Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
Министерство образования и науки России
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
М. Н. Серазутдинов, М. Н. Убайдуллоев
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Монография
Казань
Издательство КНИТУ
2016
2
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. Ю. Г. Коноплев
д-р техн. наук, проф. В. А. Фирсов
ISBN 978-5-7882-1954-7
©
Серазутдинов М. Н., Убайдуллоев М. Н., 2016
©
Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2016
УДК 539.3
ББК 30.12
С32
Серазутдинов М. Н.
Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных
тонкостенных стержней : монография / М. Н. Серазутдинов,
М. Н. Убайдуллоев; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед.
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2016. – 144 с.
ISBN 978-5-7882-1954-7
В монографии представлены основные положения теории и вариационного метода расчета тонкостенных прямолинейных и криволинейных стержней, основанные на использовании соотношений для
компонент деформаций прямоугольной полосы. Приведены вариационные соотношения для стержней с открытым, закрытым и комбинированным профилями. Представлены результаты расчетов тонкостенных стержней открытого профиля различной формы, а также стержней, усиленных в напряженном состоянии.
Предназначена для студентов, аспирантов, преподавателей и
научных работников, специализирующихся в области механики конструкций.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического
университета
Оглавление .
3
Предисловие.............................................................................
5
Глава 1 Соотношения теории тонкостенных стержней
открытого профиля…………………………….
9
1.1. Основные положения теории тонкостенных стержней
ремещений…………………………………………..…….
9
1.2. Формулы для вычисления деформаций, напряжений и
момента чистого кручения………………………….……
16
1.3. Вариационный принцип Лагранжа для стержня откры-
того профиля……………………………………………...
21
1.4. Внутренние силовые факторы……………….…………..
26
1.5. Формулы для вычисления нормальных и касательных
напряжений……………………………………………….
28
1.6. Потенциальная энергия деформации стержня в усилиях
и моментах…………………………………….……….
35
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней за-
крытого профиля…………………………………
39
2.1. Основные предположения, перемещения и деформа-
ции…………………………………………………………
39
2.2. Вариационный принцип Лагранжа, внутренние силы
47
2.3 Напряжения в поперечных сечениях стержня…………..
53
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней ком-
бинированного профиля.................................
58
3.1. Перемещения, деформации, напряжения для тонкостен-
ных стержней комбинированного профиля………..
58
3.2. Вариационный принцип Лагранжа для комбинирован-
ного профиля……………………………………………...
66
Оглавление
открытого профиля, соотношения для определения пе-
Оглавление .
4
3.3. Вычисление внутренних сил, нормальных и касатель-
ных напряжений…………………………………………..
69
ГЛАВА 4 Основные соотношения вариационного метода
расчета...............................................................
78
4.1 Методика определения напряженно-деформированного
состояния………………………………………………….
78
4.2 Алгоритмы численного интегрирования………………...
86
4.3 Вычисление секториальных характеристик тонкостенного стержня……………………………………………
95
4.4 Расчет напряженно-деформированного состояния при
пластических деформациях……………………………...
103
4.5 Результаты решения тестовых задач………………..…..
110
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней…..
121
5.1 Особенности расчета усиленных стержней……….…...
121
5.2 Вариационные соотношения и методика определения
стержней…………………………………………………..
126
5.3 Результаты расчетов усиленных стержней……….……
132
Список литературы………………………………………….
141
напряженно-деформированного состояния усиленных
Предисловие .
5
Предисловие
Как известно, созданная трудами многих ученых теория
тонкостенных стержней в настоящее время в достаточной мере
разработана и широко используется для расчета напряженнодеформированного состояния и устойчивости стержневых конструкций. Публикаций, связанных с теорией и расчетом тонкостенных стержней очень много. Касаясь истории и общих вопросов создания и использования отечественными учеными теории тонкостенных стержней отметим следующее.
Теория тонкостенных стержней открытого профиля пред-
ставлена в общей и законченной форме в фундаментальной монографии [9]. Варианты изложения материала, применение теоретических выкладок для расчета элементов конструкций приведены в монографиях [8, 29]. Отметим, что в [8, 9] представлена и используется теория тонкостенных стержней открытого
профиля, основанная на гипотезе отсутствия сдвигов в поперечных сечениях стержня.
Обширный материал по теории тонкостенных стержней
открытого, закрытого и комбинированного профиля представлен [29]. В этой фундаментальной работе приводятся основы и
последовательный, достаточно строгий вывод теоретических
соотношений, как с учетом, так и без учета сдвигов в поперечных сечениях стержня. Отмечается, что теория тонкостенных
стержней открытого профиля во многом была развита благодаря
трудам В.З. Власова, а в работах [1, 2, 10, 11, 14, 16] тем или
иным способом учитывается влияние деформации сдвига на
напряженно-деформированное состояние тонкостенных стержней. В теории тонкостенных стержней закрытого профиля основополагающими являются работы [35, 36]. При построении теории используется гипотеза, согласно которой при кручении появляются перемещения в направлении продольной оси стержня,
возникает депланация поперечного сечения, которая описывается функцией меры депланации. Изложение основных положений
Предисловие .
6
теории кручения тонкостенных стержней с использованием традиционных для этой области методик (без применения вариационных принципов) представлено в учебном пособии [6].
В монографии Сливкера В.И. [29] теория тонкостенных
стержней описана с использованием достаточно общих положений, и, конечно, эта теория является завершенной. Однако в
этой же работе приводится перечень перспективных, по мнению
автора [29], направлений исследований по тонкостенным стержням. Перспективность направлений исследований оценивается с
точки зрения использования вариационных методов для совершенствования расчетного аппарата тонкостенных стержней. В
этом перечне перспективных направлений исследований, состоящем из пяти пунктов, имеются и следующие пункты:
• деформационный расчет тонкостенных стержней;
• криволинейные тонкостенные стержни (статика, динами-
ка, устойчивость).
Авторы данной работы разделяют отмеченное мнение
Сливкера В.И., так как вариационные методы (в том числе и
МКЭ) являются в настоящее время наиболее универсальными, а
по вопросам расчета тонкостенных стержней вариационными
методами на основе деформационных соотношений с учетом
различных геометрических особенностей имеется сравнительно
мало публикаций.
В данной монографии представлены основные положения теории и вариационного метода расчета тонкостенных
стержней, на основе которых можно с использованием соотношений для компонент деформаций прямоугольной полосы
определять напряженно-деформированное состояние тонкостенных стержневых систем различной геометрии.
Элементами стержневой системы могут быть прямолинейные, криволинейные, естественно закрученные стержни с
поперечными сечениями, составленными из прямолинейных и
криволинейных участков.
Предисловие .
7
Применение представленного метода позволяет избежать
использования достаточно сложных теоретических соотношений, возникающих при расчетах стержней с криволинейной
продольной осью или имеющих криволинейный профиль. Также
не возникает необходимости введения каких-либо дополнительных преобразований или приемов для учета эксцентриситетов,
связанных с выбором начала системы координат или со способами приложения нагрузки или соединения элементов конструкции.
Предполагается, что справедливы гипотезы, принимаемые в теории тонкостенных стержней с учетом сдвигов, перемещения и деформации малы, напряженно-деформированное
состояние является упругим или упругопластическим. При пластических деформациях используется критерий пластичности
Губера–Мизеса и теория идеально пластического тела.
Для стержня с комбинированным профилем используются основные результаты, полученные для открытых и закрытых
профилей.
Достоверность получаемых результатов установлена на
основе сравнения расчетных данных с результатами, полученными другими методами. Расчеты с высокой точностью получаются как для прямолинейных, так и криволинейных стержней
с поперечными сечениями, составленными из прямолинейных и
криволинейных участков.
Представлены вариационный метод и результаты расчета
усиленных в напряженном состоянии тонкостенных стержней
открытого профиля. Этот метод является достаточно универсальным, что позволяет получать расчетные данные для различных способов усиления элементов стержневой системы в следующих случаях:
а) увеличения размеров сечений элементов;
б) изменения системы при устранении из нее или при добав-
лении к ней некоторых элементов;
в) изменения условий закрепления элементов,
г) создания в системе дополнительных напряжений.
Предисловие .
8
В данной монографии рассмотрены вопросы определения
напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля, усиленных в напряженном состоянии за
счет увеличения размеров сечений элементов. Предполагается,
что увеличение размеров сечений элементов проводится для
напряженной конструкции, находящейся под воздействием
внешних сил, а после усиления к конструкции прилагаются дополнительные нагрузки.
Отметим, что вопросам расчета тонкостенных стержневых конструкций, усиленных в напряженном состоянии, посвящено сравнительно мало публикаций [7, 17, 18]
В данной монографии представлены результаты исследований, основы которых изложены в статьях [24 - 28].
1.1. Основные положения теории тонкостенных стержней
9
открытого профиля, соотношения для определения
перемещений ..
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных
стержней открытого профиля
1.1. Основные положения теории тонкостенных стержней
открытого профиля, соотношения для определения
перемещений
Для описания напряженно-деформированного состояния
тонкостенного стержня используется модель деформирования
стержня, учитывающая сдвиги в поперечном сечении, возникающие при изгибе и кручении [20, 21, 32]. Эта модель основывается на гипотезах, принятых в теории стержней Тимошенко и
теории тонкостенных стержней открытого профиля [24, 29].
Полагаем, что возникающие при деформировании стержня перемещения и деформации являются малыми. Используем
основные положения линейной теории деформаций.
Для описания напряженно-деформированного состояния
стержней при изгибе и растяжении (сжатии) применяются основные гипотезы теории стержней Тимошенко:
• при деформировании продольные волокна стержня не вза-
имодействуют друг с другом в перпендикулярных к ним
направлениях (гипотеза ненадавливания);
• поперечные сечения стержня, плоские до деформации, по-
сле деформации остаются плоскими;
• напряжения, связанные с изгибом в плоскости, проходя-
щей через главную ось поперечного сечения стержня, постоянны по ширине сечения;
• справедлив закон Гука.
Кроме этих предположений используются гипотезы, принятые в теории тонкостенных стержней открытого профиля с
учетом сдвигов:
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
10
k
ji
,,
М
t
х z y
O1 O y
t
n
z
t
Рис. 1.1 Глобальная и локальная и системы координат
k
j
i
открытого профиля ..
• гипотеза неизменяемости контура, в соответствии с кото-
рой при деформировании профиль стержня в плоскости
поперечного сечения перемещается как абсолютно твердое
тело;
• гипотеза безмоментности, согласно которой составляющие
касательных напряжений, перпендикулярные к профилю (к
срединной линии) поперечного сечения стержня, равны
нулю.
Для описания деформирования прямолинейного стержня
введем декартовую систему координат Оxyz с осью Ox, перпендикулярной к плоскости поперечного сечения (рис. 1.1). Обо-
значим через
– орты этой системы координат.
Для вычисления компонент напряженно-деформи-
рованного состояния на линии пересечения профиля с поперечным сечением (на срединной поверхности поперечного сечения
стержня), в то