Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

При этом полярным координатам r, φ в области течения отвечают координаты ξ = φ, η = ln (Re / r) в фиктивном потоке, а области Ri < R < Re, ãäå Ri внутренний радиус опоры, отвечает полоса, имеющая ширину L = ln (Re/Ri), параллельную оси Oξ в фиктивном потоке. Внешней границе опоры отвечает прямая η = 0, внутренней – η = L. Так как, согласно формуле (3.83)

то якобиан перехода к плоскости фиктивного потока равен

J (ξ, η) = Re 2e−2η .

Расчет однорядных упорных кольцевых газостатических подшипников

Обратимся теперь к расчету однорядного газостатического подшипника (рис. 3.6), центры питателей которого расположены в точках с комплексными координатами

zj = Rd exp (i2πj/n), j = 1, 2, …, n

при условии, что питатели круглые и диаметры d1 их выходных кромок значительно меньше радиуса Rd (d1 << Rd).

Ðèñ. 3.6. Схема однорядной кольцевой опоры

81

Âплоскости фиктивного потока ζ питатели образуют дорожку

ñшагом B = 2π/n, отстоящую на расстоянии l1 = λ1 = ln (Re/Rd) îò îñè Oξ. Контуры питателей в фиктивном потоке с точностью до малых

высшего порядка имеют диаметры d = d1/R. Действительно, если ζ = –i ln (zj/Re) – координаты центров питателей в фиктивном потоке, а z = zj + 0.5d1 exp (iθ) – координаты точек выходной кромки j-го питателя, то этим точкам отвечают точки контура в фиктивном

потоке, имеющие координаты ζ – ζj = –i ln (z/ zj). Учитывая значение координаты zj, можем записать

Учитывая, что d1/Rd << 1 и линеаризуя правую часть в последнем уравнении, получаем

ζ − ζ j = −i0.5d exp(i(θ − 2π j / n)) + O(d 2 ) + .

Откуда находим уравнение контуров питателей в фиктивном потоке

| ζ − ζ j | = 0.5d ,

свидетельствующие о том, что действительно питатели в фиктивном потоке имеют диаметры d = d1/Rd. Именно на этих контурах в фиктивном потоке должны выполняться граничные условия p = pd и условия p = pa на границах полосы η = 0 è η = L.

Для определения комплексного потенциала фиктивного потока можно воспользоваться формулой (3.50), в которой надо принять

l = λ1 = ln (Re/Rd), L = ln (Re/Ri), B = 2π/n и d = d1/Rd. Эти же параметры необходимо использовать и при вычислении геометрического па-

раметра E.

Подчеркнем, что надо сохранить истинные значения диаметров в формулах для расхода газа M через питатель (3.13), выведенных на основе одномерной модели потока невязкого газа. При вычислении несущей способности упорного однорядного подшипника с дискретным поддувом можно использовать понятие среднего давления на линии поддува, отвечающего случаю равенства расходов с соответствующим подшипником с линией непрерывного поддува

82

и вычисляемого по формуле (3.59). Используя формулу, положив в ней

P(ξ, η) = P(η), J (ξ, η) = Re 2e−2η

è

pm 2 = ps 2 ( x − p12 ) 2π l(L − l) + pa 2 , EB L

получаем формулу для вычисления несущей способности опоры:

ãäå Pm = pm / ps .

Расчет несущей способности (рис. 3.7) по этой формуле требует численных квадратур.

Сw0

0,3

0,2

0,1

Ðèñ. 3.7. Зависимость коэффициента

несущей способности сw0 от осевого зазора H0 для УГСП с одним рядом дискретныхпитателейтипа«кольцевая диафрагма»

83

Полный массовый расход газа через смазочный слой однорядного кольцевого подшипника можно рассчитать по формуле

Расчет двухрядного кольцевого упорного подшипника

В случае упорного кольцевого подшипника с двумя рядами питателей, когда последние расположены на окружностях r = Rd1 è r = Rd2 (Rd1 > Rd2) в точках

zkj = Rdk exp (i2 πj/n), k = 1, 2, j = 1, 2, …, n.

Диаметры выходных кромок в фиктивном потоке равны d(1) = d1/ Rd1, d(2) = d2/Rd2, что необходимо учитывать при вычислении величин Ekm, в которых надо принять

λ2 = ln(Rd 2 / Ri ) = L − l2 , λ3 = ln(Rd 1 / Rd 2 ).

Площади минимальных сечений A(k)min, входящие в выражения

конструктивных параметров yk, èëè γ k è γ k , определяются по диаметрам d0k è d1k этих сечений в реальных питателях.

Комплексный потенциал фиктивного потока W(ζ) определяется по формуле (3.71), а давления на кромках питателей находятся в результате решения системы уравнений (3.78). Несущая способность двухрядного упорного газостатического подшипника определяется по формуле

ãäå P = Re(W (ζ )).

На рис. 3.8 отражены результаты расчета одно- и двухрядного упорных кольцевых газостатических подшипников с питателями типа «кольцевая диафрагма».

84

Ðèñ. 3.8. Зависимость основных характеристик

4. РАДИАЛЬНЫЕ ГАЗОСТАТИЧЕСКИЕ ПОДШИПНИКИ

Несущая способность радиальных газостатических подшипников создается, в основном, за счет принудительного вдува газа в смазочный слой. Большое распространение получили радиальные газостатические подшипники с поддувом газа через питатели диафрагменного типа, для которых полный учет размеров питателей и их расположения является, в общем случае, весьма трудноразрешимой задачей, что вынуждает на практике пользоваться приближенными методами их расчета. В этом разделе излагаются методы расчета одно- и двухрядных радиальных газостатических подшипников с дискретным поддувом газа в смазочный слой через питатели диафрагменного типа.

4.1. Теоретические основы расчета радиальных газостатических подшипников с дискретным поддувом

Рассмотрим одно- и двухрядные симметричные радиальные газостатические подшипники с дискретным равномерным распределением одинаковых питателей в каждом ряду поддува, организуемого через неподвижную втулку (рис. 4.1).

Пусть L – длина подшипника, D – диаметр подшипника, l – расстояние ряда питателей от ближайшего торца, N – число питателей в ряду поддува, d – диаметр выходной кромки питателя, Í0 – средний радиальный зазор в подшипнике, ps – давление поддува, pA – давление окружающей среды. Принимаем, что оси шипа и подшипника неподвижны, а течение газа в смазочном слое установившееся, изотермическое, ламинарное, безынерционное. При сделанных допущениях распределение давлений газа в смазочном слое может быть найдено в результате решения уравнения Рейнольдса теории газовой смазки, записанного в цилиндрических координатах (1.36):

86

Ðèñ. 4.1. Схема двухрядного газостатического радиального подшипника

ãäå ω = ω1 + ω2, При этом необходимо выполнять условия сопряжения потоков

газа по давлениям и расходам для каждого питателя, которые могут быть записаны в виде

n = 1 отвечает случаю однорядного подшипника, n = 2 – двухрядного, pS – давление на выходной кромке j-го питателя, Q'j– расход газа в единицу времени в смазочном слое через замкнутый контур

87

lj, один раз охватывающий j-й питатель, который может быть вы- числен по формуле (1.24)

ãäå ĸ = CP/CV – показатель адиабаты Пуассона, aS – скорость звука в газе, v – нормаль к контуру Vv = VAv + Vbv – сумма проекций скоростей смазываемых поверхностей шипа и подшипника на нормаль к контуру lj.

Mj – расход газа в единицу времени через питатель. Принимается, что течение газа в питателе невязкое, адиабатическое, одномерное. Величина Mj определяется по формуле (3.13)

ãäå Ajmin – площадь минимального сечения j–го питателя. Для питателей типа «кольцевая диафрагма»

Aj min = πdH j .

Для питателей типа «простая диафрагма»

Aj min = πd02 / 4.

Чтобы исключить возможность вторичного дросселирования на выходной кромке в питателях типа «простая диафрагма», необходимо выполнять неравенство

88

Необходимо также выполнять условия равенства давлений на торцах подшипника давлению окружающей среды

p|Γ0 = pa .

Âслучае, когда ω = 0, а шип и подшипник сосны (H = H0 = const), система уравнений (4.1)–(4.6) может быть решена точно, если диаметры питателей малы по сравнению с размерами подшипника (d << L). Последнее практически всегда имеет место.

Âобщем случае представленная здесь задача трудноразрешима

èна практике вынуждены ограничиваться либо приближенными аналитическими либо численными ее решениями.

Âнастоящей работе изложены аналитико-численные методы расчета радиальных газостатических подшипников и описаны соответствующие упрощенные модели течения газа в газостатических подшипниках, основанные на аппроксимации рядов питателей линиями непрерывного поддува, часто используемые как в аналитико-численных, так и в численных методах расчета газостатических опор.

4.1.1.Расчет полей давлений в смазочном слое радиального газостатического подшипника

при соосности шипа и подшипника при ω = 0

Если шип и подшипник соосны, то смазочный слой имеет постоянную величину. Если к тому же вал не вращается, то, как следует из уравнения (4.1), квадрат давлений в смазочном слое такого подшипника удовлетворяет уравнению Лапласа

и, как нетрудно убедиться, сами давления распределены в смазоч- ном слое точно так же, как и в полосовой опоре шириной L с зазором H с одной или двумя дорожками питателей того же диаметра, что и в подшипнике, с шагом B. Точное решение этой задач изложено в разделе 3. Согласно этому решению (3.68) давления в смазочном

89

слое соосного симметричного радиального подшипника распределяются по закону

Координата φ отсчитывается от центра какого-либо питателя, а координата z' отсчитывается от торца подшипника. Для однорядного подшипника n = 1, l1 = l, а для двухрядного n = 2, l1 = l.

В силу того, что в соосном случае все питатели находятся в равных условиях, имеют место равенства

pdj = pd0, Qj = Q0, Mj = M0, xj = x0, j = 1, 2, …, nN,

а условия (4.2) достаточно выполнить только для одного питателя, формально полагая в них j = 0.

Выполнение первого условия системы (4.2) с учетом второго равенства этой же системы, а также формулы (4.8), приводит к уравнению, связывающему Ì0 è õ0:

90