Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
1.1. Основные положения теории тонкостенных стержней
11
),(
мм
zyM
t
yМ
zМ
t
х
М
x
in
t ,,
t
yМ
zМ
t
хМ
x
itn ×=
ttt
zyхМ
t
z
М
ktjt t
zy
+=
knjn n
zy
+=
zy
tt
,
zy
nn ,
t
yМ
t
zМ
n,nt,t
zyzy
,
tt
zyМ
tkt ,tj
t
zy
⋅=
⋅=
nknnjn
zy
⋅=⋅= ,
yzzy
t
ntn
−==
,
t
z-
tyzz
tzt
yyy
ytzt
мzt
ytм
+=+
+= ,
y
z
z
y
ds
dz
t ,
z
z
y
y
ds
dy
t
tt
z
tt
y
∂
∂
=
∂
∂
==
∂
∂
−=
∂
∂
==
;)()()(
321
kxujxuixu
u
++=
kxjxix )()()(
321
jjj
j
++=
открытого профиля, соотношения для определения
перемещений ..
чках
вводим локальную прямоугольную си-
стему координат, c осями
тельной и по нормали к профилю стержня и с осью
пендикулярной к сечению (рис. 1.1). Обозначим через
орты осей
,
,
t
локальной системы координат
,
, направленными по каса-
t
. Полагаем, что
выбирается так, чтобы
, пер-
–
. Начало
точка, в которой вычисляются компоненты напряженнодеформированного состояния стержня, находилась на оси
.
В системе координат Оyz,
Здесь
,
– направляющие косинусы осей
Отметим, что так как
синусы системы координат
,
– направляющие ко-
(рис. 1.1) , то справедливы
. (1.1)
,
.
равенства
,
,
, (1.2)
.
,
Здесь s– длина дуги профиля.
Для определения перемещений и деформаций используем
векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения
стержня:
, (1.3)
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
12
)(),(),(
32
1
xuxuxu
)(),(),(
321
xxx
jjj
),,
( zyx
u
и
)(xv
и
)(xw
и
)()()
(),
,(
321
xyxz
xuz
yxu
и
jj
−+=
)(
)
(
2
xu
xv
и
=
)(
)(
3
xuxw
и
=
),,( zyxu
к
)
,(
)
()
,,
(
zy
х
zy
xu
к
ω
β
−
=
)(х
β
),( zy
ω
),
,( zyxu
к
nzyx
wtzyxvzyxV ),,(
),,(),,( +=
),,(,),,( zyxwzyxv
zy( M
мм
),
t
yM
t
zM
открытого профиля ..
где
– перемещения точки начала координат
Оxyz в направлении осей Оx,Оy,Оz;
– углы
поворота поперечных сечений стержня относительно этих осей.
С учетом (1.3) и принятых гипотез, возникающие при
растяжении-сжатии и изгибе перемещения
,
в поперечных сечениях стержня в направлении осей Оx,
Оy, Оz, определяются по формулам:
;
;
. (1.4)
При кручении тонкостенного стержня возникает депланация, появляются перемещения
в направлении про-
дольной оси Оx. В соответствии с теорией тонкостенных стержней учитывающей сдвиги [29]
, (1.5)
где
– функция меры депланации;
– секториальная
площадь профиля.
Кроме депланации
, при кручении, в плоскости
поперечного сечения стержня возникают перемещения, связанные с поворотом сечения. Для описания этих перемещений введем, двумерный вектор
. (1.7)
Здесь
– перемещения в некоторой точке
,
профиля (на линии пересечения срединной поверх-
ности стержня с поперечным сечением) в направлении осей
и
(рис. 1.1).
В соответствии с гипотезой неизменяемости контура, по-
лучается, что при кручении, тонкостенный стержень в плоскости поперечного сечения поворачивается как абсолютно жесткое
1.1. Основные положения теории тонкостенных стержней
13
nw
tvV +
=
PMP
RvV ×+=
θ
kjv
P
ξη
+
=
),
(
PP
z
y
P
ξη
,
i
θθ
=
),(
PP
z
yP
k
zzjyyrrR
p
мpм
PPM
)
()()( −+−=−=
[ ]
[ ]
kyyj
zzV
pмpм
)()( −
++−−=
θξθη
[ ] [ ]
kyyjzznwtv
pмpм
)()( −++
−−=+
θξθη
Р
М М t
R
PM
ρ
dω
ds z y
Р
O
1
ω z y
a)
б)
O
1
Рис. 1.2 Геометрические параметры линии профиля
открытого профиля, соотношения для определения
перемещений ..
тело. Следовательно, вектор
может быть представ-
лен в следующем виде [29] (рис. 1.2):
. (1.8)
Здесь
речного сечения, которая называется центром кручения;
– вектор перемещения точки
попе-
–
компоненты вектора перемещения точек в глобальной системе
координат Оyz;
оси проходящей через полюс
– вектор углов поворота сечения вокруг
и параллельной оси Ох;
– вектор, проведенный из
полюса P в точку M профиля.
Выполняя операцию векторного умножения в формуле
(1.8), находим
. (1.9)
Приравнивая правые части соотношений (1.7), (1.9), по-
лучаем
.
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
14
t
y
t
z
[ ]
[ ]
tk
y
ytjz
z
v
p
м
pм
⋅−
++
⋅−−
=
)(
)(
θξθ
η
[ ]
[ ]
nkyynjzzw
pмpм
⋅−++⋅−−= )()(
θξθη
[ ]
yp
мzpмzy
мм
t
zz
tyy
ttz
yх
v
)()
(),
,( −
−−++
=
θξ
η
[
]
zpм
ypмy
zмм
t
zz
ty
ytt
zy
хw )
()
(),
,(
−+
−−−
=
θξη
),(PPzyP
0,0 ==
p
p
zy
)(1x
jθ
=
)
(),(
32
xuxu =
=
ξη
[
]
yмzмzyмм
tztyxtxutxu
zyх
v −++= )
()()(),,(
132
j
[ ]
zм
yмyzмм
t
ztyxt
xutxuzyхw
+−
−= )()
()(),,(
1
32
j
),( yxM
n
t
zM
zy
tt
,
, такие же, как и для точки
),(ммzyM
),,( zyхv
),,( zyх
w
),( zyM
n
t
zM
),(ммzyM
zzyy
мм
== ,
[
]
yzzy
tztyxt
xutxuzyхv −++= )()()
(),,(
132
j
[ ]
zy
yz
tztyxtxutxuzyхw +−−= )()()(),,(
132
j
открытого профиля ..
Умножая это уравнение скалярно на вектора t и n,
определяем перемещения в направлениях осей
и
С учетом формул (1.1), (1.2) находим
:
,
.
,
. (1.10)
В дальнейшем полагаем, что полюс
совпадает с
началом системы координат Оxyz. Следовательно,
,
,
. (1.11)
С учетом равенств (1.11) формулы (1.10) принимают сле-
дующий вид:
,
. (1.12)
Таким образом, перемещения точек срединной линии по-
перечного сечения стержня в плоскости сечения описываются
соотношениями (1.12). Для точек
(рис. 1.3), величины
, лежащих на оси
, поэтому полученный результат в виде соотношений
(1.12) можно использовать и для определения перемещений
,
(на линии, проходящей через точку
в точках
, лежащих на оси
и перпендику-
лярной к срединной линии поперечного сечения стержня).
Полагая в формулах (1.12)
, получим
,
В этом случае секториальная характеристика (площадь) профиля
. (1.13)
1.1. Основные положения теории тонкостенных стержней
15
∫
∫
=
=
=
nn
n
s
o
n
M
O
n
ds
ds
s
z
y
ρ
ρ
ωω
)
()
,(
n
s
nn
M
O
n
O
yzzyPMn
tztynznynRzy
n
−=+=⋅=),(
ρ
n
M
nn
MO
yмzмzмyмммn
tztynznyzyzy −=+== ),(),(
ρρ
),,(),,()
,,( zyxuzyxu
zyxu
ки
+=
O
М
O
y
z
Рис. 1.3 Поперечное сечение стержня
М
y
z
O
открытого профиля, соотношения для определения
перемещений ..
. (1.14)
t
n
Здесь
точки
– длина дуги линии
(рис. 1.3);
– проекция радиуса вектора точки
t
n
1
, отсчитываемая от некоторой
на нормаль n к линии
в этой точке. Так как стержень тонкостенный, то в даль-
нейшем полагаем
.
Таким образом, получается, что при растяжении-сжатии,
изгибе и кручении тонкостенного открытого профиля в направлении нормали к поперечному сечению возникают перемещения
вызванные растяжением-сжатием, изгибом и депланацией сечения при кручении:
.
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
16
),,
(,),,
( zyxuzy
xu
к
и
sхxyxzxuzyxu )()()()()(),,(
321
ωβjj
−−+=
tt
zMy
x
u
x
∂
∂
=
ε
х
v
y
u
t
xsxy
t
∂
∂
+
∂
∂
==
γγ
x
w
z
u
t
xz
t
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
tt
zy
y
w
z
v
nt
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
tt
zMy
M
t
dyds =
s
y
t
∂
∂
=
∂
∂
)(
)
()()(
)(
321
s
dx
хd
dx
x
d
y
dx
xd
z
dx
xdu
x
u
ω
βjj
−−+=
∂
∂
),,()()()(
)(
)()()(
32
32
ммyz
ttt
zyхtxtx
ds
sd
х
y
y
x
y
z
x
y
u
ρβjj
ω
βjj
−−=
=−
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
открытого профиля ..
Подставляя в это равенство выражения
в виде (1.4), (1.5), с учетом (1.14), находим
. (1.15)
1.2. Формулы для вычисления деформаций, напряжений и
момента чистого кручения
В дальнейшем используем основные положения метода
расчета напряженно-деформированного состояния стержней,
изложенного в [20, 21, 24, 27]. Этот метод основан на записи
выражений для деформаций и напряжений в локальной прямоугольной системе координат и применении численного интегрирования.
Деформации и напряжения будем вычислять в системе
координат
. Используем формулы теории упругости:
,
,
,
. (1.16)
Обратим внимание на то, что по формулам (1.16) вычис-
ляются деформации в фиксированной точке M и в фиксированной локальной системе координат
(рис. 1.1 – 1.3), следовательно
. В этом случае, в точке
этого равенства и выражений (1.2), (1.13), (1.15) получаем
. С учетом
,
1.2. Формулы для вычисления деформаций, напряжений и
17
yz
ttt
txtx
zzz
u
zyy
u
z
u
)()(
23
jj
−−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
[ ]
yzz
y
t
zty
d
х
x
d
t
d
х
xdu
t
dх
xdu
х
v
−+
+=
∂
∂ )
()
()
(
1
3
2
j
[ ]
yyzz
ttt
ttttx
zzz
v
zyy
v
z
v
−=
∂∂∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
)(
1
j
[ ]
zyyz
tzty
dx
xd
t
dx
xdu
t
dx
xdu
x
w
+−−=
∂
∂ )(
)()(
132
j
[ ]
zzyy
ttt
ttttx
y
z
z
w
y
y
y
w
y
w
−−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
)(
1
j
)(
)(
)()
()
(
321
s
dx
х
d
dx
x
d
y
dx
x
d
z
dx
xdu
x
ω
β
jj
ε
−−+=
[ ]
+−++=
yzzyxy
tzty
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
t
)
(
)()(
132
j
γ
)
,()()()(
3
2 ммy
z
zyхtxtx
ρβjj
−−+
[ ]
,)()(
)(
)(
)(
32
1
3
2
zyzyyzxz
txtxtzty
dx
xd
t
dx
xdu
t
dx
xdu
t
jj
j
γ
−++−−=
0=
tt
zy
γ
0=
t
xz
γ
0=
t
xz
t
t
yM
t
zM
0=
=
tt
zy
σσ
xx
Eεσ=
tt
xyxy
Gγt=
момента чистого кручения
.
Подставляя формулы (1.17) в (1.16), находим выражения
для компонент деформаций
,
, (1.17)
,
,
.
,
Так как принята гипотеза безмоментности, то следует по-
лагать
,
.
В соответствии с гипотезой ненадавливания, продольные
волокна стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению к ним направлениям, следовательно, нормальные напряже-
ния в направлении осей
Таким образом, в поперечных сечениях тонкостенного
стержня возникают напряжения
,
.
равны нулю,
и
, (1.18)
.
.
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
18
)
(
)
()()()(
32
1
s
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
x
ω
βjj
ε
−−
+=
[ ]
+−++=
yzzyxy
tzty
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
t
)()()(
132
j
γ
),()()()(
32 ммyz
zyхtxtx
ρβjj
−−+
t
zM
s
y
t
∂
∂
=
∂
∂
zM
0=ty
ytмztм
tzzztzyy −=+= ,
t
xy
γ
),
(
ммyмzм
zytzt
y
ρ
=
−
k
xyxy
tt
γγγ
+=
+++= ),(
)()()(
132
ммzy
zy
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
ρ
j
γ
),()()(
)(
32 ммyz
zyх
txtx
ρβj
j
−−+
t
k
xy
z
dх
x
d
t
)
(
1
j
γ
=
k
xy
t
γ
k
xyxy
tt
ttt
+=
открытого профиля ..
С учетом (1.18), получается, что продольные деформации
и деформации сдвига определяются по формулам
,
(1.19)
.
Соотношения (1.19) справедливы для точек поперечного
сечения стержня, расположенных на оси
, т.к. для них вы-
полняется равенство
Координаты точек, лежащих на оси
.
(
t
ляются по формулам
эти выражения в соотношение для
(1.19), с учетом того, что
, получим
. (1.20)
Здесь
, (1.21)
.
Отметим, что деформация γобусловлена изгибом и
стесненным кручением, а
– чистым кручением.
На основе формул (1.20), (1.21) получается, что касательные напряжения можно представить в виде суммы
, (1.22)
), вычис-
. Подставляя
1.2. Формулы для вычисления деформаций, напряжений и
19
t
k
xy
t
t
,)
,()
(
)(
)(
)
(
)
(
)(
1
2
3
3
2
−+
+
+
+
−=
м
м
z
y
zyx
dх
x
d
t
x
dх
x
du
tx
d
х
x
du
G
ρβ
j
j
j
t
t
k
xy
z
dх
xd
G
t
)(
1
j
t
=
k
xy
t
γ
k
xy
t
t
к
max
t
dх
xd
IGH
x
)(
1
j
=
x
к
W
H
=
max
t
x
I
x
W
t
k
xy
z
dх
xd
k
t
)(
1
*
j
γ
=
t
k
xy
k
xy
z
dх
xd
kGG
tt
)(
1
*
j
γt
==
*
k
момента чистого кручения
.
где
– постоянное по толщине стенки среднее касательное
напряжение,
– напряжение чистого кручения, распределен-
ное по толщине стенки по линейному закону:
. (1.23)
Использование формул (1.21), (1.23) не позволяет с достаточной точностью определить компоненты напряженнодеформированного состояния стержня. Это связано с особенностями чистого кручения. Поэтому, в полученные формулы
(1.21), (1.23) для деформации
и напряжения
следует
внести изменения.
В соответствии с теорией чистого кручения тонкостенных стержней [29], момент чистого кручения H и максималь-
ное значение касательного напряжения
определяются по
формулам
где
,
- крутильный момент инерции,
(1.24)
- осевой момент со-
противления сечения. Чтобы уравнения (1.24) выполнялись, полагаем
,
где
полнялись соотношения (1.24).
– коэффициент, определяемый таким образом, чтобы вы-
, (1.25)
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
20
dх
xdWIG
x
x
k
)(
1
max
j
t
=
2
)(
1
*
max
hdхxd
kG
k
j
t
=
x
x
hW
I
k
2
*
=
3
2
bh
W
x
=
3
3
bh
Ix=
2*=k
)(
)()()(
)(
321
s
dx
хd
dx
x
d
y
dx
xd
z
dx
xdu
x
ω
βjj
ε
−−+=
+++
= ),(
)()(
)(
132
ммz
y
zy
dх
x
d
t
dх
xdu
t
d
х
xdu
ρ
j
γ
)
,(
)(
)(
)(
3
2 мм
yz
z
yх
txt
x
ρ
βj
j
−−
+
t
k
xy
z
dх
xd
k
t
)(
1
*
j
γ
=
xx
Eεσ=
k
xyxy
tt
ttt
+=
k
xy
k
xy
tt
GG
γtγt
== ,
t
xy
t
t
xz
t
открытого профиля ..
Из уравнений (1.24) , следует
. (1.26)
В соответствии со второй формулой (1.25),
, где h– толщина стержня. Подставляя это
выражение в (1.26), находим
. Как известно [29], для
полосы длиной b, постоянной толщины h,
, следовательно, в этом случае
.
Таким образом, для вычисления деформаций следует использовать соотношения
,
(1.27)
,
.
Напряжения находятся по формулам:
,
, (1.28)
.
На основе мембранной аналогии Прандтля показано [29],
что при чистом кручении узкой полосы касательные напряжения
,
вносят одинаковый вклад в величину момента чистого
,
кручения H. Однако, согласно принятой в теории тонкостенных