Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Значение E для однорядных и симметричных двухрядных газостатических опор представлено в разделе 3. Если выполняются к тому же условия Nl/D 2 è N(L – 2l)/D 2, то для величины E легко устанавливается приближенная формула

Используя значение величины M0, даваемое формулой (4.4), из уравнения (4.9) получаем уравнение для определения x0:

Подшипник в соосном случае несущей способностью не обладает. Расход газа через смазочный слой подшипника может быть вычислен по формуле

следующей из формулы (4.9).

4.1.2.Теоретические основы моделирования рядов питателей линиями непрерывного поддува

Моделирование рядов питателей линиями непрерывного поддува широко используется для расчета радиальных газостатических опор в случаях несоосности шипа и подшипника. Основы этого моделирования легко прояснить и получить, если применить этот метод для соосного случая.

В соосном случае ряды питателей можно моделировать линиями непрерывного и равномерно распределенного поддува. Очевидно,

91

что при этом давления в смазочном слое модельного подшипника будут распределены точно так же, как и в смазочном слое бесконечной полосовой опоры с продольными линиями непрерывного и равномерно распределенного поддува, исследованной в разделе 3. «Эквивалентность» линий непрерывного поддува рядам питателей целесообразно устанавливать по равенству расходов газа для каждого питателя и соответствующего ему участка линии непрерывного поддува.

При таком моделировании давление на линии непрерывного поддува модельного подшипника pm0 не совпадает с давлением на кромке соответствующего питателя pd0, а течение газа на торцевом участке модельного подшипника происходит под действием перепада давлений pm0 è pa. Этот перепад давлений создает поток газа в направлении торца, массовый расход которого в единицу времени на участке шириной B = πD/N может быть вычислен по формуле (3.41):

С другой стороны, от каждого питателя в сторону торца в единицу времени поступает масса газа, равная nM0/2. Из эквивалентности этих расходов следует равенство

Исключив теперь из равенств (4.9) и (4.15) величину M0, устанавливаем связь между давлением на линии непрерывного поддува модельного подшипника pm0 и давлением на кромке питателя

pd 0 = ps x0 :

92

Полученное значение давления pm 0 в точности совпадает со значением среднеквадратичного давления на линии поддува (при z' = l) рассчитываемого подшипника, которое вычисляется по формуле

Более того, непосредственным интегрированием можно убедиться, что в случае соосности среднеквадратичные давления на торцевом участке, вычисляемые при любом z' = const по формуле (4.17), распределены по закону

который имеет место для распределения давлений в смазочном слое соосного модельного подшипника. Формула (4.18) для модельного подшипника вытекает из решения для полосовой опоры, приведенного в разделе 3. Это свидетельствует о том, что использование операции осреднения квадрата давления по окружной координате эквивалентно моделированию дискретного ряда питателей линией непрерывного поддува, обеспечивающей тот же расход газа, что

èпитатели. И наоборот, использование схемы линий непрерывного поддува, обеспечивающей тот же самый расход газа, что и дискретные питатели, приводит к эквивалентности полей среднеквадратичных давлений в смазочных слоях соответствующих подшипников. Условием эквивалентности по расходу питателя и соответствующего ему участка поддува является выполнение равенства (4.16). Это утверждение, справедливое для соосного случая

èω = 0, естественно распространить и на общий случай. Так как в общем случае отсутствуют точные решения задач и для модельного подшипника и для рассчитываемого подшипника, то равенства типа (4.16), а именно, равенства

93

целесообразно рассматривать как гипотезу эквивалентности по расходу j-го питателя и соответствующего ему j-го участка линии непрерывного поддува модельного подшипника, если такое моделирование используется. При этом среднеквадратичное давление

íà j-м участке линии поддува модельного подшипника pmj = pS pmj , очевидно, меньше давления на кромке соответствующего питателя

( pmj ≤ pdj ).

Заметим, что более распространено такое моделирование рядов питателей линиями непрерывного поддува, при котором отождествляются величины pmj è pdj и которое следует из (4.19), если принять E = nNl/D. Очевидно, в последнем случае расходы газа в модельном подшипнике и несущая способность оказываются завышенными по сравнению с таковыми для рассчитываемого подшипника. Следовательно, гипотеза (4.19) предпочтительнее.

4.2. Расчет радиальных газостатических подшипников при невращающемся вале

4.2.1.Расчет радиального газостатического подшипника при ω = 0 и малых относительных эксцентриситетах

Âслучаях несоосности шипа и подшипника не удается построить точное аналитическое решение уравнений (4.1)–(4.6) äàæå ïðè ω = 0, что вынуждает обращаться либо к приближенным численным, либо к приближенным аналитическим методам решения задачи. При переменном зазоре дискретность поддува и порожденная этим многосвязность смазочного слоя являются существенным препятствием для реализации этих методов. Поэтому на практике используют моделирование рядов питателей линиями непрерывного поддува.

Ограничимся ниже приближенным аналитическим решением задачи по методу линий непрерывного поддува с использованием

94

гипотезы (4.19). Наиболее простая форма такого приближенного решения получается, когда оси шипа и подшипника параллельны, эксцентриситет мал (ε = e / H0 << 1) è ω = 0. Принимаем, что отсчет угловой координаты производится от плоскости, проходящей че- рез оси шипа и подшипника. Зазор H определяется при этом по формуле

Принимаем также, что φj = φ* + 2 j / N (j = 1, 2, ..., N) – угловые координаты центров питателей.

При построении аналитического решения можно использовать метод разложения искомых функций в ряды по степеням ε, как это было сделано для решения задачи о газодинамическом подшипнике, представленного во втором разделе. В связи с более сложными граничными условиями построение решения в высоких приближениях по ε для гззостатических подшипников является достаточно трудоемкой задачей. Поэтому ограничимся решением в первом приближении, когда в рядах удерживаются члены порядка не выше ε. Расчетные формулы при этом оказываются практически приемлемыми при |ε| < 0,4.

В случае малых ε моделируем ряды питателей линиями непрерывного поддува с распределением давлений на них по закону

где величина T1 подлежит определению. Каждый участок этой линии поддува [φj – / N, φj + / N] должен быть эквивалентен по расходу, соответствующему питателю. Для этого принимаем гипотезу, что и при несоосности шипа и подшипника, когда ε ≠ 0, среднеквадратичное давление на участке линии поддува

связано с давлением на кромке питателя формулой (4.19), имеющей место для случая ε = 0, т. е. формулой

95

Учитывая значение величины pm 0 , даваемое формулой (4.16),

находим

ãäå λ1 = l/D, x0 – решение уравнения (4.9).

Распределение давлений в смазочном слое подшипника определяем из уравнения Рейнольдса (4.1), которое при ω = 0 и справедливости формулы (4.20) имеет такой безразмерный вид:

ãäå Π = p2 / pS2, z = z' / r0.

В силу симметрии подшипника относительно его середины функцию Π достаточно определить только для половины подшипника – для области 0 < z < λ. При этом в соответствии с принятой моделью подшипника функция должна удовлетворять условиям

96

На основе уравнения (4.26) и граничных условий (4.27) устанавливаем, что функции Π0 è Π1 являются решениями таких краевых задач:

Интегрируя первое уравнение (4.29), находим, что Π0 = C1z +

+ C2.

Выполняя граничные условия на торцевом участке, получаем

Для межрядной зоны двухрядного подшипника имеем

При интегрировании второго уравнения учитываем вид граничных условий (4.30) и ищем функцию Π1 в форме Π1 = T1 f (z)cosφ. Для определения функции f (z) получаем уравнение

f" – f = 0

и граничные условия

f (0) = 0, f (2λ1) = 1, f' (λ) = 0 (для двухрядного подшипника). Легко находим, что для торцевого участка

97

Параметр T1 необходимо выбрать так, чтобы выполнялись условия баланса расходов газа через питатели и соответствующие им участки линий поддува.

Учитываем, что расход газа через питатель, расположенный в точке (φj, 2λ1), определяется по формуле (4.4), в которой надо принять

ãäå A0(ν ) - площадь минимального сечения питателя в соосном случае (ε = 0), v = 0 для питателя типа «простая диафрагма» и v = 1 для питателя типа «кольцевая диафрагма».

Обращаясь теперь к формуле (4.4), находим:

98

В соответствии с формулой (4.3) расход газа в сторону торца, порождаемый участком φj – / N φ φj + / N линии непрерывного поддува, вычисляется по формуле

Учитывая формулы (4.28), (4.31)–(4.33) и то, что h3 = 1 – 3cos φ + O(ε2), находим

Âслучае однорядного симметричного подшипника расход газа

âсторону второго торца определяется также по формуле (4.37). В случае же двухрядного симметричного подшипника расход газа в межрядную зону, порождаемый участком линии поддува

(φj – / N, φj + / N), определяется аналогично предыдущему:

Принимая во внимание формулы (4.28), (4.31)–(4.33), имеем

99

Условия баланса расходов для каждого элемента линии поддува можно записать для однорядного и двухрядного подшипников в следующем едином виде

так как в случае однорядного подшипника n = 1, λ = 2λ1 и согласно формуле (4.39), Q(j 2 ) = 0 .

Принимая теперь во внимание выражения (4.35), (4.37) и (4.39) получаем, что должно иметь место равенство

Приравнивая в этом уравнении члены при нулевых степенях ε слева и справа, получаем

Это условие тождественно выполняется в силу равенств (4.16) и (4.9). Приравнивая теперь члены при первых степенях ε слева и справа в равенстве (4.41) и учитывая при этом последнее равенство, получаем уравнение для определения параметра T1:

100