Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
5.2 Вариационные соотношения и методика определения
131
р
упр
A
[ ]
∫
+++=
q
l
yyy
dlxuxqxuxqxuxqW )(
~
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
332211
δδδδ
[ ]
++++
∑
=Kk
k
y
kk
y
kk
y
k
xuFxuFxuF
1
332211
)(
~
~
)(
~
~
)(
~
~
δδδ
∫
+++
+
m
l
ууу
dl
mmm
)
~
~
~
~
~
~
(
33221
1
jδjδjδ
[ ]
)(
~
~
)(
~
~
)(
~
~
332211
1
j
y
jj
y
jj
y
j
J
j
xMxMxM
jδj
δjδ
+++
∑
=
ууу
q
qq
321
~
,
~
,
~
у
i
у
i
у
i
FFF
321
~
,
~
,
~
ууу
mmm
321
~
,
~
,
~
у
k
у
k
у
k
ММ
М
32
1
~
,
~
,
~
ррр
uu
u
321
~
,
~
,
~
ррр
321
~
,
~
,
~
jjj
р
β
32
1
~
,~,
~
u
uu
321
~
,
~
,
~
jjj
( ) ( )
( )
.
~~
,
~~
,
~~
1
111
11
tfB
tfDtfC
uu
m
M
m
i
m
i
m
M
m
i
km
i
kkm
M
m
i
km
i
kk
∑
∑∑
=
==
==
====
ββ
jj
3,2,1=k
Ni ,1=
i
km
C
i
km
D
i
mB1
напряженно-деформированного состояния усиленных
стержней .
которых возникают, соответственно, упругие и пластические
деформации;
– площади сечений, в которых возникают,
упругие деформации и действуют ремонтные напряжения.
Вариация работы внешних сил, действующих на стерж-
невую систему после усиления,
.
Здесь
,
нагрузки, действующие на конструкцию после усиления.
Как уже отмечалось, при определении
,
стержневая система разбивается на N участков.
Для нахождения
участков компоненты векторов перемещений, углов поворота и
мера депланации также представляются в виде рядов (4.6):
Здесь
;
.
Коэффициенты рядов (5.7)
из условия (5.6). Перемещения деформации и напряжения вы-
,
,
–
,
,
, β, на каждом из этих
(5.7)
,
,
определяются
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
132
ttt
zyMx
∫∫∫∫
+=
у
пл
у
упр
A
пл
x
A
у
x
dA
dAN
σσ
,
∫∫∫∫
+=
у
пл
tt
у
упр
tt
А
yплyx
А
yуyxу
dAtdAtQ
tt
,
∫∫
∫∫
+
=
у
пл
t
t
у
упр
t
t
А
z
пл
y
x
А
z
у
y
x
z
dAt
dAt
Q
tt
∫∫∫∫
+=
y
пл
y
упр
tt
A
пл
x
A
yx
x
y
dA
zdA
z
M
σσ
∫∫∫∫
+=
y
пл
y
упр
A
пл
x
A
у
xz
dAydAyM
σσ
dAdAB
у
упр
у
пл
А A
пл
x
у
x
ωσωσ
∫∫
∫∫
+=
∫∫∫∫
∗
+=
у
пл
t
t
у
упр
t
t
A
tплy
x
А
tуy
x
dAzkdA
zkH
tt
*
∫∫∫∫
−+−=
у
пл
у
упр
A
yплотсzплотс
А
y
у
отсz
у
отс
dAztytdAztytM )()(
tttt
ω
пл
отс
у
отс
t
t
,
мПаЕ
5
102⋅=
кНмMM
у
80==
кНмMM
p
40==
кНмM 40=
∆
числяются в локальных декартовых системах координат
по приведенным в первой главе формулам.
Усилия и моменты, возникающие в поперечных сечениях
стержня, вычисляются с использованием соотношений:
,
,
,
,
,
.
Здесь
- постоянные по толщине профиля касательные
напряжения, определяемые по формулам, которые получаются
из уравнений равновесия отсеченной части стержня.
5.3 Результаты расчетов усиленных стержней
На рис. 5.4 приведена расчетная схема и показано попе-
речное сечение консольного стержня. При усилении, сечение
стержня в виде двутавра I (рис. 5.4,б) увеличивается за счет при-
соединения к верхней полке двутавра стержня II с прямоуголь-
ным поперечным сечением. Материал основного и усиливающе-
го элементов – Ст. 3 (
).
После усиления на стержень действует крутящий момент
, который складывается из момента, действу-
ющего в период усиления
мента
, прикладываемого после выполненного
и добавочного мо-
5.3 Результаты расчетов усиленных стержней .
133
у
M
p
M
y
б)
40 40
15
18
17
14
13
4
9
8
10
12
I
II
40
40
600
880
840
11
16
z
мl 4
=
M
x
а)
Рис. 5.4. Расчетная схема (а) и поперечное сечение (б)
усиления. Возникающие в стержнях под воздействием моментов
,
деформации являются упругими.
7
6
5
3
2
1
консольного стержня
Результаты расчета для максимальных значений угла за-
кручивания, депланации и бимомента, полученные с использованием вариационного метода, представлены в таблице 5.1. В
этой таблице также приведены результаты расчета по методике,
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
134
Результаты расчетов стержня до усиления при действии
кНмMр40=
Определяемые
параметры
p
1
j
p
β
p
B
По методике [30]
0,0122
0,00448
114,3
Вариационный
метод
Результаты расчетов стержня после усиления при действии
кНмM
у
80=
Определяемые
параметры
p
1
j
p
β
p
B
Вариационный
метод
p
x
σ
р
t
у
x
σ
у
t
р
t
−
−+=
ω
β
jj
t
o
р
oz
р
oy
р
o
р
р
S
хd
xd
S
d
х
xd
S
хd
xd
A
хd
xud
h
E
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
)(
)()()(
∫∫∫∫∫∫
=
=
=
ooo
А
o
А
oz
А
oy
dASdAySdAzS
ω
ω
,,
o
А
изложенной в [30]. Сравнение данных, полученных разными методами, показывает, что их различие находится в пределах 3,3%.
Таблица 5.1 Результаты расчетов стержня при кручении
, рад
, 1/м
, кН м2
0,0128 0,00465 117,0
, рад
, 1/м
, кН м2
0,0177 0,00633 198,0
Значения напряжений, возникающих в заделке, в различ-
ных точках поперечного сечения стержня (рис. 5.4, точки 1 - 18)
до (
Касательные напряжения
,
) и (
,
) после усиления, приведены в таблице 5.2.
вычислены с использованием фор-
мулы (1.55), которая в рассматриваемом случае может быть
представлена в виде
,
где
,
ченной части сечения, h - толщина стенки тонкостенного элемента. когда уравнение равновесия записывается для части
- площадь отсе-
5.3 Результаты расчетов усиленных стержней .
135
у
t
Точки
Напряжения
p
x
σ
р
t
у
x
σ
у
t
1
60,7 0 82,7
0 2 60,7 0 82,7
0 3 0 0 19,0
0 4 0 0 19,0
0 5 0
2,88
0
4,18 6 0
2,88
0
4,18 7 0 0 0
1,3 8 0 0 0
1,3
9
- 60,7
0
- 82,7
0
10
- 60,7
0
- 82,7
0
11 0 0
19,0
0
12 0 0
19,0
0
13
60,7 0 98,6
0
14
60,7 0 98,6
0
15 0 2,88
0
5,48
16 0 2,88
0
5,48
17
- 60,7
0
- 98,6
0
18
- 60,7
0
- 98,6
0
стержня. Аналогичная формула использована для определения
значений
.
Таблица 5.2 Напряжения в точках
поперечного сечения стержня
сечения
, мПа
, МПа
, МПа
, МПа
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
136
20
б)
I
110
370
20
20
410
560
600
200
20
20 20
II
Рис. 5.5. Расчетная схема статически неопре-
стержня (б)
y
m
1
м
l
4
=
x
y
z
а)
делимого стержня (а); поперечное сечение
Как видно из таблицы, в рассмотренном случае увеличение площади поперечного сечения стержня на 29,5% и величины крутящего момента на 100%, приводит к возрастанию максимальных нормальных напряжений на 61,5%.
Результаты расчета стального стержня, защемленного по
концам и нагруженного равномерно распределенным по длине
5.3 Результаты расчетов усиленных стержней .
137
y
m
1
мПа
Е
мПа
Т
5
10
2,
240
⋅=
=
σ
м
l 4
=
мкНмm
р
/1
1
=
м
кНмm /
41=
∆
мкНмm
у
/5
1
=
Результаты расчетов при действии ремонтной нагрузки
м
кНмm
р
/11=
p
1
j
p
β
p
B
мx 2=
мx 1= 0=x
По методике [30]
0,001235
0,000919
1,181
Вариационный ме-
тод
Расхождение ре-
зультатов
Результаты расчетов после усиления при действии
мкНмm
у
/5=
p
1
j
p
β
p
B
мx 2=
мx 1=
0=x
Вариационный ме-
тод
крутящим моментом
(рис. 5.5, а), приведены в таблице 5.3.
Исходное поперечное сечение стержня - двутавр I (рис. 5.5, б).
При усилении поперечное по всей длине стержня сечение увеличивается за счет присоединения к двутавру стержня с сечением в виде швеллера II (рис. 5.5, б).
Материал основного и усиливающего элементов – Ст. 3
(
). До усиления на стержень дли-
ной
действует крутящий момент
. После
усиления к стержню прикладывается дополнительный крутящий
момент
становится равной
. Суммарная нагрузка после усиления
. Возникающие в стержне де-
формации являются упругими.
Таблица 5.3 Результаты расчетов стержня при кручении
Определяемые па-
, рад
, 1/м
, кН м2
раметры
0,001285 0,000933 1,19
4 % 1,5 % 0,75 %
Определяемые па-
, рад
раметры
0,00371 0,00267 5,74
, 1/м
, кН м2
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
138
мПаЕмПа
т
5
102,240 ⋅==
σ
кНмMM
р
40
1
==
кНFF
p
500
2
==
кНмM
M
у
801=
=
кНFF
у
1000
2
==
Рис. 5.6 Расчетная схема (а)
y
z
мl 4
=
M
x
а)
F
40 б)40
40
40
840
880
600
В таблице 5.4 приведены результаты расчета консольного
стержня, нагруженного крутящим моментом M и сосредоточенной силой F, приложенными на свободном конце стержня
(рис. 5.6,б). При усилении, сечение стержня в виде двутавра
увеличивается за счет присоединения к верхней полке двутавра
стержня с прямоугольным поперечным сечением (рис. 5.6,б).
Длина и размеры сечения стержня показаны на рис. 5.6. Материал основного и усиливающего элементов – Ст. 3
(
). До усиления на стержень дей-
ствовали нагрузки
усиления –
и
,
.
. После
и поперечное сечение стержня (б)
5.3 Результаты расчетов усиленных стержней .
139
1
j
пл
А
Результаты расчетов при действии ремонтных нагрузок
кНмM
р
40=
кНF
p
500=
Вычисленные
р
1
j
р
β
р
B
2
, мА
пл
Без учета де-
ния
С учетом де-
планации
кНмM
у
80=
кНFу1000=
Вычисленные
параметры
1
j
у
β
B
2
, мА
пл
Без учета де-
ния
С учетом де-
планации
В таблице 5.4 приведены максимальные значения угла
закручивания стержня
, депланации β, бимомента B, пло-
щади пластических деформаций
в поперечном сечении, ко-
торые получены для стержня до и после усиления, с учетом и
без учета депланации сечения.
Таблица 5.4 Результаты расчетов стержня при изгибе
с кручением
параметры
планации сече-
,
, рад.
, 1/м
0,0478 – – 0
, кН м2
0,0128 0,00465 117,0 0
Результаты расчетов после усиления стержня
,
у
, рад.
, 1/м
, кН м2
планации сече-
0,0491 – – 0
0,0177 0,00637 198,0 0,00402
Как видно из представленных данных, учет депланации
сечения оказывает существенное влияние на характеристики
напряженно-деформированного состояния усиленного и неуси-
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
140
0=
пл
А
2
00402,0 мА
пл
=
ленного стержней. При расчете без учета депланации возникающие в усиленном стержне деформации получаются упругими
(
). При учете депланации появляется зона пластических
деформаций (
). Таким образом, получается, что
в подобных случаях без учета депланации невозможно даже
предсказать возникновение пластических деформаций в усиленном стержне.