Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы безударной стабилизации программных многообразий. Монография
.pdf
9 О квазиинвариантности программных многообразий при возмущениях. . . 91
где˜f — сумма членов, не содержащих вектора ˙u; AT— (4×2n)-мерная матрица с
элементами
2
X
a
2+i,ν
aiν= e
="jν×
T
i
n
X
η=ν
T
k
jνkµ, a
µ
µ=1
(Iν+ sν)
#
T
ki, a
i,n+ν
= 0,
2+i,n+ν
= i
T
ki,
ν
i = 1, 2; ν = 1, 2, . . . , n.
Приравнивая правую часть уравнения (9.27) вышеупомянутой функции Φ, получим
Ω ˙u = Q, (9.28)
где
Ω = ATM, Q = Φ( ˙ω, ω, u, ¨x, ˙x, x, t) −˜f(¨x, ˙x, x, u, t).
При этом функция Φ должна обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения ˙ω = 0, ω = 0 уравнения (9.21) и необходимое качество
переходного процесса. Выбор функции, обладающей этими свойствами, изложен в разделе 9.2. Предположим, что det kΩΩTk 6= 0. Тогда искомое множество уравнений регу-
лятора можно представить в виде (9.22).
9.4 Заключение
В данной главе построено множество дифференциальных уравнений регуляторов,
обеспечивающих интегральность и асимптотическую устойчивость «в большом» программного многообразия системы, подверженной действию возмущений при любых
случайных значениях ограниченного постоянного вектора, являющегося вектором постоянных интегрирования дифференциального уравнения, общим решением которого
является возмущение. Асимптотическая устойчивость «в большом» заданного многообразия состояния системы не только к случайным начальным отклонениям от многообразия, но также и к случайному изменению вектора возмущений достигается путём
присоединения к уравнениям движения объекта управления еще и дифференциальных
уравнений регулятора. В результате получается система уравнений более высокого порядка, не содержащая явно действующих на систему возмущений. Тем самым действие
возмущений сводится лишь к дополнительным начальным отклонениям системы от
невозмущённого состояния.
Полученные результаты применены к управлению преследующим движением манипулятора при пропорциональной навигации, подверженного возмущениям из заданного класса функций.
Результаты, полученные в этой главе, можно отнести к новому направлению развития теории квазиинвариантности управляемых систем, когда невозмущаемым состоянием системы является многомерное интегральное многообразие.
Глава 10
Об управлении программным
движением без использования
информации о части переменных
Предложена процедура построения множества дифференциальных уравнений регулятора для управления программным движением без использования информации о
части переменных.
10.1 Постановка задачи
Пусть дана система дифференциальных уравнений движения объекта управления в
виде
˙x1= ϕ1(x1, x2, u, t) + R(x1, x2, t)x3,
˙x2= ϕ2(x1, x2, x3, u, t),
˙x3= ϕ3(x1, x2, x3, u, t),
где x1, ϕ1, x3— s-мерные, x2, ϕ2— (n − s)-мерные, u — r-мерный векторы; R —
(s×s)-мерная матрица.
Предполагается, что функции ϕ1, ϕ2, ϕ3и элементы матрицы R являются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функциями, а det kRk6= 0 в некоторой
ограниченной области G фазового пространства.
Требуется построить множество дифференциальных уравнений регуляторов, определяющих изменения вектора управления u, обеспечивающих интегральность и асимптотическую устойчивость «в большом» программного многообразия
ω1(x1, x2, t) = 0, ω2(x1, x2, x3, t) = 0 (10.2)
системы (10.1) без использования информации о векторе x3.
Заметим, что функции ω1и ω2в (10.2) являются k1- и k2-мерными непрерывными и непрерывно дифференцируемыми в G вектор-функциями. Предполагается, что
r ≥ k = k1+ k2.
(10.1)
10.2 Алгоритм построения множества уравнений ре-
гулятора
Вначале рассмотрим случай, когда (10.2) состоит лишь из первого равенства (10.2), не
зависящего явно от вектора x3.
92
10 Об управлении программным движением без использования информации. . . 93
Из первого уравнения системы (10.1) следует
x3= R−1[ ˙x1− ϕ1(x1, x2, u, t)]. (10.3)
Подставляя вместо x3в (10.1) выражение (10.3) и дифференцируя по t первое урав-
нение системы (10.1), получим
∂ϕ
¨x1=
∂u
1
˙u +
∂ϕ
∂x
1
1
˙x1+
∂ϕ
∂x
1
2
˙x2+
∂ϕ
∂t
dR
1
+
dt
−1
R
( ˙x1− ϕ1) + Rϕ3(x1, ˙x1, x2, u, t),
1
(10.4)
˙x2= ϕ2(x1, ˙x1, x2, u, t).
Теперь для того чтобы многобразие
ω1(x1, x2, t) = 0
было интегральным для системы (10.4), дифференцируем ω1в силу (10.4) два раза по
t и приравниваем результат к некоторой функции Φ( ˙ω1, ω1, x1, x2, u, t) такой, что она
обладает свойством Φ(0, 0, x1, x2, u, t) ≡ 0, и при этом тривиальное решение ω =0, ˙ω =0
уравнения
¨ω = Φ1( ˙ω1, ω1, x1, ˙x1, x2, u, t) (10.5)
является асимптотически устойчивым «в большом».
После этого получим
Ω1˙u =˜Q1, (10.6)
где
∂ ˙ω
∂ϕ
1
Ω1=
∂ ˙ω
∂ϕ
1
∂ ˙ω
∂x
∂x
1
1
1
1
˙x1−
˙x1+
˜
Q1= −
∂ ˙x
−
1
Предположим, что det kΩ1Ω
∂ ˙x
∂ ˙ω
∂x
T
k6= 0 в области G. При этом общее решение системы
1
1
∂ϕ
∂x
1
ϕ2−
2
∂u
1
ϕ2+
2
1
– (k1×r)-матрица,
∂ ˙ω
∂ϕ
∂t
1
dR
1
+
dt
R
−1
1
+ Φ1( ˙ω1, ω1, x1, x2, u, t).
∂t
( ˙x1− ϕ1) + Rϕ
−
3
(10.7)
(10.6), состоящей из k1конечных уравнений для определения r компонентов вектора
˙u, при r ≥k1имеет вид [114]
˙u = Ω
T
1
(Ω1Ω
T
)−1Q1+ [E − Ω
1
T
(Ω1Ω
1
T
)−1Ω1]˜u1, (10.8)
1
где E — единичная (r ×r)-матрица, ˜u1— произвольная r-мерная вектор-функция.
Полученное уравнение (10.8) является искомым множеством дифференциальных
уравнений регулятора объекта управления (10.1), не содержащим явно переменных,
являющихся элементами вектора x3.
Теперь рассмотрим случай задания программного многообразия в виде k2-мерного
векторного равенства
ω2(x1, ˙x1, x2, x3, u, t) = 0, (10.9)
явно зависящего от вектора x3.
Подстановка в (10.9) выражения (10.3) приводит (10.9) к рассмотренному выше
случаю.
94 10 Об управлении программным движением без использования информации. . .
Следовательно, дифференцируя левую часть этого уравнения по t и приравнивая
˙ω2к некоторой вектор-функции Φ2, получим уравнение вида (10.6) путём замены ˙ω
на ˙ω2, а Φ1( ˙ω1, ω1, ω2, x1, x2, u, t) на Φ2(ω2, x1, x2, t). При этом вместо уравнения (10.5)
будем иметь
˙ω2= Φ2(ω2, x1, x2, t) (10.10)
1
с асимптотически устойчивым «в большом» тривиальным решением ω2= 0.
Если det kΩ2Ω
T
k6= 0 в области G, где Ω2=
2
∂ ˙ω
∂ ˙x
∂ϕ
1
2
, то множество искомых диф-
∂u
1
ференциальных уравнений регулятора будет иметь вид (10.8), где Ω1заменено на Ω2.
Теперь пусть программное многобразие задаётся полностью в виде (10.2). В этом
случае уравнения для отклонений от программного многообразия образуют систему
¨ω1= Φ1( ˙ω1, ω1, ω2, x1, x2, u, t),
(10.11)
˙ω2= Φ2( ˙ω1, ω1, ω2, x1, x2, u, t),
а уравнения для определения ˙u — систему
Ω1˙u =˜Q1, Ω2˙u =˜Q2, (10.12)
где Ω2и˜Q2имеют вид (10.6), где ˙ω1заменено на ω2.
Решение (10.12) имеет вид (10.8)
˙u = ΩT(ΩΩT)−1Q + [E − ΩT(ΩΩT)−1Ω]˜u,
где
Ω =
Ω
Ω
1
,˜Q =
2
˜
Q
1
Q
,
˜
2
˜u — произвольная r-мерная вектор-функция. Заметим, что в случае r = k1+ k2по-
строенное уравнение становится единственным, так как при этом
[E − ΩT(ΩΩT)−1Ω] = 0
в силу квадратичности матрицы Ω.
Следует отметить, что от подходящего выбора произвольных вектор-функций Φ
и Φ2в (10.11) зависит качество переходного процесса в системе (10.1), (10.8). В связи
с этим приведём один из возможных способов выбора этих функций, позволяющий
наделить систему необходимым качеством переходного процесса.
С этой целью, умножая (10.11) на симметрические определённо-положительные
(k1×k1)- и (k2×k2)-матрицы A(x, t), N (x, t) с ограниченными, непрерывными и непрерывно дифференцируемыми элементами в области G, получим
A(x, t)¨ω1= AΦ1,
(10.13)
N(x, t) ˙ω2= NΦ2,
где x = (x1, x2).
В первом уравнении (10.13) вместо ˙ω1введём замену
y = ˙ω1− f (ω1, t), f (0, t) ≡ 0, (10.14)
1
10 Об управлении программным движением без использования информации. . . 95
где f (ω1, t) — произвольная k1-мерная вектор-функция с ограниченными и дифференцируемыми в G элементами, допускающая бесконечно малый высший предел по
модулю.
Умножая первое уравнение (10.13) скалярно на y, а второе на ω2, затем складывая,
получим
12d
(yTAy + ω
dt
T
Nω2) = yTAΦ1+ yTNΦ2.
2
Если векторы AΦ1и NΦ2в правой части этого уравнения задавать в виде [110]
AΦ1= −Dy − F1ω1− A
∂f
∂ω
1
T
y + A
"
∂f
T
f +
∂ω
1
∂f
∂t
#
12dA
−
dt
y,
(10.15)
12dN
NΦ2= −
ω2− F2ω2,
dt
то (10.13) принимает выражение
!
12dV
= −yTDy + fTF1+ ω
dt
˙
F
1
T
1
ω1− ω
2
T
F2ω2, (10.16)
2
где D1, F1, F2— некоторые произвольно выбираемые симметрические определённоположительные матрицы. V = yTAy + ω
T
F1ω1+ ω
1
T
F2ω2— определённо-положительная
2
функция Ляпунова, допускающая бесконечно малый высший предел. Следовательно,
T
при достижении определённой отрицательности функции (fTF1+ ω
˙
F1/2)ω1соответ-
1
ствующим выбором матрицы F1и функции f правая часть (10.16) будет определённоотрицательной по y, ˙ω1, ω1, ω2, и при этом программное многообразие (10.2) будет
асимптотически устойчивым «в большом» в области G.
В частности, при f = −ω1векторы (10.15) имеют вид
12dA
AΦ1= −Dy − F1ω1− A ˙ω1−
y,
dt
12dN
NΦ2= −
ω2− F2ω2.
dt
Здесь dA/dt, dN/dt предполагаются ограниченными в G.
Теперь из (10.15) получим
Φ1= −A−1(Dy + F1ω1) −
Φ2= −
∂f
∂ω
1
1
2
N
−1
dN
dt
T
∂f
y +
∂ω
1
ω2− N−1F2ω2.
T
f +
∂f
∂t
−
1
dA
−1
A
2
dt
y,
(10.17)
Для оценки качества переходного процесса, интегрируя обе части (10.16), получим
"
∞
Z
yTDy − fTF1+ ω
t
0
!
˙
F
1
T
1
ω1+ ω
2
T
2
F2ω
2
#
dt =
1
V0, V0= V (t0). (10.18)
2
Это равенство является интегральным показателем качества переходного процесса.
Имея свободу выбора матриц D, F1, F2, A и функции f , подынтегральному выражению
96 10 Об управлении программным движением без использования информации. . .
и функции V можно придать нужную структуру с необходимыми весовыми элементами.
При задании конкретного числового значения V0уравнение
1
(y
2
T
Ay0+ ω
0
T
F1ω10+ ω
10
T
F2ω20) = V
20
0
(10.19)
в 2k-мерном пространстве ˙ω10, ω10, ω20описывает эллипсоид, поверхность которого является геометрическим местом точек, обладающих следующим свойством.
Для начавшихся из них движений имеет место интегральный критерий качества
переходного процесса (10.18), а для всех начальных значений ˙ω10, ω10, ω20внутри эллипсоида (10.19) справедлива оценка качества переходного процесса
"
∞
Z
yTDy − fTF1+ ω
t
0
!
˙
F
1
T
1
ω1+ ω
2
T
F2ω
2
2
#
dt <
1
V0, V0= V (t0),
2
где V0— значение V (t) на поверхности (10.19).
10.3 Стабилизация заданной ориентации свободного
тела в пространстве без использования информации и скорости центра масс
Для иллюстрации предложенного в разделе 10.2 метода рассмотрим твёрдое тело, с
которым жёстко свяжем систему координат cxyz с началом в центре масс c. Дифференциальное уравнение для главного момента ˜u управляющих сил относительно точки
c тела построим так, чтобы одна ось тела, например cz, асимптотически стремилась
занять положение по направлению некоторого единичного вектора e при начальных
отклонениях cz от этого направления при любой произвольной ориентации этого вектора. Это требование будет удовлетворено, если многообразие
ωi= ki· e = 0, i = 1, 2, (10.20)
где k1, k2— орты осей cx и cy, (·) — знак скалярного произведения, является асимптотически устойчивым интегральным многообразием системы уравнений вращательного
движения тела вокруг центра масс.
Известно, что движение тела вокруг центра масс в осях подвижной системы координат cxyz и движение тела в инерциальной системе координат o1x1y1z1описываются
дифференциальными уравнениями
I ˙ω0= (Iω0×ω0) +˜M0+ ˜u,
(10.21)
m ˙v =˜f0(v, ω0, t),
где I — тензор инерции тела в точке c, ω0(p, q, r) — мгновенная угловая скорость тела,
p, q, r — проекции ω0на оси cx, cy, cz, f0— главный вектор заданных сил,˜M0— главный
момент заданных сил относительно точки c.
Предполагая зависимость˜M0от вектора v линейной, систему (10.21) представим в
виде
˙ω0= I−1[(Iω0×ω0) + M0(ω0, t)] + u + R(ω0, t)v,
(10.22)
˙v = f0(v, ω0, t),
10 Об управлении программным движением без использования информации. . . 97
где u = I−1˜u, f0=˜f0/m.
Из первого уравнения системы (10.21) получим
v = R−1˙ω0− R−1I−1[(Iω0ׯω0) + M0] −R−1u. (10.23)
Дифференцируя первое уравнение системы (10.22) по t и подставляя в него вместо
˙v правую часть второго уравнения этой системы, после подстановки в полученные
уравнения вместо v правой части (10.23), получим
¨ω0= ˙u +˜Q, (10.24)
где
˜
Q = R
dR
−1
u + R
dt
−1
dR
I−1[(Iω0ׯω0) + M0] + I
dt
d
−1
[(Iω0ׯω0) + M0] − R
dt
dR
dt
−1
˙ω0−Rf0.
Теперь для того, чтобы многообразие (10.20) стало интегральным и асимптотически
устойчивым «в большом», дифференцируем (10.20) три раза по t, используя формулу
Пуассона˙ki= ω0×ki. Получим
d3ω
= (ki×e) · ˙u + F( ˙ω0, ω0, u, t), (10.25)
3
dt
где F — члены, не содержащие вектора ˙u, ω — вектор с элементами ω1и ω2вида
(10.20).
Приравниваем правую часть этого уравнения вектор-функции
Φ = −a1¨ω − a2˙ω − a3ω, где a1, a2, a3— произвольные (2 × 2)-мерные постоянные
матрицы, такие, что вещественные части корней характеристического уравнения,
соответствующего системе
(3)
ω
+ a1¨ω + a2˙ω + a3ω = 0,
0
являются отрицательными.
После этого уравнение (10.25) принимает вид
Ωu = Q, Q = Φ − F, (10.26)
где Ω — (2×3)-матрица вида
Ω =
0 −(e · k3) (e · k2)
(e · k3) 0 −(e · k1)
.
Если det kΩΩTk6=0, то общее решение уравнений (10.26) получим в виде
˙u = ΩT(ΩΩT)−1Q + [E − ΩT(ΩΩT)−1Ω]u0, (10.27)
где E — единичная (3×3)-матрица, u0— произвольная трёхмерная вектор-функция.
Полученное уравнение (10.27) является векторной формой искомого множества
дифференциальных уравнений регулятора системы (10.21).
Глава 11
Построение уравнений регуляторов
квазиинвариантно-
стабилизированного преследующего
движения тела
Предлагается процедура построения множества дифференциальных уравнений регуляторов, обеспечивающих стабилизацию программной ориентации преследующего тела, совершающего движение по принципу пропорциональной навигации или по кривой
погони при произвольных значениях случайных параметров, входящих в выражения
возмущающих функций из заданного класса.
11.1 Постановка задачи
Рассмотрим твёрдое тело, жёстко связанное с подвижной системой координат cxyz.
Главный вектор управляющих сил˜u2построим так, чтобы центр масс тела c двигался по принципу пропорциональной навигации при погоне за преследуемой точкой o
при её движении по произвольному закону r0(t) относительно инерциальной системы
координат o1x1y1z1. При этом вектор управляющих моментов˜u1должен быть таким,
чтобы одна ось тела, например cz, асимптотически стремилась занять направление
co. Следовательно, программная ориентация тела в этом случае может быть задана
выражениями
ki· v = 0, ei· ωv= b(ωe· ei), (i = 1, 2), (11.1)
где k1, k2, k3— орты осей cx, cy, cz, e1, e2— единичные ортогональные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной линии визирования co, v — вектор скорости
центра масс c тела, ωv— вектор угловой скорости вращения вектора v, ωe— вектор угловой скорости вращения линии визирования co, b — заданный коэффициент
пропорциональности.
Заметим, что при выполнении условий (11.1) вектор v будет направлен по оси z тела
с ортом k3. Следовательно, вектор ωvбудет равен сумме компонентов вектора угловой
скорости тела на оси с ортами k1и k2. При таком принципе навигации угловая скорость
ωeлинии визирования и её производные по t считаются доступными измерению в
каждый момент времени.
Известно, что движение центра масс в инерциальной системе координат o1x1y1z1и
вращательное движение тела вокруг центра масс в осях подвижной системы координат
98
11 Построение уравнений регуляторов. . . 99
cxyz описываются уравнениями
I˙ω0= (Iω0×ω0) + M∗+˜u1+˜R1δ(c, t),
(11.2)
m˙v = f +˜u2+˜R2δ(c, t),
˙
δ = f(δ, t), (11.3)
где I — тензор инерции тела в точке c, ω0(p, q, r) — мгновенная угловая скорость тела,
p, q, r — проекции ω0на оси cx, cy, cz, m — масса тела, M∗— главный момент заданных
сил относительно центра масс c, f — главный вектор заданных сил, δ(c, t) — вектор
возмущений, зависящий от конечномерного вектора c со случайными постоянными
компонентами ci(i = 1, 2, . . . , 6), являющимися постоянными интегрирования заданной
6-мерной системы дифференциальных уравнений,˜R1,˜R2— (3×6)-мерные матрицы
распределения возмущений δ между каналами управления.
Уравнения (11.2) представим в виде
˙
ω0= I−1[(Iω0×ω0) + M∗] + u1+ R1δ,˙v = f/m + u2+ R2δ,
u1= I
−1
˜
u1, u2=˜u2/m, R1= I
−1
˜
R1, R2=˜R2/m.
(11.4)
Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: построить множество дифференциальных уравнений регуляторов, определяющих изменения векторов
управления u1, u2, обеспечивающих интегральность и асимптотическую устойчивость
«в большом» программного многообразия (11.1) системы (11.2), подверженной действию возмущений δ(c, t) при любых случайных значениях 6-мерного ограниченного
постоянного вектора c, являющегося вектором постоянных интегрирования уравнения
(11.3), общим решением которого является возмущение δ(c,t).
Таким образом, предполагается аппроксимация любой реализации возмущений δ
конкретным выбором постоянных параметров ci(i = 1, 2, . . . , 6).
Идея метода борьбы с возмущениями δ заключается в том, чтобы сделать заданное невозмущённое состояние (11.1) системы (11.4), замкнутой дифференциальными
уравнениями регулятора, асимптотически устойчивым «в большом» не только к случайным начальным отклонениям от многообразия (11.1), но также и к случайному
изменению вектора c для любых реализаций из некоторой заданной ограниченной области, не выводящей систему из заданной ограниченной фазовой области G.
В случае, когда в качестве невозмущённого состояния принимается одно из частных решений системы (11.4), полная инвариантность и квазиинвариантность сводятся
к классическим определениям, принятым в работах В.С. Кулебакина, Б.Н. Петрова,
тесно связанными с теорией K(D)-изображения.
В этом случае многообразие невозмущённого состояния системы имеет нулевую меру, и, следовательно, эти определения не охватывают в полной мере задачу о полной
инвариантности программного многообразия при действии на систему произвольных
возмущений, а также поставленную здесь задачу квазиинвариантности при возмущениях из заданного класса.
100 11 Построение уравнений регуляторов. . .
11.2 Алгоритм решения задачи
Уравнения (11.4) можно представить в виде
˙x = B(x, t) + u + Rδ,
B(x, t) =
I−1[(Iω0×ω0) + M∗]
f/m
, u =
u
1
u
2
, x =
ω
0
v
, R =
R
1
.
R
2
Требования (11.1) представим в виде
ω1(x, t) = 0, ω2(x, t) = 0, (11.6)
где ω1, ω2— двумерные векторы с элементами
i
1
T
= e
(ωv− bωe), ω
i
ω
i
2
T
= k
v, (i = 1, 2). (11.7)
i
Условие det kRk 6= 0 позволяет выражать вектор δ с помощью уравнения (11.5) в
виде
δ = R−1( ˙x − B − u). (11.8)
Дифференцируя по t (11.5), получим
¨x = ˙u +
dB
+ R˙δ +
dt
dR
δ. (11.9)
dt
Заменяя˙δ, δ в правой части этого уравнения их значениями (11.3) и (11.8), получим
¨x = ˙u +˜f0( ˙x, x, u, t),
˜
f0=
dB
+ Rf
dt
R−1( ˙x − B − u), t+
0
dR
R−1( ˙x − B − u).
dt
(11.5)
(11.10)
Таким образом, вместо исходной системы (11.5) получили систему (11.10) более высокого порядка, не содержащую явно вектора возмущений δ. Теперь потребуем, чтобы многообразие (11.6) было интегральным многообразием этого уравнения (11.10).
Для этого дифференцируем (11.6) два раза по t и приравниваем результат некоторой
вектор-функции Φ( ˙ω, ω, u, ˙x, x, t), обладающей свойством Φ(0, 0, u, ˙x, x, t) ≡ 0 и спо-
собностью обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» многообразия
(11.6). Здесь
ω =
ω
1
.
ω
2
При этом необходимо использовать известные формулы Пуассона и выражение для
вектора ωv:
2
X
µ=1
k
T
ω0kµ.
µ
˙
ki= ω0×ki, (i = 1, 2, 3), ωv=
После этой процедуры дифференцирования (11.6) получим
¨
ω = Ω ˙u +˜f( ˙x, x, u, t),
Ω =
T
e
1
T
e
2
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
k1e
k1e
T
k20 0 0 0
1
T
k20 0 0 0
2
,
(11.11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]