Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
Глава 15
Управление безударным приведением
системы в голономное многообразие
15.1 Постановка задачи
Рассмотрим механическую систему, движения которой описываются следующими
уравнениями Лагранжа второго рода:
∂T
∂ ˙q
−
∂T
= Q + Q0, (15.1)
∂q
d
dt
где T — кинетическая энергия системы вида
1
T =
q — n-мерный вектор обобщённых координат, A(q, t) — (n × n) матрица, b(q,t) —
n-мерный вектор, T0(q, t) — скалярная функция, Q — n-мерный вектор управляющих
сил, Q0— n-мерный вектор неуправляющих активных сил и случайных возмущающих
сил, ограниченных по величине.
Элементы вектора b(q, t) и матрицы A(q, t), а также функцию T0(q, t) и их производные по q и t в области G(q, t) функционирования системы (15.1) будем считать ограниченными и непрерывными. Заметим также, что A(q, t), b(q, t), T0(q, t), определяющие
конфигурацию системы, кроме этих условий не стеснены другими ограничениями.
Пусть невозмущённое состояние системы (15.1) задано в виде (n −k)-мерного многообразия, образованного голономными программными связями:
˙qTA(q, t) ˙q + ˙qTb(q, t) + T0(q, t), (15.2)
2
ω(q, t) = 0, (15.3)
где ω — k-мерный вектор с непрерывными и линейно независимыми в области G(q, t)
элементами, непрерывно дифференцируемыми по q и t в этой области. Заметим, что
k 6 n.
Задача заключается в построении управляющей обобщённой силы Q в виде комбинации непрерывных и ступенчатых функций от ω и ˙ω, обеспечивающей приведение за
конечное время фазового состояния системы (15.1) в многообразие (15.3) при любых
начальных условиях q0, ˙q0, t0, независимо от конкретного вида A(q, t), b(q, t), T0(q, t),
Q0.
Отыскание вектора Q в виде функции от ω и ˙ω объясняется тем, что их значения
в невозмущённом состоянии (15.3) равны нулю, а при отклонениях от него становятся
131
132 15 Управление безударным приведением системы. . .
отличными от нуля. Следовательно, вектор ω может быть принят в качестве меры
отклонения от многообразия (15.3).
Заметим, что при размерности вектора Q, равной количеству степеней свободы
системы, решение поставленной задачи возможно по принципу декомпозиции [153].
Важной особенностью цели данной работы является решение поставленной задачи
при минимальной размерности вектора Q, равной размерности k вектора ω, или при
любой размерности s вектора Q, удовлетворяющей условию k 6 s 6 n.
15.2 Управление укороченной системой
Для решения задачи переходим от обобщённых координат q1, q2, . . . , qnк другим обобщённым координатам ω1, ω2, . . . , ωk, являющимся элементами вектора ω, и координатам p1, p2, . . . , p
В силу ортогональности этих групп координат члены aqpматрицы A(q, p, t) кинетической энергии в новых координатах будут равны нулю. Следовательно, кинетическая
энергия системы будет иметь следующую структуру:
, ортогональным к ним.
n−k
T = Tω+ Tp+ T0(ω, p, t), (15.4)
где
1
Tω=
Tp=
˙ωTAω(ω, p, t) ˙ω + ˙ωTbω(ω, p, t),
2
1
˙pTAp(ω, p, t) ˙p + ˙pTbp(ω, p, t).
(15.5)
2
Заметим, что матрица Aωявляется определённо положительной. При этом уравнение (15.1) в новых координатах разбивается на две части:
∂T
∂ ˙ω
∂T
∂ ˙p
−
−
∂T
= Qω+ Q
∂ω
∂T
= Qp+ Q
∂p
0
, (15.6)
ω
0
. (15.7)
p
d
dt
d
dt
Систему (15.6) назовём укороченной системой.
Теперь переходим к преобразованиям, связанным лишь с укороченной системой,
считая влияние системы (15.7) на систему (15.6) через элементы p и ˙p, входящие в неё
через Aω(ω, p, t), b(ω, p, t) и их производные по t, p, ω, возмущающимися факторами
системы (15.6).
Введём вместо ˙ω квазискорости˙˜ω
˙
˜ω = ˙ω + µω, (15.8)
где µω — вектор с элементами µiωi, µi> 0 (i = 1, 2, . . . , k).
Введём обозначение ˜a = µω.
Подставляя (15.8) в (15.5), получим
T = T˜ω+ Tp+˜T0,
15 Управление безударным приведением системы. . . 133
где
Tp=
1
T˜ω=
˙
˜ωTAω(ω, p, t)˙˜ω +˙˜ωTb˜ω(ω, p, t),˜T = T0+ T
2
1
˙pTAp(ω, p, t) ˙p + ˙pTbp(ω, p, t), T
2
b˜ω= bω− Aω˜a, T
˜ω
(2)
=
1
2
0
=
˜ω
˙
˜ωTA
1
˜aTAω˜a − aTbω,
2
˙
˜ω.
ω
0
,
˜ω
Уравнение (15.6) представим в квазикоординатах
d
dt
∂T
∂˙˜ω
−
∂T
˜ω
= Qω+ Q
˜ω
∂ ˜ω
∂T
0
+
ω
∂ω
−
∂T
∂ ˜ω
ω
(15.9)
в силу того, что
∂T
∂ ˙ω
=
∂T
∂ ˙ω
∂T
˜ω
=
˜ω
,
∂˙˜ω
так как
= 1.
∂ ˙ω
∂˙˜ω
Имеет место
в виде
˜ω
∂˙˜ω
˙
= A
˜ω + b˜ω. Следовательно, уравнение (15.9) можно представить
ω
d
dt
A
˙
˜ω+ B
ω
˜ω
˙
˜ω −
∂T
∂ ˜ω
(2)
˜ω
= Qω+˜Qω, (15.10)
∂T
где
B˜ω=
∂b
∂ ˜ω
˜ω
−
∂b
∂ ˜ω
T
˜ω
,˜Qω= Q
0
ω
+ Q
∂T
0
+
ω
∂ω
−
∂T
∂ ˜ω
∂b
˜ω
−
∂p
∂b
˜ω
˙p −
˜ω
∂t
+
∂T
∂ ˜ω
0
˜ω
.
Умножая скалярно на˙˜ω уравнение (15.10), левую часть полученного уравнения пред-
ставим в виде
d
dt
˜ωTA
˙
˙
˜ω−
ω
¨
˜ωTA
˙
˜ω +˙˜ω
ω
(2)
∂T
˜ω
T
+ ˙p
∂ ˜ω
(2)
∂T
˜ω
T
+
∂p
∂T
∂t
!
(2)
˜ω
. (15.11)
Так как
˙
˜ωTA
˙
˜ω= 2T
ω
(2)
,¨˜ωTA
˜ω
˙
˜ω +˙˜ω
ω
(2)
∂T
˜ω
T
+ ˙p
∂ ˜ω
(2)
∂
˜ω
T
∂p
+
∂T
∂t
(2)
˜ω
=
dt
d
(2)
T
,
˜ω
то из (15.11) следует
dT
(2)
˜ω
dt
=˙˜ω
T
Qω+˜Qω+
1
∂A
ω
T
˙
˜ω
2
∂ ˜ω
˙
˜ω−
1
2
Вектор обобщённых сил управления выберем в виде
dA
dt
ω
Qω= Uω− D˙˜ω, D >
1
2
где D — постоянная определённо положительная матрица,
Uω= −sign˙˜ωU0+˙˜ωTD
˙
˜ω, (15.14)
0
dA
ω
T
˙
˜ω
˙
˜ω. (15.12)
dt
, (15.13)
134 15 Управление безударным приведением системы. . .
где U0— постоянный вектор,˙˜ωTD
˙
˜ω — вектор с элементами˙˜ωTD
0
˙
˜ω, D0i— опреде-
0i
лённо положительные матрицы, sign˙˜ω — диагональная матрица с элементами sign˙˜ωi,
i = 1, 2, . . . , k. Если U0i, D0i, являющиеся элементами U0и D0, удовлетворяют условиям
i
U0i>
то правая часть (15.12) становится определённо отрицательной функцией по˙˜ω. Сле-
довательно, значение
˙
˜ω
со временем будет убывать.
˜
Q
ω
, D0i>
Покажем, что при выборе Uωв виде (15.14) при любых конечных начальных зна-
чениях˙˜ω(0) время обращения в нуль величины
1
2
max
˙
˜ω
∂A
ω
, (15.15)
∂ ˜ω
i
будет конечным. Доказательству
этого утверждения посвящается следующий раздел.
15.3 Оценка времени приведения системы в терминальное состояние
Так как матрица Aωположительно определена, то имеет место
k
X
λ
˙
˜ω
1
i=1
2
i
6 T
(2)
˜ω
6 λ
2
k
X
i=1
2
˙
˜ω
, λν= const > 0, ν = 1, 2. (15.16)
i
Поэтому из (15.12) следует неравенство
dT
(2)
˜ω
dt
6 −b
q
(2)
T
˜ω
+ b2T
1
2
, (15.17)
˜ω
так как правая часть (15.12), являющаяся определённо отрицательной функцией, наибольшее значение которой может быть оценено правой частью (15.17), где b1и b2—
положительные постоянные. Обозначая для простоты T
dV
√
Vb1+ b
√
2
6 −dt. (15.18)
V
(2)
через V , из (15.17) получим
˜ω
Имеет место
√
Vb1+ b
1
√
V
2
=
1
√
b
−
V
1
b
1
b1+ b
b
2
. (15.19)
√
V
2
Интегрируя левую часть (15.18) с учётом (15.19) от V0до 0, а правую часть от 0 до t1,
получим оценку времени приведения системы в состояние˙˜ω = 0:
2
где V0— начальное значение T
t16
(2)
˜ω
.
ln1 +
b
2
Заметим, что при b2= 0, b16= 0 правая часть (15.20) имеет значение, равное
p
b
2
V
, (15.20)
0
b
1
2√V
0
b
1
Начиная с момента времени t1переведём систему в «режим торможения», учитывая
противоположность знаков ωi(t1) и ˙ωi(t1). Для этого элементы вектора (15.8) заменим
на
˙
˜ω1i= ˙ωi(τ) − ˙ω(t1) +
2
˙ω
(t1)
i
τ sign ˙ωi(τ) (i = 1, 2, . . . , k),
2ωi(t)
.
15 Управление безударным приведением системы. . . 135
где τ = t −t1. При этом значения ωiи ˙ωiобращаются в нуль одновременно в моменты
времени
2 |ωi(t1)|
t2i= t1+
(i = 1, 2, . . . , k). (15.21)
|˙ωi(t1)|
Элементы вектора Qωв (15.13) можно представить в виде
где
Qωi= −U0i+˙˜ω
˙
˜ω0i= ˙ωisign˙˜ω
D
˙
˜ω
sign˙˜ω0i−D˙˜ω
0i
0
T
0
2
+˙˜ω1isign1 −sign˙˜ω
i
, (15.22)
0
i
2
.
i
Такое управление обеспечивает приведение системы без удара в терминальное состояние (15.3) за конечный промежуток времени t2= max t2i.
15.4 Управление исходной системой
Теперь необходимо определить вектор обобщённых сил управления Q исходной системой (15.1). С этой целью определим зависимость между Q и построенной в разделе
15.2 функцией Qω. Для этого определим сумму элементарных работ всех активных
сил управления
δAα= QTδq, (15.23)
где δq — вектор изохронных вариаций элементов q.
Выделим из (15.23) элементарную работу δA
α
ω
вариациях
δω = Ωδq, (15.24)
∂ω
вытекающих из (15.3), где Ω =
— прямоугольная (k × n)-матрица.
∂q
Из системы k уравнений (15.24) определим элементы вектора δq в количестве n
через k элементов вектора δω. Для этого вектор δq разложим на две составляющие:
(δq)N— вектор, нормальный к многообразию (15.3), и (δq)τ— вектор, касательный
к (15.3). Первый из них ищем в виде (δq)N= ΩTλ, где λ — k-мерный искомый вектор.
Подставляя
δq = (δq)N+ (δq)
= Q
τ
T
δω, совершаемую лишь при
ω
(15.25)
в (15.24), получим ΩΩTλ + Ω(δq)τ= δω. Следовательно, имеем (δq)N= ΩT(ΩΩT)−1δω.
Подставляя в (15.23) значение (15.25), получим
δAα= QTΩT(ΩΩT)−1δω + QT(δq)τ.
Второй член в правой части этого выражения не зависит от δω. Следовательно, частью суммы элементарных работ управляющих сил, совершаемых на элементарных
перемещениях δq, вносящих вклад в вариацию δω, является
α
δA
= QTΩT(ΩΩT)−1δω,
ω
откуда
T
Q
= QTΩT(ΩΩT)−1. (15.26)
ω
136 15 Управление безударным приведением системы. . .
Если вектор обобщённых сил управления исходной системой (15.1) задавать в виде
Q = M0u, где u — r-мерный вектор управления, M0(q, ˙q, t) — матрица (n × r), удо-
влетворяющая в области G условию det
M
T
M
6= 0 и ΩM06= 0, то при подстановке
0
0
Q = M0u в (15.26) получим следующую систему k уравнений для определения r элементов вектора u:
(ΩΩT)−1ΩM0u = Qω. (15.27)
Заметим, что правая часть этого уравнения была определена в виде (15.13), где U
имеет вид (15.14) или (15.16).
Решение уравнения (15.27) относительно u можно представить в виде [114]:
u =¯Ω
T
¯Ω¯
Ω
−1
T
Qω+ uτ, (15.28)
где¯Ω = (ΩΩT)−1ΩM0, det k¯Ω¯ΩTk 6= 0, uτ— r-мерный произвольно задаваемый вектор,
удовлетворяющий условию¯Ωuτ= 0, который можно представить в виде
¯Ω¯
Ω
−1
T
Ω
T
¯
Ωi˜u,
−1
¯
Ω = 0. Следовательно, имеет место
uτ=hE −¯Ω
где E — единичная матрица, ˜u — произвольный вектор. Заметим, что при r = k матри-
ца¯Ω является квадратной, причём E −¯Ω
T
T
¯Ω¯
uτ≡ 0. Отсюда следует, что минимальная размерность вектора управления u может
быть равна размерности k вектора ω при k < n. Как отмечалось в разделе 15.1, в этом
заключается принципиальное преимущество предлагаемого здесь метода управления
от принципа декомпозиции [153] при задании невозмущённого состояния системы в
виде (n − k)-мерного многообразия (15.3).
Следует отметить также то, что в случае r > k, полагая uτ= 0, в силу произвольности вектора uτ, получим вектор управления u, имеющий минимальную евклидову
норму, в виде
u =¯Ω
¯Ω¯
Ω
−1
T
Uω− D˙˜ω, (15.29)
T
ω
где Uω— ступенчатая функция (15.14).
В частном случае k = r = 1 матрицы M0и ΩTстановятся n-мерными векторамистолбцами, а C , D, Uω, U0, ω — скалярными величинами. При этом из (15.29) получим
скалярное управление
2
Ω
u =
Uω− D˙˜ω, (15.30)
λ
где λ — скалярное произведение векторов M0и ΩT, Uω— выражается в виде (15.14).
15.5 Управление процессом приведения преследую-
щего тела в заданную ориентацию при пропорциональной навигации
1.4.1. Постановка задачи. Рассмотрим твёрдое тело, жёстко связанное с подвижной
системой координат CXY Z . Главный вектор управляющих сил˜U1построим так, чтобы
центр масс тела двигался по принципу пропорциональной навигации [64] при погоне
за преследуемой точкой O при её произвольном движении в пространстве. При этом
вектор управляющих моментов˜U2должен быть таким, чтобы ось тела CZ из любого
начального положения, удовлетворяющего условию (¯V ·¯K3) > 0, где¯K3— орт оси
15 Управление безударным приведением системы. . . 137
CZ, была приведена в положение, совпадающее с вектором скорости¯V центра масс
тела, за конечное время. Следовательно, программная ориентация тела в этом случае
может быть задана выражениями
¯
¯
K
V = 0, ¯ωv= b¯ωe(i = 1, 2), (15.31)
i
где¯K1,¯K2— орты осей CX и CY ; ¯ωv— вектор угловой скорости вращения вектора
¯v; ¯ωe— вектор угловой скорости вращения линии визирования CO; b — заданный
положительный коэффициент пропорциональности.
Заметим, что при выполнении условий (15.31) вектор¯V будет направлен по оси CZ
тела с ортом¯K3. Следовательно, при этом вектор ¯ωvбудет равен сумме компонентов
вектора угловой скорости тела на оси с ортами¯K1и¯K2. При таком принципе навигации
угловая скорость ¯ωeлинии визирования CO считается доступной измерению в каждый
момент времени t.
1.4.2. Построение главного вектора управляющих сил. Определим выражение главного вектора управляющих сил¯U1в правой части дифференциального уравнения движения центра масс C тела
˙
¯
m
V =¯f +¯U1, (15.32)
так, чтобы движение центра масс тела происходило по принципу пропорциональной
навигации
¯ωv= b¯ωe, (15.33)
где m — масса тела, f — главный вектор внешних неуправляющих сил, действующих
на тело.
Заметим, что вращение вектора скорости¯V осуществляется благодаря действию
силы¯Fn, направленной по главной нормали траектории движения центра масс тела.
Определим эту силу¯Fnисходя из условий (15.33) и¯Fn⊥¯V . Вектор ¯ωvимеет величину
2
V
m, ρ — радиус кривизны
ρ
ωv=
V
и направлен по орту¯i =
ρ
¯
V ׯF
V ·F
n
, где Fn=
n
траектории точки C. Следовательно, имеет место
¯ωv=
¯
V ׯF
mV
n
.
2
Скалярно умножая (15.33) на ¯ωe, получим
mV
1
¯
V ׯF
2
¯ωe= bω
n
2
.
e
Отсюда
¯
Fn·¯ωeׯV= mV2bω
2
. (15.34)
e
Если искать решение этого уравнения в виде¯Fn= λ¯ωeׯV, обеспечивающем коллинеарность векторов¯Fnи (¯ω ׯV ), то величина силы Fnбудет минимальна.
Подставляя¯Fnв (15.34), определим
2
e
,
2
λ =
mV2bω
¯ωeׯV
138 15 Управление безударным приведением системы. . .
а затем
¯
Fn=
mV2bω
¯ωeׯV
2
e
¯ωeׯV. (15.35)
2
Покажем, что при движении преследующего тела со скоростью, намного превышающей скорость цели, величина ¯ωeׯV при ωe6= 0 не может быть равна 0. Для этого
заметим, что принцип пропорциональной навигации призван осуществлять равенство
компонентов скорости¯V и скорости цели¯VO, перпендикулярных к линии визирования
CO, с целью обеспечения поступательности движения CO. При этом максимальное
значение синуса угла α отклонения вектора¯V от линии CO не превышает значения
V
sin α
max
случай α
O
=
. А угол между векторами ¯ωeи CO является прямым. Следовательно,
V
π
=
max
возможен лишь тогда, когда V = VO, при котором сближение с целью
2
невозможно. Таким образом, в силу того что V VOпри ωe6= 0, случай (¯ωeׯV )
исключается.
Итак, главный вектор управляющих сил выражается в виде¯U1=¯Fn−¯fn, где¯F
имеет вид (15.35),¯fn— компонента¯f на главную нормаль траектории точки C.
Отсюда напрашивается вопрос о том, что случится, если среди составляющих силы f имеются случайные недоступные измерению возмущающие силы. На этот вопрос возможен такой ответ. Составляющие этих возмущающих сил, направленных по
главной нормали траектории точки C, возмущают силу¯Fn, что равносильно возмущению коэффициента пропорциональности b. Следовательно, при достаточно больших
значениях коэффициента b эти возмущения на процесс преследующего движения не
оказывают существенного влияния. Что касается составляющих возмущающих сил,
направленных по касательной к траектории точки C, то они приводят лишь к изменению скорости¯V точки C, что не оказывает влияния на угловую скорость ¯ωv, т.е. на
процесс преследующего движения. Таким образом, эти возмущения могут оказывать
некоторое влияние лишь на время встречи тела с целью O.
1.4.3. Построение главного момента управляющих сил. Известно, что вращательное движение тела вокруг центра масс в осях подвижной системы координат
CXY Z описывается дифференциальным уравнением
n
J˙¯ω0=J ¯ωo× ¯ω0+¯M + U, (15.36)
где J — тензор инерции тела в точке C; ¯ω0(p, q, r) — мгновенная угловая скорость тела;
p, q, r — проекции ¯ω0на оси CX, CY , CZ;¯M — главный момент относительно точки
C внешних неуправляющих сил, действующих на тело; U — главный момент управля-
ющих сил относительно C. Оси системы координат CXY Z будем считать главными
центральными осями инерции тела.
Вектор U определим из первого условия (15.31), обозначая
ω1=¯K1·¯V , ω2=¯K2·¯V . (15.37)
Введём квазискорости
¯
Ki·¯V, µi= const > 0 (i = 1, 2), (15.38)
i
˙
¯
¯
Ki·
V. (15.39)
˙ωi= ¯ω0·
¯
KiׯV+
где
˙
˜ωi= ˙ωi+ µ
15 Управление безударным приведением системы. . . 139
Из (15.38) следует
где Bi= −
¯
Ki·
V− µ
˙
¯
i
¯
¯ω0·
KiׯV=˙˜ωi+ Bi(i = 1, 2), (15.40)
¯
Ki·¯V(i = 1, 2).
Решение системы (15.40) представим в виде
Ω¯ω0=˙˜ω + B, (15.41)
где матрица Ω определяется из
p
p
в виде
Так как
¯
K2ׯV·¯K1=
¯
K1ׯV·¯K1= 0,
¯
K1ׯV·¯K1+ q
¯
K2ׯV·¯K1+ q
¯
K1ׯV·¯K
¯
V ·¯K
¯
K2ׯV·¯K
,
3
Ω =
¯
K1ׯV·¯K2+ r
¯
K2ׯV·¯K2+ r
¯
K1ׯV·¯K
1
¯
K2ׯV·¯K
1
¯
K1ׯV·¯K2= −
¯
K2ׯV·¯K2= 0
представляется в более компактной форме
Ω =
0 −
¯
V ·¯K
3
K2ׯV·¯K3= −
¯
V ·¯K
3
0 −
¯
K1ׯV·¯K3=˙˜ω1+ B1,
¯
K2ׯV·¯K3=˙˜ω2+ B
3
3
¯
V ·¯K
. (15.43)
¯
¯
K1ׯV·¯K
2
¯
K2ׯV·¯K
2
3
¯
V ·¯K
¯
V ·¯K
,
¯
V ·¯K
¯
K1ׯV·¯K3=
2
1
2
. (15.42)
¯
V ·¯K
, то (15.42)
1
2
,
Решение (15.41) ищем в виде
¯ω0= ΩTλ, (15.44)
где λ — вектор λT= (λ1, λ2).
Подставляя (15.44) в (15.41), получим
ΩΩTλ =˙˜ω + B.
Отсюда
λ = (ΩΩT)
−1
˙
˜ω + B. (15.45)
Подставляя (15.45) в (15.44), получим
¯ω0= ΩT(ΩΩT)
−1
Это выражение представим в виде
¯ω0= M
˙
˜ω + B, (15.46)
где M = ΩT(ΩΩT)−1.
Теперь определим кинетическую энергию T =
Получим
T =
1
˙
˜ωT+ B
T
MTJM
2
Следовательно, T имеет следующую структуру:
˙
˜ω + B.
1
T
¯ω
J ¯ω0, подставляя ¯ω0вида (15.46).
0
2
˙
˜ω + B. (15.47)
T = T
2
˜ω
+ T
1
˜ω
0
+ T
, (15.48)
˜ω
140 15 Управление безударным приведением системы. . .
где T
T
Q
=Q
ω
1
2
˜ω
=
(1)
ω
˜ωTA
2
, Q
˙
(2)
ω
1
˜ω
= b
T
˜ω
˙
˜ω, T
˜ω, T
ω
˙
в (15.13) может быть построен с элементами (15.22).
1
0
=
˜ω
BTAωB, AωMTJM, b
2
T
= BTAω. Теперь вектор
˜ω
Для выражения вектора управления u(up, uq, ur) в правой части (15.36) через Q
вариации δ ˜ωi(i = 1, 2) представим через вариации δ¯ω0(δp, δq, δr). Из (15.46) следует
δ¯ω0= Mδ˜ω. Сумму элементарных работ управляющих сил up, uq, urможно предста-
вить в виде
a
δA
= ˜uTδ¯ω0= ˜uTMδ˜ω,
ω
где ˜u = J−1U.
Ту же сумму можно записать в виде δA
˜uTM = Q
T
. Отсюда
ω
a
ω
= Q
T
δ˜ω. Следовательно, имеет место
ω
Qω= MT˜u. (15.49)
Вектор ˜u ищем в виде
˜u = M˜λ. (15.50)
Подставляя (15.50) в (15.49), получим
MTM˜λ = Qω.
Отсюда˜λ = (MTM)−1Qω. Следовательно, из (15.50) определим выражение ˜u через Q
в виде ˜u = M (MTM)−1Qω.
Заметим, что в случае равенства нулю одного из компонентов вектора u матрица
(15.43) становится квадратной. Например, при ur= 0 имеет место
Ω =
0 −
¯
V ·¯K
¯
3
V ·¯K
0
3
.
ω
ω
При этом управление u будет двумерным вектором uT= (up, uq).
В заключение отметим, что время приведения оси CZ тела в положение, направ-
ленное по¯V , не превышает максимального значения (15.21).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]