Философские проблемы конкретных научных дисциплин. Учебник для аспирантов нефилософских специальностей

Рекомендуемая литература

г) термины, обозначающие методы научного познания, типа «экс-

перимент», «аксиоматизация».

3. Чем отличаются нормы науки от идеалов науки:

а) нормы – это пожелания, которые не могут быть полностью достижимыми;

б) идеалы – это требования, выполнение которых обязательно; в) нормы и идеалы – это пожелания, которые не могут быть пол-

ностью достижимыми;

г) нормы – это требования, выполнение которых обязательно.

4. Может ли естественнонаучная теория сводиться:

а) только к объяснению фактов; б) только к предсказанию новых фактов;

в) только к систематизации знаний; г) к объяснению и предсказанию фактов, систематизации знаний.

5.Кто из философов утверждал, что в исторической науке нет законов, как в естественных науках, а есть задача обосновать связь между убеждениями, мотивами и поступками тех или иных людей, известных в истории (например, Петр I):

а) К. Поппер; б) К. Гемпель; в) У. Дрей; г) Т. Кун.

Рекомендуемая литература

1.Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики: учебник. М., 2002.

2.Вайнберг С. Первые три минуты. М., 2019.

3.Дойч Д. Структура реальности. Наука параллельных вселенных. М., 2018.

4.Рейхенбах Г. Философия пространства и времени. М., 1985.

5.Философия науки. Общий курс / под ред. С. А. Лебедева. М., 2007.

81

Глава 3.

ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ КОНКРЕТНЫХ НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

3.1. Философские проблемы математики

Философия математики

Пифагореизм и математический атомизм. Пифагор Самосский (около 585 – 500 до н. э.) первым предложил четко выраженную философскую концепцию математики. В пифагореизме считалось, что сущностью вещей являются числа и отношения между числами. Однако, по мнению пифагорейцев, числа – это не абстракции, как их понимают сегодня, а некоторые точки, частицы, в которых реализуются числа. Аристотель следующим образом описал пифагореизм: «В числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходного с тем, что существует и возникает, – больше, чем в огне, земле и воде (например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то – душа и ум, другое – удача…); так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по природе своей явно уподобляемо числам и что числа – первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число»1. Пифагорейцы полагали, что все объекты в природе состоят из четверок: точка, линия, поверхность, тело. Очевидно, что вся эта четверка принадлежит геометрии. После того как пифагорейцы свели астрономию (в античном понимании) и музыку к числу, оказалось, что астрономия и музыка связаны с

1 Аристотель. Метафизика // Сочинения: в 4 т. М.: Мысль, 1976. Т. 1. С. 75–76.

82

3.1. Философские проблемы математики

арифметикой и геометрией, т. е. все перечисленные дисциплины считались математическими.

Несмотря на сомнительную онтологию, пифагорейцы фактически впервые сформулировали мысль, которая подтверждалась последующим развитием науки, о том, что свойства вселенной и окружающей природы можно выразить на языке математики.

Математический атомизм связан с философией атомизма. Демокрит признавал существование пустоты, отрицал возможность геометрических построений в пустоте. Он рассматривал геометрические фигуры как материальные тела, состоящие из атомов, т. е. не рассматривал их как математические абстракции. Отрезок, по Демокриту, не может бесконечно делится, так как он состоит из атомов. Если делить отрезок до бесконечности, то последние элементы процесса деления не имеют никакой длины (т. е. длина нулевая), но если все члены деления не будут иметь длины, тогда отрезок будет иметь нулевую длину. В противном случае процесс деления не будет

завершенным.

Философия математики Аристотеля. Философия математики Аристотеля построена прежде всего на критике платонизма. По мнению Аристотеля, Платон утверждает, что числа существуют двух родов: одно из них, которое содержит «предшествующее» и «последующее», – это идея (эйдос), а другое – математическое, помимо идей и чувственно воспринимаемых вещей.

Математические числа счисляются так: за «одним» следует «два» через прибавление к предыдущему «одному» другого «одного», затем «три» через прибавление еще «одного», и остальные числа таким же образом.

Число же, принадлежащее к эйдосам, счисляется так: за «одним» следуют другие «два» – без первого «одного», а тройка – без двойки, и остальные числа таким же образом.

Основное возражение Аристотеля против чисел самих-по-себе (т. е. чисел, принадлежащих эйдосам) состоит в следующем.

«Если все единицы сопоставимы и неразличимы, то получается математическое число, и только оно одно, и в таком случае идеи быть [такими] числами не могут. В самом деле, какое же это будет число –

83

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

сам-по-себе-человек или само-по-себе-живое существо или какой-ли- бо другой из эйдосов? Ведь идея каждого предмета одна... Между тем чисел, подобных друг другу и неразличимых, – беспредельное множество...»1.

То есть идея любого предмета должна быть одной. Тогда как единиц или двоек и т. д. – беспредельное множество.

«Если же идеи не числа, то они вообще не могут быть. В самом деле, из каких начал будут происходить идеи? Число, [говорят], получается из единого и из неопределенной двоицы (синоним “большого и малого”), и их принимают за начала и элементы числа, но расположить идеи нельзя ни раньше чисел, ни позже их (т. е. чисел как идей. – Авт.)»2.

«Если же единицы несопоставимы, и несопоставимы таким образом, что ни одну нельзя сопоставить (т. е. сложить. – Авт.) ни с какой другой, то это число не может быть ни математическим (ведь математическое число состоит из неразличимых единиц…), ни числом-эйдо- сом. В этом случае первая двойка не будет получаться из единого и неопределенной двоицы, а затем и так называемый числовой ряд – двойка, тройка…»3.

«...Если все единицы несопоставимы друг с другом, то не могут существовать ни сама-по-себе-двойка, ни сама-по-себе-тройка... В самом деле... необходимо, чтобы число счислялось посредством прибавления, например: двойка – через прибавление к “одному” другого одного... а если это так, то возникновение чисел не может быть таким, как они считают, – из двоицы и единого. Ибо [при счете через прибавление] двойка оказывается частью тройки, тройка – частью четверки...

Между тем четверка получалась [у них] из первой двойки и неопределенной двоицы...»4.

Аристотелевская позиция о природе математических предметов такова: «...ничто общее не существует отдельно, помимо единичных вещей»5; «...общее следует выводить через приведение сходных еди-

1Аристотель. Метафизика. С. 333.

2Там же. С. 333–334.

3Там же. С. 334.

4Там же. С. 335.

5Там же. С. 220.

84

3.1. Философские проблемы математики

ничных случаев... как дело обстоит с одной из сходных [вещей], так оно обстоит и с остальными»1.

У Аристотеля только начала формироваться теория сходства. Как отделить свойство от вещи? Этому помогает аристотелевское разде-

ление первой и второй сущности.

Философия математики Декарта и Лейбница. Влияние методологии математического познания лучше всего изложено в «Правилах для руководства ума» Р. Декарта.

Вправиле I формулируется цель научного познания: выносить твердые и истинные суждения о предмете исследования.

Вправиле II Декарт утверждает, что всякая наука есть достоверное и очевидное познание, в результатах такого познания невозможно сомневаться, он тем самым отвергает правдоподобное познание. Скорее всего, Декарт имеет в виду под правдоподобными не суждения о вероятностных событиях, а те спорные мнения, которые высказывали, например, философы или теологи.

Правило III: «Касательно обсуждаемых предметов следует отыскивать не то, что думают о них другие или что предполагаем мы сами, но то, что мы можем ясно и очевидно усмотреть или достоверным образом вывести, ибо знание не приобретается иначе»2.

Правило IV: «Для разыскания истины вещей необходим метод»3. Под ним он имеет в виду достоверные и легкие правила. Математика дает Декарту примеры достоверного и ясного познания.

Правило V: «Весь метод состоит в порядке и расположении тех вещей, на которые надо обратить взор ума, чтобы найти какую-либо истину»4. Но сам порядок при исследовании важных предметов может оказаться столь сложным и запутанным, что требуется новое правило.

Правило VI: «Для того чтобы отделять самые простые вещи от запутанных и исследовать их по порядку, необходимо в каждом ряде вещей, в котором мы прямо вывели некоторые истины из других, ус-

1Аристотель. Топика // Сочинения: в 4 т, М.: Мысль, 1978. Т. 2. С. 371.

2Декарт. Правила для руководства ума // Сочинения: в 2 т. М.: Мысль, 1989. Т. 1. С. 82.

3Там же. С. 85.

4Там же. С. 91.

85

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

матривать, что в нем является наиболее простым и насколько удалено от этого все остальное...»1. В частности, Декарт говорит, что не нужно начинать исследование с трудных вещей.

Правило VII: «Чтобы придать науке полноту, надлежит все, что служит нашей цели, вместе и по отдельности обозреть в последовательном... движении мысли и охватить достаточной и упорядоченной энумерацией»2.

В правиле XI, в частности, констатируется: «...для интуиции ума нам необходимы два условия, а именно чтобы положение понималось ясно и отчетливо и затем чтобы оно понималось все сразу, а не в последовательности. Дедукция же... не может быть осуществлена вся сразу – она включает в себя некое движение нашего ума, выводящего одно из другого...»3.

Далее важно зафиксировать идею Г. В. Лейбница о необходимой истине, под которой он понимал суждения, которые доказуемы лишь с помощью либо закона запрета противоречия, либо закона тождества.

Кант, аналитические и синтетические суждения

Априорные знания и необходимость. Явное определение априорного знания И. Канта является отрицательным: это знание, которое не зависит от опыта и чувственных впечатлений.

Суждение является априорным, если данные (свидетельства), на основе которых оно формируется, не являются эмпирическими. Необходимость, как и всеобщность, ничего не добавляет к содержанию суждения, а является признаком априорного знания, выраженного в суждении. Из науки примерами таких суждений, по Канту, являются

положения математики (геометрии и арифметики)

Определение аналитического. Кант определяет аналитическое суждение как суждение, в котором предикат неявно содержится в понятии субъекта суждения. Пример такого суждения: Все города есть населенные пункты, так как в определение понятия «город» входит термин «населенный пункт».

1Декарт. Указ. соч. С. 92.

2Там же. С. 96.

3Там же. С. 111.

86

3.1. Философские проблемы математики

Заметим, что, по Канту, общеотрицательные суждения не могут быть аналитическими, так как в них субъект суждения исключает предикат суждения. Например, в суждении Каждый слон не есть муха предикат «муха» не содержится в субъекте.

Кант выделяет 12 различных форм суждений. Отрицательные суждения исключаются из аналитических. Но имеются также суждения другой логической формы, которые возможно сформулировать в других логических языках. Кант предложил критерий аналитичности суждений: закон запрета противоречия. Например, будем исходить из общеутвердительного суждения: все люди есть смертные. Будем считать это суждение истинным. Допустим, что это суждение ложно:

не верно, что все люди есть смертные. Тогда последнее эквивалентно суждению: некоторые люди не есть смертные. Но суждения все люди есть смертные и некоторые люди не есть смертные находятся в логическом отношении противоречия, т. е. они не могут быть оба истинными. Критерий аналитичности суждений не ограничивается суждениями субъектно-предикатной формы, он распространяется и на суждения, сформулированные в других логических языках (например, в языке логики высказываний или в языке первопорядковой логики).

Заметим, что в истории философии аналитические суждения встречались под другими именами. Например, Лейбниц называл их

истинами разума.

Синтетические и аналитические априорные истины. По Канту, синтетические суждения – это эмпирические суждения (суждения опыта). Например, в суждении некоторые тела имеет зеленый цвет

предикат «зеленый цвет» мы можем приписать субъекту на основе опыта. По мнению Канта, аналитические априорные суждения покоятся на другом принципе, а именно на принципе, согласно которому пространство и время являются априорными формами созерцания. Известно, что, согласно Канту, пространство и время, на которых покоятся чувственные созерцания математики, являются априорными (независимы от опыта и предшествуют опыту), т. е. пространство – априорная форма внешнего чувственного созерцания, а время – априорная форма внутреннего чувственного созерцания.

87

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

Все суждения математики, по Канту, – это априорные синтетические суждения, в которых синтез субъекта и предиката основывается на чувственном созерцании пространства (в геометрии) и на чувственном созерцании времени (в арифметике). В арифметике последовательность счета предполагает последовательность моментов времени. Именно априорность пространства и времени дает математическим суждениям, по мнению И. Канта, всеобщность и необходимость.

Проблема универсалий. Критерий существования Куайна

Традиционное обсуждение проблемы универсалий. Проблему универсалий четко сформулировал Порфирий: «...я не стану говорить относительно родов и видов, существуют ли они самостоятельно, или же находятся в одних только мыслях, и если они существуют, то тела ли это, или бестелесные вещи, и обладают ли они отдельным бытием, или же существуют в чувственных предметах и опираясь на них…»1.

Традиционная проблема универсалий формулируется в категориях «единичное» (единичные имена) – «общее» (общие, т. е. универсальные).

Аристотель: «...ведь мы не можем принять, что есть некий Дом помимо отдельных домов»2.

Тогда чему соответствуют общие имена? Единичные (конкретные, а не абстрактные) соответствуют единичным предметам.

Термин «универсалия» (лат universus – целый, полный, общий) стал широко использоваться в XIII в.

Проблема универсалий является осмысленной, если признается, что:

1.В общих именах выражаются общие понятия: конкретные обобщают классы предметов, абстрактные представляют свойства классов.

2.Объем общих конкретных понятий состоит из множества предметов, объем абстрактных понятий состоит из признаков предметов.

1Боэций. Комментарий к Порфирию // «Утешение философией» и другие трактаты. М.: Наука, 1990. С. 23.

2Аристотель. Метафизика. С. 110.

88

3.1. Философские проблемы математики

Существуют ли универсалии, т. е. те объекты, которые каким-то образом соответствуют общим именам (свойства, отношения)?

Реалисты отвечали утвердительно на вопрос: универсалии (те предметы, о которых говорят общие имена) реально существуют. Они существуют самостоятельно, независимо от единичных вещей.

Умеренный реализм, сформулированный Аристотелем, полагает, что универсалии не имеют самостоятельного существования, а существуют в виде существенных свойств единичных предметов. Например, «человек вообще» – это совокупность свойств, присущих отдельным людям.

Платонизм, в основе которого лежит теория тождества, по-свое- му понимал доказательство. Почему геометрическое доказательство, например, о каком-то свойстве треугольника остается верным для всех возможных треугольников? Ответ такой: доказательство относится не к этому конкретному треугольнику, а к треугольнику вообще (единому и неделимому), и его свойства воплощены во всех возможных эмпирических (нарисованных) треугольниках.

Номиналисты полагают, что общих предметов в реальности нет, но в языке имеются общие имена, но нет какого-то общего предмета, соответствующего этому имени.

Концептуалист отрицает существование универсалий вне ума, они существуют только в уме в виде содержания понятий, но ему, по-

нятию, в реальности не соответствует какой-то общий предмет.

Современное обсуждение проблемы универсалий. Традиционное обсуждение универсалий велось на основе имен естественного языка: «дом», «Петр», «белизна».

У. Куайн: «Обыденный язык действительно остается фундаментальным, и не только генетически, но также как средство окончательного прояснения, более искусственного употребления, поскольку именно в нем разрабатывается перефразировка»1.

Но, с другой стороны, в искусственных языках математики, логики, теории множеств допускаются такие выражения, как предикаты

1Куайн У. Логика и овеществление универсалий // С точки зрения логики. М.: Канон+, 2010. С. 156.

89

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

(представляющие такие сущности, как свойства и отношения между объектами), множества, классы (в теории множеств), числа, функции (в математике).

Три главных средневековых точки по вопросам универсалий модифицированы следующим образом:

–реализму соответствует логицизм (Фреге, Рассел, Уайтхед, Черч, Карнап);

–концептуализму – интуиционизм (Пуанкаре, Брауэр, Вейль);

–номинализму – формализм (Гильберт и др.).

Куайновский критерий существования объектов. У. Куайн пи-

сал: «Фактически в онтологическом вопросе имена вообще не играют никакой роли... имена могут быть преобразованы в дескрипции, а Рассел показал, что дескрипции можно устранить. Все, что мы говорим с помощью имен, может быть сказано в языке, который вообще избегает имен. Принимать за сущность – просто-напросто значит считать значением переменной... В высказывании “Некоторые собаки белые” говорится, что некоторые вещи, являющиеся собаками, суть белые; и для того, чтобы это высказывание было истинным, вещи, которые охватывает связанная переменная “нечто”, должны включать некоторых белых собак, но не должна включать вид собак или белизну... Знаменитые средневековые дебаты об универсалиях вспыхнули с новой силой в современной философии математики... теперь у нас есть более четкий стандарт, согласно которому мы решаем, с какой онтологией связывает себя та или иная теория или форма дискурса. Теория обязывает к тем и только к тем сущностям, на которые должны быть способны указывать связанные переменные этой теории, для того чтобы сделанные в ней утверждения были истинными»1.

Проблема обоснования дифференциального исчисления. Теория действительных чисел

Обоснование понятия «бесконечно малое». После создания дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем стало возможным по единому алгоритму решать все задачи, с

1 Куайн У. О том, что есть // С точки зрения логики. М.: Канон+, 2010. С. 17–18.

90