался по кривой погони за преследуемой точкой o при её движении по произвольному
закону r0(t) относительно инерциальной системы координат o1x1y1z1[119]. При этом
вектор управляющих моментов˜u1должен быть таким, чтобы одна ось тела, например
cz, асимптотически стремилась занять направление co. Следовательно, программная
ориентация тела в этом случае может быть задана выражениями
i
ω
= ki· e = 0, ω
1
i
= ki· v = 0, i = 1, 2, (4.23)
2
где k1, k2— орты осей cx и cy, (·) — знак скалярного произведения, r — радиус-вектор,
v — вектор абсолютной скорости центра масс тела, e — орт вектора r0− r.
Известно, что движение центра масс в инерциальной системе координат o1x1y1z1и
вращательное движение тела вокруг центра масс в осях подвижной системы координат
cxyz описываются уравнениями
I˙ω = (Iω×ω) + M∗+˜u1,
(4.24)
m˙v = f +˜u2,
где I — тензор инерции тела в точке c, ω(p, q, r) — мгновенная угловая скорость тела,
p, q, r — проекции ω на оси cx, cy, cz, m — масса тела, M∗— момент заданных сил
относительно центра масс c, f — главный вектор заданных сил,˜u1— главный момент
управляющих сил относительно c,˜u2— главный вектор управляющих сил.
Уравнения (4.24) представим в виде
˙
ω = I−1[(Iω×ω) + M∗] + u1,˙v = f/m + u2,
−1
u1= I
˜
u1, u2=˜u1/m.
(4.25)
Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: построить аналитические выражения векторов u1, u2так, чтобы многообразие (4.23) было устойчивым
программным многообразием системы (4.25).
Решение задачи заключается в следующем.
Дифференцируя по времени выражения (4.23) в силу уравнений (4.25), получим
d2ω
dt
i
1
2
= B
i
1
+˜Q
i
,
1
dω
dt
i
2
= K
i
1
i
+˜Q
, i = 1, 2, (4.26)
2
где
= k
1
T
f + eT[ω ×(ω ×ki)] +˙eT(ω ×ki) +¨r
i
m
1
T
f + vT(ω ×ki),
i
m
B
i
1
T
= c
I−1[(Iω×ω) + M∗] −k
i
K
i
1
ci= ki×e,
i
Q
1
= c
T
u1,˜Q
i
˜
i
2
= k
T
u
2
i
r, v, ki, ci, ω, M∗, f, u1, u2— векторы-столбцы.
Систему уравнений (4.26) можно представить в векторной форме
¨ω1= B1+˜Q1, ˙ω2= K1+˜Q2, (4.28)
T
0
ki,
(4.27)
4 Стабилизация программных многообразий 55
где
ωi=
ω
ω
1
i
, B1=
2
i
B
B
1
1
,˜Q1=
2
1
1
Q
1
.
2
Q
1
Умножая уравнения (4.28) на знакоопределённые симметрические матрицы A и N,
получим
A¨ω1= B + Q1, N ˙ω2= K + Q2, (4.29)
где
B = AB1, K = N K1, Q1= A˜Q1, Q2= N˜Q2. (4.30)
Выражения (4.27), содержащие искомые векторы u1и u2, при учёте обозначений
(4.30) можно представить в виде
Ω1u1= A−1Q1, Ω2u2= N−1Q2, (4.31)
где
Ω1=
c11c12c
c21c22c
13
, Ω2=
23
k11k12k
k21k22k
13
, (4.32)
23
ci1, ci2, ci3— элементы векторов ci, ki1, ki2, ki3— элементы векторов ki.
В уравнении (4.29) вместо ˙ω1введём замену
y = ˙ω1− f (ω1, t), f (0, t) = 0, (4.33)
где f(ω1, t) — произвольная двумерная вектор-функция с ограниченными и диффе-
ренцируемыми элементами, допускающими бесконечно малый высший предел.
Умножая первое уравнение (4.29) скалярно на вектор y, а второе на вектор ω2,
затем складывая, получим уравнение (4.6).
Если векторы Q1и Q2выбрать в виде (4.7), то получим уравнение (4.8).
Заметим, что Q1и Q2выражаются через 6-мерный вектор u равенствами (4.31),
которые можно представить одним 4-мерным векторным уравнением вида (4.9), где
Ω — (4×6)-матрица вида
Ω =
Ω
Ω
1
2
, Q =
A−1Q
N−1Q
1
,
2
решение которого можно представить в виде (4.10).
Глава 5
Стабилизация цилиндрической
прецессии спутника на эллиптической
орбите
В главе 2 было построено семейство функций Ляпунова для исследования устойчивости невозмущённого движения неавтономных систем по первому приближению. Здесь
эти результаты применяются для стабилизации цилиндрической прецессии спутника
на эллиптической орбите.
5.1 Метод решения задачи
Рассмотрим механическую систему
∂T
∂ ˙q
−
∂T
= Q(q, ˙q, t), T =
∂q
1
˙qTA(q, t) ˙q + ˙qTa(q, t) +
2
1
a0(q, t).
2
d
dt
В [132] было показано, что при выборе вектора обобщённых сил Q в виде
Q = −Dy − F x +
b(x, t) = A(q0+ x,t) ˙q0+ a(q0+ x,t), b0= ˙qTA ˙q0+ 2 ˙qTa + a0,
система обладает программным движением q0(t), стабилизированным «в целом».
Здесь A0— (n × n)-матрица с элементами a
матрицы A, H(t) — произвольная ограниченная (n × n)-матрица с ограниченной
и непрерывной производной по t, G — кососимметрическая матрица с элементами gνi= ∂bν/∂xi+ ∂bi/∂xν, bν, bi— элементы вектора b, D и F — определённоположительные симметрические матрицы.
При этом для отклонений x = q −q0(t) от программного движения имеем функцию
Ляпунова и её производную по времени
1
A0y −
2
−GHx +
1
T2=
2
V = T
∂T
2
∂x
∂b
12∂b
−
∂t
˙qTA ˙q, y = ˙x − H(t)x,
1
0
T
=
yTAy
2
2
0
+ xTF x/2, (5.2)
2
+
∂x
∂T
0
0
12∂A(q0+ x,t)
2
+
∂x
dAHx
+
dt
0
= xTHT∂aij/∂x, aij— элемент
ij
∂t
,
y−
(5.1)
56
5 Стабилизация цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите 57
˙
V = −yTDy + xT(HTF +˙F /2)x, (5.3)
где (HTF +˙F /2) — определённо-отрицательная матрица (её определённая отрицатель-
ность достигается подходящим выбором матрицы H).
Следовательно, имеет место следующий показатель качества переходного процесса:
"
∞
Z
yTDy − x
T
HTF +
˙
F
!x#
dt = V0, (5.4)
2
t
0
где V0— значение V при t = t0.
Для улучшения качества переходного процесса добавим к вектору Q дополнительную составляющую M (x, ˙x, t)u, где M — (n×r)-матрица, u — r-мерный вектор управ-
ления. Следуя [157], ищем подынтегральное выражение функционала качества оптимального управления в виде W0= F1(x, ˙x, t) + uTR(x, ˙x, t)u, где R — определённо-
положительная ограниченная симметрическая (r×r)-матрица.
Построим функцию [67]
B0=˙V + uTMTy + F1+ uTRu.
Из условия ∂B0/∂u = 0 получим u0= −R−1MTy/2, а из условия B0=0 получим
F1= −˙V + yTMR−1MTy/4.
При этом имеем W0= −˙V + yTMR−1MTy/2 и следующий показатель качества
переходного процесса:
"
∞
Z
yTDy − x
t
0
где V0— значение V = T
T
HTF +
!
˙
F
2
0
+ xTF x/2 при t = t0.
2
1
x +
yTMR−1MTy#dt = V0, (5.5)
2
Таким образом, добавление к Q оптимального управления u0улучшает качество
переходного процесса, так как величина функционала качества при u =0:
"
∞
Z
yTDy − x
T
HTF +
F
!x#
˙
dt, равная V0= V (t0),
2
t
0
уменьшается на
∞
Z
1
yTMR−1MTy dt,
2
t
0
что следует из (5.5).
В заключение заметим, что если задачу решать в рамках уравнений первого приближения, то члены
1
A0y −
2
∂T
∂x
0
∂T
2
+
2
∂x
58 5 Стабилизация цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите
второго порядка малости в выражении Q можно приравнять нулю. Если при этом от
матриц H, D, F потребовать, чтобы H = HTи матрицы
D −
12∂A(q0, t)
∂t
−(HTF0+
+ AH,
0
˙
F
), F0= F −
2
F − AH2−
dAH
dt
dAH
− AH
,
dt
2
были определённо-положительными, то вектор Q можно построить в виде
∂b
12∂b
Q = −Dy − F x +
−
∂t
0
− GHx. (5.6)
∂x
5.2 Построение стабилизирующих моментов
Рассмотрим спутник, состоящий из двух тел, центры масс которых совпадают. Рассмотрим движение центра масс спутника по эллиптической орбите с угловой скоростью
ω0(t). Положение тел спутника относительно орбитальной системы координат определим углами Эйлера ψi, θi, ϕi(i = 1, 2), при этом i=1 относится к внешнему, а i = 2 — к
внутреннему телу. Углы ψi, θiопределяют положение осей симметрии тел в орбительной системе координат [23]. Относительное движение тел происходит под действием
силы, обладающей потенциалом U = −k(ψ1− ψ2)2+ (θ1− θ2)
циклической координаты ϕi(i = 1, 2) уравнения движения имеют вид
T =
dt
d
2
X
i=1
∂T
∂˙θ
∂T
−
i
1
A
2
∂θ
2
˙
θ
i
i
+Aiω
i
1
+
2
= M
Aisin2θ
2
˙
θ
0
i
∂U
−
θ
i
∂θ
ψ
i
,
i
2
˙
−
i
cos ψi− Cir
d
dt
1
Aiω
2
˙
ψicos θi+ Ciriω0cos ψisin θ
i
∂T
∂˙ψ
i
2
cos2ψisin2θi+ Aiω
0
−
∂T
∂ψ
= M
i
2
/2. После исключения
∂U
−
ψ
i
, (i = 1, 2),
∂ψ
i
˙
ψ sin θicos θicos ψi+
0
!
,
i
2
U = −
1
k(ψ1− ψ2)2+ (θ1− θ2)
2
−
2
Здесь Ai, Ci— главные центральные моменты инерции тел, M
X
3
2
ω
2
(Ci− Ai) cos2θi.
0
i=1
θ
, M
i
— моменты
ψ
i
внешних стабилизирующих сил, Ci, ri— постоянные циклических интегралов:
Ci˙ϕi+ C
˙
ψicos θi− Ciω0cos ψisin θi= −Ciri(i = 1, 2).
i
Невозмущённым движением, соответствующим цилиндрической прецессии спутни-
ка [3, 23], является движение при θi= π/2, ψi= π,˙θi=˙ψi= 0 (i = 1, 2).
Предположим, что в возмущённом движении на спутник действуют стабилизиру-
ющие моменты следующего вида:
M
= −µi(t)(˙θi+ ω0sin ψi) −Ciriω0cos ψicos θi,
θ
i
M
= −µi(t)(˙ψisin θi+ ω0cos ψicos θi) + Ciriω0sin ψisin θi+ λicos ψi,
ψ
i
где µi(t)>0, λi(t)>0 — ограниченные функции.
5 Стабилизация цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите 59
Полагая θi=π/2 + xi(i = 1, 2), ψi=π + xj(j = 3, 4) и ограничиваясь рассмотрением
случая r1= r2= r (угловые скорости внутреннего и внешнего тел на невозмущённом
движении равны), в первом приближении получим слудующие уравнения движения:
A¨x + D ˙x + h(t)G ˙x + F x + Ex = 0,
0
0
0
0
, A
),
1
2
i
(i = 1, 2),
2
ω
0
0 0
0 0
(i = 1, 2),
34
44
,
k
,
2
ω
0
k33=
x = (x1, x2, x3, x4), A = diag(A
D = diag(µ
G =
0
, µ
1
0 0 −h
0 0 0 −h
h10 0 0
0 h
C
hi=
i
ω
0
k
− A1+ λ1, k44=
2
ω
0
+
0
0
0
, µ
, µ
1
1
0 0
E =
), h(t) =
2
0
2
0 0 −µ
0 0 0 −µ
0
µ
0 0 0
1
2
2
0 µ
2A
i
, kii= 3Ci− 4Ai+
r
k
− A2+ λ2, k12= k21= k34= k43= −
2
ω
0
µ
0
µ
=
i
ω
r
ω
, F =
0
0 0
2
Ai˙ω
i
+
ω
0
, A
1
0
, µ
0
=
i
k11k
k21k
0 0 k33k
0 0 k43k
0
0
1
0
2
,
k
2
ω
0
0
.
2
0
2
12
22
, A
mu
Выберем y = ˙x + δx, где δ — произвольная положительная постоянная. Если урав-
нение возмущённого движения скалярно умножить на вектор y, то получим
!
12d
yTAy + xT(F − δ2A + δD)x= −˙xT(D − δA) ˙x − ˙xT(E − δG)x −xTδ F −
dt
˙
F +˙D
2
x.
Выберем µi(t) из условия E − δG = 0, откуда следует
µ
i
ω
0
= δh(t)
C
ω
i
+
0
2A
r
Ai˙ω
i
−
0
.
2
ω
0
Подставив значение h(t) = r/ω0, получим
µi= δ
Cir
ω
0
+ 2A
Ai˙ω
−
i
0
.
ω
0
При этом, добившись определённой положительности матрицы F , выбором достаточно малого δ и достаточно большого r можно добиться определённой положительности функции Ляпунова
V =
1
yTAy + xT(F − δ2A + δD)x
2
и определённой отрицательности её производной по времени
˙
V = − ˙xT(D − δA) ˙x − xTδF −
1
(˙F +˙D)x.
2
60 5 Стабилизация цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите
Заметим, что для определённой положительности матрицыhF −
1
(˙F +˙D)iпотре-
2
буется подходящий выбор коэффициентов λi. В частном случае, когда µi= const > 0,
матрица D становится определённо-положительной и постоянной. Следовательно, при
этом остаётся добиваться лишь положительной определённости матриц F и (F −˙F /2).
Этот случай возможен при круговой орбите спутника.
Отметим, что при этом качество переходного процесса определится значением
функционала
Z
−˙V dt (t0≤t≤ ∞),
равным величине V при t=t0.
Теперь рассмотрим решение задачи о стабилизации спутника при любых начальных
возмущениях. Для этого обобщённые силы определим по формуле (5.1), учитывая
следующие выражения:
y = ˙x + x, D = diag(d1, d2, d3, d4), F = diag(f1, f2, f3, f4), bT= (b1, b2, b3, b4),
A = diag(A1, A2, A1sin2θ1, A2sin2θ2), A0= diag(0, 0, −x1sin 2θ1, −x2sin 2θ2),
∂T
∂x
T
=
1
2
2
˙
ψ
1
sin 2θ1,
2
1
2
˙
ψ
sin 2θ2, 0, 0,
2
2
∂T
∂x
T
0
2
=
1
y
2
2
sin 2θ1,
3
1
2
y
sin 2θ2, 0, 0,
4
2
dA/dt = diag(0, 0, 2 ˙x1A1sin 2θ1, ˙x2A2sin 2θ2),
2
b0=
X
(−Aiω
i=1
2
cos2ψisin2θi+ 2Ciriω0cos ψisin θi),
0
bi= Aiω0sin ψi, bj= Aiω0sin θicos θicos ψi− Ciricos θi,
∂bi/∂t = Ai˙ω0sin ψi, ∂bj/∂t = Ai˙ω0sin θicos θicos ψi,
2
0
=
i
(2Aiω
X
(−2Aiω
i=1
2
cos ψisin ψisin2θi− 2Ciriω0sin ψisin θi) (i = 1, 2; j = 3, 4),
0
2
sin θicos θicos2ψi+ 2Ciriω0cos θicos ψi),
0
∂b
∂ψ
∂b
∂θ
2
X
0
=
i
i=1
где di, fi— положительные постоянные.
Элементы кососимметрической матрицы G, вычисляемые по формулам
gνi= −∂bν/∂qi+ −∂bi/∂qν, имеют следующие значения:
g13= −g31= −A1ω0cos ψ1+ A1ω0sin 2θ1cos ψ1+ C1r1sin θ1,
g24= −g42= −A2ω0cos ψ2+ A2ω0sin 2θ2cos ψ2+ C2r2sin θ2,
а остальные элементы равны нулю.
Подставляя эти значения в (5.1), получим следующие элементы вектора обобщённой силы Q:
Q1= −d1y1− f1x1− A
+A1ω
2
sin θ1cos θ1cos2ψ1− C1r1ω0cos θ1cos ψ1− A1˙x1,
0
Q2= −d2y2− f2x2− A
+A2ω
2
sin θ2cos θ2cos2ψ2− C2r2ω0cos θ2cos ψ2− A2˙x2,
0
2
˙
ψ
sin 2θ1/2 + A1y
1
1
2
˙
ψ
sin 2θ2/2 + A2y
2
1
2
sin 2θ1/2 + g13x3+ A1˙ω0sin ψ1+
3
2
sin 2θ2/2 + g24x4+ A2˙ω0sin ψ2+
4
(5.7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]