Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
3.3. Вычисление внутренних сил, нормальных и касательных
71
[ ]
dsshzsкsкsse
м
L
мkз
L
зoз
L
зo
)()()1()()()(
*
∫
−−−≈
ΩΩω
[ ]
≈−−−=
∫∫
А
мkз
L
зoз
L
зoзo
z
dAysкsкsseS
)()1()()()(
*
ΩΩω
ω
[ ]
dsshysкsкsse
м
L
мkз
L
зoз
L
зo
)()()1()()()(
*
∫
−−−≈
ΩΩω
∫∫∫
==
L
y
А
yyy
dsshtsgdAtsgA )()()(
2*2**
∫∫∫
==
L
z
А
zzz
ds
sh
tsg
dAt
sg
A
)(
)()
(
2*2
**
∫∫∫
==
L
z
y
А
zyyz
dssh
tt
sgdA
tts
gA )(
)()
(
***
∫∫∫
=
=
L
y
А
yyt
dsshtssg
dAtssg )()()()()(
***
ρρω
∫∫ ∫
==
А L
zzzt
dsshtssgdAtssg )()()
()()(
***
ρ
ρω
∫∫
=
−=
А
y
k
x
зoзo
yt
dAt
shsg
I
кssg
)()(
)()(
*
*
Ω
ρΩ
∫
−=
L
y
k
x
зo
dssht
shsg
I
кssg )(
)()(
)()(
*
*
Ω
ρ
∫∫
=
−=
А
z
k
x
зoзo
zt
dAt
sh
sg
I
кssg
)()(
)()(
*
*
Ω
ρΩ
∫
−=
L
z
k
x
зo
dssht
shsg
I
кssg )(
)()(
)()(
*
*
Ω
ρ
∫∫∫
≈=
L
м
А
y
dsshzsedAzseI )()()(
2*2**
dsshysedAyseI
м
LА
z
)()()(
2*2**
∫∫∫
≈=
∫∫∫
≈=
L
мм
А
yz
dsshzysedAzyseI )()()(
***
напряжений .
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
72
∫∫∫
==
LА
dsshssgdAss
g
I )()()()()
(
2
*2**
ρρ
ρ
,
)
(
)(
12
1
)
()
()
1
(
12
1
)
()
1
(
3
*
3
*
2
**
∫
∫
∫∫
=
−
=
=
−=
o
t
L
L
зo
А
t
зoo
y
ds
s
h
s
g
dss
hs
g
к
dAz
sg
к
I
L
o
L
−−+=
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
seE
x
)()()(
)(
321
*
0
jj
σ
( )
−−−− )()1()()(
)(
мkз
L
зoз
L
зo
sкsкs
dx
хd
ΩΩω
β
)()()( sss
k
xyxy
tt
ttt
+=
)(s
t
x
σ
комбинированного профиля .
,
– срединная линия профиля,
– срединная линия открытых
частей профиля.
Усилия и моменты являются интегральными характеристиками напряженного состояния в сечении стержня и вариационным методом по формулам (3.21) вычисляются с достаточной
точностью.
Нормальные напряжения, возникающие в поперечных
сечениях стержня, можно определять с использованием Гука:
. (3.22)
С использованием закона Гука для касательных напряжений (3.14), вариационным методом с достаточной точностью
определяются интегральные характеристики напряженного состояния – внутренние силы и моменты. Однако, чтобы описать
распределение касательных напряжений
в
поперечном сечении стержня, необходимо использовать более
точную формулу для
, которую можно получим из уравне-
ния равновесия отсеченного элемента стержня (1.45).
При вычислении интеграла в (1.45) считаем, что величина
не меняется по толщине тонкостенного стержня, следова-
тельно, можно полагать
3.3. Вычисление внутренних сил, нормальных и касательных
73
−−
+==
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
seEzy
ммммxx
)()()(
)(),(
3
21
*
0
jj
σσ
( )
−
−−−
)
()
1()
()(
)
(
м
k
з
L
зoз
L
зo
s
кsк
s
dx
хd
ΩΩ
ω
β
)0(T
o
А
M
)0(T
∫∫∫∫
===
LLА
ds
ssTds
shss
dAss
M )(
)()()
()(
)()
(
ρρ
tρt
ω
)(sT
−
∂
∂
−=
∫ ∫∫
L
L
ммx
L
dssdssh
x
zy
dssTM
o
)()(
),(
)()0(
ρ
σ
ρ
ω
dsssxq
L
)(),(
1
ρ
∫
−
+
∂
∂
+=
∫ ∫
L
L
м
мx
LL
dssdssh
x
zyM
T
o
)()(
),(1
)0(
ρ
σ
ΩΩ
ω
∫
+
L
L
dsssxq )(),(
1
1
ρ
Ω
∫
=
L
L
dss)(
ρΩ
напряжений .
,
а уравнение (1.45) записывается в виде (1.47).
Входящее в формулу (1.47) значение потока касательных
напряжений
вычисляется различными способами, в зави-
симости от того, на открытой или закрытой частях профиля
находится точка M.
На рис. 3.2,б – 3.2,г показано поперечное сечение стерж-
ня. Заштрихованные области – это возможные варианты площади
профиля, то для определения
отсеченной части стержня.
Если текущая точка
находится на закрытой части
используем формулу для мо-
мента стесненного кручения (3.20), которую можно представить
в следующем виде:
.
Подставляя в эту формулу выражение
получим
Следовательно,
где
.
в виде (1.47),
.
,
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
74
)0(T
−
∂
∂
+=
∫ ∫
dss
dssh
x
zy
hh
M
s
L
L
ммx
L
L
o
)
()(
),
(1
)(
ρ
σ
ΩΩ
t
ω
.)(),(
1
)()(),(
1
)(
),(1
1
1
dsshsxq
h
dssdsshsxq
h
dssh
x
zy
h
o
oo
L
L
L
L
L
ммx
∫
∫ ∫∫
−
−
+
∂
∂
−
ρ
Ω
σ
x
σ
−
++
=
∫∫
o
L
м
L
L
L
dx
x
d
z
dx
xud
seE
hh
M
s
2
2
2
2
1
2
*
0
)(
)(
)(
1
)
(
j
ΩΩ
t
ω
(
))
]
−−−
−−−
−
dssdsshsк
sкs
dx
хd
dx
xd
y
м
kзL
зo
з
L
зo
м
)()()()1(
)()
(
)()(
2
2
2
3
2
ρΩ
Ωω
βj
−−+−
∫
2
3
2
2
2
2
2
1
2
*
0
)
()(
)(
)(
1
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xud
seE
h
мм
L
o
jj
(
)
+
−−−− dsshsкs
кs
dx
хd
мkз
L
зoз
L
зo
)()()1()()(
)(
2
2
ΩΩω
β
dsshsxq
h
dssdsshsxq
h
oo
LL
L
L
∫∫∫
−
+ )(),(
1
)()(),(
1
11
ρ
Ω
комбинированного профиля .
С учетом последней полученной формулы для вычисле-
ния
из уравнения (3.24) находим
Подставляя
в виде (3.22) в формулу (3.25), определяем
(3.25)
.
3.3. Вычисление внутренних сил, нормальных и касательных
75
,)
(),(
1
)(
)(),(
1
)(
1
1
dss
hsxq
h
ds
sdsshsxq
h
h
M
s
o
o
L
L
L
oo
м
∫
∫ ∫
−
−
+=
ρ
ΩΩ
t
ω
dsshse
h
E
A
o
L
o
)()(
*
0
*
∫
=
)(
)(
)(
1
~
*
**
s
Ads
ssA
A
o
L
o
L
o
−
=
∫
ρ
Ω
dsshzse
h
E
S
м
L
oy
o
)()(
*
0
*
∫
=
)(
)()(
1
~
**
*
s
SdsssSS
oу
L
o
у
L
oу
−=
∫
ρ
Ω
ds
shy
se
h
E
S
м
L
oz
o
)()(
*
0
*
∫
=
)()()(
1
~
***
s
SdsssSS
oz
L
oz
L
oz
−=
∫
ρ
Ω
[ ]
∫
−−−=
o
L
м
kзL
зoз
L
зoзо
o
dsshsкsкsse
h
E
sS )()()1()()()()(
*
0
ΩΩω
ω
)(
)()(
1
~
sSdsssSS
зо
o
L
зо
o
L
зо
o
ωωω
ρ
Ω
−=
∫
−−+
+=
*
2
3
2
*
2
2
2
*
2
1
2
~
)(
~
)(
~
)(
)()(
ozoуoм
S
dx
xd
S
dx
xd
A
dx
xud
ss
jj
tt
зо
o
S
dx
xd
ω
β
~
)(
2
2
напряжений .
Обозначая,
,
,
,
,
,
,
,
,
получаем формулу для вычисления касательных напряжений в
сечениях закрытого профиля:
.
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
76
dssf
o
L
∫
)(
dssfdss
f
M
L
o
∫
∫
=
1
0
)()
(
.
)()()(
)()()(
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
dssfdssfds
sfds
sfdssfdssf
M
M
Г
M
M
M
Г
M
M
L
o
∫∫∫
∫∫∫
+++
+=
o
А
0),
,()
()(
1
=
+−+
∂
∂
∫∫∫∫
oo
А
Г
А
x
dAdx
zyx
qdxsTdx
sTdxdA
x
σ
Г
s
1
Г
dss
hsxqdssh
x
zy
sTsT
ГГ
s
s
s
s
ммx
Г
∫∫
+
∂
∂
+= )
(),()(
),
(
)()(
1
σ
1
Г
)(ksT
Ox
t
)()( shsT
Г
kk
t
=
0)( =
k
sT
комбинированного профиля .
Отметим, что при вычислении интегралов вида
следует учитывать наличие разветвлений срединой линии профиля. Так, для отсеченной части, показанной на рис. 3.2,б –
, а для отсеченной части, показанной на рис.
3.2,в –
Если текущая точка Mнаходится на отрытой части про-
филя, то проводим сечение и рассматриваем отсеченную часть
открытого профиля. На рис.3.2,г площадь отсеченной части по-
перечного сечения
, заштрихована. Уравнение равновесия
(3.24) в этом случае имеет вид:
,
где
– значение координаты s в точке
(рис. 3.2,г).
Последнее уравнение можно записать в следующем виде:
,
. (3.26)
Точка
значение
находится на поверхности стержня, поэтому
известно. В случае, когда на поверхности стерж-
ня действуют внешние силы, касательная составляющая которых в направлении оси
равна
поверхности стержня нет внешних касательных сил –
Г
,
k
. Если на
.
Подставляя в формулу (3.26) выражение (3.24), получим
формулу для вычисления касательных напряжений в сечениях
отрытых частей профиля:
3.3. Вычисление внутренних сил, нормальных и касательных
77
−−+
+=
о
oozoуo
Г
k
S
dx
xd
S
dx
xd
S
dx
xd
A
dx
xud
s
ω
βjj
tt
2
2
*
2
3
2
*
2
2
2
*
2
1
2
)()()()(
)(
dsshse
h
E
dsshse
h
E
A
k
o
s
s
L
o
)()()()(
*
0
*
0
*
∫∫
==
dsshzse
h
E
dssh
zse
h
E
S
м
s
s
м
L
oy
k
o
)()()
()(
*
0
*
0
*
∫∫
=
=
dsshy
se
h
E
dss
hy
s
e
h
E
S
м
s
s
м
L
oz
k
o
)()
()
(
)(
*
0
*
0
*
∫
∫
=
=
[ ]
[ ]
.)()()()(
)()()()()(
*
0
*
0
∫
∫
−
=−=
k
o
s
s
мkз
L
L
мkз
L
о
o
dsshssse
h
E
dsshssse
h
E
sS
Ωω
Ωω
ω
напряжений .
Здесь
,
.
,
,
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
78
Oxyz
z
yxO
~
~~
~
1
i
1
j
1
xO
~
~
13
1211
)
(
~
)(
~
)
(
~
kxuj
xuixu
u
++=
131211
)(
~
)
(
~
)(
~
kxj
xix
jjj
j
++=
Oxyz
zyxO
~
~~
~
{ }
[ ]
{ }
uAu
н
~
=
{ }
[ ]
{ }
jj
~
н
A=
{ } { }
T
xuxuxuu )(),(),(
321
=
{ } { }
T
xux
uxuu )(
~
),
(
~
),(
~~
3
21
=
{ } { }
T
xxx )(),(),(
321
jjjj
=
{ } { }
T
xxx )(
~
),(
~
),(
~~
321
jjjj
=
расчета ..
Глава 4 Основные соотношения вариационного
метода расчета
4.1 Методика определения напряженно-деформированного
состояния
Опишем методику определения перемещений, углов поворота, деформаций, напряжений, внутренних силовых факторов для стержней отрытого профиля. Для стержней закрытого и
комбинированного профиля она будет аналогичной.
Используем метод аппроксимации искомых функций перемещений и углов поворота, ранее успешно примененный для
расчетов не тонкостенных стержней [20–23].
Представленные в предыдущих главах соотношения
применимы для прямолинейного стержня. В случаях, когда
стержень имеет криволинейную продольную ось решение также
можно получать на основе этих соотношений. При этом систему
координат
следует считать промежуточной и использовать
глобальную систему координат
этой глобальной системы координат не будет перпендику-
лярной ко всем поперечным сечениям стержня. Вектора перемещений и углов поворота представляются в следующем виде:
Компоненты векторов u, j в системе координат
в глобальной системе координат
уравнениями
где
с ортами
,
,
. Ось
k
,
, (4.1)
и
, связаны между собой
,
;
;
, (4.2)
;
;
4.1 Методика определениянапряженно-деформированного
79
[ ]
=
333131
232221
131211
nnn
nnn
nnn
A
н
)
~
,(
cos
11
x
x
n
∧
=
)~,(
cos
12
yx
n∧=
)~,(
cos
33
zz
n
∧
=
)(
~
)(
3
1
xunx
u
j
jkjk
∑
=
=
)(
~
)(
3
1
xnx
j
jkjk
∑
=
=
jj
3
,2,
1=k
kj
n
Oxyz
{ }
[ ]
{ }
u
dx
d
Au
dx
d
н
~
=
{
}
[ ]
{ }
jj
~
dx
d
A
dx
d
н
=
)(
~
)(
3
1
xu
dx
d
nxu
dx
d
j
jkjk
∑
=
=
)(
~
)(
3
1
x
dx
d
nx
dx
d
j
jkjk
∑
=
=
jj
3,2,
1=k
U
δ
W
δ
{ }
u
{ }
j
{ }
u
~
{ }
j
~
zyxO
~
~~
~
состояния . .
– матрица направляющих конусов локаль-
ной системы координат;
…,
.
,
Следовательно, перемещения и углы поворота в локаль-
ной системе координат вычисляются через перемещения и углы
поворота в глобальной системе координат по формулам:
,
,
, (4.3)
Учитывая, что вычисления проводятся для выбранных
точек, направляющие косинусы
системы координат
являются величинами постоянными, справедливы равен-
ства:
,
. (4.4)
Используя (4.3), формулы (4.4) можно записать так:
,
,
. (4.5)
С учетом формул (4.3), (4.5) получается, что при расчете
криволинейных стержней в соотношениях для перемещений,
углов поворота, деформаций, напряжений, вариации потенциальной энергии
предыдущих главах, компоненты векторов
, вариации работы сил
, приведенных в
,
следует вы-
,
ражать через компоненты векторов
глобальной системе координат
.
,
, определенных в
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
80
{ } { }
uu =
~
{ } {
}
jj
=
~
321
~
,
~
,
~
uuu
~
,
~
,
~
jjj
β
)()
(
~
)(
~
1
tfCtu
xu
m
M
m
i
km
i
kk
∑
=
==
)()
(
~
)(
~
1
tfD
tx
m
M
m
i
km
i
kk
∑
=
==
jj
(
) ( )
tfBt
х
m
M
m
i
m
i
i
∑
===1
)(
β
β
3,2,1=
k
Ni ,1=
( )
ttf −=1
1
( )
tt
f =
2
( )
( )
21−−=m
m
ttt
f
Mm ,3=
i
km
C
i
km
D
i
m
B
(
)
1
0
/ ≤
≤=
t
lх
t
i
i
l
( )
10/
≤≤=
tlх
t
i
dtldx
i
=
)(
~
1
)(
~
)(
3
1
3
1
tu
dt
d
n
l
x
u
dx
d
nxu
dx
d
j
jkj
i
j
j
kjk
∑∑
=
=
==
)(
~
1
)(
~
)(
3
1
3
1
t
dt
d
n
l
x
dx
d
nx
dx
d
j
jkj
i
j
jkjk
∑∑
==
==
jjj
)(
1
)( t
dtdl
x
dx
d
i
ββ
=
3,2,
1=k
расчета ..
Очевидно, что для прямолинейного стержня
.
При проведении расчетов разобьем стержневую систему
на N участков так, чтобы на каждом участке продольная ось
стержня не разветвлялась. На каждом из этих участков переме-
щения
и углы поворота
и мера депланации
21
3
представляются в виде рядов: и мера депланации представ-
ляются в виде рядов:
,
,
,
(4.6)
где
янные;
стержня, отсчитываемая от начала участка;
;
– номера участков;
(
);
,
,
– неизвестные посто-
,
; x – координаты продольной оси
– длина продоль-
ной оси участка с номером i.
В выражениях (4.6) перемещения и углы поворота явля-
ются функциями безразмерного параметра t. Поэтому, с учетом
того, что на каждом из выделенных участков стержневой
, при вычислениях интегралов следует пола-
гать
, а производные от функций вычисляются по
формулам
,
,
,
,
.