Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационное исчисление. Учебное пособие
.pdf
21
n
R
nn×
n
R
n
R
d
Af f
dx
=
1
[,]C ab
1
C
E
E
E
xy x y−≥ −
0
n
xx−→
0
n
xx−→
b
a
[,]Cab
( ()) () () ( ) ()
bb
C
aa
Lxt xtdt xt dt b a xt= ≤ ≤−
∫∫
constx =
ba−
Пример 22. Как известно из курса алгебры, линейный оператор, действующий в пространстве
ратной матрицей размером
в любом базисе, задается квад-
. Он автоматически непрерывен по
любой из норм (10) – (12), а значит ограничен. Норма линейного оператора в
зависит от вида его матрицы и от введенной в
нормы,
а ее вычисление представляет собой непростую задачу.
Пример 23. Оператор дифференцирования
вующий в пространстве
с нормой C. Он линеен, неограни-
чен, значит не является непрерывным. А в норме
Определение 18. Функционал на
щий из
в R. Линейный фун кционал на E− это линейный оператор,
действующий из
в R.
− это оператор, действую-
он непрерывен.
, дейст-
Все общие свойства операторов автоматически выполняются
для функционалов. Рассмотрим некоторые примеры функционалов.
Пример 24. Сама норма является непрерывным функционалом
на том пространстве, где она введена. Это следует из неравенства
. Действительно, если
, то и
. Но этот функционал не является линейным.
Пример 25. Функционал
, (22)
заданный на пространстве
( ()) ()
Lxt xtdt=
∫
. В силу свойств интеграла он лине-
ен и ограничен:
. (23)
При
равна
в (23) достигается равенство, следовательно норма L
.
22
Пример 25. Функционал
b
a
[,]Cab
() [ , ]Kt L ab
′
∈
( ()) () () () ()
bb
C
aa
Lxt Ktxtdt xt Kt dt= ≤⋅
∫∫
b
a
( ( )) (0)yx yδ=
0, 0,
()
, 0.
x
x
x
≠
δ=
∞=
∞
δ=
() () (0)x f x dx f
∞
−∞
δ=
∫
( ()) () ()
Lxt Ktxtdt=
заданный на пространстве
раничен:
а его норма равна
L x t K t dt=
Пример 26. Функционал
определенный на пространстве S бесконечно дифференцируемых на
всей числовой прямой функций, убывающих на бесконечности быстрее любой степени, линеен и непрерывен в топологии S. Это знаменитая «дельта-функция», широко применяемая при описании «точечных» физических объектов и векторных полей с источниками и стоками. Дельта-функции приписываются свойства:
∫
. Здесь
( ()) ()
∫
,
. Он также ог-
, (24)
.
,
и
Конечно, таких функций не бывает, но благодаря свойству
она с успехом используется в расчетах, например, объектов с бесконечной точечной плотностью (массы, и др.) и пропадает в оконча-
тельных ответах.
−∞
∫
() 1x dx
.
23
sh sinh
2
xx
ee
xx
−
−
= =
ch cosh
2
xx
ee
xx
−
+
= =
th tanh
xx
xx
ee
xx
ee
−
−
−
= =
+
22
ch sh 1xx−=
§2. Некоторые типы дифференциальных уравнений
и решение их в аналитическом виде
(точные решения)
Мы считаем известными читателю основные сведения по курсу
дифференциальных уравнений, входящие в стандартный курс высшей
математики для инженерно-технических специальностей бакалавриата. Этот параграф содержит некоторые дополнительные к стандартному курсу сведения.
2.1. Огибающие, о ртогональные траектории,
особ ые решения урав нений первого порядка
2.1.1. Гиперболические функции
По определению:
1. Синус гиперболический
.
Функция нечетная.
2. Косинус гиперболический
Функция четная.
3. Тангенс гиперболический
Функция нечетная.
Основное тождество:
.
.
.
24
(sh ) chxx
′
=
(ch ) shxx
′
=
2
(th ) 1/ chxx
′
=
( )
2
arsh ln 1x xx=
++
( )
2
arch ln 1x xx=+−
1x ≥
11
arth ln
21
x
x
x
+
=
−
11x−< <
2
1
(arsh )1x
x
′
=
+
2
1
(arch )1x
x
′
=
−
2
1
(arth )1x
x
′
=
−
( )
0,, =Φ Cyx
(,, )uvwΦ
22
xy
′′
L
Дифференциальные свойства:
Обратные гиперболические функции
По определению:
1. Обратный гиперболический синус или ареасинус
определен на всей числовой прямой.
2. Обратный гиперболический косинус или ареакосинус
,
,
.
определен при
3. Обратный гиперболический тангенс или ареатангенс
определен при
Дифференциальные свойства:
Через гиперболические функции удобно записывать решения некоторых дифференциальных уравнений. Так, например, гиперболический
косинус описывает форму цепной линии, см. §9, пример 4.
2.1.2. Огибающие
Рассмотрим семейство
гладких кривых, где
трем аргументам. Будем считать, что
семейства.
Определение 1. Гладкая линия
семейства (1), если в каждой своей точке она касается ровно одной
.
.
,
непрерывно дифференцируема по всем
,
(1)
ни в каких точках
Φ +Φ ≠
0
называется огибающей
.
25
(,)xy
C
(,)C Cxy=
0
C′≠
0
y
′
Φ≠
()y yx=
0
x
′
Φ≠
( )( )
0,,, =Φ yxCyx
0=
′′Φ′
+
′Φ′
+
′Φ′
+Φ
′
xyCxCyx
yCCy
0=
′Φ′
+Φ
′
xyx
y
( )0
C x yx
C Cy
′ ′ ′′
Φ+ =
( )
yx,
C
( )0
C Cy
′ ′′
+=
( )0
C Cy
′ ′′
+≠
( )
0,, =Φ
′
Cyx
C
( )
22
2
RyCx =+−
( )
02 =−=Φ
′
Cx
C
C
RyRy ±== ,
22
кривой из семейства (1) и в различных своих точках она касается
разных кривых из (1).
При таком определении каждой точке
ветствует ровно одно значение
предположим, что
нигде на L. Выведем уравнение огибающей
y
в предположении, что
из(1):
и ее можно задать явным уравнением
огибающей соот-
. Дополнительно
(в противном случае можно считать, что
точках огибающей
, откуда
). Имеем н а
. (2)
С другой стороны, C на данной кривой постоянно, поэтому в данной
точке огибающей дифференцирование (1) дает
. (3)
Из (2) и (3):
. (4)
Так как на огибающей разным
, то
x yx
x yx
Таким образом, огибающую следует искать среди кривых, удовлетворяющих (1) и (5). Но следует иметь в виду, что уравнениям (1) и (5)
могут удовлетворять и некоторые кривые, не являющиеся огибающими (дискриминантные кривые). Поэтому после нахождения всех решений системы (1) и (5) нужно выяснить, какие из них являются огибающими. На подробностях мы не останавливаемся, отсылая к
[5], гл. XIII, §12, [9], гл.1, §§ 7,8.
Пример 1. Найти огибающую семейства окружностей
Имеем
.
соответствуют разные значения
, поэтому
. (5)
.
Исключая
, получим
− две прямых.
26
α
0
y
′
Φ≠
0
x
′
Φ≠
(,)xy
x
0
xy
dy
dx
′′
Φ +Φ =
,, 0
dy
F xy
dx
=
tg
dy
dx
= ϕ
(,)xy
tg
O
dy
dx
= ψ
(,)xy
tg tg
tg tg( )
1 tg tg
ψ− α
ϕ= ψ−α =
+ψα
tg
1 tg
O
O
dy
dy
dx
dy
dx
dx
−α
=
+α
2
π
α≠
2
π
2.1.3. Ортогональные и изогональные траектории
Рассмотрим, по-прежнему семейство (1).
Определение 2. Гладкие линии, пересекающие все кривые дан-
ного семейства под постоянным углом, называются изогональными
траекториями. Если угол пересечения прямой, то изогональные тра-
ектории называются ортогональными.
Выведем дифференциальное уравнение изогональных траекто-
рий к семейству (1) пересекающих линии семейства (1) под углом
Предположим, что
(в противном случае можно считать, что
.
). Пусть точка
дифференцируем (1) по
произвольная точка семейства (1). Про-
:
(6)
и исключим C из уравнений (1) и (6), получим некоторое дифференциальное уравнение вида
. (7)
Здесь
семейства (1) в точке
касательной к изогональной траектории в точке
− угловой коэффициент касательной к линии
. Пусть
− угловой коэффициент
. Эти угловые
коэффициенты связаны условием
или
. (8)
Подставляя (8) в (7), получим дифференциальное уравнение изого-
нальных траекторий, но только в случае
. В случае
α=
(ор-
27
/2β≠π
2
π
β→ α
1
O
dy
dy
dx
dx
= −
y Cx=
( )
,,x y C y CxΦ=−
x
dy
Cdx=
dy y
dx x
=
tg
1 tg
O
O
dy
y
dx
dy
x
dx
−α
=
+α
O
dy
dx
O
tg
1 tg
y
dy
x
y
dx
x
+α
=
−α
22
1
ln arctg ln
tg
y
xy C
x
+= +
α
tg
r Ce
ϕ
α
=
тогональные траектории) можно в (8) заменить α на
, пе-
рейти к пределу при
и получить условие
. (9)
Подставляя (9) в (7), получим дифференциальное уравнение траекторий, ортогональных к семейству (1).
Пример 2. Найти изогональные траектории семейства прямых
. (10)
Решение. В данном случае
руя по
, получим
. Исключая C с помощью (10), получаем,
что дифференциальное уравнение (7) имеет вид
теперь (8) в (7) :
опуская индекс
, получаем дифференциальное уравнение изого-
. Разрешая относительно
и дифференци-
. Подставим
и
нальных траекторий:
Общий интеграл (однородного) уравнения (11) имеет вид
и описывает изогональные траектории для семейства (10). Легко видеть, что полярная замена приводит (12) к виду
. (11)
(12)
, (13)
28
то есть изогональными траекториями в данном случае при
2
π
α≠
2
π
rC=
(,, ) 0Fxyy′=
( )
,, 0xyCΦ=
0
y
F′=
,,
dy
xy
dx
2 22
(1 )yyR
′
+=
y
′
22
ydy
dx
Ry
±=
−
яв-
ляются логарифмические спирали. В предельном случае при
α=
спирали (13) являются ортогональными траекториями − окружностями
.
2.1.4. Особые решения дифференциальных уравнений перв ого
порядка
Рассмотрим ДУ первого порядка
(14)
и его общий интеграл
. (15)
Решение (14), не получающееся из общего (15) ни при каком C, называем исключительным решением. Исключительные решения могут
проходить через те точки, где нарушаются условия существования и
единственности решения задачи Коши, например в тех точках, где
. Пусть общий интеграл (15) имеет огибающую. Так как в каж-
дой точке касания значения
одинаковы на соответствующей
кривой из (15) и на огибающей, то огибающая является исключительным решением (14). С другой стороны, исключительное решение не
обязательно является огибающей для семейства (15).
Определение 3. Исключительное решение ДУ, являющееся
огибающей для общего интеграла (15), называется особым решением
ДУ.
Через каждую точку особого решения проходят две интегральные кривые.
Пример 3. Найти особые решения уравнения
.
Решение. Разрешим уравнение относительно
и разделим
переменные, получим:
.
29
22 2
()xC y R− +=
RyRy ±== ,
22
00
( , ( ), ( )) 0, ( )Fxyx y x yx y
′
= =
()yx
′
x
()0Fy′=
() 0Fk =
ky
′
=
yc
y kx c k
x
−
= +⇒=
0
yc
F
x
−
=
y
(, ) 0Fxy′=
(), ()x ty t
′
=ϕ=ψ
() ()dy t t dt
′
=ψϕ
()xt= ϕ
() ()y t t dt
′
=ψϕ
∫
Отсюда общий интеграл:
.
Огибающую такого семейства мы уже нашли в примере 1:
то есть две прямых. Это и есть особые решения исходного уравнения.
2.2. Уравнения первого порядка, не разрешенные
относительно про изводно й
2.2.1. Способы введения параметра
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, не
разрешенного относительно производной и задачи Коши для него,
следующий:
В случаях, когда (16) не удается разрешить относительно
,
. (16)
, часто можно применить метод введения параметра.
А) Случай, когда левая часть не зависит от
а уравнение
, (17)
имеет действительный корень
и y:
.
В этом случае
является интегралом уравнения (16).
Б) Случай, когда левая часть (16) не зависит от
Если удается подобрать параметризацию
обращающую (18) в тождество, то, учитывая равенство
, получим решение в параметрическом виде
,
и соотношение
:
. (18)
,
. (19)
30
x
()xy
′
= ϕ
yt
′
=
() () , ()x t dy y dx t t dt y t t dt C
′′ ′
=ϕ ==ϕ =ϕ+
∫
2
1xyy
′′
+=
yt
′
=
2
()
1
t
xt
t
=ϕ=
+
2
2
2 2 3/2
1
1
()
1 (1 )
t
tt
tdt
t
dy t t dt t dt
tt
+−
+
′
=ϕ= =
++
2
1
1
yC
t
=−+
+
2
1
t
xt=
+
t
22
( )1x yC+− =
sin , tg ,
22
x ty t t
ππ
′
= = − <<
tg cos , cosdy y dx t tdt y t C
′
== =−+
x
(, ) 0Fyy′=
(), ()y ty t
′
=ϕ=ψ
()
dy dy
dx
yt
= =
′
ψ
В частности, если (18) разрешимо относительно
но выбрать параметризацию,
виде
. Тогда решение (18) запишется в
:
, то удоб-
. (20)
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
1-й способ (непосредственный). Действуем по (19).
Интегрируем:
Исключая
2-й способ (элегантный). Применим параметризацию
Тогда
Получили то же семейство окружностей.
обращающую (22) в тождество, то, учитывая равенство
, получим семейство окружностей:
В) Случай, когда левая часть (16) не зависит от
Если удается подобрать параметризацию
,
,
,
.
. (22)
.
.
. (21)
.
.
:
,
, получим решение в параметрическом виде
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]