Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
4.3 Вычисление секториальных характеристик
101
∫∫
=
A
dAJ
2
ω
ω
∫∫
=
A
td
dAzJ
2
O
),
(
2
2
z
y
),(
11
zy
),(00zy
R
z
y
Рис. 4.8 Срединная линия поперечного сечения стержня в
тонкостенного стержня .
виде окружности
Для иллюстрации точности получаемых данных по опи-
санным алгоритмам в таблице 4.2 представлены результаты численных расчетов координат центра изгиба различных профилей,
секториального момента инерции
, момента инер-
ции при свободном кручении
. Приведены величины
указанных характеристик, найденных по аналитическим формулам, а также разница в процентах численных и аналитических
расчетов. Число точек интегрирования по каждой из координат
полагалось равным 16.
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
102
y
a
х
y
20
20
20
500
290
Координаты
центра изгиба
Сектори-
6
, м
J
ω
4
, мJ
d
м
ay,
мaz,
Числен-
метод
Анали-
метод
Числен-
метод
Анали-
метод
d=0,39м
Числен-
метод
Анали-
метод
z
A
4
40
40
840
760
600
у
A
y
a
z
y
d
D
О
расчета ..
Таблица 4.2. Результаты вычисления геометрических
характеристик тонкостенных профилей
Форма сечения
Метод
расчета
ный
тиче-
ский
Разница
в %
ный
тиче-
ский
Разница
в %
альный момент
инерции
Момент
инерции
0,183 0,0 7,085·10-6 277,3·10-8
0,184 0,0 7,024·10-6 277,68·10-8
0,54
%
0 % 0,87 % 0,14 %
0,0 0,0 2,304·10-4 418,1·10-7
0,0 0,0 2,304·10-4 418,1·10-7
0 % 0 % 0,0 % 0 %
D=0,41м,
ный
тиче-
ский
Разница
в %
0,396 0,0 2,348·10-5 41,6·10-8
0,4 0,0 2,592·10-5 41,8·10-8
1,0 % 0 % 9,4 % 0,5 %
4.3 Вычисление секториальных характеристик
103
Т
2
yx
2
xi
tt
σtσσ
=+= 3
Т
σ
t
tt
t
yxyxx
x
GE
γ
t
εσ
==
,
KK
tttt
yx
пл
yxx
пл
x
/,
/
ttσ
σ
==
Т
2
yx
2
x
tt
K
σtσ
/3+=
x
σ
tt
yx
t
0=−
+ WU
U
плупр
δ
δδ
упр
U
δ
пл
U
δ
W
δ
плупр
UUU
δδδ
+=
[
∫∫∫
++=
упр
tttt
С
A
yxyx
xx
l
dAU )(
δγtδεσδ
]
dldA
пл
tttt
A
z
yx
пл
yxx
пл
x
∫∫
++
δγtδεσ
(
тонкостенного стержня .
4.4 Расчет напряженно-деформированного состояния при
пластических деформациях
Для описания напряженно-деформированного состояния
стержневой системы при возникновении пластических деформаций применяется теория идеально пластического тела. Используется критерий пластичности Губера – Мизеса, в соответствии с которым в стержне возникают пластические деформа-
ции, если выполняется условие
, где
–
предел текучести материала. В точках стержня, где возникают
упругие деформации, зависимость между напряжениями и де-
формациями описывается законом Гука
а в точках возникновения пластических деформаций,
. (4.42)
Здесь
;
,
– напряжения, вычисленные
с использованием закона Гука.
Компоненты перемещений элементов стержневой кон-
струкции определяются из вариационного уравнения
, (4.43)
где
стержневой системы в зоне упругих деформаций;
– вариация потенциальной энергии деформации
– вариа-
ция потенциальной энергии в зоне пластических деформаций;
– вариация работы внешних нагрузок.
Выражение
имеет вид
,
, (4.44)
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
104
плупр
AA ,
0=
пл
A
Т
2
yx
2
xi
tt
σtσσ
<+= 3
Тi
σσ
≥
( ) ( ) ( )
ε
≤⋅−
++
%100)(
11 nnn
MMM
( )
n
M
( )
1+n
M
y
M
z
M
расчета ..
где
– площади поперечных сечений стержней, в кото-
рых возникают упругие и пластические деформации.
Для вычисления интегралов, входящих в вариационное
уравнение (4.43), применяется численное интегрирование с использованием квадратурной формулы Гаусса. Интегрирование
проводится по длине стержней и по площади их поперечных сечений с учетом зон упругих и пластических деформаций.
Размер области пластических деформаций в стержнях
определяется итерационным методом. На первой итерации де-
формации считаются упругими (
), а на последующих
итерациях, в каждой точке интегрирования проверяется выполнение условия
. Выполнение этого условия
означает, что точке возникают упругие деформации, а если
, то в данной точке – пластические деформации и
напряжения следует вычислять по формулам (4.42).
Итерационный процесс определения областей пластических деформаций заканчивается при выполнении условия итерационного процесса для одного из компонент внутренних сил.
Так, например, если возникновение максимальных напряжений
обусловлено изгибом, при котором в опасном сечении возникает
изгибающего момент M, то условием окончания итерационного процесса является выполнение неравенства
, (4.45)
где ε – заданная величина,
,
– значения изгибающе-
го момента в опасном сечении элемента стержневой системы на
двух последующих итерациях.
При возникновении пластических деформаций, внутренние силовые факторы вычисляются с учетом наличия зон упругих и пластических деформаций. Например, продольная сила N
и изгибающие моменты
,
вычисляются по формулам:
4.4 Расчет напряженно-деформированного
105
плT
A
x
AdAN
упр
σσ
+=
∫∫
∫∫∫∫
+=
плупр
A
T
A
xy
dAzdAzM
σσ
∫∫
∫∫
+=
плупр
A
T
A
xz
dAy
dAyM
σσ
y
M
z
M
x
σ
T
σ
плупр
AA ,
( )
пл
A
упр
A
А
А
JJdAz
yf
J +
==
∫∫
,
( )
zyf ,
( )
dAzyfJ
упр
А
упр
A
∫∫
= ,
( )
dAzyfJ
пл
А
пл
A
∫∫
= ,
( )
( ) ( )
пл
i
I
i
iii
упр
i
I
i
iii
I
i
iiiA
BzyfBzyfzyfJ
∑∑∑
===
+==
111
,,,
ααα
),(iizy
i
α
упр
i
B
пл
i
B
),(
ii
zy
состояния при пластических деформациях .
.
,
,
.
Как видно из этих выражений, продольная сила N и из-
гибающие моменты
слагаемое связано с напряжениями
упругих деформациях, второе – с напряжением
,
состоят из двух слагаемых. Первое
, возникающими при
, возникаю-
щим при пластических деформациях.
При решении задач возникает необходимость определения зон пластических деформаций, и вычислять интегралы по
площадям поперечных сечений стержней
, в которых
возникают упругие и пластические деформации. Для этого можно использовать численный метод, который позволяет достаточно точно вычислять содержащиеся в условии (4.43) интегралы
вида
. (4.46)
Здесь
– заданная функция,
.
,
Используя формулу численного интегрирования, инте-
грал (4.46) можно представить в следующим образом:
где
, – координаты точек интегрирования,
множители,
сит от того, возникают в точке
стержня пластические или упругие деформации. Если в точке
,
- коэффициенты, значения которых зави-
, (4.47)
- весовые
поперечного сечения
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
106
),(iizy
0
=
упр
i
B
1=
пл
i
B
1=
упр
i
B
0=
пл
i
B
( )
( )
упр
i
I
i
ii
i
А
упр
A
BzyfdA
zyfJ
упр
∑
∫∫
=
=
=
1
,,
α
( )
( )
пл
i
I
i
iii
А
пл
A
Bzy
fdAzyfJ
пл
∑
∫∫
===1
,,
α
),
(iiz
y
Т
2
yx
2
xi
tt
σtσσ
<+= 3
Тi
σσ
<
1=
упр
i
B
0=
пл
i
B
Т
i
σσ
≥
1=
упр
i
B
0=
пл
i
B
мl
1=
МПаE
5
102 ⋅=
МПаG
4
108 ⋅=
смb
10=
см
h 2=
6=
M
расчета ..
возникают пластические деформации, то полагается
,
. Если же в этой точке возникают упругие де-
,
. (4.48)
Таким образом, используя формулу (4.47) можно вычис-
лять интегралы по всей площади сечения стержня, а по формулам (4.48) определять по отдельности интегралы по областям, в
которых возникают пластические и упругие деформации.
Для решения задачи используется итерационный метод.
На первой итерации деформации считаются упругими, а на последующих итерациях в точках поперечного сечения стержня
вычисляются напряжения и проверяется выполнение
условия
,
, если же в этой точке
. Если
, то полагается
, то
.
Для иллюстрации достоверности и точности расчетов,
получаемых с использованием описанного способа определения
зон упругих и пластических деформаций, приведем данные решения тестовых задач.
В таблице 4.3 приведен данные расчета шарнирно закрепленной по концам балки прямоугольного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 4.9).
Полагалось
чения
,
, высота –
,
, ширина се-
, число членов в рядах (4.6)
, число точек интегрирования в формулах (4.25)
,
4.4 Расчет напряженно-деформированного
107
16== JI
%1=
ε
lbh
q
т
6
/11
2
σ
=
м
кНq /32=
мкНq
пр
/8,32=
м
w 0502,0
max
=
пл
l
max,y
M
пл
A
состояния при пластических деформациях .
.
. При определении зон пластических деформаций в
условии окончания итераций (4.45) полагалось
.
На основе результатов вычислений установлено, что при
нагрузке
в окрестности среднего сечения балки
возникает зона упругопластических деформаций, длина которой
составляет 0,5 см, что совпадает с данными, приведенными в
[12].
Для
мом случае
(предельная нагрузка в рассматривае-
) максимальный прогиб в среднем
сечении балки
, что на 4,6% отличается от ре-
зультата, приведенного в [12].
В таблице 4.3 приведены расчетные данные для длины
области пластических деформаций, величины максимального
значения изгибающего момента
, а также для площади
зоны пластических деформаций в сечении, расположенном в
середине пролета балки.
Как видно из представленных данных, по всем параметрам, приведенным таблице 4.3 результаты расчетов вариационным методом практически совпадают с результатами решения
по методике, описанной в монографии [12].
Отметим, что для решения этого примера в [12] применялась методика, которая позволяет получать данные расчетов с
высокой точностью, практически совпадающей с расчетами по
теории упругости.
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
108
мl 1=
смb 5=
смh 8=
,МПаE
5
102 ⋅=
МПа
Т
240=
σ
МПаG
4
108⋅=
кНF
2,19=
∗
=
yy
MMM/
∆
∗
=
www /
∆
∗
=
плплпл
lll /
∆
пл
y
lwM ,
,
пл
y
lwM
***
,,
Расчетные парамет-
ры
По методике [12]
Вариационный
метод
мкНq /07,30=
2
, мA
пл
0,001
0,001
м
кНq
/
32
=
мw ,
max
0,048
0,05
мкНq /8,32=
мlпл,
0,571
0,56
2
, м
A
пл
0,002
0,002
мкНM
y
,
max,
4,1
4,1
расчета ..
Таблица 4.3. Данные расчетов балки при пластических
деформациях
В таблице 4.4 приведены результаты расчета балки прямоугольного сечения, защемленной на одном конце и нагруженной сосредоточенной силой Fна свободном конце. Длина балки
, ширина сечения
, высота сечения
. Ме-
ханические характеристики материала балки:
равным предельному значению
ке образуется пластический шарнир. В таблице
симальный изгибающий момент, наибольший прогиб и длина
зоны развития пластических деформаций, полученные из расче-
тов;
описанной в [13].
,
. Значение силы F полагалось
, при котором в бал-
,
,
, где
- соответственно мак-
- те же величины, вычисленные по методике,
4.4 Расчет напряженно-деформированного
109
y
M
пл
l
08,0=lh
см
h
смb 8,5 ==
,1 мl
=
кН,
F 0747
=
МПа
Т
240
=
σ
,МПа
E
5
102 ⋅=
МПаG
4
108
⋅=
кНм
,M
пр
3418
=
кНм,M
пр
219
=
Вычисляемые параметры
M
∆
w
∆
пл
l
∆
По методике [13]
1,0
1,076
0,98
Вариационный метод
0,984
0,914
1,0
l
l
F F2
Рис. 4.9 Статически
состояния при пластических деформациях .
.
Таблица 4.4. Данные расчетов балки прямоугольного
сечения
Как видно из таблицы, значения сравниваемых моментов
и длины зоны развития пластических деформаций
прак-
тически совпадают, расхождение результатов по прогибам составляет 8,6%. Это объясняется тем, что приведенные для сравнения данные, согласно [13], получены без учета сдвигов, возникающих в поперечных сечениях балки при деформировании.
В данной работе используется вариационный метод, в котором
эти сдвиги учитываются, и поэтому результаты расчетов для коротких балок получаются более точными (в данном примере
балка короткая,
).
На рис. 4.9 показана статически неопределимая рама, элементы
которой имеют прямоугольное поперечное сечение с размерами
.
На основе расчетов, при
,
,
ное значение изгибающего момента
пользуемой в строительной механике [13],
получено предель-
. По методике, ис-
неопределимая рама
. Получа-
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
110
%1=
ε
кН F
118,8=
МПаG,МПа,МПаE
Т
45
108240102 ⋅==⋅=
σ
y
M
∗
w
∗
y
M
w
∆
y
M
∆
расчета ..
ется, что предельные значения изгибающих моментов, вычисленные с использованием различных способов определения зон
упругих и пластических деформаций, различаются на 4,5%.
Представленные данные показывают, что по описанному
здесь методу можно с высокой точностью получать расчетные
данные от начала возникновения пластических деформаций до
возникновения пластического шарнира.
4.5 Результаты решения тестовых задач
Для иллюстрации достоверности и точности расчетов,
получаемых по описанному методу, приведем решения ряда тестовых задач. Сравним расчетные данные с численными результатами, полученными другими методами или другими авторами.
При расчетах формулах численного интегрирования число точек интегрирования по каждой координате бралось равным
16. При определении зон пластических деформаций в условии
окончания итераций (4.45) полагалось
.
В таблице 4.5 приведены данные расчетов для консоль-
ной балки длиной l=4,5м, нагруженной на конце силой
, при возникновении в ней упругих деформаций.
Полагалось
таблице приведены значения максимального прогиба w и изги-
бающего момента
, полученные в результате расчетов по из-
ложенной методике. Для сравнения также приведены значения
и
, полученные с применением формул сопротивления
материалов и расхождение результатов расчетов
процентах. Для иллюстрации сходимости рядов (4.6), данные
представлены для различного числа членов Mв рядах (4.6). Из
таблицы видно, что при значениях М = 5, 7, 9 наибольшее рас-
. В
,
в