Теоретические основы работы газостатических опор. Монография

Условия на границах смазочного слоя записываются в виде

Кроме этого, необходимо выполнять условия баланса расходов газа для питателей. Прежде чем записать их в безразмерной форме, дадим более удобное для численных расчетов представление для величины расхода газа через смазочный слой, порожденного питателем.

у контура Γj, диаметра, охватывающему только один j-й питатель. Это позволяет избежать значительных погрешностей при численных расчетах интеграла (5.19), берущегося по контуру малого диаметра от функции, имеющей большие значения (в окрестностях питателя градиенты давлений большие) (рис. 5.2).

Y

Ðèñ. 5.2. Контур lj, охватывающий питатель на сегменте

Обозначим через Ωj область, заключенную между контурами j è Γj, а через ∂Ωj = Γj j – границу области Ωj. Пусть ν – åäè-

131

ничный вектор внешней нормали к ∂Ωj. Принимаем также, что Ωj ∩Ωk = { } ïðè k ≠ j. Умножим обе части уравнения Рейнольдса на ∂Ωj и проинтегрируем по области Ωj. С учетом вида оператора L(p2, H2), в результате получаем

+12μ ∫∫ [pH (VПτ + VШτ )]dΩ.

Ωj

Применяем к первому интегралу формулу Грина, а к последнему интегралу – формулу Остроградского–Гаусса, вследствие чего равенство (5.20) преобразуется к виду

Учитываем теперь, что граница ∂Ωj состоит из двух контуров Γj

èj , и вводим в рассмотрение при вычислении интеграла по кон-

òóðó Γj нормаль ν1 = −ν , направленную внутрь области Ωj. Èç (5.21)

получаем формулу, выражающую связь между интегралами по

Следовательно, формула для расхода газа Qj (5.19) может быть записана в следующем эквивалентном виде, удобном для численных расчетов,

132

В случае питателей типа «кольцевая диафрагма» с диаметрами dj уравнения баланса расходов газа через них имеют вид

Принимаем поток газа через питатель квазистационарным (что практически всегда имеет место, так как время релаксации для питателей значительно меньше характерного времени протекания процессов в смазочных слоях) и используем для расчетов потока газа через питатель формулу (3.13), а для расхода газа через смазочный слой – формулу (5.23). Переходя при этом в равенстве (5.24) к безразмерным величинам, можем уравнение баланса расходов для питателя типа «кольцевая диафрагма» представить в таком безразмерном виде:

В случае питателей типа «простая диафрагма» с карманами,

газ в которые подводится через каналы диаметром ˆ , а диаметры d j

выходных кромок которых dj, в общем случае целесообразно учи- тывать эффекты двойного дросселирования в потоке газа, протекающего через питатели, и выполнять для каждого питателя по два уравнения баланса расходов газа (3.15)–(3.16):

Используя для величин, входящих в эти равенства, формулы (3.16)–(3.18) и (5.23) и преобразуя их к безразмерному виду,

133

уравнение баланса расходов газа для питателей типа «простая диафрагма» можно записать в таком виде:

Здесь Kvj è Ksj – коэффициенты относительного объема и относительной площади поперечного сечения j-го кармана, определяемые по формулам

Конструктивный параметр питателя γj определяется по формуле (5.26), а второй конструктивный параметр питателя γˆj определяется по формуле

Отметим, что в случае пренебрежения эффектом двойного дросселирования в питателе с карманом для расчета давлений на выходе из питателей необходимо использовать только первые N уравнений системы (5.28), положив в них xˆj (j = 1, 2, …, N).

Если же рассматриваются питатели типа «кольцевая диафрагма», то необходимо использовать только вторые N уравнений системы (5.28), положив в них xˆj = 1 (j = 1, 2, …, N).

В случаях необходимости учета эффектов двойного дросселирования в питателях с карманами вся совокупность уравнений (5.28) должна решаться совместно.

Подчеркнем, что краевые условия на питателях (5.18) и (5.28) носят интегральный характер в силу невозможности поточечного

134

согласования потоков газа по давлениям и расходам на выходных кромках питателей Гj. Очевидно, при этом возможна неединственность решения соответствующей краевой задачи об определении поля давлений в смазочном слое газостатической опоры. Следует ожидать, что при малых размерах диаметров выходных контуров питателей Гj эта неединственность будет иметь локальный (вблизи питателей) характер и не сказываться существенно на интегральных характеристиках смазочного слоя (несущей способности, расходе газа через слой и пр.).

В силу сказанного, можно принять в качестве граничных условий на кромках питателей следующие

и считать эти условия эквивалентом соответствующих интегральных условий (5.18), так как последние будут выполняться тождественно, если будут выполнены условия (5.31).

Учитывая вышеизложенное, краевую задачу для определения поля давлений в смазочных слоях газостатических подшипников с дискретным поддувом можно записать в следующем безразмерном виде (в дальнейшем штрихи у безразмерных величин будем опускать):

В общем случае тела, разделенные смазочным слоем, не находятся в равновесном состоянии, и поле давлений в слое зависит не

135

только от пространственных координат, но и от времени. Поэтому систему уравнений (5.32) необходимо решать при определенных начальных условиях, накладываемых на значения функции s в начальный момент времени, или при условиях периодичности во времени функций s è h (если такое движение возможно).

Âэтих случаях, наряду с функцией s подлежит определению при решении задачи и зависимость функции h от времени. Это становится возможным сделать лишь тогда, когда задача о течении газа

âсмазочном слое решается совместно с динамическими задачами о движении тел, ограничивающих смазочный слой.

Более простые постановки задач возникают в случаях, когда зазор h как функция координат и времени, известен (задан), тогда функция s может быть определена на основе решения краевой задачи (5.32) при дополнении ее в случае нестационарности начальными условиями (или условиями периодичности во времени, если h – периодическая функция времени).

Âсвязи с нелинейностью уравнения Рейнольдса и уравнений баланса расходов газа, в которые входят к тому же неизвестные

величины квадратов давлений в кармана xj и на выходных кромках питателей xˆ j, подлежащие сами определению в процессе решения задачи, а также в связи с многосвязностью смазочного слоя и нали- чием в уравнениях параметра Λ, могущего принимать значения в пределах от 0 до ∞, методы решения краевой задачи (5.32) в общем случае отсутствуют. Наиболее развиты методы решения стационарных и нестационарных задач для случаев Λ = 0 и «малых» Λ. При этом нестационарные задачи удается решать только для случаев, когда зазор h мало отличается от своего стационарного значения.

Âстационарных задачах особо необходимо выделить случай Λ = 0, отвечающий условиям работы газостатических подшипников

âрежимах, когда движение смазываемых поверхностей несущественно влияет на характеристики этих опор. На практике часто ограничиваются знанием характеристик подшипников именно для этого случая.

Ïðè Λ = 0 стационарное уравнение Рейнольдса становится линейным относительно функции s, однако сохраняется алгебраическая нелинейность в условиях баланса расходов газа. Получающуюся при этом краевую задачу можно представить в операторном виде. Для этого введем банаховы пространства X = C2(Ω) è X = C(Ω) × R1,

136

ãäå Ω – область, занятая смазочным слоем, R1 – множество всех вещественных чисел, C2(Ω) è C(Ω) – пространства соответственно дважды непрерывно дифференцируемых и непрерывных на Ω функций, знак «×» обозначает прямое произведение пространств.

Рассмотрим линейный оператор ∏0 : X → Y, определяемый формулой

∂

Краевая задача (5.32) при Λ = 0 è ∂t ≡ 0 вместе с уравнениями

баланса расходов газа может быть записана в виде операторного уравнения

Решение операторного уравнения назовем функцией s0.

В общем случае стационарной задачи (Λ ≠ 0, ∂∂t = 0 ) краевая задача (5.32) может быть записана в виде операторного уравнения

где нелинейный оператор П(s, Λ), действующий из X â Y (X = С2(Ω) × R1), определен по формуле

Решение операторного уравнения (5.35) назовем функцией sΛ.

137

Заметим, что при произвольных Λ методы решения уравнения (5.35) отсутствуют, более того, не ясны даже вопросы существования такого решения.

Ïðè Λ = 0 решение уравнения (5.35) существует и совпадает очевидно с решением линейного уравнения (5.34). На основании известной теоремы Канторовича существование решения уравнения (5.35) можно гарантировать и для достаточно «малых» значений параметра Λ. Согласно этой теореме, к решению уравнения (5.35) сходится следующий итерационный процесс, являющийся модификацией метода Ньютона–Канторовича,

ãäå Π'0(s0) – производная Фреше оператора П0 в точке s0. Итерационный процесс (5.37) приводит к последовательности

линейных краевых задач и уравнений баланса расходов газа. Методы решения этих задач излагаются в настоящем разделе.

Наряду со случаем Λ = 0, случай «малых» Λ имеет также большое практическое значение, так как для большинства газостати- ческих опор реальные значения числа сжимаемости Λ оказываются малыми.

При «больших» Λ (Λ >> 1) в нелинейном операторе П появляется малый параметр 1/Λ при старших производных. Ситуация осложняется тем, что большой параметр Λ входит и в условия баланса расходов газа. Это не позволяет построить вырожденное решение операторного уравнения (5.35) при Λ → ∞, удовлетворяющее условиям непрерывности на Ω. Однако проанализировать случай Λ = ∞ можно, если допустить возможность существования разрывных решений для функции s в области смазочного слоя.

Из первого уравнения системы (5.32) (уравнения Рейнольдса) следует, что при Λ → ∞ функция s∞ должна удовлетворять уравнению

в чем легко убедиться, если все члены уравнения Рейнольдса предварительно разделить на Λ, а затем устремить Λ к бесконечности, допуская при этом ограниченность оператора L(s, h3).

138

Для упорных, радиальных и упорно-радиальных (конических и сферических) подшипников условие (5.38) эквивалентно условию

∂(PH )

∂ϕ . Откуда следует, что при Λ → ∞ для таких подшипников

Это решение не может быть согласовано с условиями баланса расходов газа для питателей. Его нужно рассматривать как решение вне узких зон за питателями (ширина этих зон равна диаметрам выходных кромок питателей).

В случае сегментных подшипников функция f(q1) может быть определена по условиям на входе потока в смазочный слой

f(q1) = paHBX(q1)

и, следовательно, давление почти всюду (за исключением узких зон за питателями) в слое распределено по закону

P ≡ pa HBX (q1 ) ,

(5.40)

H (q1, ϕ )

как и в случае отсутствия поддува в соответствующем сегментном газодинамическом подшипнике при Λ → ∞.

Отсюда следует вывод, что поддув газа в смазочный слой сегментного подшипника становится неэффективным при больших значениях числа сжимаемости Λ.

Методы решения краевой задачи (5.32) при «умеренных» и «больших» Λ пока не разработаны.

Обращаясь к постановке задач об определении полей давлений в нестационарных смазочных слоях, когда зазор h есть функция координат и времени и заданы начальные условия (или условия периодичности) для функции s, отметим, что соответствующие методы решения уравнений (5.32) пока не разработаны. Здесь используются только методы приближенного решения уравнений (5.32) и только для случаев Λ = 0 или «малых» чисел Λ и «малых» отклонений зазора h(q1, q2, t) от его некоторого стационарного значения h0(q1, q2). При этом исходные уравнения (5.32) предварительно линеаризуются по малым возмущениям, или малому параметру, харак-

139

теризующему отклонения h îò h0. Вывод этих линеаризованных уравнений приводится ниже.

Принимаем, что во все время движения

ãäå |ε| << 1, |ht| h0.

Вид функции h1(q1, q2, t) может быть установлен для конкретного вида опор и для конкретного закона движения смазываемых поверхностей и считается известным.

В соответствии с видом функции h (5.42) представим функцию s â âèäå

Безразмерные квадраты давлений на выходных кромках питателей и в карманах представляем в аналогичном виде

решения соответствующей задачи известны, и что возмущения поля давлений и функции st, xtj è xt j конечны во все время движения. Подставим выражения для функций h, s, xj è x j , даваемые формулами (5.42)–(5.44), в уравнения (5.32) и проведем разложение в ряды по ε всех функций, встречающихся в этих уравнениях, удерживая в разложениях и уравнениях только члены порядка не выше ε.

 ñèëó òîãî, ÷òî sΛ, sΛj è xΛ j являются решениями уравнений (5.32) при ε = 0, члены, не содержащие множитель ε в уравне-

ниях, пропадут, а для определения функций st, xtj è xt j получится следующая краевая задача и условия баланса расходов газа для питателей:

140