Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
Глава 18
Динамические уравнения
относительного движения тела,
выраженные через планарный тензор
инерции
18.1 Постановка задачи
Для того чтобы воспроизвести относительное движение какой-либо механической системы как движение «абсолютное», необходимо добавить к исходным физическим силам эйлеровые (переносные и кориолисовы) силы инерции. Следовательно, при изучении относительного движения твердого тела в уравнение движения его центра масс
добавляют главный вектор эйлеровых сил инерции тела. При этом согласно теореме о
движении центра масс механической системы дифференциальное уравнение движения
центра масс тела выражается в виде
m¨˜rc=¯R(¯F ) +¯Ru, (18.1)
n
P
где¯R(¯F ) =
¯
Ru= −m¯a
¯
Fν— главный вектор действующих на тело внешних физических сил¯Fν,
ν=1
e
c
− m¯a
k
— главный вектор эйлеровых сил инерции, m — масса тела,¨˜rc—
c
ускорение центра масс c тела относительно подвижной системы координат 0x1y1z1;
e
k
¯a
, ¯a
— переносное и кориолисово ускорения точки c:
c
c
e
где ¯a
c
a
= ¯a
+ ¯εe× ¯rc+ ¯ωe× [¯ωe× ¯rc], ¯a
0
¯a
a
— абсолютное ускорение начала o подвижной системы координат; ¯rc— радиус-
0
k
= 2¯ωeׯV
c
r
,
c
вектор точки c относительно точки o; ¯ωe, ¯εe— переносные угловая скорость и угловое
ускорение тела, т.е. абсолютные угловая скорость и угловое ускорение подвижной системы координат;¯V
r
— относительная скорость точки c.
c
Таким образом, составление уравнений относительного движения центра масс тела
сводится к общеизвестной задаче динамики относительного движения точки. Следовательно, в основном задача сводится к составлению динамических уравнений Эйлера
относительного движения тела вокруг центра масс c в осях системы координат cxyz,
связанных с телом, с началом координат в точке c.
Следует отметить, что в учебной литературе этому вопросу уделяется недостаточное внимание. Например, автору не удалось обнаружить компактного выражения
главного момента кориолисовых сил инерции через векторы относительной и переносной угловых скоростей и геометрию массы тела, полученного ниже путем введения
понятия планарного тензора инерции тела.
151
152 18 Динамические уравнения относительного движения тела. . .
18.2 Решение задачи
Как известно, динамическое уравнение Эйлера для абсолютного движения тела вокруг
центра масс c в осях системы координат cxyz в векторной форме имеет вид
J ¯εa= J ¯ωa× ¯ωa+¯Mc(¯F ). (18.2)
Здесь J — тензор инерции тела в точке c, являющийся известной (3 × 3)-матрицей с
постоянными элементами; ¯ωa, ¯εa— векторы абсолютной угловой скорости и углового
ускорения тела;¯Mc(¯F ) — главный момент внешних физических сил относительно c.
Имеет место
¯ωa= ¯ωr+ ¯ωe, ¯εa= ¯εr+ ¯εe+ ¯ωe× ¯ωr,
где ¯ωr, ¯ωe, ¯εe, ¯εr— относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение
тела. Следовательно, уравнение (18.2) можно представить в виде
J ¯εr= −J ¯εe+ J¯ωe× ¯ωe+ J¯ωr× ¯ωr+ J¯ωr× ¯ωe+ J¯ωe× ¯ωr+ J[¯ωr× ¯ωe] +¯Mc(¯F ).
Так как главный момент переносных сил инерции¯M
и ¯εe, а главный момент кориолисовых сил инерции¯M
e
выражается лишь через ¯ω
c
k
— через ¯ωrи ¯ωe, то из этого
c
уравнения следует
e
¯
M
= −Jεe+ J¯ωe× ¯ωe,¯M
c
Из (18.3) видно, что приведение вектора¯M
димости. По отношению к вектору¯M
Покажем, что вектор¯M
k
можно представить в виде одного векторного произве-
c
k
= J ¯ωr× ¯ωe+ J¯ωe× ¯ωr+ J[¯ωr× ¯ωe]. (18.3)
c
e
в более компактную форму нет необхо-
k
c
c
это напрашивается.
дения двух векторов вместо трех произведений в (18.3). Для этого введем понятие
планарного кинетического момента инерции тела в точке c от переносного вращения
тела
0
c
y
x
yx
0
0
= J
¯ωe, (18.4)
0
=
c
J
xyJxz
0
J
y
zy
n
X
ν=1
J
yz
J
mνy
, (18.5)
0
z
n
2
, J
ν
X
0
=
z
ν=1
mνz
2
ν
(18.6)
где J
¯
K
J
0
c
2
ν
=
, J
J
JzxJ
J
n
X
0
=
x
mνx
ν=1
являются планарными моментами инерции тела относительно координатных плоскостей cyz, cxz, cxy. Недиагональные элементы матрицы (18.5) являются известными
центробежными моментами инерции тела. Матрицу (18.5) назовем планарным тензором инерции тела в точке c. Если оси системы cxyz являются главными осями инерции
тела, то матрица (18.5) становится диагональной, так как при этом внедиагональные
элементы обращаются в нуль.
Имеет место теорема: Главный момент кориолисовых сил инерции относительно
центра масс тела равен удвоенному векторному произведению относительной угловой
скорости тела на его планарный кинетический момент от переносного вращения.
Согласно этой теореме имеет место
e
k
¯
M
= 2[¯ωr× J
c
0
¯ωe]. (18.7)
c
18 Динамические уравнения относительного движения тела. . . 153
Заметим, что убедиться в справедливости (18.7) можно было бы сравнением проекций
правых частей¯M
k
в (18.3) и в (18.7) на оси системы cxyz. Такой путь, кроме трудо-
c
емкости, обладает еще тем недостатком, что при этом невольно возникает вопрос о
том, каким образом автору удалось догадаться ввести понятия планарного момента
инерции в виде (18.4) и планарного тензора инерции в виде (18.5).
Поэтому используем более очевидный путь определения¯M
k
в виде суммы моментов
c
кориолисовых сил инерции всех частиц тела относительно точки c:
n
= −2
X
¯ρν× mν[¯ωeׯV
ν=1
r
], (18.8)
ν
M
k
¯
c
где ¯ρν— радиус-вектор частицы тела массой mνотносительно c. Вектор (18.8) разложим по направлениям ¯ωeи¯V
r
:
ν
k
¯
M
= −2¯ω
c
Подставляя в (18.9) значение¯V
¯ρν· [¯ωr× ¯ρν] = 0, получим
M
n
Проектируя
P
mν¯ρν(¯ωe· ¯ρν) на оси cx, cy, cz, соответственно, получим
ν=1
n
X
e
ω
(
mνx
x
ν=1
n
X
e
ω
(
mνyνxν) + ω
x
ν=1
n
X
e
ω
(
mνzνxν) + ω
x
ν=1
n
X
e
ν=1
k
¯
= 2¯ωr×
c
2
) + ω
ν
mν(¯ρν·¯V
r
=¯V
ν
X
ν=1
n
X
e
(
mνxνyν) + ω
y
ν=1
n
X
e
(
y
ν=1
n
X
e
(
y
ν=1
n
r
ν
n
X
) + 2
ν=1
r
+ ¯ωr× ¯ρνи учитывая
c
r
¯
m
V
(¯ρν· ¯ωe). (18.9)
ν
ν
n
P
mν¯ρν= 0,
ν=1
mν¯ρν(¯ωe· ¯ρν). (18.10)
n
X
e
(
mνxνzν),
z
ν=1
n
2
mνy
) + ω
ν
mνzνyν) + ω
e
(
z
X
mνyνzν),
ν=1
n
X
e
(
z
ν=1
mνz
(18.11)
2
).
ν
n
Из (18.11) следует представление вектора
n
X
mν¯ρν(¯ωe· ¯ρν) = J
ν=1
0
где J
выражение вектора¯M
— планарный тензор инерции (18.5). Итак, подставляя (18.12) в (18.10), получим
c
k
в виде (18.7).
c
P
mν¯ρν(¯ωe· ¯ρν) в (18.10) в виде
ν=1
0
¯ωe, (18.12)
c
Следовательно, динамические уравнения Эйлера в случае относительного движе-
ния тела в компактной форме выражаются в виде
J ¯εr= J ¯ωr× ¯ωr− J ¯εe+ J¯ωe× ¯ωe+ 2[¯ωr× J
0
¯ωe] +¯Mc(¯F ). (18.13)
c
154 18 Динамические уравнения относительного движения тела. . .
18.3 Уравнения относительного движения тела во-
круг центра масс в главных осях инерции
Как известно, когда оси системы координат cxyz являются главными осями инерции
тела, то центробежные моменты инерции Jijобращаются в нуль. При этом матрицы J
0
и J
становятся диагональными. Следуя традиции диагональные элементы Jx, Jy, J
c
матрицы J обозначим через A, B, C, а матрицы J
¯ωrна оси cx, cy, cz обозначим через p, q, r, а вектора ¯ωe— через pe, qe, re. Тогда
проекции (18.13) на оси cx, cy, cz выражаются в виде
A ˙p = (B − C)qr − A ˙pe+ (B − C)qere+ 2(C0qre− B0rqe) + Mx(¯F ),
0
через A0, B0, C0. Проекции вектора
c
z
B ˙q = (C − A)rp −B ˙qe+ (C − A)repe+ 2(A0rpe− C0pre) + My(¯F ),
(18.14)
C ˙r = (A − B)qr − C ˙re+ (A −B)peqe+ 2(B0pqe− A0qpe) + Mz(¯F ).
В этих уравнениях A0, B0, C0можно заменить их выражениями через A, B, C:
A0= (B + C − A)/2, B0= (A + C − B)/2, C0= (A + B − C)/2.
n
Эти соотношения следуют из (A + B + C) = 2
n
P
A0=
ν=1
получаются аналогично.
mνx
2
, A =
ν
n
P
ν=1
mν(y
2
ν
2
+ z
), получим A0= (B + C − A)/2. Выражения B0и C
ν
P
ν=1
mν(x
2
ν
+ y
2
2
+ z
). Например, учитывая
ν
ν
Попутно заметим, что по аналогии с известным понятием эллипсоида инерции тела
с полуосями 1/√A,1/√B, 1/√C напрашивается введение понятия планарного эллипсоида инерции тела с полуосями 1/√A0,1/√B0, 1/√C0.
В связи с тем что одними из возможных обобщенных координат, характеризующих
относительное движение тела, являются углы Эйлера ψ, θ, ϕ, определяющие ориентацию системы координат cxyz относительно системы ox1y1z1, к уравнениям (18.14)
необходимо подставить значения p, q, r, выражаемые следующими кинематическими
уравнениями Эйлера:
p =˙ψ sin θ sin ϕ +˙θ cos ϕ, q =˙ψ sin θ cos ϕ −˙θ sin ϕ, r = ˙ϕ +˙ψ cos θ. (18.15)
0
e
e
Аналогичным образом выражаются проекции ω
, ω
x
1
e
, ω
y
1
вектора ¯ωeна оси систе-
z
1
мы координат ox1y1z1через углы Эйлера ψe, θe, ϕe, определяющие ориентацию ox1y1z
относительно неподвижной (абсолютной) системы координат o0x0y0z0в виде
e
ω
=˙ψesin θesin ϕe+˙θecos ϕe,
x
1
Проектируя векторы ¯ω
e
x
1
e
ω
y
=¯i1ω
=˙ψesin θecos ϕe−˙θesin ϕe,
1
e
ω
= ˙ϕe+˙ψecos θe.
z
1
e
e
, ¯ω
y
1
=¯j1ω
x
1
e
e
, ¯ω
z
1
=¯k1ω
y
1
e
, где¯i1,¯j1,¯k1– орты осей
z
1
(18.16)
системы ox1y1z1, получим
pe= ω
qe= ω
re= 2ω
e
sin θ sin ϕ + ω
z
1
e
sin θ cos ϕ − ω
z
1
e
cos θ − ω
z
1
e
cos ψ cos ϕ + ω
x
1
e
cos ψ sin ϕ − ω
x
1
e
cos ψ sin θ − ω
y
1
e
sin ψ cos ϕ,
y
1
e
sin ψ sin θ,
y
1
e
sin ψ sin θ.
x
1
(18.17)
1
18 Динамические уравнения относительного движения тела. . . 155
Подставляя (18.15) и (18.17) в уравнение (18.14), получим систему трех уравнений
второго порядка относительно искомых переменных ψ, θ, ϕ. Заметим, что в этих уравнениях могут содержаться проекции скорости и координаты центра масс тела относительно подвижной системы ox1y1z1, уравнения для которых получаются проектированием векторного уравнения (18.1) движения центра масс тела на оси этой системы
координат. Таким образом, получается система уравнений (18.1) и (18.14) для определения координат x1, y1, z1центра масс тела и углов Эйлера ψ, θ, ϕ.
18.4 Частные случаи
6.4.1. Движение тела с устойчивой относительной скоростью центра масс.
Рассмотрим случай, когда главный вектор физических сил уравновешивает главного
вектора переносных сил инерции. При этом
¯R(¯
F ) = ma
e
, (18.18)
c
а уравнение (1) принимает вид
r
dV
c
m
= −2¯ωeׯVr.
dt
dt
d
r
, получим
c
r
2
(V
)
c
m
2
= 0.
Скалярно умножая это уравнение на¯V
Отсюда (V
r
)2= (V
c
r
2
)
= const. Итак, при условии (18.18), независимо от характера
c
0
движения тела вокруг центра масс, абсолютная величина относительной скорости его
центра масс остается постоянной, равной ее начальной величине.
6.4.2. Вращательное движение тела вокруг центра масс с устойчивым
геометрическим местом годографа вектора относительной угловой скорости. Рассмотрим случай, когда главный момент физических сил уравновешивает глав-
ный момент переносных сил инерции. При этом
¯
Mc(¯F ) = J ¯εe+ ¯ωe× J ¯ωe, (18.19)
а уравнение (18.13) принимает вид
d¯ω
r
J
= J ¯ωr× ¯ωr+ 2[¯ωr× J
dt
0
c
¯ωe].
Скалярно умножая это уравнение на ¯ωr, получим
12d(¯ωrJ ¯ωr)
= 0.
dt
Следовательно, при условии (18.19), независимо от характера движения центра масс
тела, кинетическая энергия (Ap2+ Bq2+ C r2)/2 вращательного движения вокруг центра масс сохраняется, оставаясь равной ее начальному значению (Ap
2
0
+ Bq
2
+ Cr
0
2
)/2.
0
Отсюда вытекает, что эллипсоид
Ap2+ Bq2+ Cr2= Ap
2
0
+ Bq
2
+ Cr
0
2
0
(18.20)
156 18 Динамические уравнения относительного движения тела. . .
с полуосями
q
Ap
2
+ Bq
0
2
+ Cr
0
√
2
/
0
A,
q
Ap
2
+ Bq
0
2
+ Cr
0
B,
q
Ap
2
+ Bq
0
2
+ Cr
0
√
2
C
/
0
√
2
/
0
является геометрическим местом годографа вектора угловой скорости ¯ωr. Следовательно, на полуоси эллипсоида (18.20), соответствующей наибольшей из величин
A, B, C, имеет место наименьшее значение |¯ωr|. Например, при C < B < A на полу-
оси, соответствующей C, имеет место max |¯ωr|, а на полуоси, соответствующей A, —
min |¯ωr|. Следовательно, имеет место соотношение
max |¯ωr|/ min |¯ωr| =pA/C = const . (18.21)
Отсюда следует, что при любых начальных значениях |¯ω0(p0, q0, r0)| при условии
(18.19), независимо от характера движения тела, отношение max |¯ωr|/ min |¯ωr| остается постоянным, зависимым лишь от соотношений максимальной и минимальной из
величин A, B, C. Заметим, что при малых p0, q0, r0значение |¯ωr| при всех t ≥ t0остается тоже малым, но соотношение (18.21) при этом сохраняется. Очевидно, что при
A = B = C значение |¯ωr| остается неизменным и равным |¯ω
r
|.
0
Глава 19
Самонастраиваемое управление
процессом безударной стыковки двух
подвижных объектов
19.1 Постановка задачи
В данной главе решается задача управления процессом безударной стыковки двух
подвижных объектов, один из которых движется непредсказуемым образом, а другой
преследует его по принципу пропорциональной навигации с целью стыковки или его
захвата.
В работе [130] было показано, что центр масс C преследующего тела будет двигаться в режиме преследования по принципу пропорциональной навигации [64] при
управлении точкой C с силой¯U1= mb(¯ωeׯV ) −¯U0, где m — масса тела; b — положительный коэффициент пропорциональности; ¯ωe— угловая скорость вращения линии
визирования CO, O — преследуемая точка;¯V — скорость точки C ;¯U0— неуправляющая составляющая компоненты вектора внешних сил¯Fn, направленной по главной
нормали траектории точки C,¯Fn=¯U1+¯U0.
Построим вектор управления процессом безударного сближения точки C с целью
O в «режиме торможения», то есть вдоль линии визирования C O, проходящей через
центры масс тел.
Уравнение абсолютного движения центра масс преследующего тела в проекции на
линию визирования имеет вид
dV
a
m
где Va— проекция абсолютной скорости центра масс C тела, m — масса, R — проекция
главного вектора неуправляющих сил, U — управляющая сила.
Уравнение относительного движения тела на ту же ось записывается также,
как (19.1), путем добавления в правую часть проекции переносной силы инерции:
= −R − U, (19.1)
dt
dV
m
где V — проекция относительной скорости центра масс преследующего тела, ae—
проекция переносного ускорения центра масс тела.
Задача заключается в построении выражения управляющей силы U, обеспечивающей стыковку тел без удара при произвольных ограниченных значениях aeи R,
используя информацию лишь о расстоянии от центра масс преследующего тела до
движущейся цели и о производной по времени этого расстояния.
= −R − mae− U, (19.2)
dt
157
158 19 Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки. . .
19.2 Построение вектора управления процессом сближения с целью в режиме торможения
Искомый вектор U представим в виде U = (U1+ U2) sign V2, где U1— непрерывная,
а U2— ступенчатая функции. Силу U1зададим в виде
2
V
U1= m
где S0— начальное расстояние между центрами масс тел, V0— начальная скорость
центра масс преследующего тела относительно цели. Заметим, что в случае R = 0 и
ae= 0 уравнение (19.2) при управлении U = U1имеет вид
0
, (19.3)
2S
0
dV
= −
dt
2
V
0
. (19.4)
2S
0
При интегрировании (19.4) получим
V −V0+
2
V
0
t = 0, S − S0− V0t +
2S
0
2
V
0
t2= 0. (19.5)
4S
0
Из уравнений (19.5) определяется время t1= 2S0/V0, при котором S и V одновременно обращаются в нуль. Таким образом, при управлении U1движение изображающей точки N в плоскости (S, V ) происходит по кривой от начальной точки N0(S0, V0) до
начала координат, где S = 0, V = 0. Эта кривая является дугой параболы, уравнение
которой имеет вид
S
0
S =
2
(V
− V2), (19.6)
0
2
V
0
следующий из теоремы об изменении кинетической энергии точки в конечной форме.
Теперь обоснуем необходимость введения в управление ступенчатой составляющей
U2и определим её выражение. При ae6= 0, R 6= 0 в правой части уравнения (19.4)
появляются слагаемые, при которых правая часть первого уравнения (19.5) не будет
равняться нулю. Поэтому, с целью наделения решений уравнения (19.2) свойствами
(19.5) и (19.6), предлагается следующая процедура. Введем квазискорость
2
V
˜
V = V − V0+
0
t, (19.7)
2S
0
представляющую собой разницу между значениями относительной скорости сближения объектов в реальных условиях, когда R и aeмогут принимать произвольные ограниченные значения, и при идеальном процессе, когда R = 0 и ae= 0 . Отсюда выразим
V через˜V :
2
V
V =˜V + V0−
0
t. (19.8)
2S
0
Подставляя (19.8) и U = U1+ U2в (19.2), в силу (19.3) получим
d˜V
m
= −U2− mae− R.
dt
19 Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки. . . 159
Умножим это уравнение на˜V и внесем˜V под знак дифференциала:
d
m˜V
!
2
= −˜V (U2+ mae+ R). (19.9)
dt
2
Функцию m˜V2/2 , которая является знакоопределенной положительной, примем
в качестве функции Ляпунова для стабилизации невозмущенного состояния системы,
задав при этом U2в виде
U2= U0sign˜V , (19.10)
где U0— положительная величина, удовлетворяющая условию U0> |mae+ R|, чтобы
добиться знакоопределенной отрицательности правой части уравнения (19.9). В силу
того, что линия разрыва (19.6) берет начало в точке N0(S0, V0), где функция˜V равна
нулю при t = 0, то при t > 0 изображающая точка N(S, V ) будет двигаться к началу
координат в скользящем режиме до прихода в начало координат в момент времени t1,
когда значения S и V одновременно обращаются в нуль. Таким образом, не произойдет
удара в момент контакта двух объектов.
19.3 Построение управления преследующим телом
переменной массы
Рассмотрим случай, когда преследующее тело управляется реактивной силой и его
масса зависит от времени.
В этом случае уравнение (19.2) примет вид
dV
m(t)
где U1= −V
dm
; Vr— скорость истечения массы относительно тела.
r
dt
Функцию U1, по аналогии с (19.3), зададим в виде
В этом случае, при R = 0, ae= 0, U2= 0 уравнение (19.11) имеет вид
откуда следуют уравнения (19.5), уравнение (19.6) линии разрыва и определяется время t1= 2S0/V0одновременного обращения S и V в нуль.
Теперь вернемся к общему случаю R 6= 0, ae6= 0, U26= 0 . Для того чтобы реаль-
ный процесс стыковки стал «квазиподобен» аналогичному процессу при отсутствии
случайных возмущений, воспользуемся процедурой, предложенной в предыдущем разделе. Введем квазискорость (19.7). Подставляя (19.8) и U = U1+ U2в (19.11), в силу
(19.12), получим
m(t)
= −R − m(t) ae− U1− U2, (19.11)
dt
2
V
U1= m(t)
dV
= −
dt
0
. (19.12)
2S
0
2
V
0
,
2S
0
d˜V
= −R − m(t) ae− U2.
dt
160 19 Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки. . .
Умножая это уравнение на˜V , получим
d
dt
m˜V
!
2
= −˜VU2+ mae+ R +
2
˜
V2dm
dt
. (19.13)
Теперь U2построим в виде U2= U0sign˜V , где U0> |mae+ R + ˙m˜V /2|.
Итак, при управлении
2
V
0
, (19.14)
2S
0
U = U1+ U0sign˜V , U1= −V
r
dm
= m(t)
dt
изображающая точка N(S, V ) будет двигаться вдоль линии разрыва (19.6) к началу
координат в скользящем режиме до прихода в начало координат в конечный момент
времени, когда значения S и V одновременно обращаются в нуль, тем самым удается
избежать удара в момент стыковки объектов.
19.4 Оценка расхода массы
Теперь определим расходуемую массу, затрачиваемую на управление U1в процессе
движения преследующего тела до момента стыковки с целью.
Из второго уравнения (19.14) следует
2
mV
0
2S0V
= 0.
r
+ νm = 0. (19.15)
При обозначении ν = V
dm
+
dt
2
/2S0Vrэто уравнение приобретает следующий вид:
0
dm
dt
Решая уравнение (19.15) при начальном условии m = m0, получим
m = m0e
−νt
, (19.16)
где m0— начальная масса тела.
Подставив t1= 2S0/V0вместо t в уравнение (19.16), определим величину
расхода массы при реактивном управлении в отсутствие случайных возмущений
∆m = m0− m(t1) в виде
∆m = m0− m0e
−2νS0/V
0
. (19.17)
19.5 Алгоритм самонастраиваемого управления
При выборе ступенчатой составляющей управления U2четких рекомендаций для выбора U0в (19.14) не имеется. В связи с этим предложим следующий алгоритм самонастраиваемого управления U в (19.2).
После замены V в (19.2) через˜V в виде (19.8), получим
˙
˜
m
V = U + U0, (19.18)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]