Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
1.2. Формулы для вычисления деформаций, напряжений и
21
t
xz
t
∫∫
=
А
t
k
xy
dAz
H
t
)
(2
t
zy
xO
~
~~
~
xO
~
~
{ } { }
321
~
,
~,~~
uuu
uT=
{ }
{ }
32
1
~
,~,
~~
jjjj
=
T
{ }
[ ]
{ }
uCu~=
{ }
[
]
{ }
j
j
~
C
=
{ }
[ ]
{ }
u
dx
d
Cu
dx
d
~
=
{ }
[ ]
{ }
jj
~
dx
d
C
dx
d
=
[
]
C
Oxyz
{ } { }
321
,, uuuu
T
=
{ }
{ }
32
1
,,
jjjj
=
T
0=ty
ii
zy ,
мiмi
zy ,
t
z
ti
z
1
О
i
s
момента чистого кручения
стержней гипотезе безмоментности, полагалось
му, при подсчете момента чистого кручения нужно применять
формулу
Отметим, что случаях когда стержень имеет криволинейную продольную ось, следует использовать глобальную систему
.
= 0. Поэто-
. (1.29)
координат
ко всем поперечным сечениям стержня. В этой системе коорди-
нат вводятся перемещения и углы поворота
полагать
где
стержня на линии
(
профиля, которая отчитывается от некоторой начальной точки
- матрица направляющих косинусов системы координат
,
1.3. Вариационный принцип Лагранжа
Обозначим координаты точек поперечного сечения
), соответствующую
до точки M (рис. 1.1, 1.3) –
, ось
, а во всех приведенных здесь соотношениях
для стержня открытого профиля
которой не будет перпендикулярной
,
через (
,
,
), координаты точки M –
координату –
.
,
(1.30)
.
, длину дуги
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
22
)()(),()(
*
0
*
0
sgGsGseEsE ==
zM
),
()(
),(
ii
xiiix
zy
sEzy
ε
σ
=
[ ]
)()
,()(),()
(),
(
ti
k
xyмi
мiii
ixyi
iixy
z
zysGzys
Gzy
t
tt
γγγt
+
==
)(
)()(
)()
(
),(
32
1
i
i
iii
x
s
dx
xd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
x
du
z
y
ω
βjj
ε
−−
+=
+++
= ),(
)(
)(
)(
),
(
132
мiмi
zy
мi
мi
zy
d
х
xd
t
d
х
xdu
t
d
х
x
du
zy
ρ
j
γ
)
,
()
()
()
(
32
мiмi
y
z
zy
xt
xt
x
ρβ
jj
−−
+
ti
ti
k
xy
z
d
х
xd
k
z
t
)
(
)
(
1
*
j
γ
=
x
σ
t
xy
t
t
xyx
γε
,
[
] [ ]
)()(
2
1
2
1
k
xy
k
xyx
xxyxyxxA
ttt
t
U
γγttεσγ
tεσ
+++=+=
),(
ii
zy
[ ]
),(),(),(),(),(
iixyiixyiixiixiiA
zyzyzyzyzyU
tt
δγtδεσδ
+=
++= ),(),(),(),(),(
iiii
A
viiiiAuiiA
zyvzyqzyuzyqzyW
δδδ
),(),(
iiii
A
w
zywzyq
δ
A
w
A
v
A
u
qqq ,,
Оx
t
yM
t
zM
открытого профиля ..
Считаем, что модули упругости и сдвига материала являются переменными величинами, зависящими от длины дуги s
срединной линии профиля:
.
Для точек, лежащих на оси
t
В точках поперечных сечений стержня возникают напряжения
,
, деформации
, удельная потенциальная
энергия деформации записывается в виде
Вариация удельной потенциальной энергии деформации
стержня в точке
,
;
,
(1.31)
,
.
. (1.32)
(1.33)
Вариация работы внешних сил, распределенных по площади поперечных сечений
где
+
– проекции внешних сил на оси координат
,
.
, (1.34)
,
1.3. Вариационный принцип Лагранжа для стержня
23
[ ]
+−−+= sхxyxzxuzyqzy
W
iiiiiAuiiA
)()()()()(),(),(
321
ωδβδjδjδδ
[ ]
+−++ )()(
)()(),(
132 yiziz
yiiAv
tztyxt
xutxuzyq
δj
δδ
[ ]
)()(
)()(),(
132 z
iyiyziiAw
tztyxtxutxuzyq +−−+
δjδδ
1
22
=+
zy
tt
A
w
A
v
A
u
q
qq
,
,
Оx
yO
z
O
AA
A
qqq
321
,,
A
A
u
q
q
1
=
z
A
y
AA
v
txqtxqq )()(
32
+=
y
A
z
AA
w
txqtxqq )()(
32
−=
[
]
+−−
+= sхxyxzxuzyqz
yW
i
iii
i
A
ii
A
)()()()(
)(),(),(
32
11
ωδβδj
δjδδ
[ ] [ ]
i
A
iii
A
yxxuxqzxxuzyq )()(
)()()(),(
133122
δjδδjδ
++−+
0=− W
U
δ
δ
U
δ
W
δ
C
l
∫ ∫∫
=
C
l A
A
dldAUU
δδ
L
q
WWW
δδδ
+=
∫ ∫∫
=
lq A
A
q
dldAWW
δδ
q
l
L
W
δ
∫∫
∑
=
=
A
i
I
i
iiAA
gzyUdAU
1
),(
δδ
∫∫
∑
=
=
A
i
I
i
iiAA
gzyW dAW
1
),(
δδ
открытого профиля
...
Подставляя в (1.34) выражения для перемещений (1.13),
(1.15), получим
+
(1.35)
.
Учитывая, что
через проекции на оси координат
по формулам
, а усилия
,
,
выражаются
,
внешних сил
, вариацию работы внешних (1.35) можно
представить в виде
. (1.36)
Для расчета напряженно-деформированного состояния
стержневой системы используем вариационный принцип Лагранжа:
. (1.37)
Здесь
стержня,
Для стержня длиной
– вариация потенциальной энергии деформации
– вариация работы внешних сил.
, с площадью поперечного сечения A,
,
. (1.38)
,
Здесь
- вариация работы внешних сил,
распределенных по сечению стержня и действующих на участках длиной
,
- вариация работы сосредоточенных сил.
При численном вычислении интегралов
,
. (1.39)
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
24
i
g
=
=
∫
∑
=
C
l
i
I
i
iiA
dlgzyUU
1
),(
δδ
[
∫
∑
+
=
C
l
I
i
i
ix
i
i
x
z
y
z
y
1
)
,(
),
(
δε
σ
]
dlgzyzy
iiixyiixy
tt
),(),(
δγt
∫
∑
=
=
=
q
l
i
I
i
iiAq
dlgzyW W
1
),(
δδ
[
]
{
∫
∑
+
−−
+
=
q
l
I
i
i
iii
A
s
хxyx
zxu
zyq
1
3211
)
()(
)()(
)(),
(
ωδβδj
δjδ
[ ] [
]
}
}
dl
gyx
xu
x
qzxx
uzy
q
ii
A
i
ii
A
)
()(
)(
)()
(),
(
1
33
122
δjδ
δjδ
+
+−+
∫∫
∑
=
==
А
I
i
iii
AA
gzyxqdAxqxF
1
111
),,()()(
∫∫
∑
=
==
А
I
i
iii
AA
gzyxqdAxqxF
1
222
),,
()()(
∫∫
∑
=
=
=
А
I
i
i
ii
A
A
g
zyxqdAxqx
F
1
33
3
)
,,()(
)(
{ }
,),,(),,(
))()(()(
1
23
231
∑
∫∫
=
−=
=−=
I
i
iiii
A
iii
A
А
AA
gzzyxqyzyxq
dAzxqyxqxm
∫∫
∑
=
==
А
I
i
iiii
AA
gzzyxqdAzxqxm
1
112
),,()()(
открытого профиля ..
Здесь I – число точек интегрирования,
– весовые
множители, зависящие от используемой для численного интегрирования квадратурной формулы, а также от размеров и формы поперечного сечения.
С учетом равенств (1.36), (1.33), (1.38) (1.39), получаем
; (1.40)
Обозначая
.
,
,
,
1.3. Вариационный принцип Лагранжа для стержня
25
∫∫
∑
=
−=−=
А
I
i
iiii
AA
gyzyxqdAyxqxm
1
113
),,()()(
∑
∫∫
=
=
=
I
i
iiii
A
А
A
B
gszyxq
dA
sx
qxm
1
11
)(),
,(
)
()()(
ωω
32
1
,
, F
F
F
32
1
,
,
mm
m
B
m
[
∫
+++=
q
l
q
xux
FxuxFxuxF
W )()(
)()()()(
3
3
2
2
1
1
δ
δδδ
]
dlхxmx
xmxxmxx
m
B
)()
()()()()()
()(
33
221
1
δβδjδjδj
−+++
kkk
FFF
321
,,
kkkk
MMMM
ω
,,,
321
k
x
[
]
xMxMxMxM
xuFxuFxuFW
kkBkkkkkk
K
k
iikikiL
.)()()()(
)()()(
332211
1
222211
δβδjδjδj
δδδδ
−+++
+++=
∑
=
[
∫
+++=
q
l
xu
xFx
ux
Fxux
FW
)()(
)()
()(
)(
3
3
2
2
1
1
δ
δδδ
]
dlхxm
xxmx
xmxx
m
B
)()
()()
(
)()(
)()(
332211
δβ
δjδjδj
−+
++
[
∑
=
++++
K
k
kikiki
xuFxuFxuF
1
222211
)()()(
δδδ
]
)()()(
)(
332211 kkBkkkkkk
xMxMx
MxM
δβδjδjδj
−+++
открытого профиля
...
,
,
получаем вариацию работы распределенных по длине стержня
внешних сил
, моментов
и бимомента
:
.
Аналогично, для сил сосредоточенных сил
тов
стержня с координатой
, действующих в точках продольной оси
, вариация работы внешних сил
Вариация работы распределенных и сосредоточенных в
точках внешних сил
и момен-
+
(1.41)
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
26
z
у
Q
QN
,
,
yx
MM ,
ω
M
∫∫∫∫
==
А
x
А
x
dAE
dAN
εσ
∫∫∫∫
==
А
x
А
xy
dAzEdA
zM
εσ
∫∫∫∫
==
А
x
А
xz
dAyE
dAyM
εσ
∫∫
=
А
dAs
sM )(
)(
ρ
t
ω
∫∫
∫∫
=
=
А
y
А
y
у
dA
t
G
dA
t
Q
γt
∫∫∫∫
==
А
z
А
zz
dAtGdAtQ
γt
∫∫∫∫
==
А
x
А
x
dAEdAB
ωεωσ
∫∫∫∫
==
А
tkxy
А
tkxy
dAzGdAzH
tt
γt
22
tt
z
y
M
dx
хd
SE
dx
xd
SE
dx
xd
SE
dx
xdu
AEN
zy
)()()()(
*
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
ω
−−+=
dx
хd
SE
dx
xd
IE
dx
xd
IE
dx
xdu
SE
M
yyzyy
y
)(
)()()(
*
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
ω
−−+=
dx
хd
SE
dx
xd
IE
dx
xd
IE
dx
xdu
SEM
zzyzzz
)()()()(
*
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
ω
−−+=
открытого профиля ..
1.4. Внутренние силовые факторы
Усилия
, изгибающие моменты
, мо-
мент стесненного кручения
, бимомент B и момент сво-
бодного кручения H, возникающие в поперечных сечениях
стержня, определяются по формулам
,
,
,
, (1.42)
,
,
,
.
Отметим, что при вычислении этих величин используется
численное интегрирование и локальная прямоугольная система
координат
. Для упрощения записей, далее специальных
обозначений для интегралов, вычисляемых численным методом
и с использованием локальной системы координат, не вводится.
Усилия и моменты (1.42) являются интегральными харак-
теристиками напряженного состояния в сечении стержня и вариационным методом вычисляются с достаточной точностью.
Подставляя выражения для напряжений и деформаций
(1.28), (1.27) в равенства (1.42), получим
,
,
,
1.4. Внутренние силовые факторы .
27
+
++
−= )
(
)
(
)
(
)(
2
3
*
0
3
2
*
0
x
dх
x
du
Gx
dх
xdu
GM
z
t
yt
jω
j
ω
ω
−+
)(
)(
1
*
0
х
d
х
xd
IG
β
j
ρ
+
++
−= )(
)(
)(
)(
2
3
*
03
2
*
0
x
dх
xdu
AGx
dх
xdu
AGQ
yzyyу
jj
− )(
)(
1
*
0
x
dх
xd
G
yt
β
j
ω
+
++
−= )
(
)(
)
(
)
(
2
3
*
03
2
*
0
x
dх
xdu
AG
x
dх
xdu
AG
Q
zz
yzz
jj
− )(
)(
1
*
0
x
dх
xd
G
zt
β
j
ω
dx
хd
IE
dx
xd
SE
dx
xd
SE
dx
xdu
SEB
zy
)()()()(
*
0
3
*
0
2
*
0
1
*
0
βjj
ωωωω
−−+=
*
1
0
*
)
(
2
t
y
I
d
х
x
d
G
kH
j
=
∫∫∫
==
L
А
ds
sh
se
dAs
eA
)(
)()
(
**
*
∫∫∫
≈=
L
м
А
y
ds
sh
zse
dAz
seS
)(
)()
(
**
*
∫∫∫
≈=
L
м
А
z
dsshysedAyseS )()()(
***
∫∫
=
А
dAsseS )()(
**
ω
ω
ds
shsse
L
)()
()
(
*
∫
=
ω
∫∫
=
А
y
dAzsseS )()(
**
ω
ω
dsshzsse
м
L
)()()(
*
∫
≈
ω
∫∫
=
А
z
dAysseS )()(
**
ω
ω
dsshysse
м
L
)()(
)(
*
∫
≈
ω
∫∫
=
А
dAsseI )()(
2**
ω
ω
∫
=
L
dsshsse )()()(
2*
ω
,
(1.43)
Здесь
+
+
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
28
∫∫∫
≈=
L
м
А
y
dssh
zsedAzseI )()()(
2
*
2**
dsshysedAyseI
м
LА
z
)()()(
2*2**
∫∫∫
≈=
∫∫∫
≈=
L
мм
А
yz
dsshzysedAzyseI )()()(
***
∫∫∫
==
LА
dsshssgdAssgI )()()()()(
2*2**
ρρ
ρ
∫∫∫
=
=
LА
ty
dsshsg
dAzsgI
t
)()(
12
1
)(
3*2**
∫∫∫
==
L
y
А
yyt
dsshtssgdAtssg )()()()()(
***
ρρω
∫∫∫
==
L
z
А
zzt
dsshtssgdAtssg )()()()()(
***
ρρω
∫∫∫
==
L
y
А
yyy
dsshtsgdAtsgA )()()(
2*2**
∫∫∫
==
L
z
А
zzz
dsshtsgdAtsgA )()()(
2*2**
∫∫∫
==
L
zy
А
zyyz
dsshtts
gdAttsgA )()()(
***
L
−−+= )(
)()()()(
)(
321
*
0
s
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
seE
x
ω
βjj
σ
открытого профиля ..
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
– срединная линия профиля.
1.5. Формулы для вычисления нормальных
и касательных напряжений
Нормальные напряжения, возникающие в поперечных
сечениях стержня, можно вычислять на основе закона Гука по
формуле
. (1.44)
Использование закона Гука для касательных напряжений
позволяет определять достаточно точно вариационным методом
только интегральные характеристики внутренних сил (1.42). Для
более точного вычисления значений касательных напряжений
1.5. Формулы для вычисления нормальных и касательных
29
k
xyxy
tt
ttt
+=
1
O
)0
()
0
()
0(
sh
s
T
t
=
)(
)(
)
( s
h
ss
T
t
=
0),()0()(
1
=+−+
∂
∂
∫∫
sxqdxTdxsTdxdA
x
o
А
x
σ
А
),
(1sxq
x
σ
−+==
dx
xd
z
dx
xdu
se
Ezy
ммм
xx
)
()(
)(),(
21
*
0
j
σ
σ
−− )(
)()(
3
s
dx
хd
dx
xd
y
м
ω
βj
0
L
dsshsfdAsf
oo
L
А
∫∫∫
= )()
()(
напряжений ..
, следует уточнить закон распределения по сечению
постоянного по толщине стенки касательного напряжения t.
Для этого следует применять формулу, полученную на основе
уравнений равновесия отсеченного элемента стержня.
Выделим из стержня элемент продольными и поперечными сечениями (рис. 1.4,а). Поперечные сечения берутся бесконечно близкими, а продольные – проводятся через начальную
и текущую Mточки профиля. Отметим, что на рис. 4,а не
показаны внешние силы и некоторые напряжения. Показаны
только те напряжения и потоки касательных напряжений
,
, которые дают проекцию на
ось Ox.
Уравнение равновесия выделенного элемента в виде проекций сил на ось Ox имеет вид
. (1.45)
ния стержня,
(1.45) величина
полагать
сеченной части стержня и учитывая, что
Здесь
– площадь отсеченной части поперечного сече-
o
– сумма проекций внешних сил на ось Ox.
Для тонкостенного стержня при вычислении интеграла
не меняется по толщине профиля h и можно
. (1.46)
В этом случае, обозначая через
срединную линию от-
, из равенства (1.45) получаем
Глава 1 С оотношения теории тонкостенных стержней
30
),()(
),(
)
0()(
1
sxqdssh
x
zy
TsT
o
L
м
мx
−
∂
∂
−=
∫
σ
dsshsf
o
L
∫
)()(
х
dх
х
х
∂
+
σ
σ
х
σ
)0(Т
)(sТ
dх
О
s
М
а) z y
О C A0 K
О
М
б)
Рис. 1.4 Выделенные элементы
открытого профиля ..
. (1.47)
Отметим, что при вычислении интегралов вида
нужно учитывать наличие разветвлений в отсечен-