Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 41
и β [90]. При этом кинетическая энергия T и потенциальная энергия Π гиромаятника
имеют вид
1
2
M˙ζ
2
−
2
,
0
T =
−Ml˙ζ
1
1
A˙α2+˙β2cos2α+
2
˙α sin α cos β +˙β cos α sin β+
0
2
C˙ϕ +˙β sin α
Π = Mgζ + Mgl cos α cos β
где M — масса, l — расстояние от точки опоры до центра тяжести, A — моменты
инерции относительно осей OX,OY, C — относительно оси OZ.
Движение гиромаятника будем описывать уравнениями Лагранжа
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
2
2
∂q
= −
∂Π
+ Q, q1=α, q2=β, q3=ϕ.
∂q
Для получения уравнений возмущённого движения заменим q на q0(t) + x. Получим
T = T2+ T1+ T0,
T2=
1
2
A˙x
2
1
+ ˙x
2
cos2α+
2
1
C˙x
2
2
3
2
+ ˙x
sin2α− C ˙x2˙x3sin α,
2
1
T1= ˙xTb(x, t), T0=
b0(x, t), b = (b1, b2, b3),
2
b1= A ˙α0− M l˙ζ0sin(α0+ x1) cos(β0+ x2),
b2=A cos2(α0+ x1) + C sin(α0+ x1)
˙
β0− C ˙ϕ0sin(α0+ x1)−
−Ml˙ζ0cos(α0+ x1) sin(β0+ x2),
b3= −C˙β0sin(α0+ x1) + C ˙ϕ0,
i
2
−
b0= Ah˙α
2
0
2
+˙β
cos2(α0+ x1)i+ Ch˙ϕ0−˙β0sin(α0+ x1)
0
h
−2Ml˙ζ
˙α0sin(α0+ x1) cos(β0+ x2) +˙β0cos(α0+ x1) sin(β0+ x2)i+ M˙ζ
0
2
.
0
Заметим, что элементами (3×3)-матрицы A0квадратичной формы T2являются
a11= A, a12= a13= a21= a31= 0 a22= A cos2(α0+ x1) + C sin2(α0+ x1),
a23= a32= −C sin(α0+ x1), a33= C.
Трёхмерный вектор обобщённых сил выберем в виде (3.12) с добавлением в правой части слагаемого ∂Π/∂q и заменой A на A0. При этом имеет место программное
движение
α = α0(t), β = β0(t), ϕ = ϕ0(t),
стабилизированное в целом. Входящие в Q величины, не указанные выше, имеют следующие выражения:
1
0
T
=
2
Ay
2
2
1
+ y
2
cos2α+
2
A0— (3×3)-матрица с элементами a
в виде a
0
= xTHT∂aij/∂x, y = ˙x−H(t)x, H(t) — произвольная (3×3)-матрица с ограни-
ij
1
2
2
3
2
+ y
sin2α− Cy2y3sin α, α = α0+ x1,
2
Cy
0
, определяемыми через элементы aijматрицы A
ij
ченными и непрерывными элементами, G — кососимметрическая (3×3)-матрица с элементами gij= −∂bν/∂xi+ ∂bi/∂xν, bνи bi— элементы вектора b; D, F — определённоположительные симметрические матрицы.
0
42 3 Стабилизация программного движения обобщённых систем
При таком выборе Q имеем функцию Ляпунова и её производную по времени в
виде (3.13), где H(t) выбирается так, чтобы матрица (HTF +˙F /2) была определённоотрицательной. При этом получим следующий показатель качества переходного процесса:
"
∞
Z
yTDy − x
T
HTF +
˙
F
!x#
dt = V0, V0=V (t0). (3.17)
2
t
0
Этот показатель можно улучшить путём добавления к Q дополнительной составляющей u0, требуя от неё достижения минимума функционала
∞
Z
−V + (u0)
t
0
2
dt.
Так же как в разделе 3.3, получим u0= −y/2, при котором для улучшения показателя качества имеем соотношение, отличающееся от (3.17) добавлением в подынтегральное выражение слагаемого y2/2. Заметим, что значение функционала качества
при u0=0 уменьшается на
∞
Z
1
y2dt.
2
t
0
Теперь рассмотрим один важный частный случай, когда невозмущённым состоянием является вертикальное положение оси гиромаятника α0= ˙α0= β0=˙β0= 0 при
постоянной скорости собственного вращения вокруг оси OZ( ˙ϕ = ω = const). Тогда
положение оси OZ определяется обобщёнными координатами q1= α, q2= β.
При этом
1
T2=
A˙x
2
T1= ˙x1b1+ ˙x2b2, T0=
1
0
T
=
Ay
2
2
b1= −Ml˙ζ
2
sin x1cos x2, b2= −Cω sin x1− M l˙ζ
0
2
1
2
1
+ ˙x
1
2
+ y
2
2
2
cos2x
2
Cω2+ M˙ζ
cos2x
1
+
1
+
1
2
C ˙x
sin2x1,
2
2
2
, b0= Cω2+ M˙ζ
0
1
2
Cy
sin2x1,
2
2
2
cos x1sin x2,
0
2
,
0
g12= −g21= Cω cos x1.
Элементы матрицы квадратичной формы T2имеют вид
a11= A, a22= A cos2x1+ C sin2x1, a12= a21= 0.
Следовательно, имеют место равенства
∂A
∂t
0
= 0,
∂b
∂x
0
= 0,
∂b
∂t
−Ml¨ζ0sin x1cos x
=
−Ml¨ζ0cos x1sin x
2
.
2
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 43
Выберем H = −l, где l — единичная матрица. Тогда
y = ˙x + lx,
dA0Hx
dt
∂T
∂Π
∂q
= −A0˙x −˙A0x =
0
11
=
0
= (A − C )x1sin 2x1, A0y =
1
(C − A) ˙x
2
−Mgl sin x1cos x
−Mgl cos x1sin x
∂x
∂a
∂x
0
a
22
2
=
=
−A cos2x1+ C sin2x
∂a
,
∂x
2
sin 2x
2
0
11
2
2
(C − A) sin 2x
=
∂T
1
,
, G =
2
∂x
−A ˙x
1
˙x2− (C − A) ˙x1x
1
1
, a
0
(A − C)x1y2sin 2x
0
=
Cω cos x
0
1
(C − A)y
2
0
0 −Cω cos x
1
0
11
2
sin 2x
2
= 0,
0
,
1
1
1
,
2
,
.
Если задачу решать в первом приближении, то имеем
Q =
−Mglx
−Mglx
1
2
− D
˙x1+ x
˙x2+ x
1
2
− F
x
x
Ml¨ζ0x
1
−
2
Ml¨ζ0x
A ˙x
1
+
A ˙x
2
−Cωx
1
+
+Cωx
2
2
.
1
Если D, F выберем в виде диагональных постоянных матриц с положительными
элементами d1, d2и f1, f2соответственно, то получим
Q1= −x
Mgl + d1+ f1+ Ml¨ζ
1
Q2= Cωx1− x
Mgl + d2+ f2+ Ml¨ζ
2
− Cωx2− ˙x1(d1− A),
0
− ˙x2(d2− A).
0
При этом функция Ляпунова и её производная по времени выражаются в виде
1
V =
(y
2
˙
V = −d1y
2
1
+ y
2
1
− d2y
2
2
) +
1
(f1x
2
2
− f1x
2
2
+ f2x
1
2
− f2x
1
2
),
2
2
.
2
Следовательно, имеет место следующий показатель качества переходного процесса:
∞
Z
2
d1y
1
t
0
+ d2y
2
+ f1x
2
2
+ f2x
1
2
dt = V0, V0=V (t0). (3.18)
2
Если для повышения качества переходного процесса к вектору Q добавить состав-
ляющую u0оптимального управления, то, следуя изложенному в разделе 3.3, имеем
u0= −y/2, а также улучшенный показатель качества переходного процесса, отличаю-
2
щийся от (3.18) добавлением в подынтегральное выражение слагаемого (y
1
+ y
2
2
)/2.
При этом величина показателя качества при u0= 0 улучшается на величину
∞
Z
1
2
2
1
+ y
2
)dt.
2
(y
t
0
44 3 Стабилизация программного движения обобщённых систем
Пример 4. Стабилизация заданной траектории движения точки переменной массы в ньютоновом поле тяготения. Уравнение плоского движения точки
переменной массы в полярной системе координат можно представить в виде [104]
µ
y
¨y1=
y
3
+
y
+ bu,
3
1
2
1
1
˙y3= −
r
y1u,
0
где
y1= r; y3= r2˙ϕ; b =
C
Cϕr
r
0
; u = r0C
d ln m
ϕ
;
dt
µ — гравитационная постоянная; r, ϕ — соответственно полярный радиус и полярный
угол; m — масса точки; Cr, Cϕ— проекции относительной скорости отделяющейся
массы:¯C = ¯a −¯V , где ¯a — скорость частиц,¯V — скорость точки переменной массы;
r0(t), ϕ0(t) — значения r и ϕ при невозмущённом движении.
Путём замены y1= r0(t) + x1, y3= r
2
(t) ˙ϕ0(t) + x3получим следующие уравнения
0
возмущённого движения в первом приближении:
¨x1= −α(t)x1+ β(t)x3+ b(t)u,
˙x3= u,
где
α(t) =
3y
r
2µ
30
−
4
0
, β(t) =
3
r
0
2y
30
3
r
0
, b(t) =
Cr(t)
,
Cϕ(t)r0(t)
d ln m
u = r0(t)Cϕ(t)
.
dt
Управление зададим в виде
u = ν1y + ν2x3,
где y = ˙x1+ a2x1, a2= const > 0; ν1, ν2— некоторые функции от t, подлежащие
уточнению в дальнейшем.
Умножая первое уравнение на a1y1, а второе на a3x3и суммируя их, после замены
в правой части этой суммы члена с произведением x1y на x1( ˙x1+ a2x1) и переноса
члена с произведением x1˙x1в левую часть получим допускающую бесконечно малый
высший предел положительно-определённую функцию Ляпунова вида
V = a1y2+ a3x
2
+ a1(α + a
3
2
2
)x
,
2
1
где ai(i = 1, 2, 3) — положительные постоянные.
При соотношениях
a
1
(β + bν2), ν2<0, ν1b<−a
a
3
a2a
β >
3
− bν2>0
2
или
α + a
2
>0, ν1= −
2
a1b
полная производная по времени от функции V имеет следующий вид:
˙
V = 2a1(bν1+ a2)y2+ 2a3ν2x
2
3
− a
2a2(α + a
1
2
) + ˙αx
2
2
1
.
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 45
Выбором соответствующих значений постоянных ai>0 (i = 1, 2, 3) и функций ν1, ν
можно добиться определенной отрицательности этой функции.
Следовательно, в данном случае имеет место следующий признак качества пере-
ходного процесса
∞
Z
a
2a2(α + a
1
t
0
2
) + ˙αx
2
2
− 2a1(bν1+ a2)y2− 2a3ν2x
1
2
dt = V0,
3
где V0— значение функции Ляпунова V при t = t0.
Теперь рассмотрим вопрос об улучшении качества переходного процесса путём до-
бавления к вектору u дополнительной составляющей u0.
После подстановки значения
u = −
1
(β + bν2)y + ν2x3+ u
a
3
0
a
уравнение возмущённого движения примет вид
a1b
¨x1= αx1+ βx3−
a
˙x3= −
1
a
3
(β + bν2)y + ν2x3+ bu0,
a
3
(β + bν2)y + ν2x3+ u0.
2
Построим оптимальное управление u0и функционал качества управления
∞
Z
h
F (x1, ˙x1, x3, t) + (u0)
t
0
i
2
dt.
Для этого введём функцию
B0(v, x, u) =˙V + 2(a1by + a3x3)u0+ F + (u0)2.
Из условия ∂B0/∂u0= 0 найдём u0= −(a1by + a3x3). Подставляя это значение в
равенство B0= 0, получим
˙
V + F − (a1by + a3x3)2= 0.
Отсюда
F =˙V + (a1by + a3x3)2.
Итак, получен оптимальный фунционал качества
∞
Z
h
˙
V + (a1by + a3x3)2+ (u0)
t
0
i
2
dt.
с улучшенным показателем качества переходного процесса.
Пример 5. Управление процессом сближения со спутником при больших
начальных отклонениях. Уравнение движения точки — спутника — в полярной
системе координат запишем в виде
m1(¨r − r ˙ϕ2) = −
m1(2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) = 0,
µm
r
1
,
2
(3.19)
46 3 Стабилизация программного движения обобщённых систем
где r, ϕ — соответственно полярный радиус и полярный угол, µ = f M, f — постоянная
всемирного тяготения, M — масса притягивающего центра, m1— масса спутника.
Движение точки-преследователя переменной массы опишем такими же уравнениями, в правые части которых введены управления Qrи Qϕ:
µm
m1(¨r − r ˙ϕ2) = −
2
r
1
+ mQr,
(3.20)
m1(2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) = mrQϕ,
где mQr= dmr/dt(a1− V ); mrQϕ= dmϕ/dt(a2− V ), V — скорость преследователя;
a1, a2— скорости частиц dmrи dmϕв момент t + dt после их отделения от преследователя, так что ci= ai− V есть относительные скорости отделяющихся частиц,
m(t) = m0+ mr(t) + mϕ(t), m0= const, mr(t) и mϕ(t) — расходуемые массы.
Разделив оба уравнения (3.20) на m, получим
d2r
dt
2
d2ϕ
= −
2
dt
µ
+ r ˙ϕ2+ Qr,
2
r
2 ˙r ˙ϕ
=
r
+ Qϕ.
За невозмущённое движение преследователя примем эллиптическое движение преследуемого спутника
r = r0(t), ϕ = ϕ0(t).
При этом уравнения возмущённого движения преследователя имеют следующий
вид:
¨x1= B1+ Qr, ¨x2= B2+ Qϕ, (3.22)
где
B1= −¨r0(t) + r ˙ϕ2−
2 ˙r ˙ϕ
B2= −¨ϕ(t) −
r
µ
− r0˙ϕ
r
2 ˙r0˙ϕ
+
r
µ
2
+
0
0
,
2
r
0
0
,
x1= r − r0(t), x2= ϕ − ϕ0(t).
Введём замены y1= ˙x1+ H1x1, y2= ˙x2+ H2x2с положительными постоянными H
и H2.
Умножая уравнения (3.22) на y1и y2соответственно и складывая их с учётом
¨x1= ˙y1− H1˙x1, ¨x2= ˙y2− H2˙x2, получим
(3.21)
1
1
2
1
2
+ y
) = y1(B1+ Qr+ H1˙x1) + y2(B2+ Qϕ+ H2˙x2).
2
(y
2
Выберем Qrи Qϕв виде
Qr= −B1− H1˙x1− D1y1− F1x1, Qϕ= −B2− H2˙x2− D2y2− F2x2,
где Di, Fi(i = 1, 2) — положительные постоянные.
Учитывая, что Fixiyi= Fixi˙xi+ FiHix
12d
dt
(y
2
1
+ y
2
+ F1x
2
2
+ F2x
1
2
i
2
) = −D1y
2
(i = 1, 2), получим
2
− D2y
1
2
− F1H1x
2
2
− F2H2x
1
2
.
2
3 Стабилизация программного движения обобщённых систем 47
При таком управлении качество процесса сближения определяется следующим зна-
чением функционала качества:
∞
Z
2
D1y
+ D2y
1
t
0
2
+ F1H1x
2
2
+ F2H2x
1
2
2
dt =
1
2
10
+ y
2
20
(y
2
+ F1x
2
10
+ F2x
2
20
),
где yi0= yi(t0), xi0= xi(t0). Если достигаемый при выборе соответствующих значений
Hi, Fi, Diпоказатель качества переходного процесса не будет удовлетворительным, то
в правые части уравнений (3.21) можно ввести дополнительные управления M1u, M2u
с заданными весовыми коэффициентами M1и M2и потребовать, чтобы функционал
качества управления
∞
Z
F (x1, ˙x1, x2, t) + Ru
t
0
2
dt
был минимальным, где R — заданная положительная постоянная. Для этого построим
функцию B0=˙V + (M1y1+M2y2)u+F +Ru2, где˙V = −D1y
2
−D2y
1
2
−F1H1x
2
2
−F2H2x
1
2
2
Из условия ∂B0/∂u = 0 получим
.
u = −
(M1y1+ M2y2),
2R
а из условия B0= 0 получим
1
1
F = −˙V +
(M1y1+ M2y2)2.
4R
При этом достигается следующий показатель качества управления:
∞
Z
t
0
−˙V +
1
(M1y1+ M2y2)
2R
2
dt =
1
2
10
+ y
20
2
+ F1x
(y
2
2
10
+ F2x
2
20
).
Отсюда видно, что при введении оптимального управления u значение функцио-
нала качества уменьшилось на величину
∞
Z
(M1y1+ M2y2)
dt
2
,
2R
t
0
тем самым повысилось качество процесса сближения.
Глава 4
Стабилизация программных
многообразий
Метод построения функций Ляпунова для исследования «в малом» невозмущённого
движения, заданного в виде закона движения механической системы (глава 2), применённый также для построения обобщённых систем, обладающих асимптотически
устойчивым невозмущённым движением (глава 3), распространяется на обобщённые
системы, обладающие асимптотически устойчивыми программными связями. Приводятся примеры использования предложенной процедуры в задаче стабилизации программного многообразия манипулятора на подвижном основании и для стабилизации
программной ориентации преследующего тела.
4.1 Постановка задачи
Пусть движения системы описываются уравнением
A0( ˙x, x, t)¨x = B0( ˙x, x, t) + M0( ˙x, x, t)u, (4.1)
где A0, M0— (n×n)- и (n×r)-матрицы, x, B0— n-мерные, а u — r-мерный векторы.
Система (4.1) является более общей по сравнению с механическими системами, так
как в отличие от них матрица A0может зависеть от ˙x, не быть симметрической и
определённо-положительной, но должна быть неособенной.
Задача заключается в нахождении выражений вектора u( ˙x, x, t), при которых систе-
ма (4.1) обладает асимптотически устойчивыми «в большом» программными связями.
ω1(x, t) = 0, ω2( ˙x, x, t) = 0, (4.2)
где ω1, ω2— заданные k- и m-мерные вектор-функции, причём k + m ≤ r. Предполагается, что векторы ω1, ω2, B0и элементы матриц A0, M0— ограниченные, непрерывные
и непрерывно дифференцируемые функции в некоторой ограниченной области G(x, ˙x)
при t≥t0, включающей в себя многообразие (4.2) с некоторой окрестностью.
Кроме того, предполагается, что определители матриц
T
M
M0, (∂ω1/∂x)T(∂ω1/∂x), (∂ω2/∂ ˙x)T(∂ω2/∂ ˙x), являющиеся определителями Гра-
0
ма, в области G не равняются нулю.
Замечание.Понятие программной связи было введено автором в его докторской
диссертации (1972 г.) и заключается в том, что программу движения можно задавать как закон движения или, в более общем виде, как многообразие (4.2), аналогичное уравнениям связей, наложенных на несвободные механические системы. В
48
4 Стабилизация программных многообразий 49
отличие от несвободных механических систем фазовые состояния управляемой системы могут и не удовлетворять уравнениям (4.2), так как управляемая система,
вообще говоря, является свободной системой, а условия (4.2) указывают лишь на
то, что многобразие (4.2) должно быть интегральным для уравнений движения системы. А для достижения этой цели активные управляющие силы, действующие на
систему, выбираются так, чтобы при начальных состояниях системы, удовлетворяющих (4.2), построенная система вела себя точно так же, как несвободная система,
на которую наложены связи вида (4.2). В этом заключается основная особенность
управляемых систем и их сходство с несвободными механическими системами.
Заметим, что программа, заданная в виде закона движения, является частным
случаем (4.2) при k = n.
Ниже, в качестве меры отклонения движений (4.1) от многообразия (4.2), будут
приниматься величины |ω1| и |ω2|.
Дифференцируя по времени t первое уравнение (4.2) два раза, а второе — один раз,
в силу уравнения (4.1), получим
¨ω1= B1( ˙x, x, t) +
∂ω
T
1
M( ˙x, x, t)u,
∂x
(4.3)
˙ω2= K1( ˙x, x, t) +
∂ω
T
2
M( ˙x, x, t)u.
∂ ˙x
Здесь
B1=
K1=
∂ω
∂ ˙x
∂ω
∂x
B0+
"
dt
∂ω
∂x
d
∂ω
∂x
T
2
T
1
−1
A
0
T
2
−1
A
B0+
0
1
˙x +
T
dω
#
dt
d
˙x +
dt
2
, M = A
∂ω
∂t
1
−1
0
,
M0.
Умножая (4.3) на симметрические определённо-положительные (k × k)- и
(m × m)-матрицы A(x, t), N (x, t) с ограниченными, непрерывными и непрерывно диф-
ференцируемыми элементами в области G, получим
T
∂ω
A(x, t)¨ω1= B(˙x, x, t) + Q1, B = AB1, Q1= A
1
Mu,
∂x
(4.4)
N(x, t) ˙ω2= K( ˙x, x, t) + Q2, K = N K1, Q2= N
∂ω
T
2
Mu.
∂ ˙x
В первом уравнении (4.4) вместо ˙ω1введём замену
y = ˙ω1− f (ω1, t), f (0, t) = 0, (4.5)
где f (ω1, t) — произвольная k-мерная вектор-функция с ограниченными и дифференцируемыми элементами, допускающими бесконечно малый высший предел.
Умножая первое уравнение (4.4) скалярно на вектор y, а второе — на вектор ω2,
затем скаладывая, получим
12d
dt
T
(ω
Nω2+ yTAy) = y
2
(
T
Q1+ B + A
∂f
∂ω
1
T
y − A
"
+ ω
∂f
∂ω
1
T
Q2+ K +
2
T
f +
∂f
∂t
#
+
12dN
dt
12dA
dt
ω
2
y)+
. (4.6)
50 4 Стабилизация программных многообразий
Если векторы Q1и Q2выбрать в виде
Q1= −Dy − F1ω1− B − A
∂f
∂ω
1
T
y − A
"
T
∂f
f +
∂ω
1
∂f
∂t
#
12dA
−
dt
y,
(4.7)
12dN
Q2= −K −
ω2− F2ω2,
dt
то получим
где D, F1, F
V = ω
T
Nω2+ yTAy + ω
2
12dV
= −yTDy + fTF1+ ω
dt
— симметрические определённо-положительные матрицы,
2
T
F1ω1— функция Ляпунова, построенная определённо-
1
!
˙
F
1
T
1
ω1− ω
2
T
F2ω2, (4.8)
2
положительной при всех y,ω1, ω2, t в области G, допускающая бесконечно малый
высший предел. Следовательно, в случае определённой отрицательности функции
fTF1+ ω
T
˙
F1/2ω1правая часть равенства (4.8) будет определённо-отрицательной по
1
y, ω1, ω2, и при этом программное многообразие (4.2) будет асимптотически устойчи-
вым в области G. В частности, при f = −ω1векторы (4.7) имеют вид
12dA
Q1= −Dy − F1ω1− B − A ˙ω1−
y,
dt
12dN
Q2= −F2ω2− K −
ω2.
dt
Здесь dA/dt, dN/dt предполагаются ограниченными в G, так же как и df/dt.
Заметим, что Q1и Q2выражаются через вектор u равенствами, приведенными в
(4.4), которые можно представить одним (k + m)-мерным векторным уравнением
Ωu = Q, Ω =
A(∂ω1/∂x)TA
N(∂ω2/∂ ˙x)TA
−1
0
−1
0
M
M
0
, Q =
0
Q
1
, (4.9)
Q
2
где Ω — ((k + m)×r)-мерная матрица, Q — (k + m)-мерный вектор.
Решение уравнения (4.9) можно представить в виде суммы двух составляющих
[114]: un= ΩTλ и uτ, причём uτудовлетворяет уравнению Ωuτ= 0, где λ —
(k + m)-мерный вектор, определяемый из уравнения Ωun= Q, в виде [114]
λ = (ΩΩT)−1Q.
Следовательно, составляющая unвектора u определяется в виде
un= ΩT(ΩΩT)−1Q. (4.10)
Если составляющую uτвектора u положить равной нулю, то вектор u будет иметь
вид (4.10) и иметь минимальную евклидову норму [114]. При этом, по аналогии с
несвободными механическими системами, связи (4.2) можно назвать идеальными.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]