Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
2.2. Вариационный принцип Лагранжа,внутренние силы ...
51
[
]
[ ]
xMxMxMxM
xuFxuFxu
F
J
j
jjBjj
jjj
j
K
k
kkkkk
k
.)()()
()(
)()()(
1
332
211
1
222211
∑
∑
=
=
−+++
++++
δβδjδjδj
δδδ
∫∫∫∫
==
А
x
А
x
dA
EdAN
εσ
∫∫∫∫
==
А
x
А
xy
dA
zEdAzM
εσ
∫∫
∫∫
=
=
А
x
А
xz
dAyE
dAyM
εσ
.)()()(
)()(
∫
∫∫∫∫
=
=−=−=
dsshssG
dAtztyGdAztytM
t
ttt
xy
А
yzxy
А
yxyzxyx
ργ
γtt
∫∫∫∫
==
А
yxy
А
y
xyу
dAtG
dAtQ
tt
γt
∫∫∫∫
==
А
zxy
А
zz
dAtG
dAtQ
t
γ
t
dx
хd
SE
dx
xd
SE
dx
xd
SE
dx
xdu
AEN
zy
)()()()(
*
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
α
−−+=
dx
хd
SE
dx
xd
IE
dx
xd
IE
dx
xdu
S
EM
yyzy
yy
)()()
()(
*
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
α
−−+=
dx
хd
SE
dx
xd
IE
dx
xd
IE
dx
xdu
SEM
zzyzzz
)()()()(
*
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
α
−
−+=
++
−= )
(
)(
)(
)(
2
3
*
03
2
*
0
x
dх
xdu
Gx
dх
xdu
GM
ztytx
jωjω
Для выбранной системы координат Оxyz, усилия и мо-
менты в поперечных сечениях стержня вычисляются по формулам
,
,
,
(2.22)
,
.
Эти величины являются интегральными характеристиками и при
использовании соотношений для деформаций в виде (2.14), они
вычисляются достаточно точно.
Подставляя выражения (2.14) в (2.22), получим
,
,
,
(2.23)
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
52
d
х
xd
I
G
)(
1
*
0
j
ρ
+
)()
(
*
0
хIIG
k
x
β
ρ
−+
+
++
−= )(
)(
)(
)(
2
3
*
03
2
*
0
x
dх
xdu
AGx
dх
xdu
AGQ
yzyyу
jj
d
х
xd
G
y
t
)
(
1
*
0
j
ω
)
(
*
0хGyt
βΩ
−
+
++
−= )(
)(
)
(
)(
2
3
*
03
2
*
0
x
dх
xdu
A
Gx
d
х
xdu
AGQ
zz
yzz
jj
dх
xd
G
zt
)(
1
*
0
j
ω
)(
*
0
хG
zt
βΩ
−
∫∫∫
== dsshsedAseA
А
)()()(
***
∫∫∫
≈= dsshysedAyseS
м
А
z
)()()(
***
∫∫∫
≈= dsshzsedAzseS
м
А
y
)()()(
***
∫∫
=
А
dAsseS )()(
**
α
α
dsshsse )()()(
*
∫
=
α
∫∫
=
А
y
dAzsseS )()(
**
α
α
dszs
hsse
м
)()()
(
*
∫
≈
α
∫∫
==
А
z
dAysseS )()(
**
α
α
dsyshsse
м
)()()(
*
∫
≈
α
dsshzsedAzseI
м
А
y
)()()(
2*2**
∫∫∫
≈=
dsshysedAyseI
м
А
z
)()()(
2*
2**
∫∫∫
≈=
dsshzysedAzyseI
мм
А
yz
)()()(
***
∫∫∫
≈=
∫∫∫
== dsshssgdAssgI
А
)()()()()(
2*2**
ρρ
ρ
профиля .
где
+
+
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2.2. Вариационный принцип Лагранжа,внутренние силы ...
53
∫∫∫
== dsshtssgdAts
sg
z
А
z
zt
)()()()(
)(
***
ρρω
∫
∫∫
== dsshtssgdA
tssg
y
А
yyt
)()()(
)()(
***
ρ
ρω
∫∫∫
== dsshtsgdAtsgA
y
А
yyy
)()()(
2*2**
∫∫∫
== dsshtsgdAtsgA
z
А
zzz
)()()(
2*2**
∫
∫∫
==
dssh
ttsgdAttsgA
z
y
А
zyyz
)()()(
*
**
∫∫
=
−=
А
y
k
x
yt
dAt
shsg
I
ssg
)()(
)()(
*
**
Ω
ρΩ
∫
−= ds
sht
shs
g
I
ssg
y
k
x
)(
)()
(
)()(
*
*
Ω
ρ
∫∫
=
−=
А
z
k
x
zt
dAt
shsg
I
ssg
)()(
)()(
*
**
Ω
ρΩ
∫
−= dssht
shsg
I
ssg
z
k
x
)(
)()(
)()(
*
*
Ω
ρ
−−+= )
(
)()()
()(
)(
321
*
0
s
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
seE
x
α
βjj
σ
t
xy
t
,
,
,
,
,
,
.
2.3 Напряжения в поперечных сечениях стержня
Нормальные напряжения, возникающие в поперечных
сечениях стержня, можно вычислять на основе закона Гука:
.
Использование закона Гука (2.15) для касательных
напряжений позволяет определять достаточно точно только интегральные характеристики внутренних сил (2.23), (30). Для бо-
лее точного вычисления значений касательных напряжений
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
54
1
O
Ox
x
σ
.)(
)()()()(
)(
),(
321
*
0
−−+=
==
s
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
seE
zy
мм
ммxx
α
βjj
σσ
),()(
),(
)0()(
1
0
sxqdssh
x
zy
TsT
s
ммx
−
∂
∂
−=
∫
σ
==
∫
dsshssM
t
xyx
)()()(
ρt
∫
dsss
T )()
(
ρ
)(s
T
.)(),(
)()(
),
(
)()0(
1
0
∫
∫ ∫∫
−
−
∂
∂
−=
dsssxq
dssdssh
x
zy
dssTM
s
ммx
x
ρ
ρ
σ
ρ
профиля .
следует использовать формулу, полученную на основе уравнений равновесия отсеченного элемента стержня.
Выделим из стержня элемент продольными и попереч-
ными сечениями (рис. 1.4,а). Поперечные сечения являются бесконечно близкими, а продольные – проведены через начальную
и текущую Mточки профиля. Уравнение равновесия выде-
ленного элемента в виде проекций сил на ось
имеет вид
(1.45).
Полагаем, что для тонкостенного стержня величина
не меняется по толщине профиля h, следовательно
(2.24)
В этом случае из равенства(1.45) следует
. (2.25)
Формулу для крутящего момента можно представить в
следующем виде
.
Подставляя выражение для
(2.25) в формулу для
крутящего момента, получим
2.3 Напряжения в поперечных сечениях стержня ...
55
.
)
()
,(
1
)()
(
)
,(1
)
0(
1
0
∫
∫ ∫
+
+
∂
∂
+=
dss
sxq
dssds
sh
x
z
yM
T
s
м
мxx
ρ
Ω
ρ
σ
Ω
Ω
+
∂
∂
−
−
∂
∂
+=
∫
∫ ∫
dssh
x
zy
h
dssdssh
x
zy
hh
M
s
s
ммx
s
ммxx
xy
t
)(
),(1
)()(
),(1
)(
0
0
σ
ρ
σ
ΩΩ
t
),
(
1
)
()
(
),
(
1
1
0
1
sx
q
h
dss
dss
h
sx
q
h
s
−
+
∫
∫
ρ
Ω
x
σ
∫ ∫
−++=
s
м
x
xy
dx
xd
z
dx
xud
seE
hh
M
s
t
0
2
2
2
2
1
2
*
0
)()(
)(
1
)(
j
ΩΩ
t
−
−− dssdsshs
dx
хd
dx
xd
y
м
)()()(
)()(
2
2
2
3
2
ρα
βj
+
−−
−+−
∫
dsshs
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xud
seE
h
м
s
м
)()(
)()(
)()(
)(
1
2
2
2
3
2
0
2
2
2
2
1
2
*
0
α
βj
j
),(
1
)(),(
1
11
sxq
h
dsss
xq
h
−+
∫
ρ
Ω
dsshseA
s
o
)()(
0
**
∫
=
Следовательно,
С учетом этого равенства из соотношения (2.25), находим
. (2.26)
После подстановки выражения для
(2.24) в формулу
(2.26), определяем
.
Обозначая
,
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
56
dssh
zseS
м
s
oy
)(
)(
0
**
∫
=
dsshyseS
м
s
oz
)()(
0
**
∫
=
∫
=
s
o
dsshssesS
0
**
)()()()(
α
α
)
(
)()
(
1
~
**
*
sA
dsssA
A
o
oo
−
=
∫
ρ
Ω
)()()(
1
~
***
sSds
ssSS
oуoуoу
−=
∫
ρ
Ω
)()()(
1
~
***
sSdsssSS
ozozoz
−=
∫
ρ
Ω
)()()(
1~
***
sSdsssSS
ooo
ααα
ρ
Ω
−=
∫
+
+=
*
2
1
2
0
~
)(
)(
o
x
xy
A
dx
xud
h
E
h
M
s
t
Ω
t
−
*
2
2
2
~
)(
oу
S
dx
xd
j
−
*
2
3
2
~
)(
oz
S
dx
xd
j
*
2
2
~
)(
α
β
o
S
dx
xd
),(
1
),(
1
11
sxq
h
dss
xq
h
−
+
∫
Ω
*
*
*
*
*
*
*
~
~
~
ω
ω
ω
Ω
t
hI
S
M
hI
S
Q
hI
S
Q
h
M
o
y
oy
z
z
oz
у
x
xy
t
+++=
dsshsedAs
eS
s
А
o
o
)()()(
~
*
0
****
ωω
ω
∫∫∫
==
профиля .
,
,
,
,
,
,
,
получим
.
В случае, когда оси Оy, Оz являются главными централь-
ными осями поперечного сечения, а полюс Р (рис. 2.2) совпадает
с центром изгиба – центром кручения, для вычисления каса-
тельных напряжений можно использовать формулу [29]
.
Здесь
,
2.3 Напряжения в поперечных сечениях стержня ...
57
B
m
dx
d
Is
e
EM −
=
2
2
*
*
0
*
)(
β
ωω
∫∫
−=
А
dAsse
A
s )()(
1
)(
*
*
*
ααω
ds
shs
se
A
s )()
()(
1
)(
*
*
∫
−=
αα
dsshsedAseI
А
)()()()()(
2**2***
ωω
ω
∫∫∫
==
ds
ss
x
qm
B
∫
=
)(
)
,(
1
α
o
А
,
,
,
,
– площадь поперечного сечения выделенного элемента
стержня (отсеченной части), расположенная между начальной
точкой отсчета O1 и точкой М.
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
58
k
ji ,,
zy( M
м
м
),
tt
zy
хМ
nti
x
,,
t
yМ
t
zМ
zy
tt ,
zy
nn ,
),( zyM
n
t
zM
),(
мм
zyM
zy,
ytмz
tм
tz
zztzyy −=+
= ,
комбинированного профиля .
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
комбинированного профиля
3.1. Перемещения, деформации, напряжения
для тонкостенных стержней комбинированного профиля
Как известно, к тонкостенным стержням комбинированного профиля относятся стержни, поперечное сечение которых
состоит из открытых и закрытых профилей. Для расчета стержней открытого и закрытого профилей используются теории, одни и те же гипотезы, за исключением того, что в теории стержней закрытого профиля принимается дополнительная гипотеза
о равномерном распределении касательных напряжений по
толщине стенки [24-28].
Вариационные соотношения, формулы для вычисления
перемещений, деформаций, напряжений и внутренних усилий
для тонкостенных стержней открытого и закрытого профиля
представлены в первой и второй главах.
Для вычисления компонент напряженно-
деформированного состояния в стержнях комбинированного
профиля, как и в предыдущих параграфах, используем декарто-
вую систему координат Оxyz, с ортами
и с осью Ox, пер-
пендикулярной к плоскости поперечного сечения (рис. 1.1). На
срединной поверхности профиля, в точках
, введем
локальную декартова систему координат
локальной системы координат –
нусы осей
Для точек
рой расположено в точке
,
–
,
.
, лежащих на оси
(рис. 1.3), координаты
вычисляются по формулам
. Орты осей
, направляющие коси-
, начало кото-
.
3.1. Перемещения, деформации, напряжения для
59
)(
x
u
)
(x
j
tt
zyM
nz
y
x
w
tz
y
x
v
z
y
x
v
)
,
,
(
),
,
(
)
,
,
(
+
=
),,(,),,( zyxwzyxv
t
yM
t
zM
),,(,),,( zyxwzyxv
)(xu
Ox
)(),,,(,),,( xuzyxwzyxv
ooo
)(),,,(,),
,( xuzyxwzyxv
з
зз
)()(),()(
*
0
*
0
sgGsGseEsE ==
[ ]
yzzy
о
tzty
xtxutxuzyхv −++= )()(
)(),,(
132
j
[ ]
zyyz
o
tztyxtxutxuzyхw +−−= )()()(),,(
132
j
sхxyxzxuzyxu
o
)()()()()(),,(
32
1
ωβjj
−−+=
[ ]
yмzмzy
з
tztyx
txutxuzyхv −++= )()
()(),,(
13
2
j
тонкостенных стержней комбинированного профиля ..
Используем векторы перемещения и углов поворота по-
перечного сечения стержня
,
в виде (1.3).
Для описания перемещений в системе координат
введем двумерный вектор
.
Здесь
– перемещения точек профиля в
направлении осей
Обозначим величины
в направлении оси
как
и
, соответственно.
и перемещения
, для стержня открытого профиля
, а закрытого –
.
Считаем, что модули упругости и сдвига материала яв-
ляются переменными величинами, зависящими от длины дуги s
срединной линии профиля:
.
Полагаем, что для участков стержня открытого и закры-
того профиля можно использовать, соответственно, соотношения теории стержней открытого и закрытого профиля.
В соответствии с принятыми гипотезами для стержней
открытого и закрытого профилей получаются следующие результаты.
Перемещения открытого профиля определяются с ис-
пользованием соотношений
,
, (3.1)
.
Перемещения для участков закрытого профиля находятся по
формулам
,
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
60
[ ]
zмyмyz
з
tztyxtxut
xu
zy
хw +−−=
)()()(
),
,
(
132
j
[
]
ssх
xyxzxuz
yxu
з
L
з
)()
()()()()(
),,(
321
Ωωβjj
−
−−+=
)(х
β
∫
=
s
dsss
0
)()(
ρω
∫
=
s
k
x
з
L
sh
sg
dsI
s
0
*
)()(
)(
Ω
Ω
∫∫
==
dss
dss
з
L
)(
)(
0
ρ
ρΩ
з
L
y
мzм
PM
tztynRs −=== )(
ρρ
M
MO
1
∫
=
з
L
k
x
sh
s
g
ds
I
0
*
2
)(
)
(
Ω
)(
sh
x
σ
t
xy
t
x
x
E
ε
σ
=
tt
xyxy
G
γ
t
=
tt
zMy
x
u
x
∂
∂
=
ε
х
v
y
u
t
xsxy
t
∂
∂
+
∂
∂
==
γγ
)(
)()()()(
321
s
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
x
du
x
ω
βjj
ε
−−+=
k
xyxyxy
ttt
tttt
+==
комбинированного профиля .
, (3.2)
,
где
– функция меры депланации;
– секто-
риальная площадь профиля;
(
– периметр закрытого профиля),
– проекция радиуса вектора точки
на нормаль n к линии
;
– толщина стенки.
в этой точке (рис. 1.2);
В поперечном сечении тонкостенных стержней возника-
ют нормальные
и касательные
,
напряжения
. (3.3)
Деформации вычисляются в локальной системе коорди-
нат
с использованием формул теории упругости:
;
.
;
Для отрытого профиля продольные деформации
Возникающие в открытом профиле касательные напря-
жения представляются в виде суммы
.
,