Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
4.5 Результаты решения тестовых задач .
111
M
м
w
,
м
w
,
*
%
,w
∆
кНм
My,
кНм
M
y
,
∗
%
,
y
M
∆
3
3,70
4,91 10
-2
24,62
18,27
36,53
50
5
4,92 10
-2
4,91 10
-2
0,2
36,53
36,53
0 7 4,92 10
-2
4,91 10
-2
0,2
36,53
36,53
0 9 4,92 10
-2
4,91 10
-2
0,2
36,53
36,53
0
кН F
738,13
=
y
M
∗
y
M
M
кНмMy,
кНмMy,
∗
%,yM
∆
3
30,91
61,82
50 5 58,05
61,82
6 7 59,17
61,82
4,2 9 60,37
61,82
2,3
.
хождение результатов расчетов по прогибам составляет 0,2 %,
величины моментов совпадают.
Таблица 4.5. Результаты расчетов для консольной балки
при упругих деформациях
Результаты расчетов указанной консольной балки при
упругопластических деформациях представлены в таблице 4.6.
Расчеты проводились при значении нагрузки
, ко-
торая практически равна предельной нагрузке, при которой в
заделке возникает пластический шарнир. Данные таблицы показывают, что при увеличении числа членов Mв рядах (4.6) рас-
четные значения изгибающего момента
ям
найденным по формулам сопротивления материалов.
сходятся к значени-
Таблица 4.6. Результаты расчетов для консольной балки
при упругопластических деформациях
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
112
,3 кНF =
,
1 мl
=
,МПаE
5
102⋅=
МПаG
4
108 ⋅
=
мl
3=
МПа,E
5
1012 ⋅=
МПа,G
4
1018 ⋅=
6122
106,351 мdAJ
A
−
⋅==
∫∫
ω
ω
4122
103,281 мdAzJ
A
td
−
⋅==
∫∫
M
м
w
,
м
w ,
*
%
,w
∆
кНм
M
y
,
кНм
My,
∗
%
,
y
M
∆
3
7,27 10
-2
9,55 10-2
23,8
15,71
36,52
56,9
5
9,59 10-2
9,55 10-2
0,4
36,53
36,52
0,03
7
9,59
2
10
−
9,55 10-2
0,4
36,53
36,52
0,03
9
9,59
2
10
−
9,55 10-2
0,4
36,53
36,52
0,03
расчета ..
В таблице 4.7 приведены данные расчета статически
неопределимой рамы, показанной на рис. 4.9. Элементы рамы –
стержни, в виде стандартного двутавра № 22. Полагалось
. В этом случае
в раме возникают только упругие деформации. Представленные
в таблице результаты иллюстрируют сходимость рядов (4.6) при
расчете рамной конструкции. Как видно из таблицы, при значении числа членов в рядах (4.6) М = 5, 7, 9 наибольшее расхождение результатов расчетов по прогибам составляет 0,4 %, а для
моментов 0,03%.
Таблица 4.7. Данные расчета статически неопределимой
рамы
На рис. 4.10 представлены расчетные схемы статически
определимого и статически неопределимого тонкостенного
стержня с поперечным сечением в виде швеллера (рис. 4.11).
Размеры поперечного сечения приведены на рис. 4.11. При рас-
четах полагалось
,
,
секториальный момент инерции
момент инерции при свободном кручении
, осевой момент инерции
,
,
4.5 Результаты решения тестовых задач .
113
482
106,126 мdAzJ
A
y
−
⋅==
∫∫
мкН
q /01,
0=
мe
0335,0=
1
j
∫∫
=
А
x
dAB
ωσ
Рис. 4.10. Расчетная схема статически определимого (а)
а)
б)
e
q
l
x
y
z
e
q
l
x
y
z
.
. Интенсивность распределенной
нагрузки
, эксцентриситет приложения нагрузки
. Деформации являются упругими.
и статически неопределимого (б) стержня
Результаты расчетов указанных статически определимого
и статически неопределимого стержней приведены, соответственно, в таблицах 4.8 и 4.9. Для сравнения также приведены
максимальные величины и значения в различных сечениях угла
поворота
поперечного сечения стержня вокруг оси Ох,
функции меры депланации β, бимомента
ченных по технической теории В.З. Власова. Из сравнения приведенных данных видно, что наибольшее расхождение результа-
, полу-
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
114
Определяемые
max
max
1
j
.рад
max
β
м/1
max
B
2
мкН ⋅
Вариационный
метод
4
1026,2
−
⋅
3
1057,8−⋅
4
1093,9−⋅
По теории
В.З. Власова
4
1025,2−⋅
3
1056,8−⋅
4
1093,9−⋅
o
z
y
15
15
15
10
165
50
Рис. 4.11. Поперечное сечение стержней
расчета ..
тов, поученных по описанному методу и по методам, изложенным в [8, 9, 15], не превышает 4 %.
Таблица 4.8. Результаты расчетов статически определимого
стержня
параметры
,
,
,
4.5 Результаты решения тестовых задач .
115
м
кНT
⋅
=1
0
кН
m 100=
МПа,E
5
101
2 ⋅=
МПа,G
4
10
18 ⋅
=
44
10667,1 мJ
x
−
⋅=
47
1036,
3 мJ
d
−
⋅=
66
10081,1 мJ
−
⋅=
ω
∫∫
=
А
x
dAB
ωσ
1
j
3
j
2
u
Координаты
стержня
0=х
м
х 75,
0
=
мх 5,1=
Определяемые
параметры
B
2
мкН ⋅
β
м/1
1
j
.рад
B
2
мкН ⋅
Вариационный
метод
3
10240,0
−
⋅−
3
10897,0
−
⋅
3
10904,0
−
⋅
3
10116,0
−
⋅
[15]
3
10232,0
−
⋅−
3
109097,0
−
⋅
3
10907,0
−
⋅
3
101165,0
−
⋅
По теории
В.З. Власова
3
10
2404,0
−
⋅−
3
109173,0
−
⋅
3
−
3
10115,0
−
⋅
.
Таблица 4.9. Результаты расчетов статически
неопределимого стержня
сечения
,
,
,
,
0
⋅
10898,
Результаты расчетов статически определимой (рис. 4.12,а)
и статически неопределимой (рис. 4.12,б) рам с поперечным сечением в виде двутавра представлены в таблицах 4.10, 4.11. По-
лагалось
,
,
,
,
,
,
. Деформации являются упругими.
Данные расчетов приводятся для бимомента
, углов поворота поперечного сечения стержня
,
вокруг осей Ох и Оz, прогиба
.
В таблицах 4.10, 4.11 также приведены расчетные данные,
полученные по программе ANSIS и по методике, изложенной в
[8, 9]. Расхождение результатов, полученные по излагаемой методике от расчетных данных, полученных по программе ANSIS
и методике [8, 9], не более 5%.
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
116
Бимомент в
узле А
Углы поворота и прогиб
на свободном конце
A
B
2
мкН
1
j
.рад
2
j
.рад
2
u
Вариационный метод
1,480
0,105
0,0313
0,124
По программе
ANSIS
По методике [8, 9]
1,410
– – –
Рис. 4.12 Расчетные схемы:
10
10
10
320
300
300 мм
в)
0
T
м4
м4
а)
В
С
А
0
m
б)
м4
м4
расчета ..
а) статически определимой рамы;
б) статически неопределимой рамы,
в) форма и размеры сечений элементов рам
Таблица 4.10. Результаты расчетов статически
определимой рамы
Определяемые
параметры
,
,
,
, м
1,460 0,107 0,0321 0,142
4.5 Результаты решения тестовых задач .
117
мкНT ⋅= 10
0
м
D
cр
4,
0=
48
108,41 мJ
d
−
⋅=
68
102592
мJ
−
⋅=
ω
28
/101.2 мкНE ⋅=
27
/101.8 мкНG ⋅=
1
j
1
j
β
Бимомент
в узле А
A
B
2
мкН
B
B
2
мкН
C
B
2
мкН
Вариационный метод
6,11
16,3
-2,61
По программе
ANSIS
По методике
[8, 9]
.
Таблица 4.11. Результаты расчетов статически
неопределимой рамы
Определяемые
параметры
,
Бимомент в узлах В и С
,
,
6,041 15,56 -2,797
6,36 15,95 -2,835
На рис. 4.13 показан консольный стержень с сечением в
виде незамкнутого кольца, загруженный сосредоточенным крутящим моментом
сти сечения
ном кручении
ции сечения
стержня -
, момент инерции сечения при свобод-
. Диаметр срединной поверхно-
, секториальный момент инер-
. Характеристики материала
,
. Деформации
являются упругими.
Результаты расчета, полученные по описанному методу и
по теории В.З. Власова, приведены в таблице 4.12. Как видно из
таблицы, различие максимальных значений угла закручивания
и меры депланации β, определенных по различным теориям,
составляет, соответственно, 13% и 11%. Значение бимомента B
в заделке отличается на 0,5%. Указанное различие значений
и
объясняется тем, что при использовании вариационного ме-
тода, в отличие от теории В.З. Власова, учитываются деформации сдвига.
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
118
Определяемые
параметры
max
1
j
.рад
max
β
м/1
max
2
мкН
Вариационный
метод
По теории
В.З. Власова
мкНT 10
0
=
0
T
м
l 4=
x
y
z
а)
z
y
мr 195,0=
б)
Рис. 4.13. Расчетная схема (а) и поперечное сече-
мR
205,0
=
О
расчета ..
ние консольного стержня (б)
Таблица 4.12. Результаты расчета консольного стержня
,
0,04487 0,01645 38,5
0,03965 0,01481 38,7
Результаты расчета консольного криволинейного стержня
(рис. 4.14), загруженного крутящим моментом
представлены в таблице 4.13 и на рис. 4.15. Продольная ось
,
,
B
4.5 Результаты решения тестовых задач .
119
м
R 3
0
=
МПа
,E
5
10
12
⋅
=
МПа,
G
5
10
12 ⋅
=
47
1036,3 мJ
d
−
⋅=
66
10081,
1 мJ
−
⋅=
ω
44
10667,1 м
J
x
−
⋅=
1
j
Рис. 4.14. Расчетная схема (а) и поперечное сечение
а)
3 м
3 м
0
T
320
10
10
10
300
300 мм
б)
.
стержня - дуга окружности радиуса
. Форма поперечно-
го сечения стержня, её геометрические характеристики приведены на рис. 4.14,б. При расчетах полагалось
,
,
. Деформации являются упругими.
,
,
криволинейного стержня (б)
В таблице 4.13 представлены полученные по результатам
расчета максимальные значения угла закручивания на
свободном конце стержня
, крутящего момента и бимомента.
Для сравнения в таблице 4.13 также приведены результаты
расчета стержня по программе ANSIS. Наибольшее расхождение
результатов находится в пределах 1,5% .
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
120
Определяемые параметры
max
1
j
,
рад
max
T
,
мкН
max
B
,
2
мкН
Вариационный метод
0,4938
10,0
15,0
По программе ANSYS
0,4984
10,0
15,18
Рис. 4.15. Эпюры крутящего момента Т (а)
10,6
15
В, кН м
2
а)
7,07
10
Т, кН м
б)
расчета ..
Таблица 4.13
На рис. 4.15 приведены эпюры крутящего момента Т и
бимомента В.
и бимомента В (б)