Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

912 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Учитывая вид функций y11 è Y11, уравнение (2.19) для отыскания функции y22 можем представить в виде

y′′ − (4 + 2iΛ) y

= d

+ d

chλk1z

+ d

ch2λk1z

(2.21)

λ 2

1 chλk1

ch2λk1

= a

− iΛ(

+ A 2 ),

ãäå

2ch2λk1

d1 = a1 (1 +

k12 ) − 2iΛA1 A0 , d2

= −

iΛA12 .

Интегрируя уравнение (2.21) при соответствующих граничных условиях, получаем

ãäå

y22 = b0 + b1

chλk z

+ b2

ch2λk

+ b3

chλk

(2.22)

chλk

λk

chλk

= 4 + 2iΛ , b = −

, b =

k2 2

k12 − k2 2

b =

, b =

− (b

ch2λk1

+ b + b ).

4k 2 − k 2

2 ch

2λk

В соответствии с формулой (2.9)

	q		=		1	(s			− q 2			) = Re(Y e2 iϕ				+ Y ),
		2						2
			2						1				22				20

Y22	=		1	( y22			−			1	Y112 ), Y20		=	1	( y20		−	1	Y11
																				Y11 ).
			2
									2				2				2

После несложных вычислений находим

Y = B + B			chλk1 z		+ B	ch2λk1 z		+ B	chλk2 z		,

22	0	1 chλk		1	2 ch2λk		1	3 chλk		2

Y	= С		+	С		chλk1 z									+ С						chλ						k1		z				+ С					chλ (k1 +														k1			)z				+ С							chλ (k1 −	k1		)z		,
Y	= С		+	С											+ С																		+ С																										+ С												,
20		0			1 chλk							1								2 chλ								k	1							3 chλk chλ																	k												4 chλk chλ			k		1
												1																	1															1								1														1				1
ãäå			B		=		1	b			−			1		A 2 −								1		A 2									1							,		B =							1			b					−			1		A A ,
ãäå			B		=			b			−					A 2 −										A 2							ch2 λk									,		B =										b					−					A A ,
				0		2			3			4							0						8 1								ch2 λk						1					1								2				1					2					0 1
																						1											1						1									1
															B				=			1			b −								1		A 2		, B									=		1	b ,
															B				=			2			b −										A 2		, B									=			b ,
													1					2				2			2							8			1								3		1		2					3
							С			=					(3				+ a						− A									),			С					=					(a					−					A						),
								0															0								A									1										1										A
																															A																													A
												4																	0			0												4														1			0
												4					1																				1							4
							С				= −										A				, С								= −										A ,					С				=						С			.
																				A																					A
																				A																	8				A
									2			4								1			0							3							8					1		1						4								3

Структура найденных функций s0,s1,s2 è q0,q1,q2 позволяет утверждать, что функции s è q имеют следующее представление:

∞	E ( n / 2 )
s = 1 + ∑ε n	∑ Re[ yn ,n− 2 k (z)e( n− 2 k )iϕ ],
n=1	k =0
∞	E ( n / 2 )
q = 1 + ∑ε n	∑ Re[Y	(z)e( n− 2 k )iϕ ],
	n ,n− 2 k
n=1	k =0

ãäå E(n/2) – целая часть числа n/2.

Определение функций следующих приближений не представляет принципиальных сложностей, но связано с громоздкими вы- числениями. Ограничимся в дальнейшем исследовании решением в рамках найденных первых трех приближений.

2.3. Воздействие смазки на шип

Несущая способность подшипника может быть вычислена по формуле (1.35). Используя формулы (1.49), получим


− p + iτ rϕ	= pa	(− р −	ic	h	∂ р	−	iμω1r0		).
					∂ϕ
			2r				chp	a
		1

Второе слагаемое в последней формуле имеет порядок малости c/r0 по сравнению с первым и может быть отброшено. Поэтому принимаем

− p + iτ rϕ	= − pa	( р + i	μω1r1	).	(2.23)

			chpa

Первая формула (1.48) теперь может быть представлена в виде

1	2π	μω r	2π 1
Fax + iFby = − pa r1L[∫ dz ∫ peiϕ dϕ + i		1 1	∫		eiϕ dϕ ].
		cpa		h
0	0		0

Òàê êàê р = hq , ãäå q определено в виде (2.8)–(2.9), получаем

рeiϕ =

[eiϕ + ∑ε n

∑

1 (Y

e( n− 2 k +1)iϕ +

∞

E ( n / 2 )

1 − ε cosϕ

n ,n− 2 k

n=1

k =0

e− ( n− 2 k +1) iϕ )].

+ Y

2 k

n ,n−

Теперь учитываем, что

2π

eimϕ

2π

1 − 1 − ε 2

∫0

dϕ =

1 − ε cosϕ

1 − ε 2

(

)

При этом будем иметь

2π

1 −

1 − ε

∞

( n / 2 )

1 −

1 − ε

∫

рeiϕ dϕ =

{

+ ∑ε n ∑

[Yn ,n− 2 k (

)

n− 2 k +1

1 − ε 2

n=1

k =0

1 −

1 − ε 2

)

n− 2 k −1

]}.

+ Y

,n− 2 k

(

После упрощений получаем

2π

1 − 1

− ε

∞

∫ peiϕ dϕ =

{1 + ∑ ε 2k Re[Y2k ,0 +

1 − ε 2

n=1

∞

+ ∑ ε n−1 n=1

E ((n−1) / 2)

∑

k =0

1 − 1 − ε 2

n−2k +1

1 − 1 − ε 2

n−2k −1

]}.

(

)

(

)

n,n−2k

Эта формула преобразуется к виду

2π

∫ рeiϕ dϕ

0
∞	E (( n −1) / 2 )
+∑ε n −1	∑
n =1	k = 0

	2π 1 −		1 − ε 2			∞	ε 2 k Re(Y2 k ,0 ) +
=				{1 +		∑	ε 2 k Re(Y2 k ,0 ) +
	1 − ε 2		ε			n =1
		т− 2 k −1
(1 − 1 − ε 2 )			[Re(Y		− 2 k	) − i		1 − ε 2 Im(Y	)]}.
				n ,n	− 2 k			n ,n − 2 k

С учетом этого равенства формула для несущей способности приобретает вид

Fax + iFay	= −	2π 1 − 1 − ε		2	pa r1L{1 + i	μω1r1 + ∑		ε 2 k Re ∫Y2 k ,0dz +
				2			∞	1
		1 − ε 2	ε			cpa	n=1	0
∞		∞	1				1
+∑(1 −	1 − ε 2 )m−1 ∑		ε 2 k [Re ∫Ym+ 2 k ,mdz − i			1 − ε 2	Im ∫Ym+ 2 k ,mdz]}.
m=1		k =0	0				0

Отсюда следует более компактная формула для определения несущей способности газодинамического радиального подшипника:

1 −

1 − ε

∞

Fay + i 1 − ε 2 Fax = −

2π pa r1L{i[1 + ∑ε 2 k Re ∫Y2 k ,0dz +

n=1

(2.24)

+ ∑(1 − 1 − ε 2

−1

∑ε 2 k

∫Ym+ 2 k

,mdz] + μω1r1

∞

m=1

k =0

cpa

1 − ε 2

Момент сил, действующих на шип со стороны смазочного слоя, вычисляем по последней формуле (1.48). Используя формулу (2.23), можем записать

1	2π ch ∂ р			μω r	3 2π dϕ
M az = − pa r1L∫ dz ∫			dϕ −	1 1		∫		.
		2r ∂ϕ		c			h
0	0				0
		1

Интегрирование по частям первого интеграла в последней формуле дает

2π	∂ р	2π
∫ h		dϕ = −ε ∫ p sin ϕdϕ.
	∂ϕ
0		0

Теперь легко находим, что

M az	= −	2πμω Lr		3	−	e	Fay .
			1 1					(2.25)
		c	1 − ε 2			2

Входящие в полученные формулы интегралы для функций первых трех приближений легко вычисляются, если учесть вид функций Ykm. Имеем

∫Y11dz =

A1thλk1 + A0 ,

λk1

∫Y22dz =

(B1 + B2 )thλk1 +

B3thλk2 + B0 ,

λk1

λk2

∫Y20dz = [

]thλk1 +

λ (k1 − k1 )

λk1

λ (k1 + k1 )

−

]thλ

+ C .

λk1

λ (k1 + k1 )

1 0

λ (k1 − k1 )

Если в выражении (2.24) ограничиться членами порядка ε, то получим достаточно простые формулы для расчета несущей способности подшипника, практически приемлемые при ε 0.4, 0.5 λ 2 и любых числах сжимаемости:

F + i 1 − ε 2

F =

12πμω r3 L 1 −

1 − ε

[

−

thλk

) −

1 1

λk

k 2

(2.26)

−

6r1

1 − ε 2

Проанализируем формулу (2.26). Легко убедиться, что при Λ → 0 с точностью до величин порядка O(c/R0) имеют место предельные равенства

F =

12πμω r3 L 1 −

1 − ε 2

(1 −

thλ

= 0,

1 1

λ1

С другой стороны, при Λ = 6μω r2

/( p

c2 ) → ∞

1 1

Fax = −2πμr1Lpa

1 −

1 − ε 2

2πμω r2 L 1 − 1 − ε 2

, Fay = −

ε 1 − ε 2

Ïðè ýòîì Fay / Fax	=	ω1r1		= Λ	c	. Для реальных случаев Λ	c	<< 1
					6r
		cp	a				6r
				1		1

и, следовательно, силовая реакция смазочной пленки, порожденная

трением, развивающимся в этой пленке, остается пренебрежимо малой по сравнению с реакцией смазочной пленки, порождаемой силами давлений, возникающими в ней, при любых значениях числа сжимаемости Λ.

Формулы (2.26) позволяют оценить предельные возможности создания несущей способности у газодинамических подшипников как за счет повышения давления окружающей среды, так и за счет увеличения частоты вращения шипа.

При заданном давлении окружающей среды и при относительно малых частотах вращения шипа, когда параметр сжимаемости мал (Λ ≈ 0), несущая способность газодинамического подшипника, как и в случае несжимаемой смазки, не зависит от давления окружающей среды, а порождается силами давлений, развивающимися в смазочном слое за счет вязкости смазки, и растет пропорционально частоте вращения шипа. Это остается практически справедливым

âдиапазоне чисел сжимаемости 1 Λ 0.

Ñувеличением частоты вращения сжимаемость смазки начи- нает проявляться все более существенно, замедляется рост несущей способности подшипника, остающейся ограниченной при Λ → ∞ и асимптотически приближающейся к своему предельному значе- нию. Выход на асимптоту происходит практически при Λ ≈ 20, а у длинных подшипников (λ 2) ïðè Λ ≈ 10.

Важно подчеркнуть, что при малых числах сжимаемости реакция смазочного слоя направлена перпендикулярно к линии центров шипа и подшипника, а при больших числах сжимаемости она направлена по линии центров. При этом с учетом следующих

приближений формула, определяющая силу Fax, может быть уточ- нена за счет учета вклада, даваемого величинами Y2k, 0, è ïðè Λ → ∞ представлена в виде

Fax	= −2πμr1Lpa	1 −	1 − ε 2	1 +	3	ε 2 .	(2.27)
		ε	1 − ε 2
				2

3. УПОРНЫЕ ГАЗОСТАТИЧЕСКИЕ ПОДШИПНИКИ

Одним из существенных достижений современной гидроаэромеханики является создание теории смазки газостатических подшипников – принципиально нового типа опор, широко используемых в самых различных областях техники. Пока не все разделы этой теории разработаны с нужной для практики полнотой и точностью. В достаточной мере завершенный характер имеет теория смазки подшипников с постоянной толщиной смазочного слоя. К такого типа опорам относятся полосовые газостатические направляющие станков и упорные газостатические подшипники.

Несущая способность газостатических подшипников создается за счет принудительного вдува газа в смазочный слой через систему каналов (питателей, дросселей, жиклеров), проделанных в одном из тел пары трения (в ряде конструкций эти питатели сами являются частью смазочного слоя опоры). Широкое применение находят щелевые каналы и каналы цилиндрической формы, получаемой путем сверления. Для работоспособности газостатических подшипников необходимо, чтобы давление газа на выходе из питателя была меньше, чем на входе в него, и зависело от толщины смазочного слоя в зоне питателя (эффект дросселирования). Это обеспечивает определенную жесткость смазочного слоя и позволяет ему играть роль пружины, возвращающей систему в равновесное положение, если последнее нарушено. Эффект дросселирования в питателях капиллярного типа достигается за счет сил вязкости, развивающихся в протекающем в них газе, а в питателях типа диафрагмы – за счет изменения поперечного сечения потока газа, подаваемого на смазку. Щелевые каналы обычно используются как питатели капиллярного типа, а цилиндрические – типа диафрагмы. Питатели типа диафрагмы имеют два основных вида: «простая диафрагма» и «кольцевая диафрагма» (рис. 3.1).

Эффективная работа щелевых питателей достигается в тех случаях, когда толщина щели в питателе одного порядка с тол-

	H		H
	dz		d
	dо	Ps
Ps	а	Ps	б
Ps	а		б

Ðèñ. 3.1. Схемы питателей типа диафрагмы:

à – простая диафрагма, á – кольцевая диафрагма

щиной смазочного слоя. Поэтому для описания течения газа в капиллярных щелевых питателях можно использовать уравнение Рейнольдса.

Течения газа в питателях диафрагменного типа имеют весьма сложный характер, что обусловлено формой последних, имеющих внезапные расширения и сужения потока и продольные размеры, соизмеримые с поперечными. Такие течения до сих пор теоретиче- ски мало исследованы даже в рамках естественного для этого случая допущения об осесимметричности потока в питателе и на выходе из него. Поэтому в приложениях к задачам расчета газостатических подшипников используется простейшая модель потока в питателе как одномерного, невязкого, квазистационарного, хотя здесь несостоятельно основное допущение теории одномерных течений о том, что поперечные составляющие скоростей частиц газа в таком потоке пренебрежимо малы по сравнению с продольными. Вследствие этого расчетные формулы, получаемые на основе одномерной модели, уточняются путем введения эмпирических поправочных коэффициентов.

Уделим внимание изложению основ теории работы газостати- ческих подшипников с питателями диафрагменного типа. Начнем с рассмотрения работы упорных газостатических подшипников.

3.1. Истечение газа из питателей диафрагменного типа

Принимаем поток газа в питателе (см. рис. 3.1) квазиодномерным, квазиустановившимся и используем для его описания соответствующие уравнения одномерного течения идеального газа:

– уравнение неразрывности
ρv A = const	(3.1)

(A – плoщадь поперечного сечения потока);

– уравнение Бернулли

κ p

;

(3.2)

κ − 1 ρ

κ − 1 ρ0

–уравнение состояния (адиабата Пуассона с показателем

κ= CP / CV)

p = p		ρκ	.	(3.3)
p = p	0	ρ κ	.	(3.3)
	0	ρ κ
		0

Принимаем также, что газ в питатель подается из ресивера большого объема под давлением ps > pa (pa – давление окружающей среды).

В дальнейшем движением газа в ресивере пренебрегаем и принимаем, что

p0 = ps, v0 = 0, ρ0 = ρs.

Уравнение Бернулли при этом принимает вид

κ p

(3.4)

κ − 1 ρ

κ − 1 ρs

Если учесть, что скорость звука в газе определяется по формуле

a = κ	p	,	(3.5)
	ρ

то уравнение Бернулли (3.4) можно записать так:

v2	+		a2		=		as	2	.	(3.6)
2		κ − 1					κ − 1

Заметим, что в случаях, когда в некоторой точке потока скорость потока становится равной скорости звука (v = а), то этa точкa и все параметры газа в этой точке называются критическими. Критическая скорость (vкр) при этом может быть найдена из уравнения Бернулли, записанного в форме (3.6), если положить в нем

v = à = vкр = àкр.

Легко находим

vкр = aкр = as	2	.	(3.7)

	κ + 1

В общем случае скорость потока в питателе может быть найдена из уравнения (3.4). Имеем

v =	2κ		(1 −	p	ρs	).

	κ −	1		ps ρ

Учитывая формулу (3.3), полученную формулу можем записать в виде

		2		p		κ −1
v = as			[1 − (		)	κ	].	(3.8)
	κ − 1
				ps

Åñëè Amin – площадь минимального сечения питателя, а p = pd, ρ = ρd, v = vd – значения соответствующих величин в этом сечении, то расход газа, протекающего в единицу времени через питатель, можно определить по формуле

M = ρd vd Amin.

(3.9)

Согласно (3.3), запишем

)

κ ps

(

)

= ρ

(

Определив скорость vd по формуле (3.7), приняв в ней p = pd, для расхода газа M через питатель запишем:

κ ps

κ +1

M =

− (

)

[(

)κ

(3.10)

as s

κ − 1

Формулы (3.8) и (3.10) справедливы не для всех значений pd ps. Действительно, рассматривая зависимости расхода газа M и скорости vd от давления pd, убеждаемся, что при pd = ps è ïðè pd = 0 имеют место равенства нулю расхода газа через питатель. В первом случае это отвечает физике явления, так как при pd = ps отсутствуют условия для создания потока в питателе. Второй случай противоречит физике

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]