Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационное исчисление. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
М. Х. Бренерман, В. А. Жихарев
ВАРИАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2017
УДК 517.5
ББК 22.161
Б87
Бренерман М. Х., Жихарев В. А.
России, Казан. нац. исслед. технол.
ISBN 978-5-7882-2198-4
I SBN 978-5-7882-2198-4
©
Брене рман М. Х., Жихарев В. А., 2017
©
Казанс кий на цио нальны й ис сле довательский
технологический университет, 2017
УДК 517.5
ББК 22.161
2
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
д-р. физ.-мат. наук, проф. Н. Е. Роднищев
чл.-корр. АН РТ, д-р физ.-мат. наук, проф. И. Б. Бадриев
Б87
Вариационное исчисление : учебное пособие / М. Х. Бренерман,
В. А. Ж ихарев; Минобрнаук и
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2017. – 148 с.
Содержит материал по вариационному исчислению (теории
экстремальных задач). Включено более 150 задач для практических занятий.
Предназначено для подготовки бакалавров по направлениям 14.03.01
«Ядерная энергетик а и теплофиз ика», 16.03 .03 «Холодиль ная, криогенная
техника и системы жизнеобеспечения».
По дготовлено на к афедре высшей математик и.
3
Оглавление
Предисловие ........................................................................................4
Список основных обозначений ............................................................7
Часть 1. Необходимые вводные сведения
§1. Метрические и линейные вещественные пространства.
Функционалы и операторы на них ...............................................8
§2. Некоторые типы дифференциальных уравнений и решение их
в аналитическом виде (точные решения).................................... 23
§3. Дифференцируемые функционалы. Вариация функционала.
Экстремумы. Необходимые и достаточные условия
экстремума ................................................................................. 38
Задачи к части 1 ......................................................................... 48
Часть 2. Вариационные задачи мат емат ической физики
§4. Интегральный функционал, зависящий от функции одной
переменной. Уравнение Эйлера. Экстремали ............................ 56
§5. Интегральный функционал, зависящий от нескольких функций
и их высших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона ......... 68
§6. Интегральный функционал на пространстве функций
двух переменных. Необходимое условие экстремума.
Уравнение Остроградского ........................................................ 73
§7. Вариационные задачи на условный экстремум .......................... 78
§8. Вариационные задачи с подвижными границами ....................... 87
§9. Достаточные условия экстремума .............................................. 97
§10. Принципы наименьшего действия в физике ............................. 107
Задачи к части 2 ....................................................................... 119
Литература ...................................................................................... 144
Прило жения
Приложение 1. Образцы контрольных работ ................................... 146
Приложение 2. Примерная программа экзамена (зачета)
по вариационному исчислению .............................. 147
4
A
AB
AB
A
Нет ничего практ ичнее хо рошей теории.
Кант? Кирхгоф? Автор не установлен.
Суха теория, мой друг,
а древо жизни вечно зеленеет.
И.Гете. «Фауст»
При из уч е нии наук за д а ч и полез не е прав ил.
И. Ньютон. «Универсальная арифметика»
И все же:
Нет нич е го практич нее хоро шей т е ории.
Кант? Кирхгоф? Автор не установлен.
Предисловие
Истоки вариационного исчисления, а говоря современным
языком, теории экстремальных задач уходят в глубину веков. То, что
экстремумы бывают не только у функций, было осознано еще в древней Греции. Легенда гласит следующее. Дидона, царица из Тира по
неустановленным следствием причинам вынуждена была покинуть
свой город и искала место для нового поселения. Видимо, как истинная древняя гречанка, она не собиралась отставать от мужчин в математике. На том месте, где она позднее основала Карфаген, она попросила у местных жителей участок земли, который мог быть окружен
шкурой вола. Удивившись незначительности просьбы, местный царь
дал разрешение. Тогда она разрезала шкуру на тонкие ремешки и, выложив их в линию, отграничила довольно существенную территорию.
По мотивам этого события была сформулирована первая вариационная
задача. Даны две точки
и B и нить длиной большей
, соединяющая эти точки. Какой формы должна быть эта нить, чтобы площадь фигуры, ограниченной нитью и прямолинейным отрезком
была наибольшей. Не имея не только никакого аппарата математического анализа, но и даже строгого определения длины линии, древние
все же нашли правильное решение. Нить должна иметь форму дуги
окружности, а в случае совпадения точек
и B просто форму ок-
ружности. До сих пор ничем кроме вдохновения свыше не удается
объяснить, как они к этому пришли.
5
Впоследствии вплоть до XVIII в. экстремальные задачи возни-
кали во многих областях науки и техники. Это задачи об оптимальной
форме поверхностей (куполов, корпусов кораблей), о геодезических
линиях на поверхностях (решена Я. Бернулли, 1698), об оптимальных
траекториях (задача о брахистохроне решена И. Бернулли, 1696) и
многие другие. Но из-за отсутствия математического аппарата общего
метода их решения не существовало и часто решение представляло
непреодолимые сложности. Настоящий прорыв в теории экстремальных задач связан с именем Эйлера. Он успешно и в полной мере применил к вариационным постановкам задач механики развившийся к
тому времени аппарат математического анализа и создал первую дееспособную теорию экстремальных задач, получившую название вариационного исчисления. Основное достижение вариационного исчисления в том, что Эйлер во многих случаях свел трудно решаемые
вариационные задачи к эквивалентным и легко решаемым аналитически дифференциальным уравнениям. Завершенный вид вариационное
исчисление получило в трудах Якоби. Настоящий же триумф вариационного исчисления наступил в XIX в., когда стало ясно, что главные
постулаты классической механики, классической электродинамики,
квантовой механики и других разделов физики могут быть сформулированы на языке вариационного исчисления.
В XX веке усилиями многих математиков была создана общая
теория экстремальных задач в функциональных пространствах. Это
позволило разработать, кроме аналитических, и приближенные методы их решения (Ритц, Галеркин, Канторович и другие) и использовать
в полной мере появляющиеся аппаратные вычислительные средства. В
настоящее время вариационное исчисление является такой же незыблемой основой математической подготовки инженеров, как математический анализ. Авторы берутся утверждать, что любой из приведенных эпиграфов в равной мере применим к изучению вариационного
исчисления и его прямого потомка − теории экстремальных задач.
Содержание данного учебного пособия формально соответст-
вует ФГОС 3+ и программам дисциплины «Вариационное исчисление» по направлениям 14.03.01 «Ядерная энергетика и теплофизика»,
16.03.03 « Холодильная, криогенная техника и системы жизнеобеспечения». Но в равной мере оно может быть использовано при подготов-
ке специалистов, бакалавров и магистров всех технических специальностей, по которым элементы вариационного исчисления входят в
6
программу курса высшей математики. Часть задач хорошо известна по
всей литературе и в данном случае заимствована из [1] и [2], а также
учтен опыт работ [15] и [16].
Для студента. В русскоязычной математической литературе
50-х − 80-х гг. имеется ряд превосходных руководств по вариацион-
ному исчислению, адаптированных для инженеров-исследователей
([1], [4], [10-14] и др.). Но, к сожалению, многие из этих брендов уже
стали библиографической редкостью, что и побудило нас к написанию
данного пособия. Несмотря на вынужденное ограничение объема, мы
постарались придать материалу максимальную доступность и логическую завершенность. Для этого в первую часть включены необходимые сведения по функциональному анализу и не разрешенным относительно старшей производной дифференциальным уравнениям. Для
полного понимания предмета, вообще говоря, требуется владение курсом математического анализа и дифференциальных уравнений, например в объеме книги [5] и линейной алгебры в объеме книги [17].
Ограниченный объем и задачи данного пособия не позволяют изложить теорию экстремальных задач в полном объеме, доказательства
приведены только для наиболее важных теорем и только не слишком
громоздкие. Недостающие сведения можно найти, например в [8].
Для преподавателя. Из изложенного материала, в зависимости
от выделенных часов и от базовых знаний, можно сделать от 9
(например, опуская доказательства) до 18 лекций. Надо иметь в виду,
что изложение предварительных сведений может занять от одной до
трех лекций. Конечно, содержимое образцов контрольных работ и
программа зачета/экзамена носят чисто рекомендательный характер.
Вполне возможна замена контрольных работ домашними расчетными
заданиями с последующей защитой.
Для всех. Нумерация формул, определений, теорем и примеров
автономна внутри каждого параграфа. Все включенные в список литературы книги имеют хождение в Сети и доступны как в онлайнпросмотрах, так и к скачиванию в форматах pdf и djvu. И еще. В силу
некоторых типографских возможностей (точнее, невозможностей),
векторы в данном учебном пособии обозначаются не жирным шрифтом, а чертой сверху. Надеемся, что читателя это не утомит.
7
∀
∃
∈
⊆
[,]Cab
[,]
n
C ab
yδ
()Jyδ
yy
FF
′′
′
=
yy
FF
′
=
xx
FF
′
=
() ()
J J y dJ y
′′
= =
[,]L ab
′
[,]
L ab
′
p
( )
oyδ
Q
R
n
R
(,)xyρ
0
()Ux
ε
V
V
H
,XR
x
n
[,]
n
C ab
Список основных обозначений
− для любого
− существует
− принадлежит
− пересечение множеств
− содержится или совпадает
− пространство непрерывных функций
− пространство n раз дифференцируемых функций
− приращение функции
− приращение функционала
,
,
− частная производная
по соответствующему аргументу
y
− производная Фреше, вариация
− пространство интегрируемых по Риману функций
− пространство функций, интегрируемых по Риману
p
со степенью
− бесконечно малая более высокого порядка
− множество рациональных чисел
− множество вещественных чисел
− n–мерное арифметическое пространство
− метрика (расстояние)
− ε-окрестность
− аффинное множество
− пространство приращений
− метрическое пространство
− норма вектора x в линейном пространстве
− норма в пространстве
⋅
8
, , ,...X RT
,xy X∈
ρ( , )xy
y
ρ( , ) = ρ( , )xy yx
,xy X∀∈
ρ( , ) 0xy≥
ρ( , ) = 0xy
xy=
ρ( , ) ρ( , ) + ( , )xy xz zy≤ρ
,,xyz X∀∈
ρ( , )xy
X
X
R
ρ( , )=xy x y−
R
()Fx
ρ( , ) = ( ) ( )xy Fy Fx−
Часть 1. Необходимые вводные сведения
⊆§1. Метрические и линейные вещественные пространства.
Функционалы и операторы на них
1.1. Метрические пространства
Введем следующие определения и обозначения.
Определение 1. Пусть дано множество, природа элементов которого нам безразлична (называем эти элементы точками, само мно-
жество обозначаем
рическим пространством, если любой паре точек
лено вещественное число
, так, что выполняются следующие условия (аксиомы):
и
1°.
2°.
тождества);
3°.
ство треугольника).
Расстояние
как функция двух переменных, называется метрикой на
множестве
ным условиям, то оно называется метризуемым.
Простейшими примерами метрических пространств являются
само множество
нальных чисел, оба с метрикой
может быть введена метрика, удовлетворяющая задан-
, причем
вещественных чисел или множество Q рацио-
). Будем называть это множество мет-
сопостав-
, называемое расстоянием между x
(аксиома симметрии);
только при
, удовлетворяющее 1° – 3°, рассматриваемое
(аксиома или неравен-
. (1)
(аксиома
. Если на
Здесь условия 1° и 2° очевидны, а неравенство треугольника
доказывается еще в школе. Рассмотрим еще примеры.
Пример 1. Пусть на всей числовой прямой
но возрастающая функция
задана монотон-
. Тогда функция
(2)
9
является метрикой на R. Выполнение условий 1° и 2° очевидны, а не-
()Fx x=
3
R
X
ρ( , )xy
x
ρ( , )xy
x
r
0r∞> >
0
xX∈
00
( ) { : (, ) }
r
S x x X xx r=∈ρ <
0
xX∈
00
( ) { : (, ) }U x x X xx
ε
= ∈ ρ <ε
UX⊆
0
()Ux
0
xX∈
r
n
x
1,n = ∞
0
x
0n
xx→
0
lim
n
n
xx
→∞
=
равенство треугольника доказывается прямым перебором.
Обычная метрика (1) является частным случаем метрики (2)
при
. Таким образом, мы видим, что понятие метрики являет-
ся прямым обобщением геометрического понятия расстояния.
Пример 2. Гладкая (т.е непрерывно дифференцируемая) дву-
мерная поверхность в
с расстоянием между двумя точками по гео-
дезической является метрическим пространством. В частности длина
дуги большого круга, соединяющей две точки на сфере, является метрикой на сфере.
Пример 3. Пусть
− река (элементы реки − створы),
−
время движения на теплоходе с постоянной собственной скоростью от
пункта
до пункта y. Функция
не будет метрикой, так как
не выполнена аксиома симметрии. В то же время для озера (элементы
озера − точки его поверхности) без внутренних течений время движения по кратчайшему пути от пункта
до пункта y будет метрикой
(см. предыдущий пример).
Определение 2.
а) открытым
- шаром (
) с центром в точке
или, если не требуется уточнение, просто шаром назовем множество
. Применяется также термин ε-окрест-
ность точки
б) множество
с обозначением:
называется открытым, если вместе с каж-
;
дой своей точкой оно содержит и некоторый открытый шар с центром
в этой точке;
в) окрестностью
точки
называется всякое откры-
тое множество, содержащее эту точку.
Ясно, что всякий открытый шар есть открытое множество и он
есть
- окрестность своего центра.
В метрических пространствах можно ввести понятие сходимо-
сти.
Определение 3. Будем говорить, что последовательность
,
сходится к элементу
если
, и писать
или
,
10
0
0 : :( )
n
N nN x x∀ε> ∃ ∀ > ρ − <ε
0
()Ux
ε
n
x
n
xX∈
0 , :( , )
nm
N mn N x x∀ε > ∃ ∀ > ρ < ε
A
, : ( , ) ( , ), 0 1x y X Ax Ay x y∀ ∈ ρ ≤αρ <α<
n
xx→
( ,) 0
n
xxρ→
( , ) ( ,) 0
nn
Ax Ax x xρ ≤ αρ →
A
0
x
00
Ax x=
0
x
0
n
n
x Ax=
mn≥
00 0
nm n
n m mn
−
01 12 1
n
mn mn
−− −
1
01 01
1
( , )(1 ... ) ( , ) 0
1
n mn n
xx xx
−−
≤α ρ + +α ≤α ρ →
−α
n →∞
n
x
lim
n
n
xx
→∞
=
xX∈
A
1
lim lim lim
n nn
nn n
Ax A x Ax x x
+
→∞ →∞ →∞
= = = =
Или словами: любая окрестность
ного числа, члены последовательности
Определение 4. Последовательность
. (3)
содержит все, кроме конеч-
.
называе тся фун-
даментальной, если выполняется условие Коши:
. (4)
Определение 5. Метрическое пространство называется полным
(по данной метрике), если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.
Существуют как полные, так и неполные метрические про-
странства. Так в метрике (1) множество вещественных чисел полно, а
множество рациональных чисел неполно.
Определение 6. Отображение
метрического пространства в
себя называется сжимающим, если
. (5)
Сжимающее отображение непрерывно. Действительно, пусть
т.е.
что и означает непрерывность отображения
. Тогда в силу (5)
.
Теорема 1 (Принцип сжатых отображений). Сжимающее
отображение полного метрического пространства в себя имеет ровно
одну неподвижную точку
Доказательство. Пусть
:
.
− произвольная точка в X. Дока-
,
жем, что последовательность
(, ) ( , ) (, )
x x Ax A x x x
ρ =ρ ≤α ρ ≤
( ( , ) ( , ) ... ( , ))
≤α ρ +ρ + +≤ρ ≤
xx xx x x
что означает фундаментальность
предел
жения
так как в силу непрерывности A
. Элемент
и есть неподвижная точка отобра-
фундаментальна. При
:
при
. В силу полноты X существует
.
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]