Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
4.2 Алгоритмы численного интегрирования .
91
2
/))(1(
minmaxmin
*
yyy
y
ii
−++=
ξ
2
/)()
(
minmax
*
yy
yP
ii
x
−=
α
*
...,,2,1 Ii =
∗
i
y
∗
i
y
н
y
к
y
)(
кiн
yyy ≤≤
∗
min
i
z
max
∗
2
y
1
Г
4
Г
BA
yyy <<
∗
2
F
A
yyy <<
∗
2
1
Г
4
Г
1111
b
ya
z
+=
2
2424
24
ycyabz ++=
11211
1
min
byaz +=
∗
2
22422424max
)(
∗∗
++= ycyabz
dzyPzyfJ
ix
I
i
z
z
i
i
i
)(),(
*
1
22
max
min
∗
=
∗
∑
∫
⋅=
min
i
z
max
∗
ij
z
)(
∗
ijz
zP
2/))(1(
minmaxmin
ii
j
i
ij
zzzz −++=
∗
ξ
2/)()(
minmax
ii
jijz
zzzP −=
∗
α
*...
,2,1
Ii =
*
...,2,1
Jj =
∗
ij
z
•
5** == JI
координаты точек интегрирования по координате x и весовые
множители:
,
,
Для каждой координаты
области, для которых
начала
и конца
располагается между координатами
этих границ
определяются отрезки границ
мулам (4.18), (4.20), (4.22) вычисляются
i
и
z
.
. Затем по фор-
.
Так, например, для области показанной на рис. 4.4, зна-
чение
для линий
Уравнения линий
находится между начальной и конечной координатами
и
,
и
и
.
–
, следовательно,
.
Используя численное интегрирование по координате x,
интеграл (4.23) можно представить в виде
. (4.24)
После определения границ интегрирования по z -
, с учетом (4.17), вычисляются точки интегрирования
i
и
z
по
,
,
координате z и весовые множители
,
,
На рис. 4.17 точки интегрирования
(полагалось
).
:
,
.
отмечены знаком
В результате интеграл (4.24) представляется в виде суммы:
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
92
)()(),(
*
1*1
22
∗∗
= =
∗∗
⋅⋅=
∑ ∑
ijziy
JjI
i
iji
zPyPzyfJ
y
J
z
J
∫∫
=AdydzA
∫∫
=
A
y
dydzzJ
2
∫∫
=
A
z
dydzyJ
2
О
min
y
*
1
y
*
2
y
*
3
y
*
4
y
*
5
y
max
y
y
3
min
z
2
min
z
5
min
z
*
32
z
5
max
z
3
max
z
2
max
*
33
z
*
34
z
*
35
z
*
21
z
*
22
z
*
23
z
*
25
z
*
43
z
z
),(BBzyB
),(CCzyC
),(AAzyA
),(
EE
zyE
),(DDzyD
1
Г
2
Г
3
Г
4
Г
Рис. 4.4 Точки интегрирования на фигуре
),(FFzyF
*
*
*
24
z
*
12
z
расчета ..
. (4.25)
z
Для оценки точности результатов, которые получаются
при использовании формулы численного интегрирования (4.25),
был решен ряд тестовых примеров. В табл. 4.1 приведены дан-
ные вычисления площади A и осевых моментов инерции
различных фигур.
,
,
,
.
4.2 Алгоритмы численного интегрирования .
93
10** == JI
zy
JJA ,,
%
∆
IVIIIIII ,,,
Вычисления проводились по формуле (4.25) для прямоугольника, треугольника, круга и кольца при
таблицы «точн.» представлены точные значения
. В столбцах
; в
столбцах «числ.» - результаты численного интегрирования; в
столбцах «
» - разница в процентах между точными и вычис-
ленными значениями.
При интегрировании по области в виде круга и кольца,
фигуры разбивались на четыре части
так, что в
каждой четверти осей координат была одна четвертая фигуры
(табл. 4.1, рис. с)).
Интегралы по площади треугольника вычислялись без
разбиения его на части (табл. 4.1, рис. в) и при разбиении на две
части (табл. 4.1, рис. е). Отличие фигур, показанных в таблице
4.1 на рис. d) и рис. f), заключается в том, что кольцо на рис. f
сравнительно тонкое.
Как видно из представленных данных по формуле (4.25)
можно вычислять интегралы с точностью, достаточной для
практических расчетов. Погрешность интегрирования можно
уменьшить за счет разбиения фигуры на части, как это показано,
например, для треугольника (табл. 4.1, рис. е).
Интегралы по площади треугольника вычислялись без
разбиения его на части (табл. 4.1, рис. в) и при разбиении на две
части (табл. 4.1, рис. е). Отличие фигур, показанных в таблице
4.1 на рис. d) и рис. f), заключается в том, что кольцо на рис. f
сравнительно тонкое.
Как видно из представленных данных по формуле (4.25)
можно вычислять интегралы с точностью, достаточной для
практических расчетов. Погрешность интегрирования можно
уменьшить за счет разбиения фигуры на части, как это показано,
например, для треугольника (табл. 4.1, рис. е).
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
94
Точн.
Числ. %∆
Точн.
Числ. %∆
A
16
16 0 4,5
4,47
0,6
Jx 85,33
85,33
0
2,25
2,116
6
Jy 5,33
5,33
0
1,688
1,689
0,05
Точн.
Числ. %∆
Точн.
Числ. %∆
A
314,3
314,2
0,03
235,6
234,3
0,6
Jx 7854
7854
0
7363
7361
0,02
Jy 7854
7859
0,06
7363
7340
0,3
y z h b b = 2, h = 8
a)
y z h
b
b = 3, h = 3
b)
y z R
R = 10
I
c)
II
III
IV
y z R
R = 10, r = 5
r
d)
расчета ..
Таблица 4.1. Результаты вычисления геометрических
характеристик фигур
4.2 Алгоритмы численного интегрирования .
95
Точн.
Числ. %∆
Точн.
Числ. %∆
A
4,5
4,5 0 30,62
29,97
2,1
Jx 2,25
2,25
0
1457
1458
0,06
Jy 1,688
1,688
0
1457
1395
4,25
),(PPyz
P
),( zy
ω
t
z
t
zM
zy
tt ,
t
y
М
t
zМ
∫
==
s
o
мм
dszyszy ),()(),(
ρωω
y z R
R = 10, r = 9,5
r
f)
y
z h b
b = 3, h = 3
I
II
e)
4.3 Вычисление секториальных характеристик
тонкостенного стержня
Для вычисления секториальных характеристик тонко-
стенного стержня можно использовать численный метод. Полагаем, что начало системы координат Оxyz совпадает с центром
кручения
(рис. 4.5). Для определения геометрических
характеристик поперечного сечения стержня необходимо вычислить значения секториальной координаты
, координа-
ту
Значения секториальных координат определяем по формуле
точки, на оси
осей
,
и величины направляющих косинусов
.
,
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
96
),(
zy
ρ
MO
1
)(ммz ,yM
10),( ≤≤= ttss
dt
dt
ds
ds =
)(),( tzy
мм
ρρ
=
∫
==
s
o
dt
dt
ds
tszy )()
(),(
ρωω
∑∑
==
===
I
i
к
к
к
К
к
к
к
мкмк
dt
t
ds
t
dt
tds
zyszy
11
)(
)(
)(
),()(),(
αραρωω
Рис. 4.5 Элемент стержня
O
t
y
t
z
),
(PPyzP
ρ
N
1
O
M
s
ds
),
( zyd
ω
y
z
x
расчета ..
где
кручения к касательной к линии
–длина перпендикуляра, проведенного из центра
мм
в точке
– рис. 4.5.
Полагаем
,
. В этом случае,
. Используя чис-
,
ленное интегрирование, получим
, (4.26)
4.3 Вычисление секториальных характеристик
97
к
t
к
α
),(ммzy
ρ
мм
zy ,
),(),,(
221
1
zyzy
0=++ CBzAy
12
zzA −=
)(
12
yyB −−=
)()(
1211
21
zzyyyz
C −−−=
tyyyy )(
12
1
−
+=
tzzzz )(
121
−+=
10 ≤≤ t
),(
ii
zy
0)()
( =−−−
ii
zzAyy
B
0=++
nnn
CzByA
BAn=
ABn−=
)(
iin
ByAzC
−=
нормаль
(
мм
zy ,
)
),(11zy
),(
22
zy
Рис. 4.6 Прямолинейный участок поперечного сечения
),(iizy
тонкостенного стержня .
где
– координаты точек интегрирования;
– весовые мно-
жители, К – число точек интегрирования.
Чтобы определить
, нужно найти точку пересе-
чения нормали со срединной линией поперечного сечения, т.е.
точку с координатами
(рис.4.5).
Рассмотрим некоторые случаи вычисления величин не-
обходимых для определения секториальных характеристик.
Если срединная линия участка поперечного сечения яв-
ляется прямой (рис. 4.6), то ее положение определяется координатами двух точек
. Уравнение прямой имеет вид
, (4.27)
где
;
;
.
При параметрическом задании этой прямой
,
Уравнение нормали, проходящей через точку
,
. (4.28)
После преобразований, (4.29) записывается в виде
где
;
,
Координаты точек пересечения прямых (4.27) и (4.30)
. (4.29)
, (4.30)
.
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
98
BAAB
CBBC
y
nn
nn
м
−
−
=
BAAB
A
C
CA
z
nn
nn
м
−
−
=
),(
м
м
zy
)/()(
121
yyyyt
мм
−−=
012≠− yy
)/()(
121
zzzzt
мм
−−=
012=− yy
мiм
tyyyy )(12−+=
мi
м
tzzz
z )(12−+=
dt
ds
( ) ( )
22
dz
dyds +
=
dtyydy )(12−=
dtzzdz )
(
12
−=
t
z
t
zM
y
мzмt
tzz
tyy
z /)(/
)( −
−−=
ds
dz
t ,
ds
dy
t
zy
==
PP
zy ,
22
)(),( BACBzAyzy
ppмм
+++=
ρ
),(),,(),,(
332211
zyzyzy
0),(
1
2
111
=+++= C
yDzByAzyF
расчета ..
;
.
Значение параметр t, соответствующее точке с коорди-
натами
, если
, если
;
. (4.31)
С учетом формул (4.28) и (4.31), координаты точки М
определяются выражениями
,
Входящая в выражении (4.26) величина
,
вычисляется
с использованием формулы
. (4.32)
Для прямой, заданной в виде (4.28)
.
Координаты точек поперечного сечения стержня
жащих на оси
(рис. 4.5), находятся по формуле
, ле-
, (4.33)
,
где
стержня - кривая в виде параболы, ее положение задается координатами трех точек
параболы
. (4.34)
Расстояние межу точкой (
) и прямой (4.27)
. (4.35)
В случае, когда срединная линия поперечного сечения
(рис.4.7). Уравнение
, (4.36)
4.3 Вычисление секториальных характеристик
99
(
)
( )
(
)
( )
(
)(
)
( )
(
)
( )
2313
2
1
3
3212
31
2
31
21
3
2
1
1
y
yy
y
yy
z
yyy
y
yy
z
y
y
yy
y
y
z
A
−
−
+
−
−−
+
−
−
−
+
−=
11−=B
( )( )
( )( ) ( )
( )
23
1
3
3
32
1
2
2
31
21
1
1
yy
yy
z
yyyy
z
yyyy
z
D
−−
+
−−
+
−
−
=
( )
( ) ( )( ) ( )( )
231
3
21
3
3212
31
2
3121
3
2
1
1
yyyy
yy
z
yyyy
yy
z
yyy
y
yy
z
C
−−
+
−−
+
−−
=
tyyyy )(
131
−+=
1
2
11
CyByAz ++=
10 ≤≤ t
кмк
tyyyy )(
131
−
+=
1
2
11
CyD
y
A
z
мкмкмк
++=
( )
ii
zy ,
( )
( )
( )
( )
0,,=−
∂
∂
−−
∂
∂
ii
zz
у
zyF
yy
z
zy
F
),(22zy
),(11zy
),(33zy
O
y
ρ
)
,(
PP
yz
P
z
)
,(ммzyM
Рис. 4.7 Срединная линия поперечного сечения стержня в
тонкостенного стержня .
где
;
;
;
.
виде параболы
Параметрическое уравнение параболы имеет вид
,
,
при вычислениях в формуле (4.26) следует полагать
,
Уравнение нормали к параболе, проходящей через точку
, расположенную вне параболы
. Следовательно,
.
.
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
100
( ) ( )( )
02
=−+−−
ii
zzyDAyyB
( )
мм
zy ,
0=
++ CBzAy
( )
1
11111
2,,
2 Cz
ByAСzBByD
AA
мм
м
+
+==+
=
),(
мм
z
y
),(ммzy
),(
11
zy
),(33zy
dtyydy
)(13−=
dyyDAdz
мк
)2(
11
+=
y
t
z
t
),(ммzy
ρ
( )
00
,zy
(
)
1
1
,
zy
( )
22
, zy
( ) ( )
2
2
0
2
0
),( RzzyyzyF
=−+−=
)(cos0tRyy
j
+=
)(sin0tRzz
j
+=
( )
tt
121
)(
jjjj
−+=
10 ≤≤ t
21
j
jj
≤≤
мм
z
y ,
y
t
z
t
),(ммzy
ρ
расчета ..
С учетом (4.36) это уравнение записывается в виде
. (4.37)
Уравнение касательной к параболе, проходящей через
точку
. (4.38)
Здесь
. (4.38)
Для определения точки пересечения
нормали
(4.37) с параболой (4.36) используется итерационный метод де-
ления отрезка пополам. В первом приближении полагается, что
границами отрезка, на котором находится
точки
и
.
, являются
Значение ds вычисляется по формуле (4.32), в которой
для параболы следует полагать
Значения
;
,
,
вычисляются по соотношени-
. (4.39)
ям (4.34), (4.35) и с учетом (4.38), (4.39).
В случае, когда срединной линией поперечного сечения
стержня
является окружность радиуса R с центром
ходящая через точки
и
(рис. 4.8), используется
, про-
уравнение окружности
. (4.40)
Параметрическое уравнение окружности
Здесь
,
,
,
. (4.41)
(рис. 4.8).
Значения
зованием уравнений (4.40), (4.41) и алгоритма, описанного для
параболы.
,
,
,
вычисляются с исполь-