Философские проблемы конкретных научных дисциплин. Учебник для аспирантов нефилософских специальностей

3.1. Философские проблемы математики

которыми сталкивались математики, например Кеплер, Барроу, Ферма (вычисление площадей криволинейных фигур, проведение касательной к произвольной прямой, нахождение максимумов и минимумов функций).

В теории Лейбница основным понятием было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Фактически Лейбниц не различал понятий дифференциала и приращения функции.

(1)у = f(x).

(2)y + dy = f(x + x).

(2)– (1) есть dy = f(x + x) – f(x).

dy ≠ 0, но dy настолько мало, что, умножив его на конечное число, получим бесконечно малую величину. Однако это противоречит аксиоме Архимеда:

a b (0 < a < b n(na > b)). Рассмотрим пример.

у = х2.

y + dy = (x + dx)2 = x2 + 2xdx +dx2. Откуда получим:

dy = 2xdx + dx2.

Величину dx2 отбрасывалась как очень маленькую по отношению к величине 2xdx. В результате Лейбниц считал правильным результатом такой:

dy = 2xdx.

Но эта процедура противоречива (dy = 2xdx + dx2). Если допустить, что dx = 0, то и dy = 0 в dy = 2xdx. Но если dх ≠ 0, то мы не должны отбрасывать dx2, если желаем быть строгими.

Несмотря на противоречивость процедуры вычисления дифференциала функции, она позволяла (после отбрасывания всех членов dх выше первой степени) получить точные решения достаточно широкого класса задач. Например, операция интегрирования, как обратная к дифференцированию, позволяла вычислить площадь любой фигуры, ограниченной линиями функций.

Алгоритм Ньютона базировался на понятии флюксии (т. е. производной в современной терминологии) и имел то же противоречие.

91

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

Такая противоречивость процедуры сигнализировала о неразработанности понятийного аппарата дифференциального и интегрального исчисления. Перечислим основные понятийные изъяны диффе-

ренциального и интегрального исчисления.

Метафизическое обоснование. Под метафизическим обоснованием имеется в виду привлечение каких-то философских или натурфилософских понятий, аналогий для объяснения, оправдания сугубо математических понятий.

Лейбниц использовал, в частности, физические аналогии для оправдания бесконечно малых величин, отличных от нуля. «Нет необходимости понимать здесь бесконечное в строгом смысле слова, но лишь в том смысле, в каком в оптике говорят, что солнечные лучи исходят из бесконечно удаленной точки и потому считаются параллельными. И когда имеются различные порядки бесконечного или бесконечно малых, то понимаются они в том же смысле, в каком земной шар считается точкой по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд, а шарик в наших руках – точкой по сравнению с полудиаметром земного шара, так что расстояние от неподвижных звезд является бесконечно бесконечным или бесконечностью бесконечности по отношению к диаметру шарика»1.

Ньютон отвергал пользу метафизических рассуждений для решения конкретных научных проблем, в частности математических. Ньютон (как и его последователи Маклорен и Тейлор) понимал дифференциальное исчисление не как раздел математики, изучающий функции и имеющий прикладные возможности, в частности в механике, но как теоретическую кинематику (учение о движении). Он отличает физическую задачу от ее математического оформления, но математический аппарат у него имеет одну эмпирическую интерпретацию. Отсюда ограничения исчисления: «...каждая непрерывная функция имеет производную, так как всякое движение... имеет скорость, и что всякое приближение к пределу монотонно, так как движущееся тело может приближаться к некоторой точке только с одной стороны»2.

1Избранные отрывки из математических сочинений Г. И. Лейбница // Успехи математических наук., 1948. Т. 3, вып. 1. С. 154.

2Беляев Е. А., Перминов В. Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. С. 42.

92

3.1. Философские проблемы математики

Постепенно отказались от такого понимания исчисления. Лагранж (1736–1813) – создатель аналитической механики и один из творцов вариационного исчисления – пришел к мысли, что дифференциальное исчисление не может быть обосновано посредством понятий механики. «Вводить в исчисление, предметом которого являются лишь алгебраические величины, движение, значит вводить идею ему чуждую и принуждающую рассматривать эти величины как линии, пробегаемые движущимся телом. С другой стороны, следует признать, что мы отнюдь не обладаем четким понятием о том, что есть скорость точки в любое мгновение, в случае, когда скорость переменная»1.

О. Коши в работе «Алгебраический анализ» (1821) обосновал дифференциальное исчисление на основе понятия предела, что вывело

математический анализ на более высокий уровень строгости.

Обоснование теории действительных чисел. Оказалось, что понятие действительного числа имеет круг в обосновании. С одной стороны, Коши опирался на понятие действительного числа при изложении теории пределов, с другой – иррациональные числа определял как предел рациональных.

Кроме этого, было замечено, что при доказательстве некоторых теорем анализа (в исследованиях Римана и Дирихле по тригонометрическим рядам) требуется понятие актуальной бесконечности. В частности, Больцано указал на это при доказательстве теоремы о существовании верхней грани ограниченного множества. Он также указал, что при оперировании бесконечными числами требуются другие правила, чем в привычной нам арифметике.

Позже:

–Дедекинд посредством теории сечений дал обоснование действительных чисел независимо от понятия предела;

–Кантор сформулировал теорию трансфинитных чисел и действительных чисел и законы оперирования с этими бесконечными величинами;

1Цит. по: Юшкевич А. П. О возникновении понятия, об определенном интеграле Коши // Труды Института истории естествознания и техники. 1947. Вып. 1. С. 387.

93

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

–возникло аксиоматическое построение теории действительных чисел.

Философия математики в XIX веке Философские проблемы неевклидовой математики

Философия математики в XIX в. В XVIII в. в философии математики преобладали математическая натурфилософия и эмпиризм. Первая пыталась связать математически понятия с прообразами (некоторыми сущностями) в реальности, или с некоторыми характеристиками бытия. П. Флоренский следовал этой философии математики: с многомерным пространством он связывал некоторые физические (мистические) возможности.

Эмпиризм обосновывает математические понятия не из умозрительных представлений о природе, а на основе описаний конкретных наук.

Вначале XIХ в. в философии математики имели место эмпиризм

иаприоризм. Дискуссии в философии математики были связаны прежде всего с неевклидовой геометрией.

11 февраля 1826 г. профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад о новой геометрии. В этой геометрии отрицалась известная аксиома Евклида о параллельных прямых. При этом новая геометрия должна была быть непротиворечивой, так как аксиома о параллельных прямых независима от остальных. В дальнейшем эта геометрия применялась в самой математике для решения сугубо математических задач и в теоретической физике. Но она оказала огромное влияние также на философию математики.

ВXIX в. математики истолковывали объекты арифметики (в особенности иррациональные и мнимые числа) как мысленные конструкции. Это значит, что в их обосновании надо опираться на логику, а не на опыт. Геометрия воспринималась чисто эмпирически, как наука о реальном, физическом пространстве.

Кант предложил априористское истолкование арифметики и геометрии. Согласно этому взгляду, система понятий геометрии и арифметики не отражает структуру космоса, как полагали пифагорейцы, и

94

3.1. Философские проблемы математики

не извлекается из опыта посредством процедур абстрагирования. Позиция Канта оказала огромное влияние на обсуждение философских вопросов математики.

В конце XIX в. кантианцы (А. Краузе, Л. Нельсон, П. Наторп, Е. Кассирер и др.) пытались согласовать неевклидову геометрию с философией Канта.

Во-первых, по их мнению, противопоставление неевклидовой геометрии кантовским взглядам на пространство неверно. Кант допускал – кроме трехмерного пространства – другую мерность пространства. В ранних работах Кант объяснял факт трехмерного пространства воздействием тел друг на друга по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния между взаимодействующими телами. И что возможны другие миры, в которых существуют другие законы взаимодействия сил: «Наука обо всех этих возможных видах пространства, несомненно, представляла бы собой высшую геометрию, какую способен построить конечный ум»1. С другой стороны, в «Критике чистого разума» Кант отмечал: «Нет никакой необходимости ограничивать способ созерцания в пространстве и времени чувственностью человека»2.

Во-вторых, кантианцы считают, что, так как Кант полагал, что математические суждения не аналитические, а синтетические, то возможно построение других геометрий3.

Внутренние потребности математиков вынуждали их использовать комплексные числа и неевклидову геометрию. Ввиду отсутствия прообразов последних в реальности комплексные числа называли

мнимыми, а свою геометрию Лобачевский назвал воображаемой.

Философские проблемы неевклидовой математики. В математике XIX в. проводилось различие между арифметикой и геометрией относительно опыта. Считалось, что арифметические понятия не име-

1Кант И. Мысли об истинной оценке живых сил // Сочинения: в 6 т. М.: Мысль, 1963. Т. 1. С. 71.

2Кант И. Критика чистого разума // Сочинения: в 6 т. М.: Мысль, 1964. Т. 3. С. 152.

3Нельсон Л. Замечания о не-эвклидовой геометрии и о происхождении математической достоверности // Новые идеи в математике. Пг.: Образование, 1914. Сб. 8. С. 14, 17–18.

95

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

ли эмпирических прообразов, тогда как геометрия описывала факты действительности или высказывала гипотезы о мире.

К. Ф. Гаусс писал: «Наше знание истин геометрии совершенно лишено того полного убеждения в их необходимости... которое принадлежит учению о величинах; мы должны скромно сознаться, что если число есть только продукт нашего духа, то пространство и помимо нашего духа имеет реальность, которой мы не можем a priori предписывать законы»1.

Лобачевский тоже считал геометрию опытной наукой и что обоснование ее должно быть в опытным, т. е. в точном измерении. Другими словами, представителям науки более убедительным казался в геометрии эмпиризм, а не априоризм.

Б. Риман в 1854 г. выдвинул концепцию n-мерного геометрического многообразия. В этой концепции геометрии Лобачевского и Бояи – это трехмерные геометрии с отрицательной кривизной. Другими словами, эти геометрии были узаконены с точки зрения внутренних потребностей математики.

Ф. Ланге и другие последователи Канта выдвинули метафизическую мысль о том, что неевклидовы геометрии есть возможные геометрии «мира самого по себе».

А. Пуанкаре, с одной стороны, понимал, что чисто эмпирическое обоснование геометрии невозможно, с другой – он не принимал кантовского априоризма, в том числе во взглядах на происхождение аксиом: «…геометрические аксиомы не являются ни синтетическими априорными суждениями, ни опытными фактами. Они суть

условные положения (соглашения): при выборе между всеми возможными соглашениями мы руководствуемся опытными фактами, но самый выбор остается свободным и ограничен лишь необходимостью избегать всякого противоречия. Поэтому-то постулаты могут оставаться строго верными, даже когда опытные законы, которые определяли их выбор, оказываются лишь приближенными... Никакая геометрия не может быть истинна, чем другая; та или иная гео-

1Цит. по: Васильев А. В. Николай Иванович Лобачевский. Казань: Тип.-лит. Императорского ун-та, 1894. С. 11–12.

96

3.1. Философские проблемы математики

метрия может быть только более удобной»1; «Среди окружающих нас предметов есть такие, которые часто испытывают перемещения...

Это – тела твердые... если бы не было твердых тел в природе, не было бы и геометрии»2.

Лобачевский и Риман полагали, что выбор той или иной геометрии как геометрии реального пространства решается практикой измерения, т. е. в опыте. Гельмгольц, не соглашаясь с априористским пониманием евклидовой геометрии, придерживался эмпиристских взглядов. В реальности существуют жесткие тела, что позволяет создать жесткие масштабы измерения. Геометрия Евклида и появилась в результате измерений жестких тел. Если имеются другие физические миры, в которых существуют предметы не жесткие, то для таких миров требуется другая геометрия.

Пуанкаре полагал, что геометрия как математическая структура не может иметь физического значения и эмпирической проверки. Проверяет адекватность миру, по мнению Пуанкаре, не сама по себе геометрия, а система «геометрия + физика» (Г + Ф). Но такая система не требует единственной геометрии, т. е. можно сделать поправку (Г1 + Ф1), и эта система будет так же адекватно описывать физическую реальность. С одними и теми же физическими связями в мире совместимы после поправок любые геометрии. Евклидову геометрию, по мнению Пуанкаре, используют, так как она наиболее проста. Сама по себе простота – неотчетливое понятие: Эйнштейн в общей теории относительности использовал представления, связанные с римановой геометрией.

Итак, с одной стороны существует множественность геометрий, а с другой – имеются различные опыты описания физического пространства (например, евклидово и риманово описание). Тогда можем допустить, что какие-то объективные характеристики физического пространства вынуждают исследователя выбирать ту или иную геометрию для описания той или иной стороны физического пространства.

1Пуанкаре А. Наука и гипотеза // О науке. М.: Наука, 1983. С. 40–41.

2Там же. С. 47–48.

97

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

Г. Рейхенбах в 1920-х гг. в книге «Философия пространства и времени» пытался выявить эти объективные характеристики физического пространства1:

1.Геометрия определяется метрикой. В евклидовой геометрии допускается, что эталон остается неизменным при перемещении его в пространстве и во времени. Это оправдано эмпирическим поведением твердых тел в физическом пространстве, и оправдано использование геометрии в обыденной жизни и технике.

2.Выбор единицы длины и правил изменения длины при движении (правил конгруэнтности) не зависит от опыта. Но принятие тех или иных единиц длины и правил изменения длины зависит от эмпирических ситуаций. Вопрос принятия в науке той или иной геометрии зависит от особенностей (характера) физических законов.

3.Евклидова геометрия не имеет никаких теоретических преимуществ перед другими геометриями. Она удобна, так как ее наглядность объясняется близостью к обыденному опыту. Наглядность нам как бы подсказывает заключение наподобие следующих: что две прямые пересекаются в одной точке; что если прямая пересекает окружность в одной точке, то, продолжая эту прямую, мы пересечем окружность и в другой точке; что прямая кратчайшее расстояние между точками и т. д.

4.Надо различать структуру перцептивного восприятия как результат непосредственного восприятия и структуру, задаваемую геометрией (как наукой). В структуре перцептивного понятия нет точных ромбов, треугольников и т. д. Идеальная модель структуры пространства отличается от перцептивной структуры. Перцептивное пространство покоится на опыте, но не сводится к нему. Идеальная модель не совпадает с опытными данными. Но выводить наглядность геометрии из опытных данных, как это делают эмпирики, неправильно, так как это не позволяет объяснить нормативный, логический характер наглядности. У человека, далекого от геометрии, не может, например, даже возникнуть предположения о том, что можно провести бесконечную прямую. По мнению Рейхенбаха, геометрия возникает

1 Рейхенбах Г. Философия пространства и времени. М.: Прогресс, 1985.

98

3.1. Философские проблемы математики

на основе опыта, а затем сама порождает систему наглядных представлений, которые не имеют прообраза в эмпирических данных и в структуре перцептивного пространства.

В обыденной жизни мы действуем на основе структуры перцептивного пространства. Сам вопрос о реальности геометрического пространства связан с более общим вопросом о реальности математических объектов.

Природа логики. Обоснование математики в ХХ веке

Логицизм. Впервые в косвенной форме вопрос об обосновании теории множеств был поставлен Г. Фреге: он попытался уточнить понятия «класс» («множество»), «число», «функция» на основе понятий логики, в надежности которой он не сомневался. Фактически он предложил обоснование математики на основе программы, которая позже получила название логицизма. Фреге свел понятия арифметики к логическим понятиям, но Рассел обнаружил парадоксы.

В самой теории множеств были получены различные парадоксы, укажем некоторые из них:

–парадокс Кантора: пусть М – множество всех множеств. Пусть 2М –

множество всех подмножеств множества М. По теореме Кантора |М| < |2М|. Но так как М есть множество всех множеств, то 2М М, т. е. |2М| ≤ |М|;

–парадокс Рассела: пусть М – множество всех нормальных множеств, т. е. множеств, не содержащих себя в качестве элементов. Если оно включает себя в качестве элемента, то оно не является нормальным.

Логицизм пытался определить основные понятия математики в

терминах логических понятий, словом, вывести математику из логики. Сошлемся на мнение П. Бенацеррафа относительно того, что та-

кое логицизм:

«Логицизм укладывается в несколько различных версий, каждая со своими новшествами, но большинство из этих версий имеет следующую общую структуру:

1.Истины арифметики переводимы в истины логики.

2.(1) демонстрируется тем, что:

99

Глава 3. Философские проблемы конкретных научных дисциплин

а) устанавливаются определения для “внелогического” словаря (понятий) арифметики в “сугубо логических” терминах; и

b) отмечается, что переводы, санкционированные этими определениями, перевели арифметические истины в логические истины, а арифметически ложные утверждения – в логически ложные.

3. Об этой арифметической демонстрации затем утверждается, что обоснована аналитичность математических пропозиций, потому что: (а) поскольку определения, по предположению, сохраняют значение, логические переводы имеют то же самое значение, что и арифметические оригиналы, и (b) сами логические истины мыслятся истинными в силу значения, в данном случае, значений, встречающихся в

них логических частиц (и, таким образом, аналитическими)»1. Интуиционизм. Основное положение интуиционизма состоит

в том, что существование отождествляется с конструктивностью, т. е. построением математических объектов. Математическая теория при этом рассматривается не как свод правил и утверждений, а как часть человеческой деятельности. В основе лежит некоторая интуиция, которой ясно, что такое натуральное число, операции сложения и умножения, а также математическая индукция как переход от шага k к шагу (k + 1). Потенциально неограниченное число таких шагов дает представление о том, что такое деятельность по конструированию математических объектов. Интуиционизм отвергает актуально бесконечные множества. Л. Э. Я. Брауэр, основатель интуиционизма, пересмотрел отношение математики к тому языку, которым пользуются математики. Математика – автономный вид деятельности, независимый от языка. В языке весьма грубо фиксируются результаты деятельности математика, и язык лишь служит задаче передачи математического результата. Но сами математические идеи, а также деятельность математика по конструированию математических объектов независимы от языка. Отсюда и особое отношение к логике. Логика относится к языку и представляет собой манипулирование языковыми выражениями по определенным правилам. Отвергается логический принцип исклю-

1Бенацерраф П. Фреге: последний логицист // Логика, онтология, язык. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 2006. С. 195.

100