Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
4.1 Методика определениянапряженно-деформированного
81
)(tf
m
0
=t
1)0(1=f
0)0( =
m
f
),...,
3,
2
( M
m =
1=t
1
)
1
(
2
=
f
0)1(,0)
1(
1
==
m
ff
),...,3,2( Mm =
0=t
i
k
i
k
Cu
1
)0
(~=
i
k
i
k
D
1
)0
(
~
=
j
ii
В
1
)0( =
β
1=
t
i
k
i
k
Cu
2
)1(~=
i
k
i
k
D
2
)1(~=
j
ii
В
2
)1( =
β
i
kC1
i
k
D
1
i
k
C
2
i
k
D
2
i
В
1
i
В
2
i
kC1
i
k
C
2
i
kD1
i
k
D
2
i
В
1
i
В
2
0=t
1=t
i
km
C
i
km
D
i
m
В
Mm
,3=
2
)1
()
(
−
−
=
m
m
tt
t
f
Mm ,1=
)(
~
),(
~
),(
~
321
xuxuxu
)(
~
),(
~
),(
~
321
xxx
jjj
)(
x
β
)(x
β
состояния . .
Входящие в формулы (4.6) функции
таковы, что
при
Следовательно, если в (4.6) положить
При
Получается, что коэффициенты
имеют геометрический смысл – это перемещения (
углы поворота (
ня в начале (
с номером i. Остальные коэффициенты
(
Функции
,
,
,
, а при
.
, то
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
) и депланация (
) и в конце (
) участка стержневой системы
,
) сечений стерж-
,
,
) в рядах (4.6) геометрического смысла не имеют.
,
составляют полный поли-
) ,
ном степени (М - 1).
Задавая в рядах (4.6) число М, можно использовать аппроксимацию различной степени, что позволяет получать решение с высокой точностью, не разделяя стержневую систему на
большое количество участков.
Как известно, при использовании принципа Лагранжа
(2.2.1), перемещения и углы поворота, а в ряде случаев и депланация стержней при переходе от участка к участку должны быть
непрерывны. Также необходимо, чтобы в местах закрепления
стержней удовлетворялись геометрические граничные условия
(условия для
,
,
).
,
ции
ний, углов поворота и депланации стержней на границах выде-
ленных участков и удовлетворять геометрическим граничным
Представление компонентов векторов u, j и деплана-
в виде (4.6) позволяет проводить стыковку перемеще-
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
82
i
kC1
i
kC2
i
kD1
i
k
D
2
i
В
1
i
В
2
)(~xu
k
)(~x
k
j
)(x
β
СB
CD
0=t
)0(
~
)0(
~
)0(
~
321
kkk
uuu ==
)0(
~
)0(
~
)0(
~
321
kkk
jjj
==
3,2,1=k
0=t
1=t
D
C
B
A
1
2 3
Рис. 4.1 Стержневая система
расчета ..
условиям. Это связано с тем, что коэффициенты
,
,
являются перемещениями, углами поворота, депла-
,
,
нацией стержня в начале и в конце участка. Следовательно, для
стыковки перемещений
, углов поворота
, деплана-
,
ции
и удовлетворения геометрическим граничным услови-
ям можно использовать известные способы метода конечных
элементов.
Покажем, как с использованием выражений
(4.6.) можно проводить стыковку перемещений, углов
поворота и депланации
стержней на границах выделенных участков и удовлетворять геометрическим
граничным условиям. Рассмотрим, например, стержневую систему, состоящую
из трех участков (рис. 4.1).
Пусть, участки стержневой
системы СА,
,
имеют номера 1, 2, 3, соответственно, и
соединены между собой в точке C. В точке A стержень шарнирно закреплен, в точке B – заделан. Полагаем, что начало
каждого из стержней (
) находится в точке C, в узле C и в
точке B депланация равняется нулю.
Условие равенства перемещений и углов поворота
стержней в точке C можно записать следующим образом:
;
Условие равенства нулю депланации в узле C (
точке B (
) имеет вид
,
. (4.7)
) и в
4.1 Методика определениянапряженно-деформированного
83
0)1(),0()0
()
0(
23
2
1
===
βββ
β
1=
t
0
)1(
1
=
k
u
3
,2,1=k
1
=
t
0)1(2=
k
u
0)1
(2=
k
j
3,
2,1=
k
i
k
C
1
i
k
D
1
i
kC2
i
kD2
i
В
1
2
0=
t
1=t
3
1
2
1
1
1
kkk
CCC =
=
3
1
2
1
1
1 kkk
DDD ==
0
3
1
2
1
1
1
=== ВВВ
0
2
2
=
В
0
1
2=k
C
0
2
2=k
C
0
3
2=k
D
3,2,1=k
CA
2
3
11
)1()1()(
~
−
=
−
+−=
∑
m
M
m
kmkk
ttCtCtu
2
3
22
)1(
)1()(
~
−
=
−+−=
∑
m
M
m
kmkk
ttCtCtu
2
3
33
2
3
)1()1()(
~
−
=
−++−=
∑
m
M
m
kmkkk
ttCtCtCtu
2
3
11
2
1
)
1()1()
(
~
−
=
−++−=
∑
m
M
m
kmkkk
ttDtDt
Dt
j
состояния . .
. (4.8)
В точке A (рис. 4.1) на конце стержня CA (
) – шар-
нирная опора, поэтому в поперечном сечении стержня, проходящем через эту точку, должны быть равны нулю перемещения:
На конце стержня CB (
,
) заделка, в этом сечении рав-
. (4.9)
ны нулю перемещения и углы поворота:
,
,
. (4.10)
Таким образом, в рассматриваемом примере представле-
ние перемещений, углов поворотов и депланации стержней в
виде (4.6) должны быть такими, чтобы выполнялись условия
стыковки перемещений и углов поворота (4.7), а также условия
(4.8) – (4.10).
С учетом того, что коэффициенты рядов (4.6)
,
,
стержня в начале (
i
,
это перемещения, углы поворота и депланация
В
) и в конце (
) участка с номером i,
,
подставляя выражения (4.6) в условия (4.7) – (4.10), получаем
;
;
;
;
,
;
;
. (4.11)
Используя (4.6), (4.11), находим, что в рассматриваемом
примере перемещения углы поворота и депланация стержней
, СB, CD представляются в виде рядов
,
;
;
;
; (4.12)
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
84
2
3
22
)1()1()(
~
−
=
−+−=
∑
m
M
m
kmkk
ttDtDt
j
3
=
M
m
3,2,1=k
2
3
11
2
1
)1()(
−
=
−+=
∑
m
M
m
m
ttВtВt
β
2
3
22
)1()(
−
=
−=
∑
m
M
m
m
ttВt
β
2
3
33
2
3
)1()(
−
=
−+=
∑
m
M
m
m
ttВtВt
β
3
1
2
1
1
1
kk
k
k
C
CC
C =
=
=
3
1
2
1
1
1
kkkk
DDDD
===
;)0(
~
)0(
~
)0(
~
321
kkkk
Cuuu
===
;)0(
~
)0(
~
)0(
~
321
kkkk
D===
jjj
,0)
1
(
~
1
=
k
u
;
0)1
(
~
2
=
k
u
0)1(
~
2
=
k
j
3,2,1=k
0)1();0()0()0(
2321
===
ββββ
)(xu
)(x
j
)(x
β
расчета ..
;
m
3
~
j
(
2
∑
33
kmkkk
−
2
,
tDtDtDt
t
−++−=
)1()1()
;
;
;
.
Здесь введено обозначение
;
.
Подставляя в формулы (4.12) значения t = 0 и t = 1, находим
;
;
.
Получается, что в точке C (рис. 4.1), начале каждого из
участков стержневой системы (t = 0) перемещения и углы пово-
рота всех стержней одинаковые, депланация равняется нулю. В
точке A (t = 1) перемещения первого стержня равны нулю, а в
точке В (t = 1) равны нулю перемещения, углы поворота и де-
планация второго стержня.
Выражения (4.12) удовлетворяют кинематическим граничным условиям (4.8) – (4.10) и условиям стыковки перемеще-
ний и углов поворота участков стержневой системы (4.11) в точке С.
Таким образом, представление компонентов векторов
,
и депланации
в виде (4.6) обладает следующи-
ми достоинствами:
• можно легко проводить стыковку перемещений, углов по-
ворота и депланации стержней на концах выделенных
4.1 Методика определениянапряженно-деформированного
85
)(xu
)
(x
j
)(x
β
[ ]
{ } { }
FCK =
[ ]
K
{ }
C
i
km
C
i
km
D
i
m
В
{ }
F
i
km
C
i
km
D
i
m
В
=−−
∑∑ ∑
= = =
L
KkJ
j
q
xkyiz
j
I
i
ijkA
WWgggzyxU
δδδ
1 1 1
),,(
состояния . .
участков стержневой системы и удовлетворять геометрическим граничным условиям;
• для получения решения с высокой точностью, можно не
разбивать стержневую систему на малые участки, а взять в
рядах (4.6) достаточное число членов (выбрать нужное М).
Отметим, что указанные особенности, в частности, определяют универсальность используемого метода расчета.
Для определения коэффициентов в рядах (4.6) вариационным методом выполняется следующее. Удовлетворяются кинематические граничные условия, а также условия стыковки
,
,
на границах участков стержневой системы. Из
этих условий находятся значения некоторых из коэффициентов
в рядах (4.6). Затем, после подстановки выражений для перемещений, углов поворота и депланации в условие стационарности
функционала Лагранжа (1.37), получается система алгебраических уравнений
, (4.13)
где
вектор неизвестных коэффициентов
– матрица жесткости стержневой конструкции;
,
,
;
– вектор,
зависящий от внешних нагрузок.
Неизвестные коэффициенты
,
,
находятся из
решения системы алгебраических уравнений (4.13). Затем, с использованием формул (4.2) – (4.6) и приведенных в предыдущих
главах соотношений, вычисляются компоненты напряженнодеформированного состояния стержней.
При формировании системы алгебраических уравнений
(4.13) применяется численное интегрирование и условие стационарности функционала Лагранжа (1.37), с учетом (1.38), (1.41),
записывается в следующем виде:
–
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
86
[
∑
∑
∑
= = =
+
K
k
J
j
I
i
i
j
kxi
jk
x
z
yx
zy
x
1
1 1
),
,
()
,,
(
δεσ
]
−
x
k
y
i
z
ji
jk
xyi
jk
xy
gg
gzy
xz
yx
t
t
),
,(
),
,(
δγ
t
[
∑
=
+++−
K
k
kkkkkk
xuxFxuxFxuxF
1
332211
)()()()()()(
δδδ
]
−−+++
q
kkkBkkkkkk
gхxmxxmxxmxxm )()()()()()()()(
332211
δβδjδjδj
[
∑
=
+++−
*
1
22
2211
)()
()(
K
k
kiki
ki
xuFxuF
xuF
δδδ
]
)
()(
)()
(
3
32
21
1 kk
Bkk
kk
kk
xM
xM
xM
xM
δβ
δjδj
δj
−+
++
∫
=
b
a
dssfJ )(
11
∫∫
=
A
dz
dyzy
fJ )
,(
22
)(
1
sf
),(
2
zyf
ba,
1
J
∑
∫
=
==
*
1
111
*)
(*)()(
I
i
ii
b
a
sPsfdss
fJ
*is
*)(isP
*is, *)(isP
расчета ..
(4.14)
.
4.2 Алгоритмы численного интегрирования
При использовании принципа Лагранжа в виде (4.14),
возникает необходимость вычисления интегралов следующего
вида:
;
Где
,
- некоторые функции,
грирования, A - площадь поперечного сечения стержня.
Если использовать известные формулы численного инте-
грирования [4, 5, 31], то
Здесь
- координаты точек интегрирования,
множители, *I - число точек интегрирования.
Значения
формула для вычисления интеграла используется. В дальнейшем
для вычисления интегралов вида (4.15) будет применяться формула Гаусса, для которой
, (4.15)
- пределы инте-
представляется в виде ряда:
. (4.16)
- весовые
зависят от того, какая квадратурная
4.2 Алгоритмы численного интегрирования .
87
2
)
1(*
a
b
as
ii
−
++=
ξ
2
*)
(
ab
sP
i
i
−
=
α
i
ξ
i
α
11
≤≤−
ξ
n
A
Nn ...,,2,1=
∑
∫∫
∑
==
==
N
n
A
n
N
n
n
dxdyzyfJJ
1
22
1
2
),(
n
A
3=
N
11
byaz +=
1
cy =
,
где
- значения координат точек интегрирования,
множители для пределов интегрирования
, (4.17)
- весовые
[4, 31].
Продольная ось стержня может быть прямой и криволи-
нейной. Поперечное сечение стержня может иметь сложную
форму, может быть составленным из различных фигур в виде
прямоугольника, частей круга, кольца, треугольника. Поэтому,
при интегрировании по продольной оси и по срединной линии
профиля, по площади поперечного сечения стержня возникает
необходимость применять специально разработанные алгоритмы.
Для подсчета входящих в (4.14) интегралов использовался следующий метод.
Область сложной формы разбивается на части в виде
криволинейных треугольников или четырехугольников с пло-
щадями
,
. В этом случае, интеграл (4.15) по
площади A
.
Полагается, что границами областей
могут быть пря-
мые, параболы или части окружности.
Так, например, если нужно вычислить интеграл по площади фигуры в виде двутавра (рис. 4.2,а), то двутавр нужно раз-
бить на три части – I, II, III (рис. 4.2,б). В этом случае
, а
для вычисления интеграла по всей площади A фигуры, нужно
вычислить интегралы по площади прямоугольников I, II, III и
результаты сложить.
Прямые линии границ задаются уравнением
, (4.18)
либо
. (4.19)
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
88
2
222
ycyabz ++=
22
0
2
0
)(
)( Rzzyy =−+−
Rzy ,,
00
n
A
)
,(11zу
),
(22zу
)
/()(
21211
уу
zza −−=
Рис. 4.2 Двутавр
a)
yz О
б)
y
z
О
I
II
III
расчета ..
Параболы - описываются функцией
. (4.20)
Если граница области окружность, то используется урав-
нение
Здесь
Для каждой из границ области
ло, определяющее является линия границы прямой, параболой
или окружностью).
При задании исходных данных и вычислениях обход контура фигуры проводится против часовой стрелки.
Если линия границы прямая, то задаются координаты
двух точек
4.3,а). В этом случае в формулах (4.18)
. (4.21)
- координаты центра и радиус окружности.
вводится признак (чис-
и
, через которые она проходит (рис.
,
4.2 Алгоритмы численного интегрирования .
89
)/()(
2
1
12211
ууzуzуb −−=
21
уу =
1
1
уc =
),(
11
zу
),(
22
z
у
),
(
3
3
zу
3
3132
21
2
3221
31
1
3121
32
1
))(())(())((
z
уууу
уу
z
уууу
уу
z
уууу
уу
b
−−
+
−−
−
−−
=
,
))(())(())((
3
3132
21
2
3221
31
1
3121
32
1
z
уууу
уу
z
уууу
уу
z
уууу
уу
a
−−
+
−
−−
+
+
−−
+
−=
))(())(())((
3132
3
3221
2
3121
1
1
уууу
z
уууу
z
уууу
z
c
−−
+
−−
−
−−
=
1
11
,, zуО
AB
AC
CB
2
0
2
0
)( ууRzz −−±=
0
zz =
0
zz
=
∫∫
=
A
dydzzyfJ ),(
22
1
Г
2
Г
3
Г
4
Г
5* =
I
FED
CBA ,,,,,
, а при
в (4.19) полагается
.
Если линия границы парабола, то задаются координаты
трех точек
,
,
через которые проходит па-
рабола (рис. 4.3,б). В этом случае коэффициенты уравнения
(4.20) вычисляются по формулам
.
В случае, когда участок границы – окружность, ее нужно
разбить на части так, чтобы каждая из этих частей была дугой
окружности, расположенной в одной из четвертей системы ко-
ординат
(рис. 4.16,с) нужно разбить на отрезки
(рис. 4.3,с). Так, например, часть окружности
и
. С учетом
(4.21.) уравнения этих отрезков имеют вид
,
. (4.22)
Если граница области расположена выше линии
, то
в этой формуле нужно использовать знак «+», если ниже линии
- использовать знак «–».
Для иллюстрации вычисления интеграла
, (4.23)
рассмотрим область, ограниченную двумя прямыми
двумя параболами
интегрирования по одной координате
,
(рис. 4.4). Полагаем, что число точек
.
,
и
Информация о границах областей задается координатами
точек
. Эти координаты вводятся как исходные
Глава 4 Основные соотношения вариационного метода
90
min
y
max
y
min
y
max
y
О
z
y
),
(11zу
),(33zу
)
,(
2
2
zу
О
z
y
),(
11
zу
),(
22
z
у
а)
б)
Рис. 4.3 Линии границ областей
О
z
y
с)
y
),(
001
zуO
В С А
R
z
расчета ..
1
данные. Затем, вычисляются границы интегрирования по координате y, находятся
ются линиями (4.18) - (4.21), то можно установить, что
дет координатой начала (или конца) одной из границ области.
Аналогично,
кой-то из линий границы. С учетом формул (4.17), определяются
1
,
. Так, как границы области зада-
бу-
также будет координатой начала (конца) ка-