Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
3.1. Перемещения, деформации, напряжения для
61
t
t
k
xy
k
xy
xy
xy
t
tt
t
kG
G
t
tγ
γ
γ
t
+=
+
=
= )
(
*
++
+= ),
(
)
()()(
132
м
мzy
xy
zy
dх
x
d
t
dх
xdu
t
dх
xdu
t
ρ
j
γ
)
,()
()()(
32 м
м
yz
zy
хtxtx
ρβjj
−
−+
t
z
dх
xd
k
)(
1
*
j
2*=k
[ ]
)()(
)()()()(
321
ss
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
з
Lx
Ωω
βjj
ε
−−−+=
[ ]
+−++=
yмzмzyxy
tzty
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
t
)(
)(
)(
1
3
2
j
γ
−−−+
)
()(
)()()()(
*
*
32
shsg
I
sхtxtx
x
yz
Ω
ρβjj
тонкостенных стержней комбинированного профиля ..
где
напряжение,
– постоянное по толщине стенки среднее касательное
k
– напряжение чистого кручения, распределен-
xy
t
ное по толщине стенки по линейному закону. Показано, что
;
+
; (3.4)
.
Для стержней закрытого профиля справедливы соотно-
шения (3.2), а деформации вычисляются по формулам
,
(3.5)
.
Для описания напряженно-деформированного состояния
стержня с комбинированным профилем используем основные
результаты, полученные для открытых и закрытых профилей.
Полагаем, что на участках открытых профилей справедливы соотношения вида (3.1, 3.3, 3.4), а для закрытого профиля – (3.2,
3.3, 3.5). Однако чтобы использовать указанные соотношения
для определения напряженно-деформированного состояния
стержня с комбинированным профилем, следует внести некоторые дополнения. Необходимо, чтобы перемещения точек стерж-
ня были неразрывными при переходе от участка открытого профиля к закрытому. Для удовлетворения этого требования используем условие равенства перемещений в точках пересечения
срединных линий открытых и закрытого профилей.
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
62
),(
kkk
zyM
),,,()
,,(
,),,(),,(
kk
з
kk
о
kk
з
kk
о
zyхwz
yхw
zyхvzyхv
=
=
),,(),,(
kk
з
kk
о
zyхuzyхu =
мkмk
zzyy == ,
,),,(,),,(
kk
з
kk
о
zyхvzyхv
),,
(,),,
(
kk
з
kk
о
zy
хwzyх
w
tt
k
z
yM
з
о
u
u
,
[ ]
ssх sх
мkз
Lkk
)()()()()(
Ωωβωβ
−−=−
м
k
s
),(
kk
k
zyM
комбинированного профиля .
На рис. 3.1 показан участок открытого профиля АВ со-
пряженный с закрытым профилем СД. Полагаем, что условие
равенства перемещений должно выполняться в точке пересече-
ния срединных линий профилей
. Для поперечных
перемещений стержня должны выполняться равенства
(3.6)
а для продольных перемещений –
. (3.7)
При использовании соотношений (3.1), (3.2) условия (3.6)
выполняются. В этом легко убедиться, учитывая, что
, и записывая выражения
в единой
системе координат. Для этого можно использовать локальную
систему координат
для закрытого (рис. 3.1, а) или от-
крытого (рис. 3.1, б) профиля.
Подставляя в равенство (3.7) выражения для
(3.1), (3.2), получаем
, (3.8)
где
– координата длины дуги s в точке
закрытого
профиля (предполагается, что начальная точка отсчета длины
дуги находится на закрытом профиле).
3.1. Перемещения, деформации, напряжения для
63
),,( zyxu
o
zt zt yt
B C A D
М
K
б)
yt
B
C
A
D
М
K
a)
z
тонкостенных стержней комбинированного профиля ..
t
Рис. 3.1. Схема участка открытого профиля, сопряженного
с закрытым профилем
Чтобы удовлетворить условию непрерывности переме-
щений (3.7), в выражение для
следует добавить слага-
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
64
)(xс
o
k
s
х
xс
м
k
з
L
o
k
)
()
()
(
Ω
β
=
[ ]
ssхxyxzxuzyxu
мkз
L
o
)()()
()()()(),,(
321
Ωω
βjj
−−−+=
м
k
s
2
M
21112
MMMOs
м
+=
, а в то
3
M
3221113
MMMMM
Os
м
++=
а)
М1 М4 О1 М2 М
б)
О
1
М
г)
М Г
в)
Г1 Г2 М1 М2 О1 М
Рис. 3.2 Поперечное сечение стержня
комбинированного профиля .
емое
, которое будет различным на каждом из участков от-
крытого профиля.
С учетом (3.8) получается
тельно, для отрытых участков профиля нужно полагать
. Следова-
. (3.9)
Здесь
– длина дуги закрытого профиля в точке пересечения
срединных линий закрытого и открытого профиля. Например,
для поперечного сечения
стержня, показанного на рис. 3.2,а имеется четыре участка от-
крытого профиля (k=1,2,3,4). В точке
–k= 2, длина дуги
чке
–k=3,
.
3
1
Используя полученные результаты, формулы для опреде-
ления перемещений, деформаций и напряжений для отрытых и
закрытых участков профиля можно представить в виде единых
выражений. Так, с учетом (3.1) ,(3.2), (3.9), продольное переме-
3.1. Перемещения, деформации, напряжения для
65
−−+= )()()(),,(
321
xyxzxuzyxu
jj
[ ]
sкsкsх
мkз
L
зoз
L
зo
)()1()()()(
ΩΩωβ
−−−−
1
=
зo
к
0=
зo
к
++=
zy
txutxuzyхv )()(),,(
32
[ ]
t
зo
yмzм
zкtztyx )1()(
1
−+−+
j
[ ]
zмyмyz
tztyxt
xutxuz
yхw +
−−= )(
)()(),,
(
13
2
j
−−+=
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
x
)()()(
321
jj
ε
[ ]
)(
)1()()(
)(
мkз
L
зoз
L
зo
sкsкs
dx
х
d
Ω
Ωω
β
−−−−
k
xyxy
tt
γ
γγ
+
=
−−+
++=
yzz
yxy
t
xtxs
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
t
)()()(
)()
()(
32
13
2
jjρ
j
γ
−−
)()(
)()(
*
shsg
I
кsх
k
x
зo
Ω
ρβ
t
зo
z
dх
x
d
kк)()1(
1
*
j
−
−−+=
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
seE
x
)()()(
)(
321
*
0
jj
σ
тонкостенных стержней комбинированного профиля ..
щение стержня комбинированного профиля можно представить
в виде
, (3.10)
где
на участках закрытого профиля и
на участках
открытого профиля.
С составляющие поперечных перемещений вычисляются
по формулам
, (3.11)
.
Для определения компонент деформаций, с учетом (3.10),
(3.11), (3.5), (3.4), получаются соотношения
, (3.12)
,
где
+
.
С учетом (3.3), (3.12), нормальные напряжения вычисля-
ются по формуле
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
66
( )
−−
−−
)()
1(
)()
(
)(
мkз
L
зo
зLзo
sкs
кs
dx
хd
Ω
Ωω
β
k
xy
k
xyxy
xy
t
tt
t
G
G
tt
γγ
γ
t
+
=+
=
= )
(
,
)()(
)()()(
)()(
)()()(
)(
*
3
2
132
*
0
−−−
−+++=
shsg
I
кsхtx
txs
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
sgE
k
x
зo
y
zzy
Ω
ρβj
jρ
j
t
−=
t
зok
xy
z
dх
xd
kкsgE
t
)(
)1()(
1
**
0
j
t
)(
)(),()(
*
0
*
0
sgG
sGseEsE ==
0=− WU
δδ
∫ ∫∫
=
C
l A
A
dldAU
U
δδ
A
U
W
δ
C
l
комбинированного профиля .
. (3.13)
Выражение для касательных напряжений можно предста-
вить в следующем виде:
, (3.14)
где
(3.15)
.
3.2. Вариационный принцип
Лагранжа для комбинированного профиля
Представим основные вариационные соотношения в случае, когда модули упругости и сдвига материала стержня являются переменными величинами, зависящими от длины дуги s
срединной линии профиля:
.
Здесь
деформации стержня,
– вариация работы внешних сил,
поперечного сечения стержня.
Используем принцип Лагранжа:
– вариация потенциальной энергии
– удельная потенциальная энергия,
. (3.16)
, A – длина и площадь
3.2. Вариационный принцип Лагранжа для комбинированного
67
0
=ty
ii
zy
,
i
s
мiмi
zy
,
z
ti
z
ii
zy ,
t
zM
),()(),(
*
0 iixiiix
zyseEzy
εσ
=
[ ]
)(),()(),()(),(
*
0 ti
k
xyмiмiiiixyiiixy
zzysgGzysGzy
ttt
γγγt
+==
−−+=
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
seEzy
iiiiix
)()()(
)(),(
321
*
0
jj
ε
( )
−−−
− )()1()
()(
)(
мkз
L
зo
iзL
зo
i
sкs
кs
dx
хd
ΩΩ
ω
β
+++= )(
)()(
)(
),(
132
izyмiмi
s
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
zy
ρ
j
γ
−−−+
)()(
)(
)()()(
*
32
i
i
k
x
зo
iyz
shsg
I
кs
хtxtx
Ω
ρβjj
t
зo
ti
k
xy
z
dх
xd
kкz
t
)(
)1()(
1
*
j
γ
−=
)
,(iiz
y
[ ]
),(),(),(),(
2
1
),(
iixyiixyiixiixiiA
zyzyzyzyzyU
tt
γtεσ
+=
[ ]
),(),(),()
,(),(
iixy
iixyiixii
xiiA
zyzyzyzy
zyU
tt
δγtδεσδ
+=
профиля ...
Для вычисления интегралов, содержащихся в условии
(3.16), применим численное интегрирование.
Обозначим координаты точек срединной поверхности на
линии
через (
), длину дуги, которая соответствует
точке M –
ствующую
С учетом (3.12 – 3.15) для точек (
, координаты точки M – через (
координату –
t
.
), а соответ-
), лежащих на оси
,
;
.
,
.
Удельная потенциальная энергия деформации стержня в
точке
,
Вариация удельной потенциальной энергии деформации
.
(3.17)
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
68
∫∫
∑
=
==
A
i
I
i
ii
A
A
gz
y
UdA
UU
1
),(
δ
δδ
i
g
=
=
∫
∑
=
C
l
i
I
i
iiA
dlgzyUU
1
),(
δδ
[
∫
∑
+
=
C
l
I
i
iixiix
zyzy
1
),(),(
δεσ
]
dlgz
yzy
iii
xyiixy
tt
)
,()
,(
δγt
[
∫
+
++=
C
l
xux
FxuxFxux
FW )
()(
)()()()(
332211
δδδδ
]
dlхxmxx
mxxmxxm
зo
B
зo
)()
()()
()
()()()
(
332
211
δβδj
δjδj
−+++
[ ]
++
++
∑
=Kk
kkk
kkk
x
uFx
uFx
uF
1
22221
1
)(
)(
)(
δ
δδ
[ ]
∑
=
−+++
J
j
j
зo
jBjjjjj
зo
j
xMxMxMxM
1
332211
)()()()(
δβδjδjδj
[
]
,
))1((),,(0
)
)1((),,()(
2
31
dA
tzкzzyxq
tzкyzyx
qxm
yt
зo
м
A
А
zt
зo
м
Aзo
−−−
−−+=
∫∫
[ ]
∫∫
−−−=
А
мkз
L
зoз
L
зoAзo
B
dA sкsкszyxqxm )()1()()(),,()(
1
ΩΩω
комбинированного профиля .
При использовании численного интегрирования
, (3.18)
Здесь I – число точек интегрирования,
– весовые
множители, зависящие от квадратурной формулы, применяемой
для численного интегрирования, а также от размеров и формы
поперечного сечения стержня.
С учетом равенств (3.17), (3.18), получаем
+
;
Используя выражения для компонент внешних сил и для
перемещений (3.10, 11), вариацию работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил, моментов и бимоментов
можно представить в следующем виде:
+
(3.19)
.
Здесь
,
3.2. Вариационный принцип Лагранжа для комбинированного
69
[
]
,)
)1((),,(
))
1(
(
),
,(
2
3
1
dA
tzкzzyxq
tz
к
yz
yxqM
yt
зo
мjAj
А
zt
зo
мj
A
j
зo
j
−−−
−−
+
=
∫∫
[ ]
∫∫
−−−=
А
мkз
L
зo
з
L
зo
jAj
зo
Bj
dA
sкsкsz
yxq
M )()
1()()(),,
(
1
ΩΩω
),,(
1
zyxq
A
)
,,(
3
zy
xq
A
tt
z
yM
z
у
QQN
,,
zyx
MMM ,,
∫∫
=
А
x
dAN
σ
∫∫
=
А
yу
dAt
Q
t
∫∫
=
А
zz
dA
tQ
t
ω
M
HM
x
+=
∫∫
=
А
xy
dAzM
σ
∫∫
=
А
xz
dAyM
σ
∫∫∫∫
==
А
tkxy
А
tkxy
dAzGdAzH
tt
γt
22
∫∫
=
А
dAssM )()(
ρt
ω
dx
хd
SE
dx
xd
S
E
dx
xd
SE
dx
xdu
AE
N
зo
zy
)()()()
(
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
ω
−−+=
профиля ...
,
,
– проекции действующих в поперечном
сечении внешних сил, на оси Ox и Oz.
3.3. Вычисление внутренних сил,
нормальных и касательных напряжений
При вычислении внутренних сил и напряжений будет использоваться численное интегрирование. В каждой точке интегрирования компоненты напряжений и деформаций определя-
ются в локальной декартовой системе координат
. Специ-
альных обозначений для интегралов, вычисляемых численным
методом и с использованием локальной системы координат не
вводится.
Для комбинированного профиля, возникающие в поперечных сечениях стержня, усилия
, моменты
определяются по формулам:
,
,
,
,
,
. (3.20)
Подставляя в эти соотношения выражения для напряжений (3.13–3.15), получим
,
.
,
Глава 3 Элементы теории тонкостенных стержней
70
+
++
−= )(
)(
)(
)(
2
3
*
03
2
*
0
x
dх
xdu
AGx
dх
xdu
AGQ
yzyyу
jj
dх
xd
G
yt
)(
1
*
0
j
ω
)(0хG
зo
yt
βΩ
−
+
++
−
= )(
)(
)(
)(
2
3
*
03
2
*
0
x
d
х
xdu
A
Gx
dх
xdu
AG
Q
zz
yzz
jj
d
х
xd
G
zt
)(
1
*
0
j
ω
)(
0
хG
зo
zt
βΩ
−
dx
хd
SE
dx
xd
IE
dx
xd
IE
dx
xdu
SE
M
зo
yyzyyy
)()()
()(
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
β
jj
ω
−−+=
dx
хd
SE
dx
x
d
IE
dx
xd
IE
dx
xdu
SEM
зo
zzyz
zz
)
(
)(
)()
(
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βj
j
ω
−
−+=
ω
MH
M
x
+
=
*
1
0
*
)(
2
o
y
t
I
d
х
x
d
GkHj=
+
++
−= )(
)(
)(
)(
2
3
*
03
2
*
0
x
dх
xdu
Gx
dх
xdu
G
M
ztyt
j
ωjω
ω
d
х
xd
IG
)(
1
*
0
j
ρ
+
)()(
*
0
хIIG
k
x
β
ρ
−+
∫∫∫
=
=
LА
dss
hs
edA
seA
)(
)(
)(
**
*
∫
∫∫
≈=
L
м
А
y
dss
hzsedAzs
eS )()
()(
***
∫∫∫
≈=
L
м
А
z
dsshysedAyseS )()()(
***
[
]
∫∫
=−
−−=
А
мkз
L
зoз
L
зoзo
dAsкs
кsseS
)()1
()()
()(
*
ΩΩω
ω
[ ]
dssh
sкsкsse
L
мkз
L
зoз
L
зo
)()()1()()()(
*
∫
−−−=
ΩΩ
ω
[ ]
∫∫
≈−−−=
А
мkз
L
зoз
L
зoзo
y
dAzsкsкsseS )()1()()()(
*
ΩΩω
ω
комбинированного профиля .
Здесь
+
+
,
,
, (3.21)
,
,
,
.
,
,
,
,