Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Функция П0 совпадает с найденной ранее (4.31)–(4.32), так как отвечает случаю ε = 0, при котором вращение вала не влияет на распределение давлений в смазочном слое модельного подшипника.

Подставляем выражение (4.71) в уравнение (4.69) и граничные условия (4.70), учитываем при этом формулу (4.43) и равенство

h3 = 1 − 3ε cos ϕ + O(ε 2 ).

Подставляем это выражение для П1 в уравнение (4.72) и первые два условия (4.73) и учитываем, что sin φ = Re(ieiφ). Для определения функции получаем краевую задачу

111

Эта краевая задача не может быт решена точно аналитически, так как П0 есть функция от z. Для численного или приближенного аналитического решения задачи удобно функцию y представить в виде

где функции w1 è w2, в силу произвольности параметра Т, являются решениями таких краевых задач

Ограничимся приближенным решением уравнений (4.77) по методу Бубнова–Галеркина с использованием только одной базисной функции. Полагаем

Коэффициенты ak находим следующим образом. Подставляем выражения (4.78) в уравнения (4.77), затем умножаем обе части этих уравнений на ζ(1 – ζ) и проводим интегрирование по ζ в пределах от 0 до 1. Получаем

1

(2λ1 )2 ∫ g1ζ (1 − ζ )dζ

Проведя вычисления, можем записать

112

pm 0

Второе краевое условие выполняется тождественно.

Итак, в соответствии с формулами (4.76) и (4.81) функцию y окончательно можно представить в виде

113

линии поддува, вычисляются по формулам (4.36) и (4.38). Учитываем, что согласно полученному решению

Для расхода газа, протекающего через питатель, справедлива формула

114

Выполняя условие баланса расходов (4.40), получаем уравнение для определения Т, аналогичное уравнению (4.41), из которого находим

Воздействие на шип со стороны смазочного слоя определяется по формулам (1.91):

В первом интеграле касательными напряжениями по сравнению с давлениями можно пренебречь, так как они имеют по сравнению с последними порядок ΛH0 / D.

Согласно формуле (4.43), давления в смазочном слое распределены по закону

В связи с этим первую формулу (4.87) можно представить в

âèäå

115

то получаем следующую формулу для вычисления несущей способности подшипника

Используем обозначения (4.79) для интегралов, входящих в правые части записанных выше равенств. Для вычисления несущей способности подшипника получаем формулу

116

Момент сопротивления вращения валу, создаваемый силами трения смазочного слоя, вычисляется по формуле

Lz = 2 ∫ dz′ ∫ τ rϕ r02dϕ.

0 0

Расход газа, как нетрудно показать, с точностью до членов порядка ε2, определяется по формуле (4.13) и не зависит от скорости вращения вала.

На рис. 4.3–4.5 представлено сравнение теоретических и экспериментальных нагрузочных характристик одно- и двухрядных радиальных газостатических подшипников.

Штриховой линией показаны экспериментальные данные

Ðèñ. 4.3. График зависимости безразмерной нагрузки Cw от относительного эксцентриситета ε при относительном давлении питания и числах сжимаемости Λ = 0., 1.1 (двухрядный подшипник)

117

ΛШтриховой линией показаны экспериментальные данные

Ðèñ. 4.4. График зависимости угла нагрузки от числа сжимаемости при ε = 0.1 и относительных давлениях питания pS = 1.7, 2.3, 3.6, 6 (двухрядный подшипник)

Ðèñ. 4.5. График зависимости безразмерной нагрузки от относительного эксцентриситета при относительном давлении питания pS = 4.6 è Λ = 0., 2.2 (однорядный подшипник). При расчете однорядного подшипника

118

4.4. Вырожденное решение

Особого исследования требует задача расчета газостатических подшипников, когда Λ >> 1, так как в этом случае в уравнении Рейнольдса (4.69) при старших производных появляется малый параметр Λ–1 (для этого надо предварительно все члены уравнения (4.69) разделить на Λ). Ограничимся анализом вырожденного решения, отвечающего случаю Λ → ∞. Предполагая ограниченность давлений и их производных при всех Λ, из уравнения Рейнольдса (4.69) находим, что вне окрестностей границ (внешних и контуров питателей) давления должны быть при Λ → ∞ распределены так, что

∂( pH ) = 0.

∂ϕ

Откуда следует, что при Λ → ∞ вне рядов питателей давления в смазочном слое распределены по закону

в котором вид функции C(z) может быть установлен на основе следующих рассуждений.

Ïðè Λ → ∞ на линии поддува устанавливается постоянное давление pS, равное давлению в камере нагнетания. Объяснить это можно следующим образом. Учитывая вид параметра Λ, случай Λ → ∞ можно интерпретировать как случай, когда H0 → 0. Íî ïðè H0 → 0 давления на кромках питателей стремятся к pS, так как при этом расход газа Mj через j-тый питатель уменьшается и в пределе, согласно формуле (4.4), при H0 → 0

limq*(xj) = 0, j = 1, 2, …, nN.

Последнее равенство возможно лишь при pdj → pS.

Òàê êàê ïðè Λ → ∞ на линиях поддува устанавливается давление pS, то газостатический подшипник при Λ → ∞ работает как газодинамический, у которого торцевые участки находятся в условиях осевого перепада давлений pS è pa, а межрядная зона работает как газодинамический подшипник длины L–2l, на торцах которого

119

поддерживается давление pS. Решение этих задач представлено в разделе 2, откуда следует, что на торцевых участках устанавливается давление

а в межрядной зоне

Вычисляя при этом несущую способность подшипника по формуле (4.87), находим