Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Учитывая теперь формулу (5.70), видим, что равенство (5.69) эквивалентно полученному равенству.

Применяя формулу (5.69) к интегралам, входящим в уравнение (5.68), получаем

∫∫ h03 ψ k ξ dΩ = –∫∫ h03 fk ξ d ,

Отсюда, учитывая вид функций ψk (5.67), получаем для опре-

Практическая сходимость метода Бубнова–Галеркина зависит от качества базисных функций. Если ωΓ(q1, q2) – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на границе области Ω, а внутри области ΩωΓ > 0, то в качестве функций ξℓ можно взять функции вида

ãäå P 1 è P 2 – нормированные полиномы Лежандра.

Как следует из теории, выбор таких базисных функций обеспечивает устойчивость алгоритма и разрешимость уравнений (5.71).

151

После определения функций ψk можно перейти к решению системы уравнений (5.65), предварительно определив матрицы E и Ф коэффициентов Ejk è Ôjk, входящих в эти уравнения. Введем также в рассмотрение матрицы-столбцы

В случаях, когда все питатели типа «простая диафрагма», но эффект двойного дросселирования в карманах не учитывается, необходимо положить x0j = xˆ 0j в первых двух уравнениях (5.76), а последнее уравнение должно быть отброшено.

Определив из второго уравнения B, находим

B = E–1 . Y.

ãäå T = Ô . E–1.

Учитывая вид элементов матриц X è Y, даваемых формулами (5.75), уравнение (5.77) можем записать в форме

k =1

Решение этой системы уравнений дает значения давлений газа в карманах xˆ0j и на выходе из них x0j, òàê êàê xˆ0j = x0j.

В случаях, когда все питатели типа «кольцевая диафрагма» надо принять xˆ0j = 1, из системы уравнений (5.76) исключить второе уравнение, а матрицу B определить из третьего уравнения

B = E–1 . Z.

152

Учитывая вид элементов матриц X è Z, даваемый формулами (5.75), можем записать уравнение (5.79) в форме

k =1

Решение этой системы уравнений дает значения давлений газа на выходных кромках питателей x0j.

Если же все питатели типа «простая диафрагма» и необходимо производить учет эффекта двойного дросселирования в карманах, то нужно решать полную систему уравнений (5.76). Для этого удобно найти матрицу B из последнего уравнения

B = E–1 . Z

и подставить найденное значение B в первое уравнение, в результате чего оно принимает вид

К этому уравнению надо добавить уравнение

являющееся очевидным следствием последних двух уравнений (5.76).

Учитывая вид матриц T, Z, X è Y, системы уравнений (5.81)– (5.82) можно записать в виде

153

Полученная система нелинейных алгебраических уравнений (5.83) служит для определения величин x0j è xˆ 0j. Эта система уравнений с точностью до обозначений совпадает с системой уравнений (5.57). (Отличие в обозначениях: коэффициентам Φjk в системе (5.57) соответствуют коэффициенты 2 Tjk в системе (5.83)). Поэтому для решения системы уравнений (5.83) полностью применим метод Зейделя, описанный выше (в подразделе 5.4). Матрицастолбец B после этого определяется либо по формуле B = E–1 . Y, либо по формуле B = Φ–1 . X.

5.6. Расчет статических полей давлений в смазочных слоях газостатических опор с учетом вращения вала

При вращении вала установившееся течение смазки в подшипнике возможно в случаях, когда зазор между поверхностями, а также в зоне каждого питателя, не зависит от времени. В этом случае краевая задач для определения функции sΛ, описывающей распределение давлений в смазочном слое, имеет вид

Безразмерные квадраты давлений на выходных кромках питателей xΛj и в карманах xˆ Λj определяются из уравнений баланса расходов газа через питатели:

Как указывалось выше, при «малых» Λсходится итерационный процесс (5.36), который реализуется в следующем виде:

154

Для решения задач (5.86), возникающих на каждом шаге итераций (m = 1, 2, …), применим метод «расщепления», аналогичный изложенному выше. Полагаем

Òàê êàê L является линейным оператором, а функции fk è ψk удовлетворяют краевым задачам (5.54), (5.64) соответственно, то при определенной указанным образом функции ψ Λ(m) уравнение (5.86) и краевое условие на границе Г0 выполняются тождественно, если sΛ(m) найдено в виде (5.87).

Распорядимся теперь выбором коэффициентов Bk(m) и величи- нами xΛ(mj ) , x(Λmj ) так, чтобы удовлетворить граничным условиям на

155

контурах питателей Гj и условиям балансов расходов (последним 3N уравнениям в системе (5.86)).

Подставляя выражение (5.87) в эти условия, приходим к системе 3N нелинейных алгебраических уравнений для определения

а элементы матриц Ф и E определяются по формулам (5.66). Для решения задачи (5.88) применим метод Бубнова–Галер-

кина. Выберем систему базисных функций {ξ j (q1, q2 )}∞j=1, которые можно задать также в форме (5.73).

Приближенное решение этой задачи отыскиваем в виде

j=1

Нетрудно убедиться, что согласно методу Бубнова–Галеркина

неизвестные постоянные A(jm) определяются из следующей системы алгебраических уравнений:

J ( m )

∑a j A(jm) = 2Λ∫∫h0 sΛ(m–1) u ξ dΩ, = 1, 2, ..., N, m = 1, 2, ... , (5.91)

j=1 Ω

где коэффициенты aℓj определены равенствами (5.72).

156

После определения функций ψ Λ(m) вычисляем коэффициен-

òû Fj(m) и переходим к определению величин Bk(m) , x(Λmj ) è xΛ(mj ) из нелинейных уравнений (5.89), аналогичных уравнениям (5.65). Исключение коэффициентов Bk(m) из этих уравнений приводит к следующей системе алгебраических нелинейных уравнений для

Если эффект двойного дросселирования в питателях с карма-

(m)

нами не учитывается, то необходимо положить xΛj = xΛ(mj ) и решать только первые 2N уравнений системы уравнений (5.89).

После определения величин xΛ(mj ) è x(Λmj ) по методу, изложенному в подразделе 5.3, можем определить матрицу B по формуле

чем и завершается определение функций sΛ(m) .

Сходимость итераций целесообразно оценивать по точности расчета интегральных характеристик смазочного слоя. Например, если для несущей способности при некотором m выполняется неравенство

(F (mx ) F (mx 1) )2 + (F (my ) F (my 1) )2 ≤ ε (F (mx ) 2 F (my )2 ),

ãäå ε – заданное малое число, то процесс итераций по m можно считать завершенным.

157

5.7. Расчет динамических полей давлений в смазочных слоях газостатических опор

Динамические поля давлений в газостатических опорах определяем по методу малых возмущений, изложенному в подразделе 5.1.

Функции s, xj, xˆj при этом отыскиваются в виде (5.44). Для определения динамических составляющих поля давлений служит система линейных уравнений малых возмущений (5.45).

Принимая, не нарушая общности, начальные условия для функций ht, st, xˆtj è xtj нулевыми, для решения этой линейной задачи воспользуемся интегральным преобразованием Лапласа по безразмерному времени t (5.15).

Обозначим

изображение по Лапласу функции F (σ– параметр преобразования). В изображениях по Лапласу уравнения малых возмущений

(5.45) принимают вид

158

где функция Rj определяется по формуле (5.45).

В силу линейности краевой задачи (5.95) будем искать ее решение в следующем виде

k =1

Здесь функции gσ è gk, а также постоянные Gk подлежат определению, а функции fk определены в подразделе 5.4.

В качестве функции gσ принимаем решение следующей краевой задачи с нулевыми граничными условиями на всех границах смазочного слоя:

L(gσ , h03 )+ L(sΛ , 3h03hσ )=

gσ Γ = 0, Г = UГj , _j = 1, 2, …, N.

Функций fk определяем как решения таких краевых задач

gk Γ = 0, k = 1, 2, …, N.

При указанном выборе функций gσ è gk функция sσ функция sσ тождественно удовлетворяет первому уравнению системы (5.95)

159

и краевому условию на внешней границе смазочного слоя Г0. Выбором величин Gk, xˆ0j è x0j возможно удовлетворение всех условий на контурах питателей Гj и условий баланса расходов газа через питатели, если функции *gσ è gk найдены.

Для определения функций gσ è gk можно воспользоваться методом Бубнова–Галеркина. В качестве базисных функций может

Коэффициенты этих рядов определяем по методу Бубнова–Га- леркина. Подставляем приближенные значения функций gσ è gk, даваемые формулами (5.99), в уравнения (5.97)–(5.98) соответственно, и интегрируем обе части получающихся равенств по области Ω и с весом ξl. При этом возникают соотношения

160