Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
22 Стабилизация многообразия состояния обобщённых систем 181
22.5 Построение управления исходной системой
Теперь приступим к построению вектора Q. Ищем его в виде Q = AR(ω, ˙ω, t), где век-
тор R необходимо определить без использования информации об элементах матрицы
A.
Для определения R систему (22.2) умножим на A−1, после чего она становится
аналогом механической системы с единичной матрицей E вместо A и вектором обобщённых сил, равным R = A−1Q. Тогда система (22.6) представится в виде
˜
¨
A
˜ω = Rω+ R
ω
0
, (22.9)
ω
где˜Aω— матрица вида
˜
Aω= [ΩT(ΩΩT)−1]TEΩT(ΩΩT)−1, (22.10)
E — единичная матрица.
Умножая (22.9) на˜A
−1
, получим
ω
¨
˜ω =˜Rω+˜A
−1
ω
R
0
ω
,˜Rω=˜A
−1
Rω. (22.11)
ω
Далее, следуя «принципу обратной связи по квазиускорению», определим˜Rωв
(22.11) по следующей схеме.
Ищем˜Rωв виде:
˜
Rω= −(sign˙˜ω)(˜R
0
+ ∆˜Rω), (22.12)
ω
где sign˙˜ω — диагональная матрица (k × k) с элементами sign˙˜ων(ν = 1, 2, . . . , n).
T
Если при t = 0˙˜ω
¨
˜ω ≥ 0, то, для определения постоянной составляющей˜R
вектора (22.12), сообщаем при t = 0 системе (22.11) управление
h
˜
Rω= −(sign˙˜ω)
¨
˜ω(0) +˜∆i, (22.13)
0
ω
где˜∆ — вектор с элементами ∆ν>0, при которых имеет место
T
˙
¨
˜ω
˜ω = −δ, δ = const > 0.
Измерение или вычисление¨˜ω продолжим до тех пор, пока не наступит равенство
T
˙
¨
˜ω
˜ω = −δ0, (22.14)
где δ0= γδ, 1 > γ > 0.
В момент времени t1>0 наступления (22.14) добавим к (22.13) дополнительно˜∆.
Тогда (22.13) принимает вид
˜
Rω= −(sign˙˜ω)h|¨˜ω(0)| +˜∆(1 + i)i(i = 1, 2, . . .), (22.15)
где i = 1 соответствует очередному моменту времени № 1 наступления равенства
(22.14). Со временем возможно наступление равенства (22.14) второй раз в некоторый
момент времени t2. Заметим, что момента времени t2, удовлетворяющего (22.14), может
и не быть. Если же t2существует, то значение i в (22.15) удваивается, т.е. заменяется
182 22 Стабилизация многообразия состояния обобщённых систем
на i = 2. Таким образом, процедура определения i в (22.15) продолжается до тех пор,
пока не наступит время обращения ˜ω в нуль.
Необходимо отметить, что при˙˜ωT(0)¨˜ω(0) < −δ0значения |¨˜ω(0)| в (22.13) и (22.15)
следует выбрать равными нулю.
Таким образом, искомые векторы˜R
0
, ∆˜Rωв правой части (22.12) можно предста-
ω
вить в виде
0
˜
R
= (|¨˜ω(0)|+˜∆) sign(˙˜ωT(0)¨˜ω0(0) + δ0) + |˙˜ωT(0)¨˜ω(0) + δ0|, ∆˜Rω=˜∆i (i = 1, 2, . . .).
ω
Известно [153], что в некоторый конечный момент времени˜t1изображающие точки
(ων, ˙ων), окажутся на линиях разрыва (22.4) без удара, и при этом ων(˜t1) и ˙ων(˜t1)
будут иметь противоположные знаки, что необходимо для обеспечения управления
системой в «режиме торможения» [118], обеспечивающего достижение одновременного
обращения в нуль значений ωνи ˙ωνв конечные моменты времени
˜
t2ν=˜t1+
2 |ων(˜t1)|
(ν = 1, 2, . . . , k1).
|˙ων(˜t1)|
Выберем значения элементов вектора˜Rωв виде
i
˜
R
где˙˜ω0ν=˙˜ωνsign˙˜ω
˙
˜ω3ν(τ) = −˙ων(τ) + ˙ων(˜t1) +
= −(sign˙˜ω0ν)h|¨˜ω(0)| +˜∆ν(i + 1)
ω
ν
2
+˙˜ω3νsign(1 −sign˙˜ω
ν
2
),˙˜ων— элементы вектора˙˜ωT(˙˜ω1,˙˜ω2),
ν
2
˙ω
(˜t1)
ν
τ (ν = 1, 2, . . . , k1), τ = t −˜t1. (22.17)
(i = 1, 2, . . .), (22.16)
2 ων(˜t1)
Заметим, что знаки ων(˜t1) и ˙ων(˜t1) являются противоположными.
Теперь из второго равенства (22.11) определим Rω=˜A
−1
˜
R =¯ΩT(¯Ω¯ΩT)
˜
A
Rω,¯Ω = ΩT(ΩΩT)−1.
ω
˜
Rω, а затем
ω
Наконец, умножая R на A, получим обощённый вектор управления исходной си-
стемой (22.2):
−1
˜
Q = A¯ΩT(¯Ω¯ΩT)
A
ω
˜
Rω.
22.6 Заключение
Заметим, что изложенный в этой главе метод построения управления может быть применим и в случае стабилизации механических систем, если известны элементы матрицы A кинетической энергии, так как механические системы являются частным случаем
обобщённых систем.
Глава 23
Управление процессом приведения
динамики слаборазвитой экономики
производственного предприятия в
состояние эталонной модели развитой
экономики
23.1 Метод решения задачи
Вследствие динамических аналогий, существующих между системами различной физической природы, область применения методов моделирования механических систем
существенно расширяется. Одним из важных приложений такого подхода являются
анализ и синтез управляемых процессов в экономических системах [166]. Использование методов управления динамикой системы с программными связями позволяет решать задачу управления мощностью предприятия, обеспечивающего стабилизацию заданных соотношений между мощностями подразделений и выпуском продукции [137].
В данной главе этот подход получил дальнейшее развитие путем построения выражения вектора управления для одновременного достижения общего объема выпускаемой
продукции и общей мощности предприятия за конечный гарантированный промежуток времени при наличии случайных внешних и внутренних факторов, влияющих на
процесс производства. При этом целью управления является достижение предприятием экономического состояния привлекательно развивающейся эталонной модели.
23.2 Постановка задачи
Рассмотрим математическую модель управляемой экономики предприятия [137]:
n
X
mij¨xi+ ai=
j=1
где detkBTBk > 0, B = kbisk, n — количество подразделений предприятия, выпускающих n видов продукции, xj— объём продукции j-го подразделения, Us— управляющие функции, bis— коэффициенты распределения управлений по подразделениям, mij(x, t) — мгновенная фондоёмкость i-го подразделения, используемая для j-го
k
X
bisUs(i = 1, 2, . . . , n), (23.1)
s=1
183
184 23 Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики. . .
подразделения,
n
X
ai(x, ˙x, t) =
mij¨xi+ wi(x, ˙x, t) −fi(x, ˙x, t),
j=1
n
X
˙mij=
i=1
∂m
∂x
ij
i
xi+
∂m
∂t
ij
(23.2)
,
wi(x, ˙x, t) — выбывающие из производства устаревшие фонды, fi(x, ˙x, t) — факторы,
влияющие на изменение основных производственных фондов.
Заметим, что управляющие фонды Usявляются поступающими в производство
основными фондами, в качестве которых могут служить материалы, оборудование,
финансы, рабочая сила и другие показатели. Заметим, что управляющие фонды U
являются поступающими в производство основными фондами, в качестве которых могут служить материалы, оборудование, финансы, рабочая сила и другие показатели.
Пусть цель развития экономики предприятия состоит в достижении за конечный
промежуток времени совокупного объема выпуска продукции и общей мощности, равных показателям эталонной модели, при любых непрерывных и ограниченных значениях ai, зависящих, согласно (23.2), от случайных факторов wiи fi.
23.3 Решение задачи
s
Для достижения цели поставленной задачи потребуем, чтобы в конечный момент времени значения ω и ˙ω одновременно обращались в нуль, где
n
X
mij(x, t)xi−
i=1
n
X
Mij(y)yi, ˙ω =
i=1
dω
, (23.3)
dt
где m(m1, m2, . . . , mn) и M(M1, M2, . . . , Mn) — векторы-строки, x(x1, x2, . . . , xn) и
y(y1, y2, . . . , yn) — векторы-столбцы, ˙x = dx/dt, ˙y = dy/dt, y, M — текущие показа-
тели эталонной модели, соответствующие x и m управляемой системы.
Представим (23.3) в векторной форме
ω = m(x, t)x − M (y)y, (23.4)
∂ω
˙ω =
∂x
˙x +
∂ω
∂t
d
−
(My), (23.5)
dt
где ∂ω/∂x = Ω — вектор-строка с элементами ∂ω/∂xi, то есть это матрица (1 ×n).
Представим (23.5) в виде
Ω ˙x = ˙ω +
d
(My) −
dt
∂ω
. (23.6)
∂t
Определим решение одного уравнения (23.6) относительно ˙xiв количестве n в виде
вектора ˙x = λΩT, коллинеарного с вектором ΩT, где λ — скалярная величина.
Подставляя ˙x = λΩTв (23.6), получим
λ(ΩΩT) = ˙ω +
d
(My) −
dt
∂ω
.
∂t
23 Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики. . . 185
Отсюда
λ =
Ω
˙ω
2
+
Ω
1
d
(My) −
2
dt
∂ω
.
∂t
Итак, из (23.6) следует
˙x =˙ω +
d
(My) −
dt
∂ω
ΩT. (23.7)
∂t
Представим (23.1) в векторной форме:
A(x, t)¨x = BU + a, (23.8)
где A(x, t) — матрица (n ×n) с элементами mij, B — матрица (n ×k) с элементами bis,
a — вектор с элементами −ai.
Считая матрицу A неособенной, уравнение (23.8) представим в виде
¨x = R + R0, (23.9)
где R = A−1BU, R0= A−1a.
Дифференцируя ˙x = λΩTпо t, получим
¨x =˙λΩT+ λ˙ΩT,
где
−2
˙
λ = Ω−2¨ω + ˙ω
dΩ
+
dt
Отсюда
¨x = Ω−2¨ωΩT− X( ˙ω, ω, t),
где X( ˙ω, ω, t) — члены, не содержащие ¨ω.
Подставляя в (23.9), имеем
Ω−2¨ωΩT= R + R0+ X( ˙ω, ω, t).
Умножая на Ω, получим
¨ω = ΩR + Ω(R0+ X). (23.10)
Умножив это выражение на ˙ω, получим
12d
( ˙ω ¨ω) =
( ˙ω2) = ˙ω(ΩR) + ˙ωΩ(R0+ X). (23.11)
dt
Теперь выберем (ΩR) кусочно-постоянной:
Ω
1
2
Ω
−2
d
(My) −
dt
∂ω
.
∂t
(ΩR) = −N sign ˙ω,
где N > |Ω(R0+X)|. Тогда ˙ω становится равной нулю за конечный промежуток времени
[153]. Если ввести квазискорость
˙
˜ω = ˙ω + µω,
186 23 Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики. . .
где µ = const > 0, то, подставив ˙ω =˙˜ω − µω в (23.10), получим
¨
˜ω = ΩR + Ω(R0+ X) + µ ˙ω. (23.12)
Умножим (23.12) на˙˜ω:
12d
(˙˜ω2) =˙˜ω(ΩR) +˙˜ω[Ω(R0+ X) + µ ˙ω].
dt
При этом
(ΩR) = −˜N sign˙˜ω, (23.13)
где
˜
N = const > [Ω(R0+ X) + µ ˙ω]. (23.14)
Теперь из одного уравнения (ΩR) = −˜N sign˙˜ω с n искомыми элементами
Ri(i = 1, 2, . . . , n) вектора R получим R = λΩT, где
−2
λ = −Ω
˜
N sign˙˜ω.
Отсюда
−2
R = −ΩT(Ω
˜
N sign˙˜ω).
Умножая R на A, получим уравнение
−2
BU = −AΩT(Ω
˜
N sign˙˜ω) (23.15)
с r искомыми элементами вектора управления U .
Умножая (23.15) на BT, получим
−2
BTBU = −BTAΩT(Ω
˜
N sign˙˜ω).
Отсюда
−2
U = −(BTB)−1BTAΩT(Ω
˜
N sign˙˜ω). (23.16)
Если нет уверенности назначения˜N, удовлетворяющего (23.14), то значение˜N
можно построить по «принципу обратной связи по квазиускорению» в виде положительной кусочно-постоянной функции по известному алгоритму [116], заключающемуся в следующем.
Первый член (ΩR) в (23.12) ищем в виде (23.13), где
˜
N = N0+ ∆Qω. (23.17)
Если при t = 0 имеет место (˙˜ω¨˜ω) ≥ 0, то для определения постоянной N0при t = 0
сообщаем в (23.12) управление
(ΩR) = −¨˜ω(0).
При этом будет иметь место
Ω(R0+ X) + µ ˙ω = −¨˜ω(0). (23.18)
Следовательно, правая часть (23.12) обратится в нуль.
23 Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики. . . 187
Теперь при t = ∆t > 0 сообщим управление
(ΩR) = −[¨˜ω(0) +˜∆],˜∆ = const > 0. (23.19)
При этом имеет место
(˙˜ω¨˜ω) = −˜∆|˙˜ω|. (23.20)
Измерение или вычисление¨˜ω продолжим до тех пор, пока не наступит равенство
(˙˜ω¨˜ω) = −δ0|˙˜ω|, (23.21)
где δ0= γ˜∆, 1 > γ > 0.
В момент времени t1> 0 наступления равенства (23.21) добавим к (23.19) допол-
нительно˜∆. Тогда (23.19) принимает вид
(ΩR) = −[¨˜ω(0) +˜∆(1 + i)], (23.22)
где i = 1 соответствует первому моменту времени t1> 0 наступления (23.21). При
продолжении измерения или вычисления левой части (23.20) возможно наступление
следующего момента времени t2> 0, при котором имеет место (23.21). Заметим, что
момента времени, удовлетворяющего (23.21), может и не быть. Если же t2существует,
то значение i в (23.22) удваивается, то есть заменяется на i = 2. Таким образом,
процедура определения i в (23.22)
(ΩR) = −[¨˜ω(0) +˜∆(1 + i)], (i = 1, 2, . . .), (23.23)
продолжается до времени обращения˙˜ω в нуль. Необходимо отметить, что при
(˙˜ω(0)¨˜ω(0)) < −δ0|˙˜ω(0)|
значение¨˜ω(0) в (23.23) следует выбрать равным нулю.
Следовательно, искомые значения N0и ∆Qωв правой части (23.17) можно пред-
ставить в виде
N0=
¨
˜ω(0)
+˜∆sign
h
˙
˜ωT(0)¨˜ω(0) + δ
0
˙
˜ω(0)
˙
+
˜ωT(0)¨˜ω(0) + δ
0
˙
˜ω(0)
i
,
∆Qω=˜∆(i + 1) (i = 1, 2, . . .).
Заметим, что предложенный способ самонастраиваемого управления представляет
собой «принцип обратной связи по квазиускорению» в дискретные моменты времени
tν(ν = 1, 2, . . .), соответствующие i = 1, 2, . . ..
При этом в некоторый конечный момент времени˜t1изображающая точка (˜ω,˙˜ω)
окажется на линии разрыва
˙ω + µω = 0, (23.24)
и при этом знаки ω(˜t1) и ˙ω(˜t1) будут противоположными, что необходимо для обеспечения управления в «режиме торможения» [118], обеспечивающем одновременное
обращение в нуль значений ω и ˙ω в конечный момент времени
˜
t2=˜t1+
2
˙ω
˜
ω
t
1
,
˜
t
1
188 23 Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики. . .
если управление (ΩR) выбрать в виде
(ΩR) = −˜N sign˙˜ω1, (23.25)
где
˜
N =¨˜ω(0) +˜∆(i + 1),
˙
˜ω1=˙˜ω при t ∈ [0,˜t1],
˙
˜ω1=˙˜ω2при t >˜t1,
˙
˜ω = ˙ω + µω,
˙
˜ω2(τ) = −˙ω(τ) + ˙ω(˜t1) +
Заметим, что в (23.26) знаки ω(˜t1) и ˙ω(˜t1), в силу (23.24), являются противоположными.
Теперь вектор управления U в исходной системе (23.1) с элементами
Us(s = 1, 2, . . . , k) определяется в виде (23.16), где˙˜ω заменено на˙˜ω1.
˙ω2(˜t1)
τ, τ = t −˜t1. (23.26)
2ω(˜t1)
23.4 Заключение
Применяя принцип обратной связи по квазиускорению, предложенный в [116] для безударного приведения состояния механических систем в заданное программное многообразие за конечное время в условиях неопределенности, построен алгоритм приведения
экономики слаборазвитого производственного предприятия в состояние развитой модели за гарантированный промежуток времени при наличии случайных внутренних и
внешних возмущающих факторов, негативно влияющих на производственный процесс.
Литература
[1] Budotchkina S.A., Savchin V.M. On indirect variational formulations for operator
equations // Journal of Function Spaces and Applications. 2007. Vol. 5. No. 3.
P. 231–242.
[2] Deressa C.T. Equations of Mechanical Systems with Singular Coefficient Matrix
// Материалы международной научно-практической конференции, посвященной
15-летию филиала ЮУРГУ в г. Нижневартовске. Нижневартовск: Изд-во НВГУ,
2013. P. 56–63.
[3] Kane T.R., Barba P.M. Effects of energy dissipation on a spinning satellite // AIAA
Journal. 1966. Vol. 4. No. 8. P. 1391–1394.
[4] Layton R.A. Differential-Algebraic Equations of Dynamical Systems. N.Y.: Springer,
2001. – 159 p.
[5] Santilli R.M. Foundation of theoretical mechanics. I.: The inverse problem in
Newtonian mechanics. New York, Heidelberg, Berlin: Springer–Verlag, 1978. — 266 p.
[6] Santilli R.M. Foundation of theoretical mechanics. II.: Berkhoffian, generalization of
Hamiltonian mechanics. New York, Heidelberg, Berlin: Springer–Verlag, 1978. — 370 p.
[7] Shorokhov S.G. Solution of an Inverse Problem of the Dynamics of a Particle //
Celestial Mechanics. 1988. Vol. 44. No. 1–2. P. 293–306.
[8] Абрамов Н.В., Мотовилов Н.В. Взаимодействие концепций и модульный состав
корпоративных экономических информационных систем // Изв. Самарского научного центра Российской академии наук. Специальный выпуск «Актуальные проблемы экономики и права». 2005. С. 74—80.
[9] Ананьевский И.М. Непрерывное управление по обратной связи возмущёнными
механическими системами // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 163–178.
[10] Ананьевский И.М. Синтез непрерывного управления механической системой с
неизвестной матрицей инерции // Известия РАН. Теория и системы управления.
2006. № 3. С. 24–35.
[11] Андреев А.С., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гаранти-
рованной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 1. С. 44–51.
[12] Аниковский В.В., Журавлев С.Г. Задача Эйлера и ее приложения в небесной ме-
ханике и космодинамике // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 6. С. 940–950.
189
190 Литература
[13] Аппель П.А. Теоретическая механика. Т. 1. М.: Физматгиз, 1960.
[14] Ахметов А.А., Мухарлямов Р.Г. Динамическое моделирование управления эко-
номическими объектами // Вестник КГТУ. 2008. № 3. С. 102–106.
[15] Ахметов А.А., Мухарлямов Р.Г. Применение методов моделирования механиче-
ских систем для управления экономическими объектами // Вестник КГТУ. 2008.
№ 2. С. 81–84.
[16] Барбашин Е.А. Об одной задаче теории динамического программирования //
ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 6.
[17] Барбашин Е.А. Об оценке максимума отклонения от заданной траектории //
А и Т. 1960. № 10.
[18] Барбашин Е.А. Об оценке среднеквадратичного значения отклонения от заданной
траектории // А и Т. 1960. № 7.
[19] Барбашин Е.А. Осуществление процессов и конструирование сигналов на выходе
из системы // Труды IV Всесоюзного математического съезда. Т. 2. М.: Наука,
1964.
[20] Барбашин Е.А. Построение периодического движения как одна из задач теории
программного регулирования // Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. 3. Изд-во АН УССР, Киев, 1963.
[21] Барбашин Е.А. Программное регулирование и теория оптимальных систем // Тру-
ды II Конгресса ИФАК. М.: Наука, 1965.
[22] Безгласный С.П. К задаче о стабилизации нестационарных программных движе-
ний математического маятника // Ученые записки УлГУ. 1997. Вып. 4. С. 19–23.
[23] Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном
поле. М.: Изд-во МГУ, 1975. — 308 с.
[24] Белоусов А.П., Фурасов В.Д. Стабилизация нелинейных регулируемых систем при
неполной информации о состоянии объекта // А и Т. 1975. № 7. С. 5–14.
[25] Будочкина С.А., Савчин В.М. О квазипотенциальных операторах и Гамильтона-
допустимых уравнениях в механике бесконечномерных систем // Доклады Академии наук. 2015. Т. 464. № 3. С. 267–269.
[26] Вербицкий В.Г. Влияние структуры сил на устойчивость линейной системы //
Прикладная механика. 1982. Т. 18. № 12. С. 119–121.
[27] Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней сво-
боды. Ч. 1, 2. М.: Изд-во механико-математического фак-та МГУ, 1997. Ч. 1 –
216 с.; ч. 2 – 160 с.
[28] Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконеч-
ным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ, 1986. – 192 с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]