Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
1.5. Формулы для вычисления нормальных и касательных
31
dsshsf
o
L
∫
)()(
KMKCK ,,0
1
)
0(T
1
O
)
(s
M
)(ГsГ
Г
ss =
Г
s
1
O
)0(T
)
0()
0(
)
0(
0
h
TT
t
=
=
)0
(
t
−
∂
∂
−=
∫
),()(
),(
)(
1
)(
10
s
xqdssh
x
zy
T
sh
s
o
L
ммx
σ
t
)
(sM
)(ГsГ
0),()()(
1
=+−+
∂
∂
∫∫
sxqdxsTdxsTdxdA
x
Г
А
x
o
σ
напряжений ..
ной части стержня. Так, например, для фигуры, показанной на
рис. 4,б, при вычислении
дится по участкам
.
, интегрирование прово-
Для определения входящего в (1.47) слагаемого
можно использовать различные способы:
– начальную точку отсчета
выбрать на одной из кро-
мок профиля (рис. 1.5,а);
– уравнение (1.45) записать для отсеченной части стерж-
ня, выделенной сечениями, проведенными через точку
точку
, расположенную на кромке профиля (рис. 1.5,б);
, и
– уравнение (1.45) записать для точки Г (рис. 1.5,в), для
, где
Если начальную точку отсчета
кромок профиля (рис. 1.5,а), то значение
вестным,
–координата одной из кромок профиля.
выбрать на одной из
становится из-
. Здесь
– касательное напря-
жение на кромке профиля, равное интенсивности внешней касательной нагрузке. В этом случае, из уравнения (1.47) следует
. (1.48)
Выделим часть стержня сечениями, проведенными через
точку
и через точку расположенную на контуре точку
(рис. 1.5,б). В этом случае уравнение равновесия отсечен-
ной части имеет вид
.
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
32
ГГГГ
TshssT == )()()(
t
)(Гs
t
++
∂
∂
=
∫∫
),()(
)(
1
)(
1
sxqsTdA
xsh
s
Г
А
x
o
σ
t
Г
o
A
Г
ss =
+
∂
∂
+±=
∫
),()(
),(
)0(
1 Г
L
ммx
Г
sxqdssh
x
zy
TT
Г
o
σ
Г
o
L
Г
o
A
1
O
)(s
t
t
t
zyМ
t
yМ
)(s
t
О1 М А
0
а)
О1 М
Г
А
в)
S
г М А0
б)
О
S
Г
1
O
открытого профиля ..
г
1
Рис. 1.5 Варианты выбора начальной точки отсчета
Значение
вестно, т.к.
в этом уравнении из-
– касательное напряжение на кромке профиля,
равное интенсивности внешней касательной нагрузки. Следовательно,
. (1.49)
В случае, когда уравнение (1.47) записывается для обла-
сти
, при
(рис. 1.5,в), получается
, (1.50)
где
ния стержня, расположенная в области
проходящими через точки
– срединная линия отсеченной части поперечного сече-
между сечениями,
и Г (рис. 1.5,в).
Введение в формулу (1.50) знака «±» связано с тем, что
касательные напряжения
координат
, ось
вычисляются в локальной системе
которой направлена в сторону воз-
растания длины дуги s. При смене направления движения меняется и знак
. Знак «+» или «-» в формуле (1.50) выбирается в
зависимости от того, в какой области вычисляются касательные
1.5. Формулы для вычисления нормальных и касательных
33
)(s
t
Г
o
A
)(s
t
Г
o
A
−
+
∂
∂
+
±=
∫
)
,(
)(
)
,(
)
(
1
)
(
1
Г
L
м
мx
Г
s
xq
dss
h
x
z
y
T
s
h
s
Г
o
σ
t
−
∂
∂
−
∫
),()(
),(
)(
1
1
sxqdssh
x
zy
sh
o
L
ммx
σ
x
σ
)(
s
t
1
O
)(
)(
)()(
*
2
1
2
*
0
sA
dx
xud
ss
o
−=
tt
)(
)(
*
2
2
2
sS
dx
xd
oу
j
−
++ )(
)(
*
2
3
2
sS
dx
xd
oz
j
)(
)(
*
2
2
sS
dx
xd
o
ω
β
h
sxq
h
T
s
),
(
)(
10
*
0
−=
t
dss
hs
e
h
E
s
A
o
L
o
)(
)()
(
*
0
*
∫
=
dsshzse
h
E
sS
м
L
oy
o
)()()(
*
0
*
∫
=
dsshyse
h
E
sS
м
L
oz
o
)()()(
*
0
*
∫
=
∫
=
o
L
o
dsshsse
h
E
sS )()()()(
*
0
*
ω
ω
напряжений ..
напряжения. Если
вычисляется в области
, то в форму-
ле (1.50) следует использовать знак «+», в случае, когда
определяется вне области
– знак «-».
С учетом равенства (1.50), из уравнения (1.47) находим
. (1.51)
После подстановки выражения для
(1.46) в уравнения
(1.48), (1.51), получим формулы, по которым вычисляются каса-
тельные напряжения
Если начальную точку отсчета
.
выбрать на одной из
кромок профиля, то
+
. (1.52)
Здесь
,
,
,
, (1.53)
.
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
34
)(s
M
)(ГsГ
)(
)
(
)()
(
*
2
1
2
*
sA
dx
xud
ss
oГ
+=
tt
)(
)
(
*
2
2
2
sS
dx
x
d
oу
j
+
−− )(
)(
*
2
3
2
sS
dx
xd
oz
j
)(
)(
*
2
2
s
S
dx
xd
o
ω
β
h
sxq
h
T
s
Г
),(
)(
10
*
−=
t
o
L
)
(ГsГ
)(s
M
Г
ss =
)(
)(
)()(
2
1
2
*
sA
dx
xud
ss
Г
oГ
+=
tt
)(
)(
2
2
2
sS
dx
xd
Г
oу
j
+
−− )(
)(
2
3
2
sS
dx
xd
Г
oz
j
)(
)(
2
2
sS
dx
xd
Г
o
ω
β
[ ]
),(),(
1
)(
11
*
sxqsxq
T
h
s
ГГГ
−+±=
t
)
()()()(
*
*
0
sAdssh
se
h
E
sA
o
L
Г
o
Г
o
−±=
∫
)()()(
)(
*
*
0
sSdss
hzse
h
E
sS
oум
L
Г
oу
Г
o
−±=
∫
открытого профиля ..
В случае, когда уравнение равновесия записывается для
части стержня, расположенной между точкой
(рис. 1.5,б),
-
, (1.54)
и
где
.
Отметим, что при использовании (1.54) и вычислении ко-
эффициентов по формулам (1.53), интегрирование проводится
по линии
между сечениями, проведенными через точку
профиля и через точку
, расположенной области отсеченной части
на кромке
.
A
o
В случае, когда уравнение (1.47) записывается для
получается
-
, (1.55)
где
,
,
,
,
1.5. Формулы для вычисления нормальных и касательных
35
)()
()
(
)(
*
*
0
sSds
sh
y
se
h
E
s
S
ozм
L
Г
oz
Г
o
−±=
∫
)()()()()(
**
0
sSdsshsse
h
E
sS
o
L
Г
o
Г
o
ωω
ω
−
±=
∫
)
(s
t
s
constsGconstE ==
)(,
0,0
,0 ==
==
∫∫∫∫∫∫∫
AALA
dA
zdAy
dshdA
ω
ωωω
0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.
0
===
∫∫∫
−−−
t
h
h
tzt
h
h
tyt
h
h
t
dzztdz
ztdzz
0
===
∫∫
∫∫∫∫
AAA
dAzydAzdAy
tyz
ztzty +=−
ρ
напряжений ..
,
.
Как видно из соотношений (1.51), (1.54), (1.55), во всех
рассмотренных вариантах касательные напряжения
вычис-
ляются по одной формуле, в которой для каждого из этих вариантов будут различаться только коэффициенты.
1.6. Потенциальная энергия деформации стержня
в усилиях и моментах
Представим выражение для потенциальной энергии деформации стержня в усилиях и моментах для некоторых частных случаев.
Считаем, что модули упругости и сдвига материала являются в постоянными величинами, не зависящими от длины
дуги
(
срединной линии поперечного сечения
), оси Оy, Оz – главные центральные оси
поперечного сечения стержня. Полагаем, что выполняются равенства
.
Для выбранных осей координат
,
.
Используя формулы для напряжений и деформаций, учитывая, что
, выражение для потенциальной
энергии деформации стержня можно представить в виде
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
36
[ ]
=
+==
∫ ∫∫∫
∫∫
C
tt
C
l A
xyxyxx
l
A
A
dldAdl
dAUU
γtε
σ
2
1
2
1
[ ]
∫ ∫∫
=+=
C
t
l A
xyx
dldAG
Е
2
2
)
(
2
1
γε
∫ ∫∫
+
−−+=
C
l A
dx
d
dx
d
y
dx
d
z
dx
du
E
2
321
2
1
ω
βjj
+
+++
=
∫ ∫∫
C
l A
dx
d
dx
d
y
dx
d
z
dx
du
dx
du
E
22
3
2
211
)()()(
2
1
ω
βjj
+
+
+
−+
+
2
2
3
2
3
2
2
1
*
)()(
zyt
t
dх
du
t
dх
du
z
dх
d
kG
jj
j
+
−+
+−+
2
1
2
3
3
2
)()()(2
ρβ
j
jj
dх
d
tt
dх
du
dх
du
zy
dldA
d
х
d
t
dх
du
dх
d
t
dх
du
zy
−+
+−−
+
ρβ
j
jρβ
j
j
)
()(
2)()(
2
1
2
31
3
2
∫∫
==
А
x
dx
du
EA
dAN
1
σ
,)()()(
1
2
3
3
2
∫∫
∫∫
−+++−=
==
А
yyzyy
А
yу
dAt
dх
d
tt
dх
du
tt
dх
du
G
dAtQ
ρβ
j
jj
t
открытого профиля ..
du
G
+ dldAz
2
∂
3
х
du
dх
3
jj
2
t
d
j
t
1
)()()(
ρβ
−+++−
dх
j
d
*
k
+
dх
1
tzy
(1.56)
2
=
менты в поперечных сечениях стержня вычисляются по формулам:
Для выбранной системы координат Оxyz, усилия и мо-
,
.
1.6. Потенциальная энергия деформации стержня в усилиях
37
,
)()
()
(
1
2
3
3
2
∫∫
∫∫
−
+++−=
==
А
zzzzy
А
zz
dAt
dх
d
tt
dх
du
tt
dх
du
G
dAtQ
ρβ
j
jj
t
dx
d
EIdAzM
y
А
xy
2
j
σ
==
∫∫
dx
d
EIdAyM
z
А
xz
3
j
σ
−==
∫∫
,)
()()(
)(
2
1
2
3
3
2
∫∫
∫∫
−+++−
=−=
А
zy
А
yz
dA
dх
d
t
dх
du
t
dх
du
G
dAz
tytM
ρβ
j
ρjρj
tt
ω
ω
β
ωσ
I
dx
d
EdAB
А
x
==
∫∫
k
А
t
k
xy
I
dх
xd
G
dAzH
t
)(
)
(2
1
j
t
==
∫∫
∫∫
=
A
dAI
2
)
(
ω
ω
∫∫
=
А
tk
dAzkI )(2
2*
2*=k
∫
+
++++
=
C
l
k
z
z
y
y
GI
H
EI
B
EI
M
EI
M
EA
N
U
22
2
2
2
2
1
ω
dldA
GI
MM
GA
Q
Q
GA
Q
Q
k
zz
уу
+++
ρ
ωω
**
*
)(),(
2
3
*
3
2
*
jj
+
∂
∂
=−
∂
∂
=
х
u
GAQ
х
u
GAQ
zу
)(
1
*
β
j
ρω
−
∂
∂
=хGIM
k
∫∫
=
А
k
dAI
2
ρ
ρ
HBMMN
zy
,,,,
zу
QQ ,
ω
M
и моментах ..
,
, (1.57)
где
,
,
.
С учетом соотношений (1.57) и равенства
,
, форму-
ла для потенциальной энергии деформации (1.56) принимает вид
.
Здесь
,
,
.
Получилось, что выражение для потенциальной энергии
деформации имеет «нестандартный» вид, в него входят кроме
внутренних силовых факторов
,
,
,
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
38
***
,
,
ω
M
QQ
zу
t
xz
t
открытого профиля ..
также
. Указанная особенность объясняется тем, что
при выводе основных соотношений теории тонкостенных
стержней было принято
= 0.
2.1. Основные предположения, перемещения и деформации ..
39
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней
закрытого профиля
2.1. Основные предположения,
перемещения и деформации
Приведем основные предположения, принятые в излагаемой теории тонкостенных стержней закрытого профиля и формулы для вычисления перемещений. Полагаем, что справедливы
допущения теории стержней Тимошенко и теории тонкостенных
стержней закрытого профиля Уманского [26, 29, 35]. Учитываются сдвиги и депланация поперечного сечения, возникающие
при деформациях изгиба и кручения.
Для описания напряженно-деформированного состояния
стержней закрытого профиля используются следующие гипотезы:
• при деформировании, продольные волокна стержня не
взаимодействуют друг с другом в перпендикулярных к
ним направлениях (гипотеза ненадавливания);
• поперечные сечения стержня, плоские до деформации, по-
сле деформации изгиба и растяжения-сжатия остаются
плоскими;
• напряжения и деформации, связанные с изгибом в плоско-
сти, проходящей через главную ось поперечного сечения
стержня, постоянны по ширине сечения;
• составляющие касательных напряжений, перпендикуляр-
ные к профилю поперечного сечения (к срединной поверхности) стержня равны нулю (гипотеза безмоментности);
• составляющие касательных напряжений, параллельные ка-
сательной к профилю поперечного сечения стержня, постоянны по толщине стенки (гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений);
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
40
kj
i ,,
М
t
х z y
O1 O
y
t
n
z
t
Рис. 2.1 Глобальная и локальная и системы координат
k
j
i
х
t
х
i
профиля .
• профиль стержня в плоскости поперечного сечения при
кручении перемещается как абсолютно твердое тело (гипотеза неизменяемости контура);
• при кручении появляются перемещения в направлении
продольной оси стержня, возникает депланация поперечного сечения;
• справедлив закон Гука.
Для описания напряженно-деформированного состояния
стержня введем глобальную декартовую систему координат
Оxyz, с осью Ox, перпендикулярной к плоскости поперечного
сечения (рис. 2.1). Обозначим через
– орты этой системы
координат
Для вычисления компонент напряженно-деформиро-
ванного состояния, на линии пересечения профиля с попереч-