Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. Монография.pdf
2.1. Основные предположения, перемещения и деформации ..
41
),
(ммzyM
tt
t
z
y
хМ
t
yМ
zМ
t
хМ
ttt
zyхМ
t
zМ
t
yМ
t
zМ
t
хМ
,t
,n
x
i
x
itn ×=
,t
n
zy
tt ,
z
y
n
n
,
t
yМ
t
zМ
;)
()(
)(
321
kx
ujx
uixuu ++
=
kxj
xix )(
)()(
321
jjjj
+
+=
)(),
(),(
32
1
xuxuxu
)(),(),(
321
xxx
jjj
),,( zyxu
и
)(xv
и
)(xw
и
xyxzxuzyxu
и
)()()(),,(
321
jj
−+=
)()(
2
xuxv
и
=
)()(
3
x
uxw
и
=
),
,( zyxV
ным сечением (на срединной поверхности поперечного сечения
стержня), в точках
введем локальную прямоуголь-
ную систему координат
касательной и по нормали к профилю стержня, а ось
. Оси
,
направим по
t
- пер-
пендикулярно к сечению (рис. 2.1). Начало локальной прямоугольной системы координат
выбирается так, чтобы
точка, в которой вычисляются компоненты напряженнодеформированного состояния стержня, находилась на оси
Обозначим орты осей
гаем
Орты
,
.
, направляющие косинусы
вычисляются с использованием соотношений (1.1),
,
,
через
,
. Пола-
осей
(1.2)
Для описания перемещений и деформаций используем
векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения
стержня:
где
Оz ,
– перемещения в направлении осей Оx, Оy,
– углы поворота поперечных сечений
, (2.1)
стержня относительно этих осей.
С учетом равенств (2.1) и принятых гипотез, возникаю-
щие при изгибе и растяжении-сжатии перемещения точек в поперечном сечении стержня
,
,
в направле-
нии осей Оx, Оy, Оz, определяются по формулам:
;
.
;
. (2.2)
При кручении, в плоскости поперечного сечения стержня
возникают перемещения
, связанные с поворотом и пе-
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
42
),,( zyxu
к
n
z
yx
wt
z
yx
vz
y
xV
)
,,(
)
,,
()
,
,(
+
=
),,
(,),
,(
zyx
wzyx
v
t
y
M
t
zM
zy
( M
м
м
)
,
nw
tvV
+=
PMP
RvV ×
+=
θ
kjv
P
ξη
+=
)
,(PPz
yP
ξη
,
i
θθ
=
),
(PPzyP
k
zzjy
yrrR
pмpмPPM
)
(
)()
( −+−=
−=
[ ]
[ ]
kyyjzzV
pмpм
)()( −++−−=
θξθη
[ ] [ ]
.)()(
),
,(),,(
kyyjzz
nzyхwtzyхv
pмpм
мммм
−++−−
=+
θξθη
t
y
t
z
профиля .
ремещения
в направлении продольной оси Оx, обу-
словленные с депланацией сечения.
Полагаем
, (2.3)
где
и
(рис. 2.1).
– перемещения в направлении осей
В соответствии с гипотезой неизменяемости контура, при кручении тонкостенный стержень в плоскости поперечного сечения
поворачивается как абсолютно жесткое тело. Следовательно,
для точек
профиля (на линии пересечения средин-
ной поверхности стержня с поперечным сечением) вектор
может быть представлен в следующем виде [29]:
.
Здесь
– вектор перемещения точки
речного сечения (рис. 2.2), которая называется центром кручения;
– компоненты вектора в системе координат Оyz;
– вектор углов поворота сечения вокруг оси проходящей
через полюс
полюса P в точку M профиля.
Выполняя операцию векторного умножения, находим
Приравнивая правые части соотношений (2.3), (2.4), по-
лучаем
Умножая это уравнение скалярно на вектора t и n,
определяем перемещения в направлениях осей
и параллельной оси Ох;
– вектор, проведенный из
. (2.4)
и
:
попе-
2.1. Основные предположения, перемещения и деформации ..
43
[ ] [ ]
tkyytjzzzyхv
pмpммм
⋅−++⋅−−= )()(),,(
θξθη
[ ] [ ]
nkyynjzzzyхw
pмpммм
⋅−++⋅−−= )()(),,(
θξθη
[ ]
ypмz
pмzyмм
t
zztyytt
z
yхv )
()(),,( −−
−++=
θξ
η
[ ]
zpмypмyzмм
tzztyyttzyхw )()(),,( −+−−−=
θξη
),(PPz
yP
)(1x
jθ
=
)(
),(
32
xuxu
==
ξη
Рис. 2.2
Р
М t R
PM
ρ
dω
ds
z
y
a)
O
1
O
М Р O1 ω z y
б)
O
С учетом формул(1.1),(1.2) находим
В дальнейшем полагаем, что полюс
началом системы координат Оxyz. Следовательно
,
,
.
,
. (2.5)
совпадает с
.
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
44
[
]
y
м
zм
zyм
м
tz
t
yx
txu
tx
u
zy
х
v −
++
= )
()(
)(
)
,,
(
132
j
[ ]
zмyмyzмм
tztyxtxutxuzyхw +−−= )()()(),,(
132
j
)
,,
(
zy
хv
),
,( z
yхw
),( yxM
n
t
zM (0=ty
),
(
мм
zyM
ytм
ztм
tzzztzyy −=
+= ,
zzy
y
мм
==
,
[ ]
yмz
мzy
tzt
yxtxutxuzy
хv −++= )
()
(
)()
,,(
132
j
[ ]
zмyмy
z
tzt
yxt
xu
txuzy
хw +−
−= )
()
()(),
,(
132
j
)()(
),()(
),,(
sхzyх
zyxu
к
αβαβ
−
=−=
)(х
β
∫
−
==
s
k
x
shsg
ds
I
ss
zy
0
*
)()
(
)()
(),
(
Ω
ωα
α
∫∫
== dsds
L
ρρΩ
0
=⋅== nRs
PM
)(
ρρ
yмzмzмyм
tztynzny −=+
MO
1
∫
=
L
k
x
shsg
ds
I
0
*
2
)()(
Ω
профиля .
С учетом этих равенств формулы (2.5) принимают сле-
дующий вид:
,
. (2.6)
Так как принята гипотеза о равномерном распределении
касательных напряжений по толщине стенки, можно считать,
что перемещения
,
точек
, лежа-
щих на оси
), такие же, как и для точки
Следовательно, для точек, координаты которых вычисляются по
формулам
, (2.7)
полагая в левой части формул (2.6)
, получим
,
. .8)
В соответствии с теорией тонкостенных стержней Уман-
ского [29, 35, 36] депланация сечения при кручении описывается
функцией
, (2.9)
где
– функция меры депланации;
. (2.10)
Здесь
(L – периметр профиля);
– проекция радиуса
вектора точки M на нормаль n к линии
в точке M (рис.
.
2.2);
– осевой момент инерции поперечного
2.1. Основные предположения, перемещения и деформации ..
45
)(sh
∫∫
==
s
o
M
O
dsdss
ρρω
1
)(
),,(),,()
,,(
zyxuzyxu
zyx
u
к
и
+=
s
х
xyx
zx
uz
y
xu
)(
)
()
()()
(
),
,(
3
21
α
βj
j
−−+=
tt
zMy
x
u
x
∂
∂
=
ε
х
v
y
u
t
xsxy
t
∂
∂
+
∂
∂
==
γγ
tt
zMy
t
dyds =
s
yt∂
∂
=
∂
∂
)(
)()()()(
321
s
dx
хd
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
x
u
α
βjj
−−+=
∂
∂
,
)()(
)()()()
(
)(
)()()(
*
32
32
−−−=
=−
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
shsg
I
sхtxtx
ds
sd
х
y
y
x
y
z
x
y
u
k
x
yz
ttt
Ω
ρβjj
α
βjj
сечения при кручении,
– толщина стенки;
– секториальная характеристика (пло-
щадь) профиля.
При растяжении–сжатии, изгибе и кручении тонкостен-
ного закрытого профиля в направлении нормали к поперечному
сечению возникают перемещения вызванные растяжениемсжатием, изгибом и депланацией сечения при кручении:
.
Подставляя в это равенство выражения (2.2), (2.9), нахо-
дим
. (2.11)
Деформации и напряжения будем вычислять в системе
координат
. Используем формулы теории упругости:
,
. (2.12)
Обратим внимание на то, что по формулам (2.12) вычис-
ляются деформации в точке M и в фиксированной локальной
системе координат
(рис. 2.1, 2.2), следовательно
. В этом случае, в точке M
. С учетом этого равен-
ства и выражений(1.2), (2.10), (2.8), (2.11) получаем
,
(2.13)
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
46
[ ]
yмzм
zy
t
zty
d
х
xd
t
dх
x
du
t
dх
xdu
х
v
−++=
∂
∂ )()
(
)(
132
j
)(
)
()
()(
)(
3
2
1
s
dx
х
d
dx
xd
y
dx
xd
z
dx
xdu
x
α
βj
j
ε
−−+=
[ ]
+−++=
yмzмzyxy
tzty
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
t
)(
)(
)(
1
3
2
j
γ
−−−+
)()(
)()()()(
*
32
shsg
I
sхtxtx
k
x
yz
Ω
ρβjj
0=
=
tt
xzxz
G
γ
t
0==
tttt
zyzy
G
γt
t
yM
t
zM
0==
tt
zy
σσ
xx
E
εσ
=
tt
xyxy
G
γ
t
=
)()(
*
0
seEsE =
)()(
*
0
sgGsG =
t
zM
s
yt∂
∂
=
∂
∂
профиля .
,
Подставляя формулы (2.13) в (2.12), находим выражения
для компонент деформаций
,
(2.14)
.
Учитывая принятые гипотезы безмоментности и неизме-
няемости контура, следует полагать
.
В соответствии с гипотезой ненадавливания, продольные
волокна стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению к ним направлениям, следовательно, нормальные напряже-
ния в направлении осей
,
равны нулю:
.
,
Таким образом, в поперечном сечении тонкостенного
стержня возникают напряжения
Считаем, что модули упругости и сдвига материала яв-
ляются переменными величинами, зависящими от длины дуги s
срединной линии профиля (рис. 2.2):
Формулы (2.14), (2.15) справедливы для точек поперечного сечения стержня, лежащих на оси
выполняется равенство
,
. (2.15)
,
.
, т.к. для них также
.
2.1. Основные предположения, перемещения и деформации ..
47
0=
t
y
ii
zy ,
мiмi
zy ,
i
s
ytiмi
iztiмii
tzzztzyy
−=+= ,
ii
zy ,
t
zM
)
,,(
),,
(
iixiix
zyx
Ezy
x
εσ
=
),
,
()
,
,
(
i
i
xy
i
i
xy
z
y
x
G
zy
x
tt
γ
t
=
)
(
)
()
(
)(
)(
)
,,(
32
1
i
i
ii
i
x
s
dx
х
d
dx
x
d
y
dx
xd
z
dx
x
du
z
yx
α
βj
j
ε
−−
+
=
[ ]
+−++=
yмizмizyiixy
tzty
dх
xd
t
dх
xdu
t
dх
xdu
zyx
t
)()()(
),,(
132
j
γ
−−−+ )(
)()
(
)(
)()(
*
3
2 i
ii
k
x
y
z
s
s
hs
g
I
х
txtx
ρ
Ω
β
jj
0=−
W
U
δδ
U
δ
W
δ
),,(
ii
zyx
[ ]
),,(),,(),,(),,(
2
1
),,(
iixyiixyiixiixiiA
zyxzyxzyxzyxzyxU
tt
γtεσ
+=
[ ]
.),,(),,(),,(),,(
),,(
iixyiixyiixiix
iiA
zyxzyxzyxzyx
zyxU
tt
δγtδεσ
δ
+=
=
Координаты некоторой фиксированной точки на линии
обозначим через (
), а длину дуги, которая соответ-
ствует точке M(
(2.7) –
соотношений (2.14), (2.15), для точек (
) –
. В соответствии с равенствами
. Следовательно, с учетом
), лежащих на оси
,
,
,
.
2.2. Вариационный принцип Лагранжа, внутренние силы
Для расчета напряженно–деформированного состояния
стержневой системы может быть использован вариационный
принцип Лагранжа:
.
Здесь
стемы,
– вариация потенциальной энергии деформации си-
– вариация работы внешних сил.
Потенциальная энергия деформации стержня в точках
Вариация потенциальной энергии деформации
.
(2.16)
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
48
,x
ii
zy ,
+= ),,(),,(),,(
iiii
A
uiiA
zyxuzyxqzyxW
δδ
),,(),,(),,(),,(
iiii
A
wiiii
A
v
zyxwzyxqzyxvzyxq
δδ
++
A
w
A
v
A
u
qq
q
,,
Оx
t
yM
t
z
M
[
]
[ ]
[ ]
.)()()()(),,(
)()()()(),,(
)()()(
)()(),,(),,(
132
132
3
21
zмiyмiyzii
A
w
yмizмizyii
A
v
ii
iii
A
uiiA
tztyxtxutxuzyxq
tztyxtxutxuzyxq
sхxy
xzxuzyxqzyxW
+−−+
+−+++
+−−
−+=
δjδδ
δjδδ
αδβδj
δjδδ
122=+
z
y
tt
A
w
A
v
A
u
qqq ,,
AAA
qqq
321
,,
yO
z
O
AA
u
qq1=
z
A
y
AA
v
tqtqq
32
+=
y
A
z
AA
w
tqtqq
32
−=
[
] [ ]
[ ]
.)()(
),,(
)()(),,()(
)(
)()()(),,(),,(
133
122
3211
мiii
A
мiii
A
i
iiii
A
iiA
yxxuzyxq
zxxuzyxqsх
xyxzxuzyxqzyxW
δjδ
δjδαδβ
δjδjδδ
++
+−+−
−−+=
C
l
∫ ∫∫
=
C
l A
A
dldAUU
δδ
∫ ∫∫
=
C
l A
A
dldAWW
δδ
профиля .
В точках (
), вариация работы внешних сил, рас-
пределенных по длине и по площади поперечных сечений
стержня
, (2.17)
где
– проекции внешних сил, действующих в попе-
речном сечении с площадью A, на оси координат
.
Подставляя в (2.17) выражения для перемещений (2.8),
(2.11), получим
Учитывая, что
проекциями внешних сил
и вычисляются по формулам
, а величины
на оси координат Оx,
,
, вариацию работы внешних (2.18) можно пред-
ставить в следующем виде:
,
(2.18)
являются
(2.19)
,
,
,
Для стержня длиной
, площадью поперечного сечения A
,
. (2.20)
2.2. Вариационный принцип Лагранжа,внутренние силы ...
49
∫∫
A
A
dAU
δ
∫∫
A
A
dAW
δ
∫∫
∑
=
=
A
i
I
i
i
i
A
A
g
z
y
x
U
dA
U
1
)
,
,
(
δ
δ
∫∫
∑
=
=
A
i
I
i
ii
AA
gzyxW dAW
1
),,(
δδ
i
g
=
=
∫
∑
=
l
i
I
i
i
iA
dl
gzyx
UU
1
)
,,(
δδ
[
∫
∑
+
=
C
l
I
i
iix
iix
z
yx
zy
x
1
),
,
()
,,
(
δε
σ
]
}
dlg
zyxzyx
iiixyiixy
t
t
),,()
,,(
δγt
∫
∑
=
=
=
C
l
i
I
i
iiA
dl
gzyxW
W
1
),,(
δδ
[ ]
{
∫
∑
+
−−+=
=
C
l
I
i
ii
ii
A
s
хxyxzx
q
1
321
1
)()
()()(
),,
(
αδβδjδjδ
[ ]
[ ]
}
}
.)()(),,(
)()(),
,(
13
3
122
dlgy
xxuzyxq
zx
xuzyxq
iмiii
A
мiii
A
δjδ
δjδ
++
+−+
∫∫
∑
=
=
=
А
I
i
iii
AA
gzyxqdA
xqxF
1
111
),,()
()(
∫∫
∑
=
==
А
I
i
iii
AA
gzyxqdAxqxF
1
222
),,()()(
∫∫
∑
=
==
А
I
i
iii
AA
gzyxqdAxqxF
1
333
),,()()(
Интегралы
,
будем вычислять с ис-
пользованием численного интегрирования. При этом
,
Здесь
– весовые множители, зависящие от используе-
. (2.21)
мой для численного интегрирования квадратурной формулы,
размеров и формы поперечного сечения.
С учетом равенств (2.19), (2.16), (2.20) (2.21), получается
+
,
Полагая в последнем выражении
,
,
,
Глава 2 Элементы теории тонкостенных стержней закрытого
50
{ }
,),,(),,(
))()(()(
1
23
231
∑
∫∫
=
−=
=−=
I
i
iмiii
A
мiii
A
А
AA
gzzyxqyzyxq
dAzxqyxqxm
∫∫
∑
=
=
=
А
I
i
i
iii
A
A
gz
zy
xq
dA
z
xq
xm
1
1
1
2
),
,
()
()(
∫∫
∑
=
−
==
А
I
i
iiii
A
A
gy
zyxq
dAyxq
xm
1
1
13
),,()
()
(
∑
∫∫
=
=
=
I
i
iiii
A
А
A
B
gs
z
y
x
q
dAs
x
qx
m
1
11
)
(
),
,
(
)
()
(
)(
α
α
321
,, FFF
32
1
,, mmm
B
m
[
∫
+
++=
C
l
xux
FxuxFxu
xFW
)()
()()()(
)(
33
2211
δ
δδδ
]
dlх
xm
x
xmx
xm
x
xm
B
)
()
(
)(
)()(
)
()
(
)(
3
32
21
1
δβ
δjδj
δj
−+
++
kkk
FFF
321
,,
k
x
j
Bjj
j
M
MM
M ,
,,
32
1
j
x
[ ]
[ ]
xMxMxMxM
xuFxuFxuF
W
J
j
j
jBjjjj
jj
K
k
ikkkkkL
.)()()()(
)()()
(
1
3
32211
1
222211
∑
∑
=
=
−+++
+++=
δβδjδjδj
δδδδ
[
∫
+++=
C
l
xuxFxuxFxuxFW
)()()()()()(
3
32211
δδδδ
]
dlхxmxxmxxmxxm
B
)()()()()()()()(
332211
δβδjδjδj
−+++
профиля .
,
,
,
вариацию работы распределенных по длине стержня внешних
сил
, моментов
и бимомента
можно
представить в следующем виде:
.
Аналогично, для сосредоточенных сил
ложенных в точках продольной оси стержня с координатой
и моментов
динатой
, вариация работы сосредоточенных внешних сил
, действующих в точках с коор-
Следовательно, вариация работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил
, при-
,
+