Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
6 Об инвариантности качества стабилизации программных многообразий. . . 71
Во введении этой работы (с. 6-8) предельно сжато, но достаточно емко, описана
история развития исследований по этой проблеме с приведением подробного списка литературы до 1969 года (с. 234-238). В связи с обсуждением природы систем,
описываемых уравнением (6.1), заслуживают внимания также исследования физиковтеоретиков в 70-е годы прошлого столетия, посвященные построению действия (обобщенного лагранжиана или биркгофиана) по заданным в виде (6.1) уравнениям движения [5, 6]. Обширное исследование такой же проблемы при дополнительных требованиях интегральности программных многообразий систем (6.1) и определения функционалов, принимающих стационарное значение на программных движениях, приведено
в [48].
Заметим, что решение таких задач путем представления уравнения (6.1) в виде
∂L
∂ ˙x
−
∂L
= 0, (6.31)
∂x
d
dt
где L( ˙x, x, t) — обобщенный лагранжиан, возможно лишь при довольно жестких усло-
виях самосопряженности [48] уравнения (6.1).
В связи с этим отметим, что в случаях, когда условия самосопряженности не выполняются, возможно представление системы (6.1) в виде (6.31) с неравной нулю правой
частью, содержащей члены (6.1), не удовлетворяющие условиям самосопряженности.
В цитированных выше работах [5, 6, 48] приведено большое количество примеров,
описываемых уравнением вида (6.1).
Таким образом, дальнейшие исследования, связанные с управлением системами,
описываемыми уравнением (6.1), представляются вполне перспективными.
Глава 7
Управление ориентацией
преследующего тела с инвариантным
качеством стабилизации
Строится алгоритм управления, обеспечивающий асимптотическую устойчивость «в
большом» программной ориентации преследующего тела с заданным оптимальным
качеством переходного процесса.
Предлагается также алгоритм построения вектора распределения случайных возмущений между каналами управления, при котором заданное программное многообразие и качество стабилизации этого многообразия являются инвариантными к этим
возмущениям.
7.1 Постановка задачи
Рассмотрим твердое тело, жёстко связанное с подвижной системой координат cxyz.
Главный вектор управляющих сил˜U2построим так, чтобы центр масс тела c двигался по кривой погони за преследуемой точкой o при её движении по произвольному
закону r0(t) относительно инерциальной системы координат o1x1y1z1[119]. При этом
вектор управлящих моментов˜U1должен быть таким, чтобы одна ось тела, например
cz, асимптотически стремилась занять направление co. Следовательно, программная
ориентация тела в этом случае может быть задана выражениями
i
ω
= ki· e = 0, ω
1
где k1, k2— орты осей cx и cy, e — орт вектора co, v — вектор абсолютной скорости
центра масс тела, (·) — знак скалярного произведения.
Известно, что движение центра масс в инерциальной системе координат o1x1y1z1и
вращательное движение тела вокруг центра масс в осях подвижной системы координат
cxyz описываются уравнениями
I˙ω = (Iω×ω) + M∗+˜U1+˜R1δ,
m˙v = f +˜U2+˜R2δ,
где I — тензор инерции тела в точке c, ω(p, q, r) — мгновенная угловая скорость тела,
p, q, r — проекции ω на оси cx, cy, cz, m — масса тела, M∗— момент заданных сил
относительно центра масс c, f — главный вектор заданных сил,˜U1— главный момент управляющих сил относительно c,˜U2— главный вектор управляющих сил, δ —
случайное возмущение,˜R1,˜R2— трёхмерные векторы, определяемые ниже.
i
= ki· v = 0 (i = 1, 2), (7.1)
2
72
(7.2)
7 Управление ориентацией преследующего тела. . . 73
Уравнения (7.2) представим в виде
˙
ω = I−1[(Iω×ω) + M∗] + u1+ R1δ,˙v = f/m + u2+ R2δ,
u1= I
−1
˜
U1, u2=˜U1/m, R1= I
−1
˜
R1, R2=˜R1/m.
(7.3)
Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: построить выражение
векторов u1, u2, R1, R2так, чтобы многообразие (7.1) было асимптотически устойчивым «в большом» (при v0· e > 0) программным многообразием системы (7.3) с
заданным оптимальным качеством переходного процесса при любых случайных возмущениях δ.
7.2 Алгоритм управления
Дифференцируя по времени выражения (7.1) в силу (7.3), получим следующие уравнения для отклонений от многообразия (7.1):
d2ω
dt
2
i
1
= B
i
1
+˜Q
i
1
+ c
T
R1δ,
i
dω
dt
i
2
= K
i
1
+˜Q
i
2
T
+ k
R2δ (i = 1, 2), (7.4)
i
где
i
B
1
T
= c
I−1[(Iω×ω) + M∗] +˙c
i
= k
1
T
i
m
i
2
Q
i
K
1
i
1
= c
T
u1,˜Q
i
˜
f + vT(ω ×ki),
T
= k
i
T
ω +˙k
i
T
˙
e + k
i
u2, ci= ki×e,
T
¨
e,
i
(7.5)
r, v, ki, ci, ω, M∗, f, R1, R2, u1, u2— векторы-столбцы, δ — скаляр.
Из (7.4) видно, что эта система будет инвариантной к возмущениям δ при
T
c
R1= 0, k
i
T
R2(i = 1, 2). (7.6)
i
Из (7.4) и (7.5) видно, что при выборе векторов R1и R2коллинеарными векторам
e и k3соответственно, скалярные произведения ci, R1и ki, R2, как произведения ор-
тогональных векторов, будут равны нулю. Следовательно, искомые векторы R1и R
можно выбрать в виде
R1= λ1e, R2= λ2k3, (7.7)
где λ1, λ2— произвольно выбираемые скалярные величины, не равные нулю.
При условии (7.6) система уравнений (7.4) принимает следующую векторную форму:
¨ω1= B1+˜Q1, ˙ω2= K1+˜Q2,
ωi=
ω
ω
1
i
, B1=
2
i
B
B
1
1
,˜Q1=
2
1
1
˜
Q
1
.
2
˜
Q
1
(7.8)
2
Заметим, что такую же форму уравнения (7.8) имеют и при отсутствии возмущений
в системе (7.2). Умножая уравнения (7.8) на определённо-положительные симметрические (2×2)-матрицы A и N, получим
A¨ω1= B + Q1, N ˙ω2= K + Q2, (7.9)
где
B = AB1, K = N K1, Q1= A˜Q1, Q2= N˜Q2. (7.10)
74 7 Управление ориентацией преследующего тела. . .
Выражения (7.5), содержащие искомые векторы u1и u2, при учёте обозначений
(7.10) можно представить в виде
cTu1= A−1Q1, kTu2= N−1Q2, (7.11)
где
c =
c11c
c12c
c13c
21
22
23
, k =
k11k
k12k
k13k
21
, (7.12)
22
23
ci1, ci2, ci3— элементы векторов ci, ki1, ki2, ki3— элементы векторов ki.
В уравнении (7.9) вместо ˙ω1введём замену [90]:
y = ˙ω1− ϕ(ω1, t), ϕ(0, t) = 0, (7.13)
где ϕ(ω1, t) — произвольная двумерная вектор-функция с ограниченными и диффе-
ренцируемыми элементами, допускающими бесконечно малый высший предел.
Умножая первое уравнение (7.9) скалярно на вектор y, а второе на вектор ω2, затем
складывая, получим уравнение
1
2ddt
T
(ω
Nω2+ yTAy) = y
2
(
T
Q1+ B + A
∂ϕ
∂ω
1
T
y − A
"
+ ω
∂ϕ
∂ω
T
Q2+ K +
2
T
ϕ +
1
∂ϕ
∂t
#
12dA
+
y)+
dt
12dN
ω
. (7.14)
2
dt
Если векторы Q1и Q2выбрать в виде
Q1= −Dy − F1ω1− B − A
∂ϕ
∂ω
1
T
y − A
"
T
∂ϕ
ϕ +
∂ω
1
∂ϕ
∂t
#
12dA
−
dt
y,
(7.15)
12dN
Q2= −K −
ω2− F2ω2,
dt
то получим
где D, F1, F
V = ω
T
Nω2+ yTAy + ω
2
12dV
= −yTDy + ϕTF1+ ω
dt
— симметрические определённо-положительные матрицы,
2
T
F1ω1— функция Ляпунова, построенная определённо-
1
!
˙
F
1
T
1
ω1− ω
2
T
F2ω2, (7.16)
2
положительной при всех y, ω1, ω2, t, допускающая бесконечно малый высший предел.
T
Следовательно, в случае определённой отрицательности функцииϕTF1+ ω
˙
F1/2ω
1
правая часть равенства (7.16) будет определённо-отрицательной по y, ω1, ω2, и при
этом программное многообразие (7.1) будет асимптотически устойчивым «в большом».
В частности, при ϕ = −ω1векторы (7.15) имеют вид
12dA
Q1= −Dy − F1ω1− B − A ˙ω1−
y,
dt
12dN
Q2= −F2ω2− K −
ω2.
dt
1
7 Управление ориентацией преследующего тела. . . 75
Здесь dA/dt, dN/dt предполагаются ограниченными, так же как и dϕ/dt.
Заметим, что Q1и Q2выражаются через 6-мерный вектор u равенствами, приведенными в (7.5), (7.10), которые можно представить одним 4-мерным векторным
уравнением
Ωu = Q, Ω =
T
c
T
k
, Q =
Q
1
. (7.17)
Q
2
Решение уравнения (7.17) можно представить в виде суммы двух составляющих
[114]: un= ΩTλ и uτ, причём uτудовлетворяет уравнению Ωuτ= 0, где λ — 4-мерный
вектор, определяемый из уравнения Ωun= Q, в виде [114]
λ = (ΩΩT)−1Q.
Следовательно, составляющей unвектора u является
un= ΩT(ΩΩT)−1Q. (7.18)
Если составляющую uτвектора u положить равной нулю, то вектор u будет иметь
вид (7.18) и иметь минимальную евклидову норму [114]. Заметим, что при выборе в
качестве вектора управления u вектора вида u = un+ uτ, где
λ1e
λ = uτ=
λ2k
,
3
появляется возможность управлять скоростью движения центра масс тела вдоль вектора co, в зависимости от расстояния |co|, и угловой скоростью тела вокруг вектора
k3соответствующим выбором значений скалярных величин λ1и λ2, входящих в (7.7).
7.3 Оценка качества переходного процесса
Теперь с помощью уравнения (7.16) для функции Ляпунова V оценим качество переходного процесса. Интегрируя по времени обе части (7.16), получим
"
∞
Z
T
ω
F2ω2+ yTDy − ϕTF1+ ω
2
t
0
Это равенство является интегральным показателем качества переходного процесса. Имея свободу выбора матриц D, F1, F2, N, A и функции ϕ, подынтегральному выражению и функции Ляпунова можно придать нужную структуру с необходимыми
весовыми элементами.
При задании конкретного числового значения V0уравнение
1
(ω
2
T
Nω20+ y
20
T
Ay0+ ω
0
!
1
ω
1
T
F1ω10) = V
10
#
dt =
1
V0, V0= V (t0). (7.19)
2
0
(7.20)
˙
F
T
1
2
в 6-мерном пространстве ˙ω10, ω10, ω20описывает эллипсоид, поверхность которого является геометрическим местом точек, обладающих следующим свойством. Для начавшихся из них движений имеет место интегральный показатель качества переходного
76 7 Управление ориентацией преследующего тела. . .
процесса (7.19), а для всех начальных значений ˙ω10, ω10, ω20внутри эллипсоида (7.20)
справедлива оценка качества переходного процесса
"
∞
Z
T
ω
F2ω2+ yTDy − ϕTF1+ ω
2
t
0
!
˙
F
T
1
2
#
1
ω
1
dt<
1
V0.
2
7.4 Повышение качества переходного процесса оптимальным управлением
Для повышения качества переходного процесса введём в правую часть системы (7.2)
дополнительные 3-мерные векторы˜u1и˜u2оптимального уравнения. В этом случае в
T
−1
правые части уравнения (7.4) добавляются соответственно члены c
i
I
˜
u1и k
При условии инвариантности (7.7) система уравнений (7.9) принимает следующую
векторную форму:
−1
A¨ω1= B + Q1+ AI
˜
u1,
N ˙ω2= K + Q2+ N˜u2/m.
Умножая первое уравнение скалярно на вектор y, а второе — на вектор ω2, затем
складывая, получим
12dV
=˙V +˜u
dt
T
I−1Ay +˜u2Nω2/m, (7.22)
1
где
V = (ω
˙
V = −yTDy + ϕTF1+ ω
T
Nω2+ yTAy + ω
2
T
F1ω1),
2
!
˙
F
1
T
1
ω1− ω
2
T
F2ω2.
2
T
˜
u2/m.
i
(7.21)
(7.23)
Заметим, что функция˙V является производной по времени функции V для системы
(7.21) при˜u1= 0,˜u2= 0. Следовательно, она является определённо-отрицательной.
Введение управлений˜u1и˜u2должно улучшать качество переходного процесса. С этой
целью ищем такие˜u1=˜u
−W0( ˙ω1, ω1, ω2,˜u, t) = −F( ˙ω1, ω1, ω2, t) −˜u
а функционал
0
,˜u2=˜u
1
0
, при которых правая часть (7.22) имеет вид [157]
J =
2
T
˜u,˜
∞
Z
W0( ˙ω1, ω1, ω2, ˜u0)dt (7.25)
t
0
u =
˜
u
1
, (7.24)
˜
u
2
имеет минимальное значение на решениях (7.21). Заметим, что искомая функция
F ( ˙ω1, ω1, ω2, t) должна быть неотрицательной.
Для нахождения функции F и вектора˜u0, следуя [67], введём функцию вида
B0(V, ω,˜u) =˙V +˜u
T
I−1Ay +˜u2Nω2/m + F +˜u
1
T
˜
u. (7.26)
При˜u =˜u0величина B0должна иметь минимум и обращаться при этом в нуль.
Следовательно, дифференцируя правую часть (7.26) по˜u и приравнивая результат к
нулю, получим
1
0
˜
u
=
I−1Ay,˜u
1
2
0
= −Nω
2
T
/2m. (7.27)
2
7 Управление ориентацией преследующего тела. . . 77
Из условия B0= 0 определим функцию
F = −˙V +
1
(yTAI−1+ ω
4
T
N/m)(I−1Ay + Nω2/m). (7.28)
2
При значениях (7.23),(7.24),(7.27),(7.28) уравнение (7.22) имеет вид
12dV
= −W0, −W0=˙V −
dt
1
(yTAI−1+ ω
2
T
N/m)(I−1Ay + Nω2/m). (7.29)
2
Если не потребовать минимальности функционала (7.25), то функцию F в (7.26)
можно выбрать не только в виде (7.28), а в любом другом виде, удовлетворяющем
неравенству
0≤F ≤−˙V +
1
(yTAI−1+ ω
4
T
N/m)(I−1Ay + Nω2/m).
2
При этом достигается гарантированная оценка качества управления вида [11]:
∞
Z
W0dt ≤
t
0
1
(ω
2
T
Nω20+ y
20
T
Ay0+ ω
0
T
F1ω10).
10
Так как (7.21) при ˜u = 0 удовлетворяет строгому неравенству˙V < 0 при всех
ω16=0, ˙ω16=0, ω26=0, то показатель качества переходного процесса при˜u = 0 имеет
значение
∞
Z
t
0
˙
V dt ≤
1
(ω
2
T
Nω20+ y
20
T
Ay0+ ω
0
T
F1ω10).
10
Как видно из (7.29), при введении оптимального управления (7.27) значение интеграла качества, несмотря на увеличение подынтегрального выражения на величину
1
(yTAI−1+ ω
2
T
N/m)(I−1Ay + Nω2/m),
2
остаётся неизменным, и тем самым улучшается качество переходного процесса.
В заключение заметим, что возмущение δ может иметь случайные амплитуды и частоты. Если вводить такие возмущения искусственно, то их желательно ограничить по
модулю, так как при этих возмущениях, несмотря на выполнение условий (7.1) в установившемся режиме, тело будет испытывать вибрации случайного характера в виде
поворотов тела в разных направлениях вокруг вектора co с ортом e и чередующиеся
пульсации вдоль продольной оси тела, направленной по орту k3.
Такие вибрации вокруг e могут оказаться весьма полезными, так как могут привести к существенному уменьшению лобового сопротивления, согласно известному эффекту Н.Е. Жуковского.
Следовательно, в ряде случаев искусственное введение в систему случайных возмущений может оказаться полезным.
Глава 8
Инвариантная стабилизация
преследующего движения
манипулятора
Предлагается алгоритм построения вектора оптимального управления и матрицы распределения случайных возмущений между каналами управления, при которых программное многообразие ориентации преследующего манипулятора, расположенного на
подвижном основании, и качество стабилизации этого многообразия являются инвариантными к этим возмущениям.
8.1 Постановка задачи
Рассмотрим манипулятор на подвижном основании, состоящий из цепочки n пар тел
0
00
T
, T
(ν = 1, 2, . . . , n), в которой T
ν
ν
ры в цилиндрическом шарнире O
направляющей, совпадающей с единичным вектором iν. Введем обозначения
0
вращается относительно тела T
ν
ν−1
, а T
00
перемещается относительно T
ν
00
предыдущей па-
ν−1
0
по заданной
ν
Iν= O
ν−1Dν
где Dν— начало отсчета sν-го перемещения тела T
, sν= DνO
00
ν
ν
относительно T
0
. Заметим, что
ν
|Iν| — постоянные.
В точку Onпоследнего тела T
00
поместим центр схвата, а плоскость схвата зададим
n
плоскостью ортогональных единичных векторов e1, e2, связанных со схватом.
Положение тела — основания манипулятора — относительно неподвижной системы
координат oϕηζ определяется законом движения r0(t) точки O0крепления первого
шарнира манипулятора к основанию и тремя углами Эйлера, которые будем считать
известными функциями от времени. Вектор угловой скорости основания обозначим
через ω0(t).
Будем считать, что вращение тел T
ν−1
0
осуществляется двигателями, помещенными со своими редукторами
ν
, Dν.
относительно T
в точках O
0
вокруг шарниров O
ν
и перемещение тел T
ν−1
Следовательно, управление манипулятором осуществляется 2n двигателями.
В программу движения схвата заложим два требования: движение центра схвата
Onдолжно происходить по кривой погони за преследуемой точкой M при её движении
по произвольному закону, а одна ось схвата с ортом e3, ортогональным к e1и e2,
должна занимать положение по прямой OnM, т.е.
ei· v = 0, ei· e0= 0 (i = 1, 2), (8.1)
00
ν
78
8 Инвариантная стабилизация преследующего движения манипулятора 79
где e0— орт вектора OnM, v — вектор абсолютной скорости точки Onсхвата, (·) —
знак скалярного произведения.
Если вектор O0Onвыразить через векторы Iνи sν, то первое из условий (8.1) примет
вид
"
˙
r0(t) +
n
X
(˙Iν+˙sν)#· ei= 0 (i = 1, 2). (8.2)
ν=1
Движения манипулятора зададим уравнениями Лагранжа
ddt∂T
∂ ˙x
−
∂T
= Q − C ˙x + M0u + R0δ, (8.3)
∂x
где x — 2n-мерный вектор обобщенных координат — углов поворотов ϕνвокруг
шарниров и перемещений sν, u — r-мерный вектор управляющих сигналов, R0—
(2n×s)-мерная матрица распределения s-мерных векторов δ возмущений между ка-
налами, Q — вектор обобщенных сил тяжести и других неуправляющих сил, T —
кинетическая энергия манипулятора:
1
T =
˙xTA0(x, t) ˙x + bT(x, t) ˙x + b0(x, t),
2
C = diag(c1k
, c2k
1
2
, . . . , c2nk
2
2
), M0= ka, R0= kγ,
2n
2
cν— коэффициенты сопротивления на валу двигателей, kν— передаточные чис-
ла редукторов, a — (2n × r)-мерная матрица коэффициентов пропорциональности между управляющими моментами двигателей и управляющими сигналами uν,
k = diag(k1, k2, . . . , k2n), γ — (2n×s)-матрица (r ≤2n, s < 2n−4).
Уравнение (8.3) можно представить в виде
A0(x, t)¨x = B0( ˙x, x, t) + M0u + R0δ,
B0=
∂A
0
T
˙x
2
∂x
˙x +
∂b
∂x
−
dA
dt
0
− C˙x −
db
dt
+
∂b
∂x
0
+ Q.
1
(8.4)
Требования (8.1) с учетом (8.2) представим в виде двух многообразий
ω1(x, t) = 0, ω2( ˙x, x, t) = 0, (8.5)
где ω1, ω2— двумерные векторы с элементами
"
n
i
1
= e
T
e0, ω
i
ω
i
2
= e
X
T
i
(˙Iν+˙sν) +˙r0(t)
ν=1
#
(i = 1, 2).
Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: построить выражения
вектора u и матрицы R0так, чтобы (8.5) было асимптотически устойчивым «в большом» при начальных условиях v0· e3> 0, e3· e0> 0 интегральным многообразием
системы (8.4) с оптимальным качеством переходного процесса при любых ограниченных векторах случайных возмущений δ.
80 8 Инвариантная стабилизация преследующего движения манипулятора
8.2 Построение алгоритма управления
Дифференцируя по времени первое уравнение (8.5) два раза, а второе — один раз с
использованием известных формул Пуассона, в силу (8.4), будем иметь
0
где ω
η
Здесь A
!
ν
X
η=1
ω
0
η
ν
X
η=1
˙
Iν= ω0+
˙
iν= ω0+
= ˙xηJη, Jη— орты векторов ω
¨ω1= B1( ˙x, x, t) + A
¨ω2= K1( ˙x, x, t) + A
T
T
, A
1
— (2×2n)-матрицы соответственно с элементами
2
(2)
a
iν
(1)
a
iν
= jν×
B1= A
= (jν×ei)Te0, a
n
X
(Iν+ sν)
η=ν
T
−1
A
B0+˙A
1
0
(1)
i,ν+1
!
T
ei, a
T
˙x +˙C1, K1= A
1
X
× Iν,˙ei= ω0+
!
0
ω
× iν,˙sν= ˙sνiν+ s
η
0
. В результате получим
η
T
M( ˙x, x, t)u + A
1
T
M( ˙x, x, t)u + A
2
η=1
T
R( ˙x, x, t)δ,
1
T
R( ˙x, x, t)δ.
2
= 0 (i = 1, 2; ν = 1, 2, . . . , n),
(2)
i,ν+1
T
= i
ei(i = 1, 2; ν = 1, 2, . . . , n),
ν
T
−1
A
B0+˙A
2
0
!
n
0
ω
× ei,
η
˙
iν,
ν
(8.6)
T
˙x +˙C2,
2
где C1, C2— векторы соответственно с элементами
(i)
c
= (ω0×ei)Te0+ e
1
Если бы матрицы A
T
i
T
, A
1
˙
e0, c
(i)
2
M = A
T
были ортогональными к R( ˙x, x, t), то имело бы место
2
T
A
R( ˙x, x, t) = 0 (i = 1, 2). (8.8)
i
˙
=
r0(t) +
−1
M0, R = A
0
n
X
ω0×(Iν+ sν)
ν=1
−1
R0.
0
!
T
ei(i = 1, 2),
(8.7)
При этом, как видно из (8.6), значения ¨ω1, ¨ω2в каждой изображающей точке ˙x, x, t
не зависели бы от вектора возмущения δ.
В этом случае задача определения управления u была бы решена, например, по
методу, предложенному в [110], где построен вектор управления u, обеспечивающий
интегральность многообразия (8.5) и его асимптотическую стабилизацию, в виде
u = Ω
T
0
(Ω0Ω
T
)Q. (8.9)
0
Здесь
Q
Q =
Q
Q1= −Dy − F1ω1− AB1− A
1
, Ω0=
2
∂f
∂ω
1
T
y − A
AA
NA
T
M
1
,
T
M
2
"
T
∂f
f +
∂ω
1
∂f
∂t
#
−
12dA
y,
(8.10)
dt
Q2= −NK1−
12dN
ω2− F2ω2,
dt
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]