Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

∫ ln(chA − cos ξ)dξ =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

912 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Последнее равенство справедливо при d << 2B. Ïðè ýòîì

∫

ln sin

(ζ – ζ0 )

dζ

≈ ln

πd

ς –ς

= d / 2

В результате вычисления интеграла (3.56) устанавливаем связь между pd è Q′ для однорядной полосовой опоры

x – p2

12μa

2 E

Q′,

κπ H 3 ps

ãäå

x = (pd / ps)2, p1 = pa / ps

E = ln

+ ln 2sh

2πl

2πl2

−

πd

+∑∞

ln{(1 − ch

4πl

/ch

4πkL

) /(1 − 1 / ch

4πkL

)}.

k =1

(3.52)

(3.53)

Бесконечная сумма, входящая в последнюю формулу, практически всегда пренебрежимо мала по сравнению с остальными слагаемыми и в расчетах может быть игнорирована.

Если все питатели опоры одного типа «кольцевая диафрагма» или «простая диафрагма», но не учитывается эффект двойного дросселирования в «карманах», то для расхода газа через питатель справедлива формула

M = Q′.

(3.54)

Исключая из равенств (3.54) и (3.52) величину Q′, получаем уравнение для определения величины давления на кромке питателя точно такого же вида, как и уравнение (3.36), но при значении параметра E, входящего в это уравнение и определяемого в рассматриваемом случае по формуле (3.53).

В тех случаях, когда все питатели в полосовой опоре типа «простая диафрагма» и требуется учитывать эффект двойного дросселирования в «карманах», необходимо выполнять по два условия баланса расходов газа для каждого из питателей

М = Q′,		(3.55)
M = Q′.		(3.55)
M = Q′.

В этих случаях исключение величины Q ′ приводит к системе двух уравнений для определения давлений в «карманах» – x и на выходных кромках питателей (x) по виду в точности совпадающей с системой уравнений (3.38), но при значении параметра E, вычисляемого в рассматриваемом случае по формуле (3.58).

Отметим существенный факт, что на линии расположения питателей давления распределены неравномерно. Наибольшие их значения достигаются на кромках питателей, наименьшие – на серединах между питателями. Этот факт обычно игнорируется при использовании метода линий непрерывного поддува, которыми заменяются ряды дискретных питателей в численных методах рас- чета газостатических опор, что может приводить к существенным погрешностям расчетных характеристик опор. Последнее связано с тем, что неявно производится отождествление давлений на линиях поддува с давлениями на соответствующих кромках питателей, чем завышается теоретический расход газа через смазочный слой опоры и ее несущая способность.

Несущая способность однорядной полосовой опоры может быть вычислена по формуле

L B
F = n∫ ∫ pdξdη.		(3.56)
0	0

Для приложений можно пользоваться приближенным значе- нием последнего интеграла, заменив p его среднеквадратичным значением p по формуле

	1	B / 2+ξo
p =		∫ p2dξ .	(3.57)
	B
		− B / 2+ξo

Используя для p2 выражение (3.56) и учитывая формулу

ãäå A – некоторая постоянная, находим

p2 = ( pm

2 − pa 2 )

+ pa

ïðè η < 1,

= ( pm

− pa

2 )

L − η

+ pa

2 ïðè η < 1,

(3.58)

L − l

ãäå

= p 2 [

x − p 2

2πl

−

) + p 2 ].

(3.59)

Полученное значение pm2 есть ничто иное, как среднее значе-

ние квадрата давлений на линии расположения питателей, в чем легко убедиться приравняв расходы газа через смазочный слой, рассчитанные по методу линии непрерывного поддува.

Расход газа через участок смазочного слоя протяженности B, отвечающий одному питателю и вычисленный по методу точечных источников, равен

Q′ = ( x − p 2 )	κπ H 3 p 2
		s	.

1	12μas	2 E

Tот же расход газа, определенный по методу линии непрерывного поддува по формулам (3.39) и (3.40), равен

	′		κ H 3			2	2 B		B

Q		= 24		μas 2	( pm		− pa )( l	+ L − l ).

Исключив из полученных уравнений Q ′, получаем уравнение для определения pm, из которого легко находим

pm	2 = ps	2 ( x − p1	2 )	2π	l(L − l)	+ pa	2 ,	(3.60)

				EB L

что совпадает с равенством (3.59).

Как видим, при вычислении несущей способности однорядной полосовой опоры с дискретным поддувом можно пользоваться осредненным по длине линии поддува значением среднего давления,

связанного с давлениями на кромках питателей формулой (3.60) приводящему к значению несущей способности полосовой опоры, вычисляемой по формуле (3.44), которая в принятых обозначениях принимает вид

F = TL	2	( pm	+	pa	2	).	(3.61)

	3			pm + pa

Расчет двухщелевой полосовой опоры

Рассмотрим случай двухщелевой полосовой опоры, когда газ в смазочный слой подается через две плоские капиллярные щели толщиной c1 è c2. Расстояния этих щелей от краев опоры l1 è l2 соответственно. Масса газа, вытекающего наружу из зоны первой щели, равна

dQ =	κ H 3		( p		2 − p 2 )	dY	.	(3.62)
dQ =	24μa		( p		2 − p 2 )		.	(3.62)
1	24μa	2		d 1	a	l
	s					1

Масса газа, вытекающего из зоны второй щели, равна

dQ		=	κ H 3	( p		2 − p 2 )	dY	.	(3.63)
			24μas 2
	2				d 2	a	L − l2

Пусть pd2 > pd1. Тогда перетечка газа в смазочном слое происходит от зоны с большим давлением к зоне с меньшим давлением в количестве

dQ		=	κ H 3	( p		2 − p	2 )	dY	,	(3.64)
			24μas 2
	3				d 2		d 1	l3

ãäå l3 = l2 – l1.

Масса газа, поступающего из ресивера в первую щель, равна

dM		= −	κ c3	( p		2 − p 2 )	dY	.	(3.65)
dM		= −	24μa 2	( p		2 − p 2 )		.	(3.65)
	1		24μa 2		d 1	S	b
			s				1

Масса газа, поступающего из ресивера во вторую щель, равна

dM		= −	κ c3	( p		2 − p 2 )	dY	.	(3.66)
dM		= −	24μa 2	( p		2 − p 2 )		.	(3.66)
	2		24μa 2		d 2	S	b
			s				2

Часть этого газа перетекает к первой щели в количестве dQ3. Условия баланса расходов для каждой щели имеют вид

dM1 = dQ1 – dQ3,
dM2 = dQ2 + dQ3.	(3.67)

Используя найденные выражения для расходов, получаем систему уравнений для определения давлений на выходных кромках питающих щелей:

−

( p

− p

2 )

= ( p

− p 2 )

− ( p

− p

2 )

H 3

d 1

d 2

d 1

−

( p

2 − p

2 )

= ( p

− p

2 )

+ ( p

− p

2 )

H 3

L − l

d 2

d 1

которую можно записать в таком виде:

2 (

κ c3

) − p

κ c3

p 2

H 3b

d 2 l

H 3b

− p

+ p

2 (

κ c3

) =

κ c3

2 .

L − l

− l

1 l

Решение этой системы уравнений имеет вид

pd 1

2 =

pd 2

(3.68)

ãäå

(

κ c3

)(

κ c3

) −

l 2

H 3b L − l

= (

κ c3

p 2

p 2 )(

κ c3

) +

(

κ c3

p 2 ),

L − l

H 3b

− l

H 3b

= (

κ c3

p 2

p 2 )(

κ c3

) +

(

κ c3

p 2

p 2 ).

H 3b

L − l

H 3b

Несущая способность двухщелевой полосовой опоры равна сумме несущих способностей трех ее полос, на которые разделяется опора двумя щелями поддува

F =

T[l1

( pd 1

) + (L − l2 )( pd 2 +

) + l3 ( pd 1 +

pd 2

)]. (3.69)

pd 1 + pa

pd 2 + pa

pd 1 + pd 2

Расход газа в единицу времени для двухщелевой полосовой опоры равен

Q = M1 + M2,

(3.70)

ãäå

Tκ c3

( p 2

− p

2 ), M

Tκ c3

( p 2

− p

2 ).

24μa

d 1

d 2

Расчет полосовой опоры с двухрядным дискретным поддувом

При расчете полосовой опоры с двумя рядами дискретного поддува (рис. 3.5) исходим из допущений, что все питатели одного ряда и давления газа на выходе из них одинаковые.

2 /n

2
λ
3	L
λ	L
1
λ

Ðèñ. 3.5. Полосовая опора с двумя рядами дискретного поддува

Комплексный потенциал потока в двухрядной опоре равен сумме комплексных потенциалов потоков, порожденных каждой из дорожек питателей

w = p 2 +

12μas

∑Q′ f

(ζ ),

(3.71)

κπ H 3

m=1

2πlm

iζ + ln[sin

π (ζ −

= v(ζ ,ζ m

ζ m )

/ sin

π (ζ − ζ m )

];

ãäå

ζ m ) +

Q′

– обильности источников в соответствующих рядах пи-

тателей;

ζ m = ξm + ilm – координаты базовых питателей в каждом из рядов.

Комплексный потенциал (3.71) удовлетворяет условиям p = pa на внешних границах полосы при η = 0 è η = L. Для определения

величин Qm′ и давлений на кромках питателей pdm надо выполнить условия сопряжения потоков на каждом питателе.

Если все питатели в опоре типа «кольцевая диафрагма» или «простая диафрагма», но эффект двойного дросселирования в «карманах» не учитывается, то для расходов газа через питатели справедливы формулы

M1	= Q1′,	(3.72)
M 2	′
M 2	= Q2 .

Величины давлений ðÃk на выходных кромках питателей Гk связаны с расходами газа через питатели формулой

Re(	1	∫ wdΓ) = pΓ2k , k = 1, 2,	(3.73)
	πdk
		Γk

из которой в соответствии с видом функции w (3.71) следует, что

− p2 =

12μa2

(Q′E

+ Q′E ),

(3.74)

κπ H 3

1 11

− p2

12μa2

(Q′E

+ Q′E

κπ H 3

Γ 2

ãäå

Ekm = Re[

∫ fm (ζ )dΓk ].

πdk

Γk

Контурные интегралы в формулах, определяющих величины Ekm, легко могут быть вычислены аналогично тому, как это было сделано для однорядной опоры. Имеем

Ekm = Re{δ km ln

− ln[δ km

+ sin

π (ζ k − ζ m )

] +

πdk

+ ln sin

π (ζ k −

2πlm

ζ m )

iζ k +

2π (ζ k −

4π jL

∞

1 − cos

ζ m )

+∑ln

2π (ζ k − ζ m )

4π jL

1 − cos

(3.75)

Âчастности, в случае симметричного расположения питателей, когда ξ1 = ξ2,

Ekk = ln 2sh

2πl

+ ln

−

2πl

πdk

∞

1 − ch

4πlk

4π jL

+∑ln

k = 1, 2

(3.76)

j=1

1 − 1 ch 4π jL

(l + l

)

l1l2

E = E = ln

− 2π

(l2 − l1 )

∞

1 − ch

2π (l1 + l2 )

4π jL

+∑ln

(3.77)

1 − ch 2π (l2 − l1 )

ch 4π jL

j=1

Заменив в уравнениях (3.74) величины Qk′ íà Mk и использовав связь последних с газодинамической функцией q*, получаем систему уравнений для определения давлений на кромках питателей:


			x − p 2			= γ				E q ( x ) + γ						2	E q ( x						2	),
			1		1				1 11			1				2			12				2
	x	2	− p 2		= γ		1	E		q ( x ) + γ				2	E			q ( x				),
		2	1				1			21		1		2			22				2
ãäå	xk = ( pΓk / ps )			2	,		γ k =				12αμa A( k )										2
ãäå				2									S		min
												π H 3 pS								κ + 1

(3.78)

k +1

2 (κ −1) , k = 1, 2.

После решения системы уравнений для определения x1 è x2 можно перейти к определению поля давлений в смазочном слое полосовой опоры по формуле

p = Re(w) ,

(3.79)

используя для вычисления комплексного потенциала формулу (3.71).

3.6. Расчет кольцевых упорных подшипников

Метод конформных отображений

Так как расчет полей давлений в газостатических опорах при постоянном зазоре основан на использовании теории аналитических функций, то в ряде практически важных случаев для расчета опор более сложных конфигураций, чем рассмотренные выше, может быть эффективно использован метод конформных отображений, являющийся составной частью этой теории.

Пусть z = X + iY – комплексная координата, а w(z) – комплексный потенциал потока газа в смазочном слое постоянной толщины H газостатического подшипника, удовлетворяющий условиям Re[w(z)]Гj = pj2 на границах Гj области течения газа σ. Пусть ζ = f(z) – аналитическая функция, имеющая обратную: z = Ф(ζ), êîí-

формно отображающая область σ на область σ' в плоскости ζ = ξ + iη. Рассмотрим функцию

W(ζ) = w(Ф(ζ)) = P2(ξ, η) + iΨ(ξ, η).

(3.80)

Очевидно, что W(ζ) на границах области σ' – контурах Г′j удовлетворяет условиям Re[]W(ζ)]Г'j = pj2 и для соответствующих точек областей σ è σ' справедливы равенства

P2(ξ, η) + p2 (X, Y), Ψ(ξ, η) = ψ(X, Y).

Функцию W(ζ) можно интерпретировать как комплексный потенциал некоторого фиктивного потока газа в слое толщиной H в плоскости ζ в области σ'. Если параметры потока принять такими же, как и в реальном потоке, то расходы газа через соответствующие контуры MN è M′N′ будут совпадать, так как будет выполняться равенство

	κ H 3		κ H 3
				′	′	′
	24μas2 (ΨN
QMN = −		− ΨM ) = −	24μas2 (ΨN		− ΨM ) = QMN .		(3.81)

Отсюда следует, что источнику в реальном потоке соответствует источник той же интенсивности в фиктивном потоке. При определении несущей способности кольцевого подшипника достаточно знать поле давлений в фиктивном потоке. Например, несущая способность плоского подшипника может быть вычислена по формуле

			F = ∫∫(P(ξ, η) − pa )J (ξ, η)dξdη,	(3.82)
ãäå J (ξ, η) =	dz	2	σ ′
	dz		– якобиан перехода от геометрической области
	dζ		– якобиан перехода от геометрической области
	dζ

реального потока к геометрической области фиктивного потока. В частном случае упорных кольцевых газостатических под-

шипников для построения комплексного потенциала удобно кольцо рассматривать как плоскую спираль с бесконечным количеством витков в обе стороны в бесконечнолистной римановой плоскости и отображать это кольцо на бесконечную полосу с помощью комплексной функции

ζ = −i ln	z	,	(3.83)

	Re

ãäå Re – внешний радиус опоры.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]