Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационное исчисление. Учебное пособие
.pdf
31
()
) , ()
()
t
x dt C y t
t
′
ϕ
= +=ϕ
ψ
∫
. (23)
y
()yy
′
= ϕ
yt
′
=
()
, ()
t dt
x Cy t
t
′
ϕ
= +=ϕ
∫
2
1yy
′
= +
yt
′
=
2
() 1yt t=ϕ= +
2
2
arsh , sh( )
21
tdt
x tC t xC
tt
= =+=−
+⋅
∫
ch( )y xC= −
sh
sh, ch,
sh
dy t dt
y t y t dx dt
yt
′
= = = = =
′
, ch( )xtC y xC=+=−
(,, ) 0Fxyy′=
(,), (,), (,)x uv y uv y uv
′
=ϕ=ψ =χ
dy y dx
′
=
u
(,)du dv u v du dv
uv uv
∂ψ ∂ψ ∂ϕ ∂ϕ
+=χ + ⇒
∂∂ ∂∂
В частности, если (22) разрешимо относительно
но выбрать параметризацию,
виде
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
1-й способ (непосредственный). Действуем по (24).
Тогда
Как видим, непосредственный счет более трудоемкий.
тов:
обращающую (25) в тождество.
Тогда, расписывая зависимость
дифференциальное уравнение, связывающее переменные
,
2-й способ (элегантный). Применим параметризацию
Г) Случай, когда левая часть (16) зависит от всех трех аргумен-
Пусть удается подобрать параметризацию
,
. Тогда решение (22) запишется в
.
. (25)
:
. (24)
.
.
.
, (26)
, получим обыкновенное
, то удоб-
,
и v:
32
(,)
(,)
uv
dv
uu
du
uv
vv
∂ϕ ∂ψ
χ−
∂∂
=
∂ψ ∂ϕ
−χ
∂∂
. (27)
(,, ) 0uvCΦ=
x
(, )x f yy
′
=
yp
′
=
()py
1 f fp
p y py
∂ ∂∂
= +
∂ ∂∂
(,, ) 0y pCΦ=
y
′
y
(, )y f xy
′
=
yp
′
=
()px
f fp
p
x px
∂ ∂∂
= +
∂ ∂∂
(, , ) 0x pCΦ=
y
′
() ()yxy y
′′
= ϕ +ψ
yp
′
=
x
Его решение
интеграл для (25). Иногда возможны случаи, когда нет необходимости
мучиться с (26) – (27). Рассмотрим их.
Пусть (25) разрешимо относительно
Выбирая параметризацию
чим дифференциальное уравнение на
вместе с зависимостями (26) даст общий
:
. (28)
и дифференцируя (28) по y, полу-
. (29)
Если
(где
Пусть (25) разрешимо относительно
Выбирая параметризаци ю
чим дифференциальное уравнение на
Если
(где
Уравнение Лагранжа имеет вид
Это уравнение вида (30). Вводя параметр
, получим
результат интегрирования (29), то вместе с (28)
заменяется на p) он дает параметрическое решение для (25).
:
. (30)
и дифференцируя (30) по x, полу-
. (31)
результат интегрирования (31), то вместе с (30)
заменяется на p) он дает параметрическое решение для (25).
2.2.2. Уравнения Лагранжа и Клеро
(32)
и дифференцируя по
33
() () ()
dp dp
p pxp p
dx dx
′′
−ϕ = ϕ +ψ
. (33)
() 0−ϕ =pp
() 0pp−ϕ T
pk≡
() ()= ϕ +ψyxk k
0
dp
dx
≡
0
dp
dx
T
dp
dx
()xp
( ()) () ()
dx
p p xp p
dp
′′
−ϕ = ϕ +ψ
(, , ) 0x pCΦ=
() ()yxp p= ϕ +ψ
() 0 () ()p p pp y y
′′
−ϕ≡⇒ϕ=⇒ϕ =
()y xy y
′′
= +ψ
()ppψ≡
py
′
=
()ppψ T
x
( ( )) 0
dp
xp
dx
′
+ψ =
0
dp
dx
=
pyC
′
= =
()y Cx C= +ψ
( ( )) 0xp
′
+ψ =
(), ()y xp p x p
′
= + ψ = −ψ
C
Пусть k есть корень уравнения
Тогда уравнение (33) имеет частное решение
уравнение (32) имеет частное решение
При этом
линейное относительно
Его общий интеграл
Он может оказаться огибающей для семейства (34), то есть особым
решением.
Наконец, рассмотрим случай
когда уравнение Лагранжа превращается в уравнение Клеро:
При
дифференцирование (36) по
. Если же
дает параметрическое решение уравнения Лагранжа.
(
) уравнение (36) решается просто. При
, то разделим (33) на
уравнение
дает
и при этом
, а вместе с ним
. (34)
и получим
. (35)
вместе с зависимостью
,
. (36)
.
Если
прямых
Если
которое не может быть получено из общего решения (38) ни при каких
значениях
, то
, то (36) имеет параметрическое решение
. Это особое решение. Геометрически оно представляет
. (37)
и среди решений (36) имеется семейство
. (38)
, (39)
34
(,,) () 0, / () 0x y C y Cx C C x C
′
Φ = − +ψ = ∂Φ ∂ = +ψ =
22
y xy y
′′
= +
yp
′
=
22
y xp p= +
[ ]
2
22
dp
p p xp p
dx
=++
2
pp=
0p =
1p =) 0y =
1yx= +
22
11
dx
x
dp p p
−=
−−
1
p
( )
2
1yC x=++
1yx= +
0C =
0y =
1
y xy
y
′
= +
′
огибающую для семейства (38). Действительно, уравнения огибающей
(1) и (5) из п. 2.1 в данном случае имеют вид
и совпадают по форме с (39).
Пример 3. Решить уравнение Лагранжа
. (40)
Решение. Вводим параметр
Согласно (33) имеем
:
. (41)
.
Решения вида (41) имеют вид (при
и
Для нахождения общего решения запишем в данном случае уравнение
(35):
Находим общий интеграл для (43):
2
xC
= −
( 1)
p
−
Исключая
уравнения Лагранжа (40):
Разберемся с функциями (42). Функция
ние, получающееся из общего (45) при
особое решение, не получающееся из общего ни при каких значениях
С.
из (41) и (44), получим общий интеграл для исходного
Пример 4. Решить уравнение Клеро
,
. (42)
. (43)
. (44)
1
2
. (45)
.
и
есть частное реше-
. Функция
есть
35
Решение. Согласно (38) общий интеграл имеет вид
1
y Cx
C
= +
2
11
,y xp x
p
p
=+=
2
4yx=
n
()
( , , ,..., ) 0
n
Fxyy y′=
1n −
( 1)
( , , ,..., , ) 0
n
xyy y C
−
′
Φ=
d
Fdx= Φ
( 1)
( , , ,..., )
n
xyy y C
−
′
Φ=
20y xy yy
′ ′′ ′
+− =
( )
2
()xy y
′
′′
−
2
1
xy y C
′
−=
1
dy dx
Согласно (39) особое решение имеет вид
.
или
.
Это парабола.
2.3. Первые интегралы
Пусть дано дифференциальное уравнение порядка
:
. (46)
Определение 4. Первым интегралом уравнения (46) называется
эквивалентное ему дифференциальное уравнение порядка
, со-
держащее одну произвольную постоянную:
. (47)
Первый интеграл формально проще, чем исходное уравнение, и подлежит дальнейшему интегрированию. Если мы видим, что правая
часть (46) является полной производной, то есть
интеграл для (46) пишется сразу:
, то первый
.
Пример 1.
.
Решение. Видим, что правая часть равна
, откуда
первый интеграл имеет вид
Дальнейшее интегрирование не представляет труда. Разделяем переменные:
2
yC
.
.
=
+
x
36
Отсюда имеем общий интеграл
2
11
1
arctg lnyxC
CC
= +
2
() 0yy y
′′ ′
−=
2
y
00
=⇒=
( )
,,y f xyy
′′ ′
=
( ) ( )
( ) ( )
11 1
22 2
,
.
ya y a
yb y b
′
α +β =γ
′
α +β =γ
( ) ( )
( ) ( )
111
222
ya yb
ya yb
ξ +η =ζ
′′
ξ +η =ζ
0yy
′′
+=
( )
00y =
( )
11
yx y
.
Иногда исходное ДУ удается привести к случаю полной производной
путем подбора «интегрирующего множителя».
Пример 2.
.
Решение. Разделим на
′′ ′ ′
−
yy y y
2
y
дальнейшее очевидно.
2.4. Краевые задачи для дифференциальных уравнений
второго порядка
Часто встречается ситуация, когда значение физического пара-
метра, описываемого уравнением
известно в двух точках, либо двух точках известны значения производной, либо известны некоторые связи между функцией и производной в этих точках. В частности могут быть поставлены условия
либо
В таких случаях вместо задачи Коши говорят о краевой задаче (*), (**)
или (*), (***) со смешанными краевыми условиями. Условия существования и единственности решения краевой задачи могут существенно
отличаться от таковых для задачи Коши. Краевая задача может иметь
одно решение, бесконечно много решений или вообще не иметь решений. Рассмотрим пример:
2
()
:
′
y
, (*)
,
,
=
,
(**)
(***)
.
37
12
cos sinyCxCx= +
11
0, sinC yC x= =
1
xn≠π
1
2
1
sin
y
Cx=
1
xn= π
1
0y =
2
00C= ⋅
2
C
1
xn= π
1
0y ≠
21
0 cy⋅=
Общее решение имеет вид
Первое граничное условие дает
.
. Далее:
а) при
, n целое, имеем
единственное решение;
б) при
,
имеем
задача имеет бесконечно много решений;
в) при
,
имеем
, и задача имеет
и
произвольно, и
и задача неразрешима.
38
§3. Дифференцируемые функционалы.
()Jy
E
VE⊆
VE⊆
VE⊆
0
yV∈
yδ
0
yV∈
VE⊆
VE⊆
V
yHδ∈
0
yV∈
VE⊆
yδ
V
H
0
yy+δ
0
y
()Jy
0
yV∈
0
00
( ) ( ) ( ) ( ), 0
y
JJ y J J yoy y
yy
′
∆= +δ− = δ+ δ δ→
J
′
0
y
()oyδ
yδ
0
()
y
Jy
′
δ
Вариации функционала. Экстремумы.
Необходимые и достаточные условия экстремума
3.1. Дифференцируе мые фун кцио налы
Пусть E – банахово пространство,
деленный либо на
на аффинном множестве
точка
есть центр некоторого шара, содержащегося в V, и для
достаточно малых по норме
за пределы
, либо на открытом подмножестве
. В случае открытого
приращение yδне выводит точку
. В случае, когда
жество (см определение 9 п.1.2), вообще никакие приращения
не выводят
за пределы
, и мы можем говорить о про-
странстве приращений. Всюду далее в данном учебном пособии мы
будем считать, что величины
все принадлежат
– функционал, опре-
, либо
всякая
– аффинное мно-
и
принадлежат тому же множеству, что и
оговариваем. Это условие является необходимым для построения и
использования дифференциального (вариационного) исчисления
функционалов. Если же для конкретной физической ситуации (задачи)
не удается построить описывающий ее функционал с нужной областью определения, то мы считаем, что данная задача не решается вариационными методами, и здесь нужна другая теория (часто помогают
так называемые прямые методы).
Определение 1. Функционал
руемым в точке
где
ки
– заданный на пространстве приращений и зависящий от точ-
y
0
линейный ограниченный функционал − главная линейная часть
приращения. Здесь
ка, чем
. Выражение
, если его приращение можно записать в виде
− бесконечно малая более высокого поряд-
называется сильным дифференциа-
лом, или дифференциалом Фреше или первой вариацией функционала
, и специально этого не
называется дифференци-
(1)
,
39
()Jy
. Применяется также обозначение
J
′
J
′
()Jy
′
y
()Jyy′δ
()
J yx Jx
′′
=
()Jy
′
()Jy
E
yδ
R
()Jy
0
y
0
()
y
Jy
′
δ
0yδ→
()Jy
0
y
( )
0
1
y
J
′
( )
0
2
y
J
′
( )
( )
( )
00
0
12
yy
J J oy
′′
−=δ
( ) ( )
00
12
yy
JJ
′′
≡
0
y
hE∈
1h =
th
0
y
0
() ( )t J y thϕ= +
0t =
производная берется в произвольной точке
или вообще
функционала
означает не умножение на x, а применение
y
(как оператора) к вектору x. Смысл выбирае-
мых далее этих обозначений будет ясен из контекста. Если
ределен на всем
линейный по
странство приращений в
ной Фреше.
, то дифференциал Фреше представляет собой
ограниченный функционал, отображающий про-
. Этот функционал называется производ-
или
y
0
. Обозначение
, или
y
, если
оп-
Теорема 1.
а) Если функционал
дифференцируем в точке
, то он
непрерывен в этой точке;
б) Производная Фреше, если она существует, определяется
единственным образом.
Доказательство.
а) Используя свойство (19) из §1 применительно к
и
проводя предельный переход в (1) при
ность
б) Пусть имеются две производные Фреше
Подставляя их по отдельности в (1), вычитая одно выражение из другого и используя свойства бесконечно малых, получим
По теореме 3б из §1 отсюда следует, что
Пусть теперь в точке
кое, что векторы
нозначная функция
дифференцируема в точке
Определение 2. Слабым дифференциалом или дифференциалом
Гато называется предел
в точке
.
не выводят
, получим непрерыв-
.
.
задано направление
за пределы V. Пусть веществен-
,
вещественного аргумента t
.
и
.
та-
40
00
00
0
0
( ) ()
( , ) ( ) lim
t
t
Jy th Jy
d
DJy h Jy th
dt t
→
=
+−
= +=
(2)
h
0 00
00
01
( ) () (,) sup (, ) (,)J y J DJ y y y DJ y y DJ y y y
yy
≤θ≤
+δ− − δδ≤ θδ− δ δ
( ) ( )
00
yy
′′
( )
tyδ
t
0t →
00
00
( ) ()
( ) (0)
lim li
m
tt
Jy ty Jy
Ft F
tt
→→
+δ −
−
= =
( )
00
00
0
00
( ) ()
( , ) lim lim ( ) ( )
yy
tt
o ty
Jy th Jy
DJyh Jy Jy
tt
→→
δ
+−
′′
= = δ+ = δ
0
( ,)DJ y h
()Jy
0
y
0
y
0
y
0
()
y
Jy
′
δ
0
( ,)DJ y h
0ε>
() 0δε >
yδ <δ
00
Слабый дифференциал, вообще говоря, нелинеен по
. Если он лине-
ен, то он называется производной Гато.
Для слабо дифференцируемых функционалов имеет место аналог формулы конечных приращений Лагранжа:
(3)
Доказательство см. [3], гл.10, §1.
Теорема 2. Если функционал имеет сильную производную, то
он имеет и слабую в той же точке, причем эти производные совпадают.
Доказательство. Имеем
( ) () ( ) ()
J ty J J ty o ty tJ y o ty
+δ− = δ+ δ = δ+ δ
yy
00
Разделив обе части на
и переходя к пределу при
.
, получим с
учетом определения (2)
.
Обратная теорема, вообще говоря, не имеет места. Однако при дополнительных условиях на производную Гато справедлива.
Теорема 3. Если слабая производная
существует в некоторой окрестности точки
точке
как функция y, то в точке
существует и совпадает со слабой
сильная производная
функционала
и непрерывна в
.
Доказательство. Так как слабая производная непрерывна, то
по заданному
можно найти
такое, что при
вы-
полнялось:
( ,) ( ,)DJ y h h DJ y h+ − ≤ε
.
Подставляя это неравенство в (3), получаем
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]