Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
5.1 Особенности расчета усиленных стержней .
121
р
A
у
A
.
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней
5.1 Особенности расчета усиленных стержней
Для повышения несущей способности конструкций используются различные способы, среди которых значительное
распространение имеет метод, основанный на усиление отдельных элементов конструкции за увеличение размеров их поперечных сечений, без вывода их из напряженного состояния.
Этот способ позволяет регулировать распределение усилий по
элементам конструкции и может применяться также совместно с
другими методами.
Усиление отдельных элементов конструкции за счет увеличение размеров их поперечных сечений, в частности, может
выполняться при присоединении к конструкции дополнительных элементов.
На рис. 5.1 показаны поперечные сечения стержней, размеры которых увеличены за счет присоединения дополнительных стержневых элементов. Площадь основной части сечения
обозначена как
, площади усиливающих элементов –
.
При расчете напряженно-деформированного состояния
усиливаемых конструкций следует принимать во внимание ряд
особенностей, связанных с изменением в процессе усиления
геометрических и механических характеристик элементов сооружения, находящегося в напряженном состоянии. В частности, нужно учитывать, что усиление может осуществляться без
полной разгрузки сооружения, в условиях, когда конструкция
находится в напряженном состоянии. Следовательно, следует
принимать во внимание следующее:
• элементы сооружения при усилении деформированы и
находятся в напряженном состоянии;
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
122
у
A
р
A
Рис. 5.1 Поперечные сечения усиленных стержней
у
A
у
A
р
A
• для оценки несущей способности усиленной конструкции
следует использовать специально разработанные расчетные схемы, позволяющие учитывать взаимодействие частей конструкции с различным уровнем напряженного состояния.
Далее представлены вариационные соотношения для расчета напряженно-деформированного состояния усиленных тон-
костенных стержней отрытого профиля, полученные при следующих предположениях:
• до усиления конструкция находится в напряженном состо-
янии, возникающие в ней деформации являются упругими;
• усиление осуществляться за счет увеличения размеров по-
перечных сечений стержней при присоединении к ним дополнительных элементов;
• дополнительных напряжений, связанных с усилением, в
конструкции не возникает;
• после усиления основной и дополнительный элемент де-
формируются как единое целое;
• усиливаемый стержень до и после усиления является тон-
костенным.
5.1 Особенности расчета усиленных стержней .
123
x
σ
р
h
h
∆
.
Считается, что для проведения ремонта и усиления конструкция частично разгружается, и после проведения необходимых работ загружается дополнительными нагрузками. Следовательно, усиление сооружения выполняется без полного вывода
его из напряженного состояния. Отметим, что любой стержень,
усиленный под нагрузкой за счет увеличения размеров его сечения, становится «внутренне» статически неопределимым, и
нахождение усилий, перемещений и напряжений в сечениях невозможно без учета особенностей его деформирования [19].
Несущая способность усиленных конструкций зависит от
ряда факторов, в том числе, от того, в какой мере были изменены элементы, при каких напряжениях проводился ремонт, какие
нагрузки действуют до и после ремонта сооружения.
Отметим, что в дальнейшем ремонтными называются
напряжения, возникающие во время усиления в основных частях
конструкции. Основным называется конструкционный материал,
из которого элемент был изготовлен. Ремонтным называется
материал, используемый для устранения повреждения или
наращивания размеров сечения элементов конструкции.
Важным фактором, от которого зависит несущая способность усиливаемого стержня, является величина ремонтных
напряжений в опасном сечении.
Для иллюстрации особенностей возникающего напряжен-
ного состояния, приведем краткий качественный анализ распределения нормального напряжения
в поперечном сечении
стержня. Полагаем, что напряжения возникают только от действия изгибающего момента. В качестве примера к излагаемому
вопросу на рис. 5.2 показана схема участка усиленного стержня
в случае, когда высота исходного поперечного сечения
уве-
личена на величину
и стала равной h. В результате стер-
жень по высоте будет состоять из двух частей – I и II (рис. 5.2,а).
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
124
р
х
σ
х
σ∆
р
х
σ
∆
р
х
σ
х
р
х
у
х
σ∆σ
σ
+=
х
σ
∆
р
х
σ
а)
б)
д)
г)
в)
Рис. 5.2 Эпюры напряжений в поперечных сечениях стержня
у
х
σ
р
х
σ
х
σ∆
Т
σ
h
р
h
h
∆
х
z
II
I
B
A а
у
х
σ
Так как усиление стержня проводится без полной разгрузки, в исходном поперечном сечении (часть I) действуют
нормальные напряжения
(рис. 5.2,б).
После усиления, размеры поперечного сечения элемента
увеличиваются, и при неизменной внешней нагрузке дополнительных напряжений не возникнет, распределение напряжений в
поперечных сечениях стержня остается прежним. Область, в которой произошло наращивание материала (часть II, рис. 5.2,б), в
этот период свободна от напряжений. Влияние усиления на
напряженно-деформированное состояние возникает только при
увеличении нагрузки.
При нагружении стержня дополнительными силами, возникают дополнительные напряжения
(рис. 5.2,в), которые
распределяются по области основного и ремонтного материалов,
а в зоне I добавляются к напряжениям
.
Если возникающие деформации упругие, то
суммируются. Эпюра суммарных напряжений
для такого случая показана на рис. 5.2,г.
В случае, когда в результате наложения
и
никают пластические деформации, эпюра суммарных напряжений будет иной. На рис. 5.2,д представлена эпюра напряжений, в
и
σ
х
, воз-
5.1 Особенности расчета усиленных стержней .
125
у
х
σ
х
σ∆
р
х
σ
х
р
х
у
х
σ
∆σσ
+=
х
σ∆
р
х
σ
х
р
х
у
х
σ∆σσ
+=
а)
д)
г)
в)
Рис. 5.3 Эпюры напряжений
р
х
σ
,
х
σ∆
,
у
х
σ
р
х
σ
х
σ∆
y
х
σ
h
h
h
х
z
II
I
C
C
.
случае, когда пластические деформации возникают в нижней
части сечения поперечного стержня. При возникновении пластических деформаций, произойдет перераспределение напря-
жений. Для определения
нельзя применить принцип незави-
симости действия сил. Необходимо решать задачу упругопластического деформирования.
п
p
В общем случае, после усиления конструкции максимальные напряжения могут возникнуть в основном или в ремонтном материалах. Распределение напряжений зависит от ряда факторов, в частности от того, какие силы действуют во время и после ремонта. Например, на рис. 5.2 графики представле-
ны для случая, когда напряжения
и
связаны с действи-
ем изгибающих моментов одного знака. В этом случае максимальное значение напряжения
возникает в ос-
новном материале (точка В, рис. 5.2). На рис. 5.3 приведены
эпюры напряжений
и
, вызванные действием изгибающих моментов разных знаков. В этом случае максимальное значение напряжения
возникает в ремонтном мате-
риале (точка С, рис. 1.2.3,д).
Таким образом, специфика задач, связанных с оценкой
несущей способности конструкций, усиленных без вывода из
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
126
)(
~
)(
~
)(
~
111
xuxuxu
ру
+=
)(
~
)(
~
)(
~
222
xuxuxu
ру
+=
)(
~
)(
~
)(
~
333
xux
uxu
ру
+=
)(
~~
)
(
~
111
xx
ру
jjj
+=
)(
~~
)(
~
222
xx
ру
jjj
+=
)(
~~
)(
~
333
xx
ру
jjj
+=
)()( xx
ру
βββ
+=
напряженного состояния, состоит в необходимости учета того,
что в конструкции имеются зоны, напряженное состояние которых, является функцией, зависящей от нагрузок, действовавших
в период усиления и приложенных после него. Для того чтобы
решить вопрос о степени усиления элементов конструкций, ремонт которых проводился без вывода их из напряженного состояния, необходимо решать две задачи:
• найти распределение напряжений в усиливаемой нагру-
женной конструкции;
• определить, как под действием нагрузки, приложенной к
конструкции после ремонта, распределятся напряжения в
кусочно-однородных элементах, состоящих из основного и
ремонтного материалов.
5.2 Вариационные соотношения и методика определения
напряженно-деформированного состояния усиленных
стержней
Для расчета тонкостенных стержневых систем открытого
профиля, усиливаемых в напряженном состоянии, используем
представленные в первой главе основные допущения и положения теории тонкостенных стержней, вариационный метод расчета и соотношения для определения компонент напряженнодеформированного состояния.
Расчетными величинами при использовании вариационного метода являются перемещения, углы поворота поперечных
сечений стержней и депланация. Учитывая, что конструкция
усиливается в напряженном состоянии и после этого на нее могут действовать дополнительные нагрузки, получается, что
,
,
, (5.1)
,
,
,
.
5.2 Вариационные соотношения и методика определения
127
уу
у
u
uu
32
1
~
,
~
,
~
уу
у
32
1
~
,
~
,
~
jjj
)(x
у
β
р
рр
u
uu
32
1
~
,
~
,
~
ррр
321
~
,
~
,
~
jjj
р
β
321
~
,~,~uuu
321
~
,
~
,
~
j
jj
)(
~
)(
~
11
xuxu
у
=
)(
~
)(
~
22
xuxu
у
=
)(
~
)
(
~
33
xu
x
u
у
=
)(
~
)(
~
11
xx
у
jj
=
)(
~
)(
~
22
xx
у
jj
=
)(
~
)(
~
3
3
xx
у
jj
=
)(
)
( x
x
у
ββ
=
у
х
σ
у
yx
tt
t
р
yx
р
х
tt
tσ
,
t
t
yxх
tσ
,
р
yx
р
yx
р
х
р
х
tttt
GE
γtεσ
== ,
tttt
yxyxхх
GE
γtεσ
== ,
р
yx
р
х
tt
γε
,
ррр
uuu
3
21
~
,
~
,
~
ррр
321
~
,
~
,
~
jjj
р
β
tt
yxх
γε
,
321
~
,~,~uuu
321
~
,
~
,
~
jjj
)(x
β
х
р
х
у
х
σσσ
+=
tttttt
yx
р
yx
у
yx
ttt
+=
напряженно-деформированного состояния усиленных
стержней .
Здесь
,
,
- перемещения, углы пово-
рота и депланация в усиленной конструкции;
,
- перемещения, углы поворота и депланация до
усиления от воздействия ремонтных нагрузок;
, β - перемещения, углы поворота и депланация в
усиленной конструкции от дополнительных нагрузок.
Отметим, что равенства (5.1) справедливы для тех частей
конструкции, которые до усиления деформированы. В тех же
частях, которые появились в результате усиления конструкции,
перемещения, углы поворота и депланация от воздействия ремонтных нагрузок равны нулю, следовательно,
,
,
,
,
,
, (5.2)
.
Обозначим напряжения в усиленной конструкции
, напряжения, возникающие до усиления от воздействия ре-
монтных нагрузок нагрузок -
.
, напряжения от дополнительных
При упругих деформациях
,
,
,
,
. Деформации
использованием компонент перемещений
,
,
, а
.
- с использованием
В стержнях, которые до усиления деформированы, возникают напряжения
,
вычисляются с
,
,
. (5.3)
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
128
х
у
х
σσ
=
tt
tt
yx
у
yx
tt
=
K
K
у
yx
пл
yx
у
x
пл
x
t
ttt
/
,/
t
tσ
σ
=
=
Т
у
yx
у
x
tt
K
σtσ
/)(3)(
22
+=
у
x
σ
у
yx
tt
t
ррр
uuu
3
21
~
,
~
,
~
р
рр
3
21
~
,
~
,
~
jj
j
р
β
0=−ррWU
δδ
рр
WUδδ,
∫ ∫∫
+=
l
A
р
yx
р
yx
р
х
р
х
р
p
tttt
dldAU )(
δγtδεσδ
+++=
∫
q
l
р
рр
dluququqW )
~~~~~~
(
332211
δδδδ
[ ]
∑
=
+++
K
k
k
р
kk
р
kk
р
k
xuFxuFxuF
1
332211
)(
~
~
)(
~
~
)(
~
~
δδδ
++++
∫
m
l
ррр
dlmm
m )
~
~
~
~
~
~
(
33221
1
jδjδ
jδ
[ ]
∑
=
+++
J
j
j
р
jj
р
jj
р
j
xMxMxM
1
332211
)(
~
~
)(
~
~
)(
~
~
jδjδjδ
р
A
q
l
m
l
В частях поперечных сечений стержней , которые возникли в результате усиления
,
. (5.4)
В области пластических деформаций нормальные и касательные напряжения определяются по формулам
, где
,
– напряжения, вычисленные с использованием закона Гука
и соотношений (5.3), (5.4). Используется алгоритм вычислений,
описанный в главе 4.4.
На первом этапе расчетов для определения
,
используется условие стационарности функци-
онала Лагранжа
, (5.5)
где
- вариации потенциальной энергии деформации и
работы внешних нагрузок, действующих на усиливаемую систему:
,
+
,
,
Здесь
ния;
– площади поперечных сечений стержней до усиле-
,
– длины участков действия распределенных нагрузок
.
5.2 Вариационные соотношения и методика определения
129
ррр
qqq
321
~
,
~
,
~
р
i
р
i
р
i
FFF
321
~
,
~
,
~
ррр
mmm
321
~
,
~
,
~
р
k
р
k
р
k
МММ
321
~
,
~
,
~
р
yx
р
х
tt
γε
,
р
yx
р
х
tt
tσ
,
ttt
zyMx
{ }
{
}
р
рр
T
uuu
u
321
~
,
~
,
~~
=
{ }
{ }
ррр
T
321
~
,
~
,
~
~
j
j
jj
=
р
ββ
=
ррр
uuu
321
~
,
~
,
~
ррр
321
~
,
~
,
~
jjj
р
β
)()(
~
)(
~
1
tfCtuxu
m
M
m
ip
km
ip
k
p
k
∑
=
==
)()(
~
)(
~
1
tfDtx
m
M
m
ip
km
ip
k
p
k
∑
=
==
jj
( )
( )
tfBtх
m
M
m
ip
m
ipp
∑
===1
)(
ββ
3,
2,1=k
N
i ,1=
iр
km
C
iр
km
B
iр
km
D
р
xy
р
х
tσ
,
ррр
uuu
321
~
,
~
,
~
ррр
321
~
,
~
,
~
jjj
напряженно-деформированного состояния усиленных
стержней .
и моментов;
,
,
– компоненты нагрузок, действующие на кон-
струкцию во время ремонта.
Входящие в условие (5.5) деформации
,
и напря-
жения
координат
, вычисляются в локальной декартовой системе
, с использованием формул вида (1.20), (1.27),
(1.28), (1.30), в которых следует полагать
,
.
При проведении расчетов стержневая система разбивает-
ся на N участков так, чтобы на каждом участке продольная ось
стержня не разветвлялась. На каждом из участков с номером i
перемещения
планации
представляются в виде рядов (4.6):
, углы поворота
,
и мера де-
,
,
где
Для определения коэффициентов
;
.
,
,
, из усло-
вия (5.5) получается система алгебраических уравнений. После
решения этой системы уравнений, перемещения деформации и
напряжения вычисляются в локальных системах координат по
приведенным в первой главе формулам.
Таким образом, с использованием вариационного урав-
нения (5.5) определяются ремонтные напряжения
, пере-
,
мещения
, углы поворота
и мера деплана-
ГЛАВА 5 Расчет усиленных тонкостенных стержней .
130
р
β
0=−
+ W
UU
плуп
δ
δδ
уп
U
δ
пл
U
δ
W
δ
p
y
x
p
x
tt
tσ
,
упр
U
δ
пл
U
δ
[
∫∫∫
++=
у
tttt
упр
A
yxyxxx
l
упр
dAU )(
δγtδεσδ
]
+++
∫∫
p
tttt
A
z
yx
р
yxx
р
x
dldA)(
δγtδεσ
[ ]
∫∫ ∫∫∫
++++
у
упр
р
упр
tttttttt
пл
A A
yxрyxx
р
xyxyxxх
l
dldAdA )()(
γtδεσδγtδεσ
[ ]
∫∫∫
+=
y
пл
tt
tt
пл
A
yx
пл
yxx
пл
x
l
пл
dldA
U )(
δγtδε
σδ
упр
l
пл
l
р
A
y
A
y
упр
A
y
пл
A
ции
, возникающие в элементах конструкции от действия
нагрузок, действующих во время усиления (ремонтных нагрузок).
На втором этапе проводится расчет напряженно-
деформированного состояния конструкции с учетом изменений
в результате усиления размеров поперечных сечений элементов
сооружения, действия эксплуатационных нагрузок и наличия в
части конструкции ремонтных напряжений.
Компоненты перемещений элементов стержневой кон-
струкции определяются из вариационного уравнения
, (5.6)
где
стержневой системы в зоне упругих деформаций;
– вариация потенциальной энергии деформации
– вариа-
ция потенциальной энергии в зоне пластических деформаций;
– вариация работы внешних нагрузок.
С учетом напряжений
ствия ремонтных нагрузок, выражения для
, возникающих от воздей-
и
имеют
вид:
;
.
где
,
– длины участков стержней, в которых возникают,
соответственно, упругие и упругопластические деформации;
,
– площади поперечных сечений до и после усиления;
,
– площади областей поперечного сечения стержней, в