Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

M ax + iM ay = − ∫∫ (rτνϕ + irp) exp(iϕ )dS,

S

(1.51)

M az = ∫∫ rτνϕ sin ΦdS.

S

Обратим внимание на то, что последние формулы приведены для случая, когда в качестве центра приведения выбрана вершина базового конуса.

В случае сферического подшипника единичные орты сфериче- ской системы координат выражаются через декартовы следующим образом:

q3o = r o = x o sin ψ cos ϕ + y o sin ψ sin ϕ + z o cosψ .

В рассматриваемом случае τ31 = τRφ, τ32 = τRψ, причем в соответствии с формулами (1.46)

1∂p

τrϕ S = − 2ro ∂ψ Hsign(n o q3o ).

Обращаясь к формуле (1.45), можем записать

Tn = (τ rϕϕ o + τ rψ ψ o − pq3o )sign(n q3o ).

Используя формулы (152), находим

31

2. РАСЧЕТ ГЛАДКИХ РАДИАЛЬНЫХ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ОПОР

Гладкие газодинамические радиальные подшипники явились первоочередным объектом теоретических и экспериментальных исследований при разработке проблем газовой смазки. В условиях работы, соответствующих режиму газодинамического самоподдержания, могут оказаться газостатические радиальные подшипники при отключениях поддува газа, поэтому при расчетах радиальных газостатических подшипников возникает необходимость оценивать эффект газодинамического самоподдержания независимо от других факторов. В условиях газодинаического самоподдержания работают и плавающие уплотнительные кольца с гладкой рабочей поверхностью, используемые в турбомашинах и компрессорных установках для уменьшения утечек газа вдоль вала из зоны высокого давления, а также для предотвращения протечек масла из жидкостных подшипников в рабочие зоны. В таких уплотнениях зазоры на порядок меньше, чем в широко распространенных лабиринтовых уплотнениях, что приводит к значительному (в 8–10 раз) снижению утечек газа. В связи со сказанным естественно обратиться сначала к расчету радиальных газодинамических подшипников.

2.1.Анализ решений уравнения Рейнольдса

âпредельных случаях

Рассмотрим работу в стационарном режиме радиального круглого газодинамического подшипника длины L радиуса r2 (радиус шипа – r1) при условии, что в окружающей среде поддерживается постоянное давление pA, оси шипа и подшипника параллельны, а эксцентриситет равен e. Принимаем, что вращается только шип (ω2 = 0). Для определения поля давлений используем уравнение Рейнольдса, записанное в цилиндрических координатах (r, φ, z), в которых двугранный угол φ отсчитывается от плоскости, проходящей через оси шипа и подшипника, от зоны минимального зазора.

33

Решение задачи удобно представить в безразмерном виде, положив pˆ = p/pa, h = Hc = 1 − ε cos ϕ, ε = ec, λ = L(2ro ), z = 2(z′ − L / 2) / L,

Λ = 6μω1r12 /( pa c2 ) ,

ãäå ε – относительный эксцентриситет; λ – относительное удлинение подшипника; Λ – число сжимаемости.

Уравнение Рейнольдса (1.35) принимает вид

С учетом симметрии потока относительно плоскости z = 0, проходящей через середину подшипника, давление в слое газа должно удовлетворять следующим граничным условиям:

В общем случае уравнение (2.1) является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных эллиптического типа и при граничных условиях (2.2) не имеет точного аналитического решения. Отметим особенности рассматриваемой задачи, связанные с наличием в уравнении трех параметров: Λ, ε, λ. Λ= 0 отвечает случаю, когда движение шипа отсутствует, а давление в смазочном слое остается таким же, как и в окружающей среде. При этом pˆ = 1 является точным решением краевой задачи (2.1)–(2.2) при Λ= 0.

Малым частотам вращения шипа отвечают малые Λ. Ïðè Λ<< 1 можно представить приближенное решение уравнения (2.1) в виде

и использовать метод линеаризации по Λ. Для определения p' получаем уравнение

34

которое в точности совпадает с уравнением Рейнольдса для случая несжимаемой смазки (ρ= const), если последнее также записать в безразмерном виде, а безразмерное давление в слое представить в виде

Граничные условия для p' на торцах подшипника нулевые в обоих случаях. Следовательно, при малых Λ сжимаемость газа в смазочном слое проявляется незначительно и газ ведет себя как несжимаемая жидкость.

В случаях, когда Λ >> 1, сжимаемость газовой смазки проявляется существенно, а решение вида (2.3) становится неприемлемым,

âто время как для несжимаемой смазки решение (2.5) остается справедливым при любых Λ.

Для газовой смазки при Λ >> 1 мы имеем типичную проблему решения дифференциального уравнения с малым параметром при старших производных, который в рассматриваемом случае возникает

âуравнении (2.1), если обе его части разделить на Λ. Слева при старших производных появляется параметр 1/Λ, становящийся малым при больших Λ, и когда Λ→ ∞ левая часть уравнения будет стремиться к нулю, а, следовательно, и правая часть уравнения должна будет стремиться к нулю, что приведет в пределе к равенству

функция, подлежащая определению. Это решение не удовлетворяет граничным условиям на торцах подшипника и является вырожденным решением уравнения Рейнольдса (2.1) для газовой смаз-

уравнения Рейнольдса устанавливаем, что при Λ = ∞ должно быть

В газодинамическом подшипнике торцы работают в одинаковых условиях. Следовательно, для газодинамического подшипника надо положить a = 0.

35

Построение решения уравнения Рейнольдса при больших Λ требует специальных асимптотических методов, на которых мы здесь останавливаться не будем, так как ограничимся в дальнейшем исследованием случаев малых и ограниченных Λ, которые для условий работы реальных газостатических подшипников обычно имеют место.

Относительный эксцентриситет ε в подшипниках может изменяться в пределах от нуля до единицы (0 ε < 1). ε = 0 отвечает случаю соосности шипа и подшипника, когда зазор в смазочном слое постоянен (h = 1) и не возникает условий для появления избыточных давлений, а точным решением уравнения Рейнольдса (2.1) является pˆ = 1. Случай ε = 1 надо исключить из рассмотрения при решении стационарной задачи, так как он соответствует постоянному контакту шипа и подшипника в рабочем режиме, что недопустимо, так как создается аварийная ситуация.

Случай ε = 1 может представлять самостоятельный интерес при исследовании режимов запуска и останова машины или потере устойчивости основного режима работы опоры. Он требует для своего исследования учета нестационарности процесса, микрогеометрии поверхностей пар трения, знания свойств материалов и других факторов, которые игнорировались нами в исходных допущениях.

Параметр λ может меняться в теоретических исследованиях в пределах от нуля до бесконечности. Если λ< 0.5, то принято считать соответствующий подшипник коротким, если же λ > 2, то такой подшипник рассматривается как длинный. Случай λ → ∞ отвечает подшипнику бесконечной длины, не имеющему физического аналога, но представляющему теоретический интерес. Первоначальные исследования в области жидкостной, а затем и газовой смазки, проводились именно для случая λ → ∞, когда пространственная задача сводилась к плоской, а дифференциальное уравнение в частных производных вырождалось в обыкновенное дифференциальное уравнение. Решения задачи при λ → ∞ дают, прежде всего, качественную картину распределения давлений в смазочном слое в окружном направлении в срединной области подшипника. Однако они использовались и для расчета реальных подшипников, так как давали определенную количественную характеристику рабочих свойств смазочных слоев подшипников, или применялись в каче- стве основы для построения уточненных решений, учитывающих конечность длины подшипников.

36

2.2.P 2H 2–метод

Âнастоящее время при наличии вычислительной техники обычно обращаются к непосредственному численному решению уравнения Рейнольдса. Однако наряду с разработкой численных методов продолжают оставаться актуальными и проблемы построения аналитических решений задач теории газовой смазки как точных, так и приближенных, но обладающих достаточной для практики точностью. Такие решения не только дополняют численные, особенно в предельных случаях, когда Λ → ∞, èëè ε → 1, или численные методы оказаваются неэффективными в связи с математической особенностью решаемой задачи, но имеют и самостоятельное зна- чение. В общем случае аналитические решения также требуют использования вычислительной техники.

Для приближенного аналитического решения рассматриваемой задачи расчета поля давлений в газодинамическом подшипнике удобно использовать так называемый p2h2-метод приближенного решения уравнения Рейнольдса, излагаемый ниже.

Представляем уравнение (2.1) в форме (1.3) для функции s = pˆ2h2

èучитываем при этом вид функции h, имеем

Ïðè ε = 0 имеем очевидное решение s = 1.

Отыскиваем функции s è s в виде рядов по положительным степеням относительного эксцентриситета ε, предполагая их сходимость:

ãäå q = s.

37

Между коэффициентами этих рядов имеются связи, вытекающие из того, что

Очевидно, что в рассматриваемом случае q0 = s0 = 1. Подставляем ряды (2.9) в уравнение (2.8) и граничные условия

(2.7) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ε в левой и правой частях получившегося равенства. Это приводит к следующим краевым задачам:

(2.10)

sn (1, φ) = 0, n 3.

Полученные краевые задачи решаются последовательно. При

38

Учитываем, что cos φ = Re (eiφ). Вид уравнения (2.11) и соответствующих граничных условий позволяет при этом отыскивать функцию s1 в форме

Для определения комплексной функции y11(z) получаем следующую краевую задачу:

39

Воспользуемся легко устанавливаемой формулой

Re(aeimϕ ) Re(beikϕ ) = 1 Re[abei ( m+ k )ϕ + abei ( m− k )ϕ ], 2

из которой следуют равенства

Re(aeimϕ ) cos ϕ = 1 Re[aei ( m+1)ϕ + aei ( m−1)ϕ ],

Вид этого уравнения и соответствующих граничных условий дают возможность представить функцию s2 в такой форме

Для определения функций y20 è y22 имеем краевые задачи:

40